高一数学暑假培优讲义第2讲__函数值域的求法p

函数值域的求法一、配方法：对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形如[]2()()()(0)f x a g x bg x c a =++≠的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.解：函数的定义域为[]1,4，2242(2)2y x x x =-+-=--+，从而函数为对称轴为2x =的开口向下的二次函数，2min 44422y ∴=-+⨯-=-，max 2y =.即函数的值域为[]2,2-.例2：求函数342-+-=x x ey 的值域.解: 此题可以看作是ue y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数, 对u 配方可得:1)2(2+--=x u , 得到函数u 的最大值1=u , 再根据u e y =得到y 为增函数且0>y ,故函数342-+-=x x ey 的值域为: ],0(e y ∈.例3：求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。

例4：求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。

二、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解. 例6：（整体换元） 已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.解：令2x t =，[]0,2x ∈Q ，[]21,4x t =∈≥，则()()12212211()43252325232561022x x x x x x f x t t --=-⋅+=-⋅+=-⋅+=-+()211322t =-+。

故当3t =即23x =也即2log 3x =时，()f x 有最小值[]min 1()(3)2f x f ==；当1t =即21x =也即0x =时，()f x 有最小值[]max 5()(0)2f x f ==.∴函数()f x 的值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例7：（整体换元）求函数3y x =+. 解：函数的定义域为2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令t =，那么0t ≥，225t x -=()222211549356555220t y t t t t -⎛⎫∴=⋅+=---=--+ ⎪⎝⎭。

衔接班第二章 函数教学目标：1.变量和函数的概念：2.函数的三要素：3定义域的求法：一类直接法，一类抽象法。

4.值域的求法：5.解析式的求法：6区间表示法：值域的求法：1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、 配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1 ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域；例2 求562---=x x y 函数 的值域；３、换元法： 形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(≠+±+=a ，d c b a d cx b ax y ；例1 求函数x x y -+=142的值域例2 x x y 21--=4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121a a c x b x a c x b x a y ++++=；例1 求函数x x y 1+=的值域；例2 122+--=x x xx y５、反函数法：例1 求函数y=6543++x x 值域。

６、分离常数法：例1求函数213-+=x x y 的值域；7、数形结合法。

例1求函数的值域|4||1|++-=x x y ；例2 若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（）A ]4,0(B ]4,23[ C ]3,23[ D ),23(+∞解析式的求法：待定系数法：例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f配凑法：例1已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式 换元法：例1已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f代入法：例1已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 构造方程组法：例1设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f例2设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式赋值法：例1已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f。

函数值域及最值的求法⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。

此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) +c (a≠0)的函数的值域与最值。

例1、求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。

解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7又∵( x - 3)2≥0∴( x - 3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。

解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。

∴函数的值域是［－7，＋∞）这里运用了二次函数的图象和性质求值域。

一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。

例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。

因为当x∈R时，sinx∈[- 1, 1]，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。

解法一：∵y = sin2x - 6sinx + 2＝( sinx - 3)2 - 7 （配方法）Array又∵sinx∈[- 1, 1]，∴函数的值域是［－3，9］＃解法二：令sinx = t，则 y = t2t∈[ - 1, 1]它的图象是抛物线的一段（如图）∴函数的值域是［－3，9］＃在此方法中用到了数形结合的方法。

⒉反函数法由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。

例2、求函数 y =234x x +- 的值域。

解：由于函数y = 234x x +-的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y= 4231x x +-(x≠13) ∴函数的值域为{ y | y≠13，且y∈R}＃ 说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如 y =ax b cx d++(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。

高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。

在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。

在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。

所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。

本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。

具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。

方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。

一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。

对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。

需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。

另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。

总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。

定义法通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考查思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。

今天的学习希望大家就从定义出发，理解函数值域。

先看例题：已知函数2,y x x A =∈，其中{|||2,}A x x x Z =≤∈且则函数的值域是_____若函数24y x x =-的定义域是{|15,}x x x N ≤≤∈则其值域为________求函数||x y x =的值域注意：定义域不是有限集，值域可能是有限集总结：函数值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同给确定的,求值域时要注意函数的定义域练习：1. 若f (x )的定义域为[a ,b ],值域为[a ,b ] (a <b ),则称函数f (x )是[a ,b ]上的“四维方军”函数.（1）设213()22g x x x =-+是[1,b]上的“四维方军”函数,求常数b 的值; （2）问是否存在常数a ,b (a >－2)使函数1()2h x x =+是区间[a ,b ]上的“四维方军”函数?若存在,求出a ,b 的值,否则,请说明理由.分离常数法分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。

该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用，今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。

1.函数2211x y x -=+的值域为____2.求函数312x y x +=-的值域 我们发现，如果一个函数形如(0)cx d y a ax b+=≠+，这时可以考虑使用分离常数的方法，来求其值域。

更进一步，如果我们把x 的位置换成一个函数，即()(0)()c f x d y a a f x b ⋅+=≠⋅+还能够使用分离常数的方法么？继续往下看：3.求函数11x x e y e -=+的值域 （先分离常数） 对于形如()(0)()c f x d y a a f x b⋅+=≠⋅+的函数，都可以考虑用分离常数的方法进行求解。

高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。

本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。

例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。

因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。

2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。

当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。

因此，所求值域为$[-4,12]$。

3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。

由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。

5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。

因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。

除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。

例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。

高一数学《函数的值域》的求法《新形势下教育管理理论与实践指导全书》函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。

（1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围；（2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；（3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；（4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；（5）单调性法——利用函数的单调性求值域；（6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。

例1、求下列函数的值域：（直接法）（1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1}解：当x=－1时,y=0当x=0时,y=－3当x=1时,y=－4∴所求值域{0,－3,－4}（2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］解：y=(x－1)2－4当y=－3时,y max=12当x=1时,y min=－4所求值域为［－4，12］（3）y=x2－2x－3，x∈R解：y=(x－1)2－4≥－4∴所求值域为［－4,+∞)可改变x的范围，求函数的值域。

如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞)（4）y=4解：要使原函数有意义,则3+2x－x2≥0－1≤x≤3y=4当x=1时,y min=0当x=－1或3时,y max=4∴所求值域为［0,4］（5）y=25243 x x-+解：y=252(2)3 x x-+=252(1)1x -+ ∵2(x －1)2≥0∴2(x －1)2+1≥1∴0＜212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。

例2、求下列的值域：（1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x+，x ∈［1,3］ （4）y=22436x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞)解：（2）≥0)则x=212t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54当t=12时,y max =54∴所求值域为（－∞, 54］ 解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2当x=3时，y max =103∴所求值域为［2，103］ 解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}方法1：（先化简函数）y=(3)(1)131(3)(2)22x x x x x x x +++==++--- ∵x ≠2 ∴y ≠1 又x ≠3 ∴y ≠312x +--即y ≠25所求值域为{y R ∈|y ≠1且y ≠25} 方法2：（判别式法）由y=22436x x x x +++-得 (y －1)x 2+(y －4)x －3(2y+1)=01°当y=1时，x=－3与定义域中x ≠=－3矛盾，∴y ≠12°当y ≠1时，由△=(5y －2)2≥0得y ∈R ，但y ≠1而当y=25时，求得x=－3不合题意∴y ≠25故所求值域为{y ∈R|y ≠1,且y ≠25} 解：(5)(判别式法)：由y=234x x +得 y ·x 2－3x+4y=01°当y=0时,x=02°当y ≠0时，∵x ∈R ∴△=32－4y ·y ≥0 －34≤y ≤34且y ≠0 综合以上知所求值域为［－34，34］ 注：利用判别式求形如：y=22ax bx c dx ex f++++的值域当化为m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0后，要注意： ①分m(y)=0，及m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才能利用判别式；②在求出y 的取值范围后；要注意“=”能否取到，即检验间断点以及△=0时，y 对应x 是否属于定义域。

求函数值域的方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能输出的实数值的集合。

换句话说，值域是函数在所有自变量上运算后得到的因变量的所有可能取值的集合。

确定一个函数的值域可以帮助我们了解函数的性质及其可能的输出结果。

以下是确定函数值域的一些常见方法：1.通过函数的图像确定值域：绘制函数的图像可以提供直观的视觉信息，从而判断函数的值域。

观察图像时，应注意图像的最高点和最低点，并确定图像是否有其他局部极值。

将图像在纵轴上的最低点标记为函数的下限，将图像在纵轴上的最高点标记为函数的上限，值域即位于这两个标记之间的所有值。

2.分析函数的定义域：分析函数的定义域有助于确定函数的值域。

对于连续函数而言，其定义域上的闭区间是一个可能的值域，并且函数在这个闭区间上取得了最大值和最小值。

对于分段函数，可以分别分析每个定义域的值域，并将所有的值域合并为最终的值域。

3.求导数和极值点：对于可求导的函数，可以通过求导数来找到函数的极值点。

对于单调递增的函数，值域可以由函数在定义域上的最小值和最大值确定。

对于有多个极值点的函数，取这些极值点的函数值组成的集合即可确定值域。

4.复合函数的值域：对于复合函数，可以通过分析内部函数和外部函数的值域来确定整个复合函数的值域。

首先确定内部函数的值域，然后将这个值域作为外部函数的定义域，进一步确定整个复合函数的值域。

5.分析函数的性质：对于特定类型的函数，可以通过分析其特定性质来确定其值域。

例如，对于多项式函数，可以通过观察多项式的次数和首项系数的符号来确定其值域的上限和下限。

需要注意的是，确定函数的值域并不总是一个简单的过程。

对于复杂的函数，可能需要运用多种方法来找到精确的值域。

此外，要注意在求值域时区分开区间和闭区间，并且要对可能的特殊情况进行分析。

总结起来，确定函数的值域可以通过分析函数的图像、定义域、导数和极值点、复合函数的值域以及函数的特性来进行。

这些方法可以帮助我们了解函数的输出结果的可能范围，并且有助于解决函数相关的问题。

例1、 求下列函数的值域: (1) (2) 5x -1 (3) x 2 -4x 3c 2 2x -x-1 (4) x 2 -8x 15 x 2 _x -6(5) 2x 2 4x 「7x 2 2x 3 第二节'、函数值域的求法： 求函数值域，必须首先确定函数定义域。

1、常规方法： （1）通过图像求值域： 适用于能画出图像的函数，女口 y =x 2 -2x • 3x 03 ； （2）配方法：对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解; 2 、分离常数法（分式） 例如“兗心），其值域为: a b A b c 门 关键： 1 •一且 0 a a ax +b 3、判别式法 2 适用于形如y=* 虬£，（ a 、印不全为零且分式不可约的式子）aix + bx + G 4、换元法：适用于无理数中含自变量的函数，如 y=x ・2・.1-x 注意：设t —.1 -x ，必须确定t 的取值范围。

5、对于一些复杂的或者复合函数，要逐层的求值域。

题型一、求一般函数的值域:(6) y =x .. 2x-1例2、求下列函数的值域。

(1)y =3 —4x , x三i 1,3丨；(2)y = x2 -4x 6, x 1,5 ；(3)3x -1"x1 ；(4) y = x 、1 -2x题型二、求复合函数的值域: 对于复合函数，要逐层求解，设内层函数为t，求出内层函数的值域，内层值域即外层函数的定义域，再利用函数性质求解。

例3、求值域： f (x) 3 ,x・2,5〕。

(逐层求解值域)i -2x例4、求f (x)二log i (x2-2x • 3)的值域。

(复合函数的值域)2二、函数的单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x i，X2，当x i<x2时,都有f(x i)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，反之为减函数。

专题2 函数的值域求法大盘点【举一反三系列】【考查角度1 配方法求值域】【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【分析】由二次函数的性质可知f （x ）当1≤x ≤2时，函数y 单调递减，结合二次函数的性质可求.【解析】解：22131()24y x x x =--+=-++，对称轴为12x =-， 故当1≤x ≤2时，函数y 单调递减，y max ＝﹣1﹣1+1＝﹣1，y min ＝﹣4﹣2+1＝﹣5，故函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域为[﹣5，﹣1]．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域． （2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域． （1）【分析】本题宜用分离常数法求值域，将函数2331x y x -=-+可以变为723331y x =-+-再由函数的单调性求值域．【解答】解：由题函数的定义域为1{|}3x x ≠ 2777(31)23222333331313313313x x y x x x x --+---===-+=-+≠--+-+-+- 故函数的值域为2{|}3y y ≠- （2）【分析】11()122x f x x x +==-++，化简后求值域． 【解答】解：11()122x f x x x +==-++， 又102x ≠+， 1112x ∴-≠+， 即()1f x ≠．则()f x 的值域为{|1}y y ≠．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y . （2）求函数321x y x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+． （2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x x y x x -=-+的值域． （2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．【考查角度3 换元法求值域】【例3】求2y x =-函数的值域：【分析】利用换元法，需要注意x 的取值范围．【解答】解：（1）换元法：令t =)0(≥t ，则22115152222()488y x t t t =+-=-+…815≥，当14t =时取等号， 故其值域为15[8，)+∞，【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．【考查角度4 判别式法求值域】【例4】利用判别式求函数231x y x x =-+的值域． 【分析】把函数化为2(31)0yx y x y -++=，利用判别式△0≥，求出y 的取值范围即可．【解答】解：函数231x y x x =-+， ∴当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为2(31)0yx y x y -++=，∴判别式△＝（3y +1）2﹣4y 2≥0，即5y 2+6y +1≥0；解得y ≤﹣1，或y ≥﹣51， 综上，函数y 的值域是{y |y ≤﹣1，或y ≥﹣51}．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．【练4.3】求函数的值域：22(3)(1)y x x x x =-+÷-+．【考查角度5 列分段函数求值域】【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【分析】由函数表达式知，0y >，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式， 在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．【解答】解：数形结合法：23|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x ---⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+⎩……)1()14()4(≥<<--≤x x x ∴5≥y ，∴函数值域为[5，)+∞．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩剟剟()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）； （2）y =（3）2y x =-+ （4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-； （2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--；（2）222()x x f x x x +=-；（3）()f x x =+（4）()2f x x =-；（5）221()1x f x x -=+；（6）()5f x x =-．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]； （2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-； （4）2211x y x -=+；（5）2y x =+6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．【试题解析与答案】【练1.1】已知二次函数y＝x2﹣4x+5，分别求下列条件下函数的值域：（1）x∈[﹣1，0]；（2）x∈（1，3）；（3）x∈（4，5]．【分析】先对解析式配方后求出对称轴，（1）判断出函数在[﹣1，0]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可；（2）判断出函数在（1，3）上单调性，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可；（3）判断出函数在（4，5]上递减，再求出最大值和最小值，写出函数的值域即可．【解答】解：由题意得，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，关于x＝2对称，如：（1）函数在[﹣1，0]上递减，则当x＝0时，y＝5．当x＝﹣1时，y＝10．即当x∈[﹣1，0]时，y∈[5，10]．（2）函数在（1，2]上递减，（2，3）上递增，则x∈（1，3）时，x＝2时，y最小值为1．当x＝1或x＝3时，y＝2．又∵x∈（1，3），∴点（1，2），（3，2）为虚点．∴当x∈（1，3）时，y∈[1，2）．（3）函数在（4，5]上递增，当x∈（4，5]时，x＝4时，对应值y＝5，（4，5）为虚点．当x＝5时，y＝10，（5，10）为实点．∴当x∈（4，5]时，y∈（5，10]．【练1.2】已知函数f（x）＝x2﹣4x+1，求函数y＝f[f（x）]的值域．【分析】本题采用配方法求值域．【解答】解：y＝[f（x）]＝f2（x）﹣4f（x）+1＝[f（x）﹣2]2﹣3＝（x2﹣4x+1﹣2）2﹣3＝（x2﹣4x﹣1）2﹣3＝[（x﹣2）2﹣3]2﹣3≥﹣3，∴函数的值域为[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）．【练1.3】求函数f（x）＝a2x2﹣2a2x+1在[﹣1，2]的值域．【分析】因不知道a是否为0，所以分a＝0和a≠0两种情况讨论，又因对称轴把区间分成两部分，再分别求出值域取并集．【解答】解：分a＝0和a≠0两种情况讨论，①当a＝0时，f（x）＝1，②当a ≠0时，f （x ）＝a 2x 2﹣2a 2x +1＝a 2（x ﹣1）2+1﹣a 2，对称轴x ＝1把区间[﹣1，2]分成[﹣1，1]，（1，2]两部分，在[﹣1，1]上函数f （x ）是减函数，∴f （﹣1）最大为（3a 2+1），f （1）最小为（1﹣a 2），在（1，2]上函数f （x ）是增函数，f （2）最大，而f （2）＜f （﹣1），综上所述，函数f （x ）＝a 2x 2﹣2a 2x +1在[﹣1，2]的值域为：[1﹣a 2，3a 2+1]． 【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域 （1）【分析】利用分离变量法求解．【解答】解：y2，∵x ≥1，2＜22， ∴y（x ≥1）的值域为（2，]． （2）【分析】对函数的解析式化简成y（1）的形式，根据函数的性质求得函数y 的范围．【解答】解：y •（1），∵0，∴y，即函数的值域为（﹣∞， ）∪（，+∞）． 【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+． （2）求函数225941x x y x ++=-的值域．（1）【分析】利用分离常数法，可将原函数的解析式化为y，进而根据0，可得y，进而得到函数的值域．【解答】解：∵y，∵0，故y，故函数y的值域为：{y |y}，（2）【分析】用分离常数法化简函数解析式为y ＝5，考虑分母不为0，即可求出函数的值域．【解答】解：∵y＝5，又x 2﹣1≠0，即x ≠±1，∴y ≠5且y；∴函数的值域是{y |y ≠5且y}．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．（1）【分析】本题考查二次了二次函数解析式的配方，求值域，分离常法求函数的值域．【解答】解：，∵（x ﹣1）2+2≥2∴，，∴， ，所以函数的值域为， ．（2）【分析】本题考查了采用分离常数法求函数的值域，分离常数后注意分母的取值范围．【解答】解：∵，又x 2+3≥3，∴，，即， ． ∴函数的值域是， ． 【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+（1）【分析】函数y ＝2x ﹣2 可得函数的定义域为， ．令 ，解得．转化为关于t的二次函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y＝2x﹣2可得函数的定义域为，．令，解得．∴y＝f（t）2+t f（0），∴函数y＝2x﹣2的值域为，．（2）【分析】由y＝x+5得：y﹣x﹣5，平方后整理得2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，根据判别式法，可得△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0，解得y的范围即为函数的值域．【解答】解：由y＝x+5得：y﹣x﹣5，故x2+y2+25﹣2xy+10x﹣10y＝﹣x2﹣2x+4，即2x2+（12﹣2y）x+y2﹣10y+21＝0，由△＝（12﹣2y）2﹣8（y2﹣10y+21）≥0得：y2﹣8y+6≤0解得：y∈[4，4]，故函数y＝x+5的值域为[4，4]．（3）【分析】换元法，设，则x＝1﹣t2，把函数化为关于t的函数，配方求出值域．【解答】解：换元法（代数换元法）：设，则x＝1﹣t2，∴原函数可化为y＝1﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函数值域为（﹣∞，5]．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+（1）【分析】整理原函数的解析式，利用换元法转化成二次函数，利用自变量的范围和二次函数的性质求得函数的值域．【解答】解：y2，设t，则0＜t ＜，则y ＝t 2﹣2t +2＝（t ﹣1）2+1，∴y max ＝f （0）＝2，y min ＝f （），∴函数的值域为（，2）．（2）【分析】由题意，可对分母配方，求出分母的取值范围，再令t ＝x 2﹣5x +4，则函数变为y，t，利用反比例函数的性质求出值域．【解答】解：由于， 令t ＝x 2﹣5x +4，则函数变为y，t；由反比例函数的性质知，y ∈（﹣∞，）∪（0，+∞）， 故函数y的值域为（﹣∞， ）∪（0，+∞）．【练3.3】求函数()f x的值域．【分析】利用换元法，设t，表示x，求出f（t）的值域即得f（x）的值域．【解答】解：设t，（其中t≥0）；∴x＝t2﹣4；∴y＝f（t），无意义，；∵t≥0，∴t+3≥3，∴0＜，又t≠3，∴y；∴f（x）的值域是（0，）∪（，]．【练4.1】已知x＞3，求函数y的值域．【分析】先将原函数整理成关于x的一元二次方程：2x2﹣yx﹣17+3y＝0，该方程有解，所以限制y为△＜，解该不等式组即得原函数的值域．【解答】解：由原函数得：2x2﹣yx﹣17+3y＝0；则该关于x的一元二次方程有解；则有△＜；解得；∴原函数的值域为[，+∞）．【练4.2】求函数的值域：．【分析】由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y ﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0有实数解，求y的取值范围”．【解答】解：判别式法：∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．由得：（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0①①当y﹣2＝0即y＝2时，①即3x+0＝0，∴x＝0∈R②当y﹣2≠0即y≠2时，∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2＝0恒有实根，∴△＝（y+1）2﹣4×（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，∴原函数的值域为[1，5]．【练4.3】求函数的值域：22(3)(1)y x x x x=-+÷-+．【分析】（1）当y＝1时，3＝1不成立；当y≠1时，原函数化为（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，利用判别式△≥0，注意但y≠1．求出y的取值范围即可；（2）把函数化为yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，利用判别式△≥0，注意但y≠0．求出y的取值范围即可．【解答】解：（1）∵函数y，定义域为R，∴当y＝1时，3＝1不成立；当y≠1时，原函数化为（y﹣1）x2﹣（y﹣1）x+y﹣3＝0，∴判别式△＝（y﹣1）2﹣4（y﹣1）（y﹣3）≥0，即（y﹣1）（3y﹣11）≤0，解得1≤y，但y≠1，综上，函数y的值域是{y|1＜y}．【练5.1】求函数的值域：y＝|x+1|﹣|2x﹣1|【分析】把函数y的绝对值去掉，化为分段函数，求出每一段上的函数值域，再求它们的并集即可．【解答】解：当x≤﹣1时，y＝﹣（x+1）+（2x﹣1）＝x﹣2，∴y≤﹣3；当﹣1＜x＜时，y＝（x+1）+（2x﹣1）＝3x，∴﹣3＜y＜；当x时，y＝（x+1）﹣（2x﹣1）＝﹣x+2，∴y；∴函数y，，＜＜，的值域是（﹣∞，﹣3]∪（﹣3，）∪（﹣∞，]＝（﹣∞，]；即函数y的值域是（﹣∞，]．【练5.2】已知函数f（x），，，求f（x）的值域．【分析】对每一段二次函数进行配方，即可求出f（x）在每段上的范围，从而求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）；∴0≤x≤3时，f（x）∈[﹣4，0]；﹣2≤x≤0时，f（x）∈[﹣8，0]；∴f（x）的值域为[﹣8，0]．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x=---<<的值域．【分析】通过讨论x的范围，从而得出函数的表达式，求出函数的值域．【解答】解：0≤x＜3时，y＝2x﹣4x﹣3＝﹣2x﹣3，﹣3＜x＜0时，y＝2x+4x﹣3＝6x﹣3，，∴函数的值域是：（﹣21，﹣3]．【趁热打铁】1.按要求求下列函数的值域：（1）y＝31（观察法）；（2）y（配方法）；（3）y＝2﹣x（换元法）；（4）y（分离常数法）．（5）y＝8÷（x2﹣4x+5）（判别式法）．【分析】根据所要求的观察法、配方法、换元法、判别式法、以及分离常数法即可求解本题．【解答】解：（1）函数的值域为[﹣1，+∞）；（2）y，∴该函数的值域为[0，]＝[0，]；（3）令，，则x，所以：；∴原函数的值域为（﹣∞，]；（4）y；∵，∴；∴该函数的值域为{y|y≠﹣2}．（5）∵y，定义域为R，∴当y＝0时，不成立；当y≠0时，原函数可化为yx2﹣4yx+5y﹣8＝0，∴判别式△＝16y2﹣4y（5y﹣8）≥0，即有y2﹣8y≤0，解得0≤y≤8，但y≠0．综上，函数y的值域是{y|0＜y≤8}．2．求值域：（1）y；（2）y；（3）f（x）＝x；（4）f（x）．【分析】（1）化简后用分离系数法求值域，（2）化简后用配方与分离系数法求值域，（3）用换元法求函数的值域，（4）先求定义域，再化简求值域．【解答】解：（1）y＝1（x≠2），∵x≠2，∴0且；∴函数y的值域为（﹣∞，0）∪（0，）∪（，+∞）．（2）y2，∴函数y的值域为[，2）；（3）令t，（t≥0）则f（x）＝x可化为y；即函数f（x）＝x的值域为[，+∞）．（4）f（x）的定义域为[﹣1，2]，f（x）∵0．∴；即函数的值域为[，]．3．求下列函数的值域：（1）f（x）＝2x2﹣3x﹣1；（2）f（x）；（3）f（x）＝x；（4）f（x）＝2x；（5）f（x）；（6）f（x）＝5﹣x．【分析】（1）由二次函数的图象与性质，先求出函数的最值，即得出值域；（2）分离常数，利用二次函数的判别式求出值域；（3）配方法，配成以为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；（4）配方法，配成以为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；（5）分离常数法，把函数f（x）化为1，求出的范围即得f（x）的值域；（6）换元法，设t，求二次函数在闭区间上的最值即得值域．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x2﹣3x﹣1是二次函数，图象是抛物线，且开口向上，∴f（x）有最小值是，∴f（x）的值域是[，+∞）；（2）∵y＝f（x）1，∵x≠0，∴y≠1；∴（y﹣1）（x2﹣x）＝3x，即（y﹣1）x2﹣（y+2）x＝0，判别式[﹣（y+2）]2≥0恒成立，∴函数f（x）的值域是{y|y≠1}；（3）∵f（x）＝x＝x+1 1＝﹣1，∴f（x）的值域是[﹣1，+∞）；（4）∵f（x）＝2x＝2（x+2）﹣4＝242×0，∴f（x）的值域是[，+∞）；（5）∵f（x）＝1，又x2+1≥1，∴0＜2，∴﹣1≤1＜1，∴f（x）的值域是[﹣1，1）；（6）令t，且t≥0；∴x（t2+1），∴y＝5（t2+1）+tt2+t0，∴f（x）的值域是（﹣∞，]．4．求下列函数的值域：（1）y＝x（2）y＝x+2（3）y＝x4+4x2+1（4）y＝6．【分析】分别对（1）（2）（3）（4）进行求解，分别求出它们的值域．【解答】解：（1）令t（t≥0），则：x，∴y t，∴函数的值域为[，+∞）；（2）令t（t≥0），则：x＝t2+1，∴y＝t2+1+2t＝（t+1）2≥1，∴函数的值域为[1，+∞）；（3）y＝x4+4x2+1≥1，∴函数的值域为：[1，+∞）；（4）∵5﹣4x﹣x2≥0，∴﹣5≤x≤1，令g（x）＝﹣（x+2）2+9，对称轴x＝﹣2，∴g（x）在[﹣5，﹣2）递增，在（﹣2，1]递减，∴x＝﹣2时，g（x）最大为9，x＝1，或x＝﹣5时，g（x）最小为0，∴，x＝﹣2时，y最小为3，x＝1或x＝﹣5时，y最大为6，∴函数的值域为：[3，6]．5．求下列函数的值域．（1）y＝3x+1，x∈[1，2]；（2）y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]；（3）y；（4）y；（5）y＝2x．【分析】（1）由观察法求值域；（2）由配方法求值域；（3）由分离系数法求值域；（4）由分离系数法求值域；（5）由换元法求值域．【解答】解：（1）∵x∈[1，2]；∴3x+1∈[4，7]；故y＝3x+1，x∈[1，2]的值域为[4，7]；（2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵﹣1≤x≤1，∴﹣8≤x2﹣4x﹣5≤0，故y＝x2﹣4x﹣5，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣8，0]；（3）y1；故y的值域为{y|y≠1}；（4）y1；∵0＜2，∴﹣1＜﹣11，故y的值域为（﹣1，1]；（5）令t（t≥0），x＝1﹣t2，y＝2x2（1﹣t2）+t＝﹣2（t）2，∵t≥0，∴﹣2（t）2；则函数y＝2x的值域为（﹣∞，]．6．求函数y＝|x+3|﹣|x﹣5|的值域．【分析】化简函数y＝|x+3|﹣|x﹣5|，，＜＜，，由分段函数求值域．【解答】解：y＝|x+3|﹣|x﹣5|，，＜＜，，则函数y＝|x+3|﹣|x﹣5|的值域为[﹣8，8]．。