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第六节 不等式约束优化问题的极值条件
分析点x*在区间[a,b]上的极值条件,将会出现三种可能情况:
df ( x* ) 1)当a < x * < b时，因为此时µ1 = µ 2 = 0，极值条件为 =0 dx df df ( x* ) 2）当x * = a时，此时µ1 ≥ 0，µ 2 = 0，极值条件为 − µ1 = 0,即 ≥0 dx dx df df ( x* ) * 3）当x = b时，此时µ1 = 0，µ 2 ≥ 0，极值条件为 + µ 2 = 0,即 ≤0 dx dx
图中考虑两个约束g1(x)和g2(x)都起作用 的情况,并考虑在点xK处目标函数的 负梯 度-▽f(xK)时的图形.如果点xK是极值点,则 -▽f(xK)=µ1 ▽ g1(x*)+ µ 2▽ g2(x*),此条件 要求点XK一定要落在约束面g1(x)=0和 g2(x)=0的交线上,而且-▽f(xK)与▽ g1(x*) 和▽ g2(x*)应该线性相关,即三者共面.
µ1a1 = 0分析
此时,不是µ1 = 0, a ≠ 0就是µ1 ≥ 0, a = 0，当µ1 ≥ 0, a1 = 0时 g1 ( x ) = a − x = 0, 约束起作用,即为x = a的情况,当µ1 = 0, a ≠ 0时
g1 ( x ) = a − x < 0, 约束不起作用,即为x > a的情况, 这个分析结果可以表示为
µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0
此问题的极值条件是
dg 2 df ∂F ∂f dg1 = + + µ2 = − µ1 + µ2 = 0 ∂x ∂x dx dx dx ∂F = 2 µ1a1 = 0 ∂a1 ∂F = 2 µ1b1 = 0 ∂b1 ∂F = h ( x, a1 ) = g1 ( x ) + a12 = 0 ∂µ1 ∂F = h ( x, b1 ) = g 2 ( x ) + b12 = 0 ∂µ2
m ∂g j ∂F ∂f = +∑µj =0 ∂xi ∂xi j =1 ∂x j
(i = 1,2,⋯, n )
∂F = 2 µ j xn + j = 0 ∂xn + j ∂F 2 = g j ( x ) + xn + j ∂µ j
( j = 1,2,⋯, m ) ( j = 1,2,⋯, m )
(
)
µ1
｛
≥ 0, g1 ( x ) = 0为起作用约束，即 χ =a.
=0,g1 ( x ) ≤ 0为不起作用约束，即x>a.
这说明对于µ1和g1（χ）， 个 g 值， 可将µ1α1的条件写成µ1 g1（χ）=0 ）
Байду номын сангаас
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
同样µ2b1=0的分析结果可以表示为： ≥0，g2（χ）=0 =0为起 约 ， χ=b g µ
dg j df =0 +∑µj dx dx j∈J g j (x ) = 0( j ∈ J ) µ j ≥ 0( j ∈ J )
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
二、库恩-塔克条件 库恩 塔克条件
对于多元不等式的约束优化问题 f（x） s.t . gj（x）≤0（j=1，2，…，m） 同样可以应用拉格朗日乘子 （ ， ， ， ） 法导出相应的极值条件。为此，需要引入m个松弛变量
2
=0，g2（χ）＜0为不起作用约束 ，即χ＜b 因此，可以将µ2b1=0的条件写成 µ2g2（χ）=0 这样，对于一元函数f（x）在给定区间上的极值条 件，就可以完整的表示为：
dg1 dg 2 df dx + µ1 dx + µ 2 dx = 0 µ1 g1 ( x) = 0, µ 2 g 2 ( x) = 0 µ ≥ 0, µ ≥ 0 2 1
j =1
2 xn+
j
)
其中µ是对应于不等式约束的拉格朗日乘子向量µ=[µ1, µ2,… µj… µm]T,并有非负的要求,即µ≥0.
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
其中是对应与不等式约束的拉格朗日乘子向量 µ=[µ1 µ2 µj µm]T,并有非负的要求,即µ≥0,根据无约 束极值条件,在极值点处有:
(i = 1,2,⋯, n )
g j (x ) = 0
µj ≥ 0
(j∈J) (j∈J)
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
同样可以得到具有不等式约束的多元函数极值条 件，即：库恩.塔克条件。
m ∂f x* ∂g j x* +∑µj = 0 (i = 1,2, ⋯, n ) ∂x j j =1 ∂xi µ j g j x* = 0 ( j = 1,2,⋯, m ) µ j ≥ 0 ( j = 1,2, ⋯, m )
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
这样得到该问题的拉格朗日函数：
F ( x, a1,b1, µ1, µ2 ) = f ( x ) + µ1h1 ( x, a1 ) + µ2 h2 ( x, b1, )
= f ( x ) + µ1 ( a − x + a12 ) + µ2 ( x − b + b12 )
h1 ( x, a1 ) = g1 ( x ) + a12 = a − x + a12 = 0 h2 ( x, a1 ) = g 2 ( x ) + b12 = x − b + b12 = 0
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
拉格朗日乘子法不仅适于等式约束优化问 题，而且可以推广应用于不等式约束优化问题。 为了能应用拉格朗日乘子法来讨论此问题的极 值条件，需要引入松弛变量将不等式约束变成 等式约束
两个起作用约束
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
图b中，▽f（x）落在▽g1（x）和g2 图a中，▽f（x）落在▽g1（x）和g2 （x）张成的锥角之外，作出和- ▽f（x） （x）张成的锥角之内，作出和- ▽f（x） 垂直的过xk的目标函数等值面的切平面， 垂直的过xk的目标函数等值面的切平面， 把空间分成两个区域，当从包含- ▽f（x） 把空间分成两个区域，当从包含- ▽f（x） 的一侧移动时，将可使目标函数值减少， 的一侧移动时，将可使目标函数值减少， 但是这一侧有一部分是可行域（在图中这 但这一侧的任何一点都不落在可行域内， 样的区域是由f（x）=C和g2（x）=0 ）形 显然此时的xk就是约束最优点或局部最 成的，结果是既可以使目标函数值减少又 优点。 不破坏约束条件，所以xK，不是稳定的最 优点即它不是约束最优点或局部极值点。
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程上大多数优化问题都可以表示为不等式约束条件 的优化问题。 一、一元函数在给定区间上的极值条件 对于一元函数f（x）在给定区间[a,b]上的极值问题可以 写成下列具有不等式约束的条件的优化问题 minf（x） s.t. g1(x)=a-x≤0 g2(x)=x-b≤0
x = [xn +1, xn + 2, ⋯ xn + m , ]
T
使不等式约束gj（x）≤0（j=1，2，…，m），变成等式约束：
2 g j (x ) + xn + j = 0( j = 1,2,⋯ , m)
从而组成相应的拉格朗日函数： m F (x , x , µ ) = f ( x ) + ∑ µ j (g j ( x ) +
( )
( )
( )
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
引入起作用约束的下标集合
J x* = j | g j x* = 0 ,
( ) {
( )
( )
( j = 1,2,⋯, m ) }
库恩塔克条件又可以写成下述形式
∂f x* ∂g j x* +∑µj = 0 (i = 1,2, ⋯ , n) ∂xi j∈J ∂xi * g j x = 0 ( j ∈ J ) µ j ≥ 0 ( j ∈ J ) 将上述偏微分形式表示为梯度形式 ，得
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
对于同时具有不等式和等式约束的优化问题:
s.t. g j (x ) ≤ 0 hk ( x ) = 0 min f ( x )
( j = 1,2,⋯, m ) (k = 1,2,⋯, l )
库恩塔克条件可以表述为:
l ∂g j ∂hk ∂f +∑ + ∑ λk =0 ∂xi j∈J ∂xi k =1 ∂xi
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
引入起作用约束下标集合J(x)= ﹛ j|gj(x)=0,1,2 ﹜ 当 a<x*<b时两个约 都 起 ,故 J(x)= Φ(空集),µ1= µ2=0, 当x*=a时,第一个约束起作用,故有J(x)=﹛1﹜ , µ1≥0, µ2=0,当 x*=b时,第二个约束起作用,故有J(x)= ﹛2﹜, µ1=0, µ2≥0,.所 以:
( )
( )
∇ f x * + ∑ µ j ∇g j x * = 0 − ∇f x * = ∑ µ j ∇g j x *
j∈J
( )
( )
j∈J
( )
( )
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
库恩塔克条件的几何意义是，在约束极小点x*处，函 数f（X）得负梯度一定能表示成所有约束在改点梯度（法 向量）得非负线性组合。
![[工学]机械优化设计孙靖民主编课件](https://img.taocdn.com/s1/m/091480d44afe04a1b071de94.png)
