第四节幂级数

lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0
n0
x 0
an
x
ndx
an xn1 ( R x R)
x x0 的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式
x x0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
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证
设
an xn 收敛,
n0
则必有
lim
n
an
x0n
0,
于是存在
常数 M > 0, 使 an x0n M (n 1, 2, ).
l
lim n n
an
lim n n
所以收敛半径为 R 0, 收敛区间和收敛域都仅包含一个点
x 0.
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注3 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是
对 标准幂级数
an xn a0 a1 x an xn
n0
而言的; 但形如
an ( x x0 )n , an x2n , an x2n1
域及和函数.
解 幂级数 xn 是以 x 为公比的几何级数, 由几何级数的
n0
敛散性知, 当 x 1时, 级数 xn 收敛; 当 x 1 时, 级数
n0 5
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xn 发散. 因此, 幂级数 xn 的收敛域为(-1, 1).
n0
n0
对于任意 x ( 1,1)，幂级数 xn 的部分和
n1
若用 Sn ( x) 表示函数项级数前 n 项的和, 即
n
Sn ( x) uk ( x)
k 1
4
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令余项 rn ( x) S( x) Sn ( x)
则在收敛域上有
lim
n
Sn (
x)
S(
x)
,
lim
n
rn
(
x)
0
例1 求函数项级数 xn 1 x x2 ... xn ... 的收敛 n0
an xn 敛散性待定.
n0
则幂级数 an xn 的收敛区域为 n0
x 1 即 ( 1 ,1)
l
ll
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即是一个以原点为中心, 以 1 长为半径且有可能包含
l
端点 1 的区域.
l
发散
敛散待定 绝对收敛
敛散待定
发散
1ο
ο
0
1
x
l
l
由此得到定理:
定理9 幂级数 an xn 的系数满足: n0
1. 幂级数的四则运算性质
若幂级数 an xn 的收敛半径为R1, 幂级数 bn xn 的收敛
n0
n0
半径为R2, 且R min{R1 , R2 }, 则在区间 (R, R) 内
(an bn )xn 收敛, 且当 x (R, R) 时, 有
n0
(an bn )xn an xn bn xn
的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]外发散;
R 称为收敛半径, (－R , R ) 称为收敛区间.
当 x R 与 x R 时, 幂级数 an xn可能收敛也可能发散. n0
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
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三. 幂级数的基本性质
讨论幂级数的性质, 指的是幂级数 an xn 的和函数S(x) 的 n0
性质. 同一般函数类似, 幂级数也有加减乘、微分与 积分等 运算性质. 在求解具体问题时, 这些运算 性质起着十分重要 的作用.
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(3)将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量
代换中去, 求出原级数的收敛区域. 或用正项级数的判断方
法去判断 un( x) 的敛散性. n0
例5
求
n0
(2n)! (n!)2
x2n
的收敛半径、收敛区间和收敛域.
解 因为该级数缺奇次幂, 所以不能用系数比的极限求收
敛半径, 直接用正项级数的比值法求收敛区间.
n0
Sn ( x) 1 x x2 ... xn1
1 xn
1 x
并且
lim
n
Sn (
x)
1 1x
1
于是, 幂级数
xn 在(-1,1)上收敛于和函数 1
. x
n0
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在函数项级数中, 有一类十分特殊的级数, 它的每一项 都是 x 的幂函数, 即
un an xn (n N )
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规定 (1) 幂级数只在 x = 0 处收敛, R = 0, 收敛区间 x = 0;
(2) 幂级数对一切 x 都收敛, R , 收敛区间 (, ).
如何确定幂级数 an xn 的收敛半径? n0
若幂级数
an xn 满足
n0
lim
n
an1 an
l
且
lim un1( x) n un ( x)
n 5(n 1)
故原级数收敛半径为 R 1.
故当
t
x 1 1 时,
级数
(1)n1
n1
( x 1)n 5n
绝对收敛.
当 t x 1 1时, 级数 (1)n1 ( x 1)n 发散.
n1
5n
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而 当 t x 1 1 时,
原级数为交错级数
n0
n0
n0
注5 两个收敛的幂级数在它们较小的收敛区间上可以逐
项相加.
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2. 幂级数的和函数的分析性质
(1) 设幂级数 an xn 的收敛半径为 R, 则其和函数 S( x)在 n0
(R, R)内连续．
注6 此性质说明极限符号 lim 与无穷和符号 ∑ 可交换,
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假
设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切满足不 等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
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由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为中心 n0
n0 n 1
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l
a n n1
(2)判断x =±R时, 幂级数 an Rn和 an (R)n 的敛散性;
n0
n0
(3)写出幂级数 an xn 的收敛区域. n0 16
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例2
求幂级数 (1)n1
xn
的收敛半径、收敛区间和收敛域.
n1
n
解
an (1)n1
1, n
因为 l lim an1 a n
例3
求幂级数 xn n1 n!
的收敛半径、收敛区间和收敛域.
解
设
an
1 ，因为 n!
l
lim
n
an1 an
lim 1 0
n n 1
所以收敛半径为 R 1 , l
收敛区间为 (,).
故原级数收敛域为 (,).
例4 求幂级数 nn xn的收敛半径、收敛区间和收敛域.
n1
解
设 an
nn，因为
lim an1 a n
n
l(或 lim n n
an
l)
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(1) 当0 l 时，R 1 ; l
(2) 当l 0时，R ;
(3) 当l 时，R 0.
注2 求幂级数 an xn 的收敛域的步骤是: n0