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第三章 空间向量与立体几何一、空间向量1.在空间既有 ，又有 的量叫空间向量.空间向量用 表示. 平行四边形法则和三角形法则例如：1.若a 与b 共线，b 与共c 线，则a 与c 共线 ( )2.已知A(1,2，-3)，B （3，-4,5），向量AB 按照 =（-1,2,4）平移后得到向量AB 为 .3.化简=+-MN PN PM . =+++ .4.在长方体AC 1中，化简=-+-+-B A B A B B C B DB DA 11111 .在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则)(21BC BD AB ++= .二、 两个向量共线,共面1.非零向量21,e e 不共线，若21e e k +与21e k e +共线，则k ＝______．2.若O 为直线MN 外一点，且 ON OM OP μλ+=，若P,M,N 共线，则μλ+= 。
3.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外任一点O ，有OM 414321-+=， 则A 、B 、C 、M ______(共面、不共面)4.已知A 、B 、C 、D 四点满足任三点不共线，但四点共面，且O 是平面ABCD 外一点，.432,432=++⋅+⋅+⋅=z y x DO z CO y BO x OA .三、空间基底及应用平面内，不共线的两个非0向量可以作为一组基底； 空间中，不共面的三个非0向量可以作为一组基底。
设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c 是空间的一个基底，给出下列向量：（1）a,b,x (2)x,y,z (3)b,c,z (4)x,y,a+b+c 其中可以作为空间基底的为 . ⒈已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若,3211C z y x AC ++=则x ＋y ＋z ＝( )A ．1B ．67 C ．65 D ．322.平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，设,,,O ='==G 为BC ′的中点，用a ，b ，c 表示向量OG ，则OG ＝ .3.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0===⋅⋅⋅AD AB AD AC AC AB ，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定4.已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，则对角线AC 1的长是______，=⋅11BD AC .5.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD,AC ⊥BD,则<⋅>= . 四、向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ； ⑶λa ＝ ()R λ∈； ⑷a ·b ＝ . 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴ a //b ⇔a ＝λb ⇔ ； ⑵ a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ ． 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，｜a ｜＝.（5）向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ， 则AB ＝OA OB -＝222(,,)x y z －111(,,)x y z ＝这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则A B d =、A B d 、表示A 与B 两点间的距离．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5五、向量的数量积a ·b ＝ = .由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ = ,><,cos = .＜a ,b ＞的范围是 ，＜a ,-b ＞与＜a ,b ＞的关系是 。
