关于角平分线辅助线的添加的几种技巧

中考数学几何辅助线添加技巧

当然添加辅助线的方法很多，不可能全都枚举全，但文中所列举的方法确实是最常用的方法，值得推荐：

辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。所以我们要学会巧妙的添加辅助线。

一、添辅助线有二种情况：

1.按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。

2.按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

(1)平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。

(2)等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。

(3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

1 图一F'ABCEDF图二F'ABCEDF图三F'DFABCE图二DEABC图三21DCBA“角平分线问题”中的辅助线的添加技巧

高手出招1：角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。）

基本图形

例题：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分线，∠B＝60°。求证：AC＝AE＋CD。

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求证：DC⊥AC。

2 4321DEABC图五EACB3．已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

4．已知，在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB＝2AC。

求证：（1）∠C＝90°；（2）AE=2CE。

5．已知，在RT△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线。

求证：BC＝AB＋AD。

6．已知，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠A。求证：AB－AC＝CD。

3 图八21DCAB图九21CBAD图十21ECBAD高手出招2：只要看到平分线上的点，要想到向两边作垂线了（点分线，垂两边）

7．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2。求证：BC＝AB＋AD。

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求证：∠ADC＋∠B＝180°。

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝21（AB＋AD）。

求证：∠D＋∠B＝180°。

4 图十一4321PABC图一HDABC

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。

高手出招3：角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。

基本图形

例题

1． 已知，∠1＝∠2，AB＞AC，CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：DH＝21（AB－AC）。

图121DEABCFG图2-121DABCE43图2-221FDABCE

- 1 - 角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、角分线，分两边，对称全等要记全

二、只要看到平分线上的点，要想到向两边作垂线了（点分线，垂两边）

如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2.

- 2 - 三、角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和

差倍分都实现。

4、:如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：1()2BEACAB

5、 如图，已知：∠A=90º，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC， 求证：CP平分∠DCB。

6、如图，已知：ΔABC中AD垂直于∠C的平分线于D，DE∥BC交AB于E.

求证：EA=EB。

21FEDCBAA

P

B D

E

C 1 2

3 4

A

E

B

F C 1 2 D

- 3 -

第2页 共2页 角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

证明：延长BE交AC于点F。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，

所以AD为∠BAC的对称轴，

又因为BE⊥AD于F，

所以点B和点F关于AD对称，

所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。

因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，

∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，

所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，

所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，

所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），

所以。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

求证：∠BAP＋∠BCP=180°。

证明：经过点P作PE⊥AB于点E。

因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，

所以PE=PD。

在Rt△PBE和Rt△PBC中 1()2BEACAB121212121()2BEACAB21FEDCBANPEDCBA

第2页 共2页

所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL），

所以BE=BD。

因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，

所以AE=CD。

因为PE⊥AB，PD⊥BC，

所以∠PEB=∠PDB=90°.

在△PAE和Rt△PCD中

所以△PAE≌Rt△PCD，

所以∠PCB=∠EAP。

因为∠BAP＋∠EAP=180°，

所以∠BAP＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：△1=△2

证明：过点P作PE△AB于点E，PG△AC于点G，PF△BC于点F．