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第2章优化设计

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优化设计模拟试题

优化设计模拟试题

第二章 优化设计模拟试题一、单项选择题1、优化设计的自由度是指（ ）。

A 、设计空间的维数B 、可选优化方法数C 、所提目标函数数D 、所提约束条件数 2、在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）。

A 、可行方向法 B 、复合形法 C 、内点罚函数法 D 、外点罚函数法 3、如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法为（ ）。

A 、梯度法 B 、变尺度法 C 、共轭梯度法 D 、Powell 法4、对于2个变量的函数F(X)的Hessian 矩阵是2×2的二阶偏导数矩阵，该矩阵是（ ）。

A 、三角矩阵 B 、对称矩阵 C 、非对称矩阵 D 、分块矩阵5、函数122214x x x )X (F -+=在点（2，0）处的梯度为（ ）。

A 、｛2，0｝ B 、｛0，0｝ C 、｛0，2｝ D 、｛2，2｝6、0.618法在迭代运算过程中，迭代区间不断缩小，其区间的缩小率在迭代运算过程中（ ）。

A 、逐步变小 B 、不变 C 、逐步变大 D 、不确定7、下列关于函数梯度的说法不正确的是（ ）。

A 、函数的梯度是标量B 、函数的梯度是矢量C 、函数值沿梯度方向变化最大D 、求函数的极小值时常沿负梯度方向搜索 8、一个单值、连续、可微的不受任何约束的一元函数F(X)，再x=x *点处有极小值的充分条件是（ ）。

A 、F ’(x *)=0 B 、F ’(x *)=0 , F ’’(x *)>0 C 、F ’’(x *)=0 D 、F ’(x *)=0, F ’’(x *)<0 9、多元函数F(X)在x *点附近一阶偏导数连续，则该点为极大值点的充分条件为（ ）。

A 、∇F(X *) =0B 、∇F(X *) =0 ，H(X *) 正定C 、H(X *)=0D 、∇F(X *) =0，H(X *) 负定10、黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。

第2章 优化方法的数学基础

第2章 优化方法的数学基础

X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0

优化设计的数学模型

优化设计的数学模型

—— —— —— —— —— —— ——
机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32

优化设计

优化设计

现代设计方法
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
x2
g 4 ( x) 0
最优解是等值线在函 数值下降方向上与可 行域的最后一个交点。
约束方程： g1 ( X ) 9 x1 4 x2 360 ＝0 g 2 ( X ) 3 x1 10x2 300 ＝0 g 3 ( X ) 4 x1 5 x2 200 ＝0 g 4 ( X ) x1＝0 g 5 ( X ) x2＝0
现代设计方法
（2）设计空间: n 个设计变量的坐标轴所形成的n维实
空间称为设计空间，用Rn表示。设计空间中，n 个设计
变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，
可采用如下向量表示：
x1 x 2 T X x1 , x 2 , , x n x n
(k )
S (k )
(k )
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k )
基本迭代公式
现代设计方法
由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所 下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和
步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向
该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近 该函数理论最优点的近似最优点 X* 。
hv ( x1 , x2 , x3 , , xn ) 0(等式约束)
现代设计方法
用“max、min‖表示极大、极小化，用“ s.t‖ 表示“满足于”，“m、p‖表示不等式约束与等式 约束的个数，则表示如下形式：
min(max)f ( X ) s.t.
X R
n
gu ( X ) 0 hv ( X ) 0
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

机械优化设计方法

机械优化设计方法

f
x

f
x*

1 2
x

x* T
G
x*
x

x*

∵ f x f x* 0
则极小点必须满足
x x* T G x* x x* 0
x*为无约束极小点的充分条件
其Hesse矩阵G(X*)为正定的。
多元函数f(x)在 x* 处取得极值，则极值的条件为
f x0 T
f x0
,
,...


x1
x2
xn

cos1
沿d方向的方向向量
d

cos

2

...
cos

n

即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为：
f (xk ) ，f (xk ) ，… ，f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
1
钢管所受的压力

第2章复合材料的界面和优化设计.

第2章复合材料的界面和优化设计.

第二阶段：聚合物的固化过程。固化阶段受第一阶段的影响，同时它也 直接决定着所形成的界面层的结构。如热固性树脂固化时的胶粒和胶絮。
界面层的结构包括：界面结合力的性质、界面层的厚度、界面层的组成和 微观结构。面作用机理
（1）界面浸润性理论
2.2 复合材料的界面
复合材料
郭连贵
湖北工程学院化学与材料科学学院
第2章 复合材料的界面和优化设计
石墨烯
掌握界面定义、组成 掌握界面的作用
掌握界面理论
掌握界面设计方法
了解界面表征方法
多壁碳纳米管
2
2.1 复合材料界面的概念
2.1 复合材料界面的概念
一、复合材料界面的定义
复合材料界面示意图
复合材料界面区成分比较复杂
不同界面结合强度断裂纤维周围基体形态模型
a. 弱界面结合状况 b. 界面结合适中状况 c. 界面结合过强状况
2.2 复合材料的界面
一、聚合物基复合材料的界面
1、界面的形成
第一阶段：基体与增强体的接触与浸润过程。在复合材料的制备过程中， 要求组份间能牢固的结合并有足够的强度，要实现这一点必须要使材料在 界面上形成能量最低结合，通常存在液态对固体的相互浸润。
一、聚合物基复合材料的界面
2、界面作用机理
（1）界面浸润性理论
2.2 复合材料的界面
（2）化学键理论
2.2 复合材料的界面
（3）扩散理论
2.2 复合材料的界面
（4）电子静电理论
2.2 复合材料的界面
（5）机械联接理论
2.2 复合材料的界面
（6）变形层理论和抑制层理论
2.2 复合材料的界面
关，也与复合材料各组分的浸润性、相容性、

2024-2025学年初中同步测控优化设计物理八年级上册配人教版第2章 声现象含答案

2024-2025学年初中同步测控优化设计物理八年级上册配人教版第2章 声现象含答案

2024-2025学年初中同步测控优化设计物理八年级上册配人教版第2章声现象第二章声现象第1节声音的产生与传播知能演练提升能力提升1.在如图所示的四幅图中,不能产生声音的是()2.在探究人耳怎样听到声音时,可以用肥皂膜模拟人耳的鼓膜。

如图所示,当喇叭发声时,肥皂膜将()A.振动B.静止不动C.一直向右运动D.一直向左运动3.下列关于声音的说法不正确的是()A.一切发声的物体都在振动B.振动的空气柱一定在发声C.在10 m2的小房间里说话听不到回声,是因为房间小,没有产生回声D.在同一宇宙飞船的太空舱内,两名宇航员可以直接对话4.同学们对“声音的产生和传播”有下面两种看法,请根据你的知识,对每种看法作出评论。

(1)“声音是由于物体的运动产生的”,评论:。

(2)“声音的传播速度是340 m/s”,评论:。

5.如图所示,敲响右边的音叉,左边完全相同的音叉也会发声,说明声音可以在中传播;还可以观察到紧挨音叉的塑料球弹起,说明声音是由产生的。

6.已知人耳区分两次声音的时间间隔为0.1 s以上,现有一根长为8.5 m的铁管,如果你将耳朵贴在铁管的一端,让另一个人去敲击一下铁管的另一端,则敲击声由空气传入你的耳朵需要 s,你会听到次敲打的声音。

(已知声音在空气中的传播速度为340 m/s,在铁中传播速度为5 200 m/s)7.观察下表,试写出两个与声音传播速度有关的结论。

一些介质中的声速v/(m·s-1)结论:(1)。

(2)。

探究创新★8.声音传播的速度和温度有关,下表是空气中声速随温度变化的数据:(1)请你在如图所示的坐标系中作出声速和温度关系的图像。

(2)请你根据所作图像找出温度为-5 ℃时声速为 m/s。

知能演练·提升1.C声音是由物体的振动产生的。

敲击水瓶琴,水瓶琴振动发出声音;真空罩中响铃的闹钟振动发声,只是声音没有被传播出来;关闭的立体声收音机,不会产生声音;吹响的哨子,里面的空气柱振动发声。

Kuhn-Tucker条件

Kuhn-Tucker条件
f x1, x2 4x12 5x22 的极值点坐标。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
h1 x, a1 g1 x a12 a x a12 0 h2 x,b1 g2 x b12 x b b12 0
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为：
f (xk ) ，f (xk ) ，… ，f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
f x0
f
x (0) 1
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即
对于二维函数 f x1, x2 在 x0 点处的梯度

第2章优化设计-2

第2章优化设计-2

（2-45）
上式中的搜索方向 S (k)
称为牛顿方向，
可见原始牛顿法的步长因子恒取： (k) 1 ，因此，原始牛顿法是一
种定步长的迭代过程。
牛顿算法对于二次函数是非常有效的，迭代一步就可达到极值点， 而这一步根本不需要进行一维搜索。
对于高次函数，只有当迭代靠近极值点附近，目标函数近似二次函 数时，才会保证很快收敛，否则也可能导致算法失败。
(2-57)
但其中的校正矩阵的计算公式为
A(k )

X
1
(
k
)
T

g (k )
{X
(k)

X
(
k
)
T


X (k)
X
(
k
)
T


g
(k
)
T

A(k )g (k )
X
(k)
T

g (k )

A(k )g (k )

X
(k
)
T

X (k )
g
BFGS法 的优点:
在于计算中它的数值稳定性强， 所以它是目前变尺度法中最受欢迎的一种算法。
2.5 约束优化方法
工程中的大量优化设计问题，都是约束优化问题， 这类问题的一般数学模型为：
min f ( X ), X Rn s.t.gu ( X ) 0u 1, 2, hv (X ) 0v 1, 2, ,
[X (k ) ]T g (k )
[g (k ) ]T A(k )g (k )
（2-54） （2-55）
式中: X (k) X (k1) X (k)
第 k 次迭代中前后迭代点的向量差 ；

优化设计第2章 优化设计

优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

工程设计优化管理办法(试行)

工程设计优化管理办法(试行)

优化设计管理办法（试行）第一章优化设计的原则第一条优化设计的原则是不降低设计标准、不影响使用功能并确保工程质量、合同工期、投资控制的目标。

第二章优化设计的内容第二条路线优化：在工程开工之前，根据设计文件和现场核查情况，对线路走向、纵坡、线位地质、工程结构物规模与数量、土石方数量、软基处理、路基填料及征地拆迁的类别与数量等项目进行统计分析、综合评估，通过线位方案比选，选定更为合理的路线方案。

第三条软土路基：通过现场挖深坑、触探等方法对照设计图进行地质核对，对设计漏探的位置进行补探、核对设计图中软基的深度、宽度、长度。

并根据核对的结果合理调整软基处理的范围及深度，或合理调整工程处理措施等方式的设计变更。

第四条路基防护：通过进一步的地质勘探与分析计算，对通过降缓路埑边坡取消挡护或更改防护类型，既能利用降坡土方填筑路基，又能起到生态防护的作用；挡护合并或增减挡护长度，高度等方式的设计变更。

第五条结构物的平面位置、标高、规模及数量的优化1.涵渠、通道位置与沟槽或既有道路是否吻合；涵渠出入口标高与路面、水渠流水面或水沟是否顺接，上游流水是否顺利兼顾；孔跨能否满足要求；有无沟渠合并或倒虹吸管改圆管涵的可能；立交与排洪或灌溉能否兼顾；有无涵渠合并或取消以及结构型式的改变的必要。

2.核对设计结构物地基承载力，并根据核对的结果，合理调整结构物基底处理方式或基础结构型式。

3.桥墩台位置是否避开道路或沟心，有无必要移位或调整交角角度；孔跨和净高能否满足要求；桩孔开挖方法是否变更；桩底标高是否合理；上部构造设计是否经济。

4.核对隧道的地质围岩级别是否与设计相符，并根据围岩级别的变化，合理调整施工临时支护措施及永久支护厚度等。

第六条采用新技术、新工艺、新设备，达到减少投资、加快速度、保证质量的目的。

第三章优化设计的提出第七条设计优化工作要贯穿工程建设的全过程，在通过实地调研、收集资料、研究论证和评审后。

总承包项目部、驻地办、总监办、设计单位、公司均可提出设计优化方案。

第2章 优化问题的数学模型及几何解释

第2章 优化问题的数学模型及几何解释
X(3) d X(2) d(1) X(1) d(0) X
(0) (2)
X d(k) X(k)
(k+1)
x k 1 x k k S k x1 x 2
k 1
x1 x2
k
k s1 s 2
x * (2,0)
f ( x* ) 0
约束方程所围成的可行域是D.
x2 ， g3(x)=0 g2(x)=0
2
g1(x)=0
min f ( x ) x12 x22 4 x1 4 s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0 g 2 ( x ) x12 x2 1 0
目标函数等值面

目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能 在 n + 1 维空间中描述出来。为了在 n 维设计空间 中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等 值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式 为： f ( x) c （c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如在 二维设计空间中，f (x 1 , x 2 ) = c 代表 x – x 设计平 面上的一族曲线。


（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工 作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量Ｇ等 作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。
[τ]


（3）注意独立变量和相关变量。
k
运用迭代法， 新点在可行域 内（可行性条 件）：
解释计算机计算的迭 代法。方向的表示。
运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都 应满足函数值下降的要求（适用性条件）：

第二章 优化设计

第二章 优化设计
max

l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即

机械优化设计阻尼牛顿法

机械优化设计阻尼牛顿法

目录第1章选择方法及思路 (1)1.1 概述 (1)1。

1.1 优化设计 (1)1。

1。

2 优化设计的思想 (1)1。

1。

3 优化设计的步骤 (1)1.2 优化设计的方法 (1)1.2。

1 分类 (1)1.2.2 常用的优化方法 (2)第2章阻尼牛顿法计算应用 (4)2。

1 阻尼牛顿法的计算步骤 (4)2。

2 阻尼牛顿法的程序框图 (5)2。

3 实例解析 (5)2.4 阻尼牛顿法的程序编程 (6)第3章总结 (9)第 1 章选择方法及思路1.1概述1。

1.1优化设计优化设计是一种规格化的设计方法,它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序,然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。

1。

1。

2优化设计的思想优化设计的指导思想源于它所倡导的开放型思维方式，即在面对问题时，抛开现实的局限去想象一种最理想的境界，然后再返回到当前的现状中来寻找最佳的解决方案.在管理学中有一句俗语,“思路决定出路，心动决定行动”.如此的思维方式有助于摆脱虚设的假象,这并非属于异想天开或者好高骛远的空想,而是强调一切从未来出发,然后再从现实着手.1。

1。

2优化设计的步骤一般来说，优化设计有以下几个步骤：1、建立数学模型2、选择最优化算法3、程序设计4、制定目标要求5、计算机自动筛选最优设计方案等1。

2优化设计的方法1.2.1分类根据讨论问题的不同方面，有不同的分类方法:1、按设计变量数量来分（1）单变量(一维)优化（2）多变量优化2、按约束条件来分（1)无约束优化（2）有约束优化3、按目标函数来分(1）单目标优化（2)多目标优化4、按求解方法特点（1）准则法（2）数学归纳法1。

2。

2常用的优化方法常用的优化方法：单变量（一维)优化，无约束优化，多目标函数优化，数学归纳法。

1、单变量(一维）优化（1）概述单变量（一维)优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法。

（2）具体优化方法1)黄金分割法（0。

数学高考总复习优化设计一轮-第2章-一元二次函数、方程和不等式-第1节等式性质与不等式性质【课件】

数学高考总复习优化设计一轮-第2章-一元二次函数、方程和不等式-第1节等式性质与不等式性质【课件】
D. a + b ≤ 2
解析 ∵a+b=1,∴(a+b) =1=a +b +2ab≤2(a +b ),∴a +b ≥
2
2
2
2
2
2
2
1
,当且仅当
2
1
a=b=2时,等号成立,故 A 正确;∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,
1
1
a-b
-1 1
∴2 >2 = ,故 B 正确;∵a+b=1≥2 ,∴ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,等号成
可开方性
a>b>0,n∈N,n≥2⇒

>


1 1
微思考对于非零实数a,b,如果a>b,是否一定有 <

提示 不一定.当 a>b>0
a>0>b
1
时,

>
1
.

1
时,一定有

<
1
,当

0>a>b
?
1
时,也一定有

<
1
,但当

常用结论
1.倒数性质:若 0<a<x<b 或
2.若
b
a>b>0,m>0,则a
例 1(1)(2024·山东日照模拟)若
A.a<b<cຫໍສະໝຸດ B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
1
a=2ln

优化设计 第二章(基本概念)

优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T

∂x1
∂x2

是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素

优化设计课程设计

优化设计课程设计

优化设计课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握优化设计的基本概念，理解其在现实生活中的应用。

2. 引导学生掌握优化设计的方法和步骤，能运用相关公式进行简单计算。

3. 培养学生运用优化设计提高工作效率和解决问题能力。

技能目标：1. 培养学生运用优化设计方法对实际问题进行分析、提出解决方案的能力。

2. 提高学生团队协作能力，学会在小组讨论中分享观点，倾听他人意见。

3. 培养学生运用信息技术手段，如计算机软件，进行优化设计的实践操作。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对优化设计学科的兴趣，激发学习热情。

2. 培养学生具有创新意识，敢于尝试新方法，勇于面对挑战。

3. 引导学生认识到优化设计在可持续发展中的重要性，培养环保意识。

课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。

学生特点：学生具备一定的逻辑思维能力和基础知识，对新鲜事物充满好奇心，喜欢动手实践。

教学要求：教师应采用启发式教学，引导学生主动探究，关注学生的个体差异，提高学生的参与度。

同时，注重理论与实践相结合，让学生在实践中掌握知识，提高能力。

通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，使其形成正确的价值观。

二、教学内容1. 优化设计基本概念：包括优化设计的定义、分类及其在实际生活中的应用案例。

教材章节：第一章“优化设计概述”2. 优化设计方法和步骤：介绍线性规划、非线性规划等基本优化方法及其解题步骤。

教材章节：第二章“优化设计方法”3. 优化设计计算实践：运用相关公式，针对实际问题进行优化计算。

教材章节：第三章“优化设计计算”4. 优化设计应用案例分析：分析典型优化设计案例，让学生了解优化设计在实际工程中的应用。

教材章节：第四章“优化设计案例分析”5. 团队协作与讨论：分组进行优化设计实践，培养学生团队协作能力和沟通能力。

教材章节：第五章“优化设计的团队协作与沟通”6. 信息技术在优化设计中的应用：介绍计算机软件在优化设计中的应用，并进行实践操作。

第2章 复合材料的界面和优化设计

第2章 复合材料的界面和优化设计
系数也比较大，复合后容易产生拉伸残余应力，而增强体（尤其是纤 维）多为脆性材料，其热膨胀系数也比较小，复合后容易出现压缩残
余应力。因而不能选用模量很低的基体与模量很高的纤维复合，否则
纤维容易发生屈曲。在选择金属基复合材料的组分材料时，为避免过 高的残余应力，要求增强体与基体的热膨胀系数不要相差太大。
界面的作用机理：
界面作用机理是指界面发挥作用的微观机理。
1、界面浸润性理论
浸润性是表示液体在固体表面上铺展的程度。 该理论认为，填充剂被液态树脂良好浸润是非常重要 的，若浸润不好会在界面上产生孔隙，易使应力集中而使 复合材料开裂，如果两组组分完全浸润，则树脂与填充剂 之间的黏结强度将超过基体的内聚强度。
价值、能否推广使用的一个极重要的问题。
界面效应既与界面结合状态、形态和物理--化
学性质等有关，也与界面两侧组分材料的浸润性、
相容性、扩散性等密切相联。
复合材料中的界面并不是一个单纯的几何面，
而是一个多层结构的过渡区域，界面区是从与增
强剂内部性质不同的某一点开始，直到与基体内
整体性质相一致的点间的区域。
31
4、扩散理论
复合材料的基体与增强材料间可以发生 原子或分子的互扩散或发生反应，从而形成反 应结合或互扩散结合。对于聚合物来说，这种 粘结机理可看作为分子链的缠结(如图所示)。
上述每一种理论都有一定的实验支待，
但每一种理论都有它的局限性，这是因为
界面相是一个结构复杂而具有多重行为的相。
二、金属基复合材料的界面
1、界面类型
类型
I类界面
基体与增强材料之 间既不相互反应，也不 互溶，这类界面微观是 平整的，而且只有分子 层厚度，界面除了原组 成物质外，基本上不含 其它物质。
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f ( xk )

d
cos[f ( xk ),d ]
f ( xk ) cos[f ( xk ),d ]
17
18
2.3.2 多元函数的泰勒展开式
x1 xk1
f (x)

f
(
x
k
)

[
f ( x x1
k
)
,
f ( x x2
k
)
,
,
f
(
x
k
)
]
x
2
xn
10
图2-4 二维目标函数的等值线
图2-5 旋转抛物面的等值线与极值点
11
2.2.4 优化设计的数学模型
优化设计问题的数学模型可表述为：在满足 约束条件的前提下，寻求一组设计变量，使目标 函数达到最优值。一般约束优化问题数学模型的 基本表达方式为
min f ( x)
s.t. hv ( x) 0
2
2.2 优化设计数学模型
2.2.1 设计变量和设计空间 设计变量是表达设计方案的一组基本
参数。如几何参数：零件外形尺寸、截面 尺寸，机构的运动学尺寸等；物理参数： 构件的材料、截面的惯性矩、固有频率等； 性能导出量：应力、应变、挠度等。设计 变量是对设计性能指标好坏有影响的量， 应在设计过程中选择，并且应是互相独立 的参数。

f xn
xk
cos n
16
cos1
f (x)


f
,
s xk x1 xk
f ,
x2 xk
,
f xn
xk

c
os
2


c

os
n


f
( xk )T d
f ( x) s xk
f ( xk )T d
规划问题，是确定迭代点 xk 为极值点的必要条
件，对于凸规划问题来说它同时也是充分条件。
32
33
使用K-T条件时，需要注意以下两点： （1）满足K-T条件的点是约束极值点，不一定是全局最 优点。但是对凸规划问题来说，K-T条件不仅是确定约 束极值点的必要条件，也是确定全局最优点的充分条件， 并且凸规划问题的K-T点是唯一的。

gu (x) 0
x D Rn v 1, 2,..., p u 1, 2,..., m
12
13
14
2.3 优化方法数学基础
2.3.1 梯度与方向导数 1．梯度
偏导数
f ( x) lim f (xk1, xk 2 ,L , xki xi ,L , xkn ) f (xk1, xk 2,L , xkn )
20
21
2.3.3 二次型与正定矩阵 如果n元二次函数中只含有变量的二次项，则称 为二次齐次函数，或二次型，记为
n
f ( x) aij xi x j x T Ax i, j1
22
矩阵A正定与否可以通过以下方法判别。
如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式都大于零， 则矩阵A为正定矩阵。即
✓一维搜索是多维搜索的基础。 ✓求解一维优化问题首先要确定初始的搜索区 间，然后再求极小值点。 ✓一维优化方法可分为两类： 直接法：按某种规律取若干点计算其目标函 数值，并通过直接比较目标函数值来确定最 优解； 间接法：即解析法，需要利用导数。
43
2.4.1 搜索区间的确定
• 搜索区间应当包含有目标函数的极小值 点，而且应当是单峰区间，即在该区间 内目标函数只有一个极小值点。
• 黄金分割法是直接寻优法，通过直接比 较区间上点的函数值的大小来判断区间 的取舍，这种方法具有计算简单，收敛 速度快等优点。
50
图2-18 搜索区间缩小的示意图
根据上述方法，可在新搜索区间里再取两
个新点比较函数值来继续缩小区间，但这样做
效率较低，应该考虑利用已经计算过的区间内
剩下的那个点。
51
2. 黄金分割法（0.618法）
f ( xk )x
xk
19
一阶泰勒近似展开式
f (x) f (xk ) f (xk )T x xk
二阶泰勒近似展开式
f (x)

f (xk ) f (xk )T x
xk
1 x
2
xk T 2
f (xk )x
xk
在优化设计中，经常根据上式把目标函数近似 地表示成二次函数以使问题得到简化。
的各阶顺序主子式的符号变化不符合以上两种规律，
则矩阵A为不定矩阵。
23
2.3.4 无约束优化的极值条件
24
25
2.3.5 凸集、凸函数与凸规划
26
（a） （b）
（c）
图2-6 凸集与非凸集
图2-7 一元凸函数图像
27
28
29
2.3.6 有约束优化的极值条件
（a）
b）
图2-8 目标函数与约束函数都是凸函数的极值问题
（2）拉格朗日乘子向量不一定唯一。
34
（a）
（b）
图2-10 二维优化问题只有一个起作用约束的极值情况
35
（a）
（b）
图2-11 二维优化问题有两个起作用约束的极值情况
36
（a）
b）
图2-12 多维优化问题有约束的极值情况
37
38
图2-13 例2-5图
39
2.3.7 数值迭代算法
x1 x0 0 s0
4
一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设 计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。
（a）
图2-1 二维平面与三位空间
（b）
设计变量个数称为自由度，自由度就越大，可
供选择的方案就越多，优化的难度就越大，计
算的程序也越复杂，计算量也越大。
5
2.2.2 约束与可行域
在优化设计中，为了得到可行的设计方案， 也必须根据具体要求，给设计变量加上种种限制， 这就是约束条件。
2 f (xk x1xn
)
x1

xk1

2 f (xk x 2 x n
)


x
2

xk2


2
f (xk
)


xn

xkn

x
2 n


f ( xk ) f ( xk )T x
xk
1 x
2
xk T 2
• 下凸单峰函数的性质：在极小值点左边， 函数值应严格下降。在极小值点右边， 函数值应严格上升。
44
单峰区间
45
• 进退法一般分两步：一是初始探察确定进 退，二是前进或后退寻查。
46
图2.16 前进运算
47
图2－17 后退运算
48
49
2.4.2 黄金分割法
• 黄金分割法是利用区间消去法的原理， 通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭 代都消去一部分不含极小值点的区间， 使搜索区间不断缩小，从而逐渐逼近目 标函数极小值点的一种优化方法。


xn

xk
2




xkn



2
f (x x12
k
)
1 2
[
x1

xk1, x2

xk2 ,
, xn

2 f (xk
xkn
]
x 2 x1
)


2
f
(xk
)
xnx1
2 f (xk ) x1x2
2 f (xk ) x22
2 f (xk ) xn x2
f ( x) f (x1, x2 , , xn )
求解优化问题的实质就是通过改变设计变量， 获得不同的目标函数值，通过比较目标函数值的 大小来衡量方案的优劣，从而找出最优方案。目 标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值， 在建立优化问题的数学模型时，一般将目标函数 的求优表示为求极大或极小。为规范起见，将求 目标函数的极值统一表示为求其极小值。
f ( x1 ) f ( x0 )
xk 1 xk k sk f ( xk1) f ( xk )
图2-14 一维搜索最小值点
40
（a）求无约束最优解的迭代过程 （b）求约束最优解的迭代过程 图2-15 二维优化问题的数值迭代求解过程示意图
41
数值迭代计算常用的终止准则有以下三种。 （1）点距准则。
a11 a12 a1n
a11 0,
a11 a12 0, , a21 a21
a21 a21 a2n 0
an1 an2 ann
如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号负正
相间，即所有奇数阶主子式都为负，所有偶数阶主子
式都为正，则矩阵A为负定矩阵。如果矩阵A的行列式
7
满足所有约束条件的方案点的集合称为可行区域，
简称可行域，用D表示。可行域内的方案点称为可行方 案点，简称可行点（或内点），否则称为不可行方案点
（或外点）。当方案点位于某个不等式约束的边界上时， 称为边界点。
图2-2 线性约束的可行域
3x1 2x2 12

x1 x1

2 x2 0

8
x2 0
8

g1
(
x)

x2 1

x2
1

0
g2 ( x) x1 x2 2 0
g3(源自x)x1