反比例函数的图像和性质(课件)

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反比例函数的图像和性质课件

曲线运动问题
通过给定物体的速度和运动轨迹的曲率半径，利用反比例关系求解物体在不同位置的速度。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
通过给定溶液的初始浓度和稀释后的体积，利用反比例关系求解稀释后的浓度。
溶液混合问题
通过给定两种不同浓度的溶液的体积和浓度，利用反比例关系求解混合后的浓度。
物质溶解问题
通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。
平行四边形面积问题
03
通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关
系求解另一组对边的长度。
速度问题建模与求解
01
02
03
匀速直线运动问题
通过给定物体的速度和运动时间，利用反比例关系求解物体运动的距离。
变速直线运动问题
通过给定物体的加速度和运动时间，利用反比例关系求解物体在不同时间点的速度。
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函数在其定义域内总是连续的，且在其定义域内没有极值点。
02
03
04
函数图像关于原点对称。
2
反比例型复合函数图像
反比例型复合函数的图像形状和位置取决于 $f(x)$ 的性质和取值范围。一般来说，其图像可能不再是双曲线，但仍然具有一些反比例函数的特性。
3 反比例型复合函数性质
反比例型复合函数具有一些特殊的性质，如单调性、奇偶性等，这些性质与 $f(x)$ 的性质和取值范围密切相关。在实际应用中，需要根据具体情况进行分析和判断。

反比例函数图像和性质ppt课件

反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系中绘制，通过选择不同的 k 值，可以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的有限区域，呈现出双曲线的形状，随着 x 的增大或减小，y 的值会无限接近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效成反比关系，即当药物剂量增加时，药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果成反比关系，即当训练强度增加时，训练效果可能会减弱。

反比例函数图象与性质讲课课件

多角度思考
从不同的角度思考反比例函数的问题，有助于培养思维的灵活性和创造性。
学习建议
注重基础
在学习反比例函数时，要注重基础知识的学习，如定义、形式、性质等。
多做练习
通过大量的练习，加深对反比例函数的理解和掌握，提高解题能力。
及时反馈
在学习过程中，要及时反馈自己的学习情况，找出自己的不足之处，以便及时调整学习方法和策略。
偶函数
反比例函数不是偶函数，因为对于任意$x$，没有$f(-x)=frac{k}{x}=f(x)$。
03
反比例函数的实际应用
解决实际问题
电流与电阻的关系
在电路中，电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减小；反之，当电阻减小时，电流增大。这一规律在分析电路问题时经常用到。
压强与高度的关系
在一定条件下，压强与高度成反比关系。例如，在海拔较高的地区，空气稀薄，压强较小，人体会出现高原反应；而在海拔较低的地区，空气稠密，压强大，人体感觉较为舒适。
方式。
04
反比例函数与其他知识点的联系
与一次函数的联系
斜率关系
反比例函数在x趋向于无穷大或无穷小时，其斜率与一次函数的斜率相等。
截距关系
当反比例函数的x为0时，其y值也为0，这与一次函数的截距性质相同。
与二次函数的联系
极值点
反比例函数在x=0处取得极小值，这与二次函数开口向上的情况类似。
反比例函数的解析式
反比例函数的图像
在平面直角坐标系中，反比例函数的图像位于第一象限和第三象限，呈双曲线状。
一般形式为$y = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）。

反比例函数的图像
01

反比例函数的图像和性质ppt课件

7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎

反比例函数的图像和性质ppt课件

增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试

y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较

反比例函数图像和性质ppt课件

当k<0时，y随x的增大而增大.
活动3：探究反比例函数y k （k ）0 中k值与其图象的关系
x
1.反比例函数
y
5 x的图象大致是（
y
）D
y
A.
o
x
B.
o x
y
y
o
C.
x D.
o x
2.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( C )．
A. y m x
B. y m 1 x
c.
m2 1 y
复习提问
1. 上节课我们学的反比例函数解析式是什么？ y = k （k ≠0，k是常数）
x
自变量x的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？
x≠0
，y≠0
2. 下列函数中哪些是反比例函数？
① y = 3x-1
② y = 2x2
③
y =(
1 x
) -1
④y
=
m x
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦
y
=
x
k>0
k<0
图象
当k＞0时，函数图象
性
的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个
象限内，y随x的增大
而减小.
当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大
而增大.
布置作业
1、教科书第 6 页练习； 2、教科书习题 26.1 第 3 题． 3、作业本第59页。
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
练一练
4.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) C(4,y3)

反比例函数的图像与性质课件

理解反比例函数在几何上的含义和意义。
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。

反比例函数的图象和性质课件

函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限的，即反比例函数图像上存在无穷多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或减小，y的值会趋近于无穷大或无穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用于描述商品价格与市场需求之间的关系，通过分析反比例函数的特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的关系可以用反比例函数描述，通过分析反比例函数的特性，可以解决与磁场和电流相关的问题。

26.1.2反比例函数的图像和性质课件(共31张PPT)

(1)y 2 (2)y 2x
3x
3
(5)y 2x 3
(3)y 2 3x
(4)y 2x 3
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（A）y=5x （B）y=2x+3
（C） y 4 x
（D） y 3 x
练一练 2
已知反比例函数 y 4 k x
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
-4
-5
再让我们仔细看看，这两个
-6
函数图象在位置上有什么关系？
操作二：
比一比：
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或
x
x
的图象，看谁画得又快又好．
y 3,y3
x
x
找一找：根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
增减性当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； ⑵反比例函数 y 与k
x
轴对称。
y 的 k图象关于x轴对称,也关于y
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x

27.2 反比例函数的图象和性质 - 第1课时课件(共18张PPT)

解：（1）把点P（-6，8）的坐标代入，得 .解得k=-48.所以这个反比例函数的表达式为 .（2）当x=4时，y=-12.当x=2时，y=-24≠24.所以，点M（4，-12）在这个反比例函数的图像上，点N（2，24）不在这个反比例函数的图像上.
课堂巩固
1. 下列图象中是反比例函数的是（）.
C
.
（-3，-4）
拓展提升
1.如果一个正比例函数图象与反比例函数的图象交于A( ),B( )两点，那么( )( )的值为_____.2.在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线交于A，B两点.若点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2的值为 .
第二十七章反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质第1课时
学习目标
1．会用描点法画出反比例函数的图像.2.了解双曲线的定义.
学习重难点
理解并掌握画反比例函数的图像的方法.
重点
难点
理解反比例函数性质.
回顾复习
1.反比例函数
2.一次函数、二次函数的图象
一次函数的图象是一条直线.
二次函数的图象是一条抛物线.
24
0
课堂小结
描点法画反比例函数图像的步骤：列表、描点、连线反比例函数（k 为常数，k ≠ 0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线. 反比例函数的图像关于直线y=±x对称，关于原点成中心对称.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
它们的图像都由两条曲线组成；都关于y=±x对称，关于原点成中心对称；同时都与坐标轴不存在交点，且图像无限贴近坐标轴.
归纳总结
反比例函数（k 为常数，k ≠ 0）的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成已知点P（-6，8）在反比例函数的图像上.（1）求这个反比例函数的表达式.（2）判断点M（4，-12）和N（2，24）是否在这个反比例函数的图像上.

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x
y随x的增大而__减__小_____.
4、已知反比例函数 y 4 k 的图象位于第一三象
x
限，则k______;
5、反比例函数y= k （k≠0）的图象过点P(-3，2) 则它的图象所在象限x 是（ C ）象限。
A 一、三 B 三、四 C 二、四 D 一、二
6.反比例函数 y k 2 1 （K为常数）图象位
用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的图
象大致是（ D）
y
y
A：
x
B：
x
y
y
C：
x
D：
x
3.函数y=kx-k
与
y
=
k x
k
≠
0在同一条直角坐
标系中的图象可能是 D :
y
y
y
y
ox (A)
ox (B)
ox (C)
ox (D)
4、若k1k2＜0，则函数y=k1x与y=
k2 x
在同
一坐标系中的图象大致为（ B ）
-1
-2 -3
-4 -5
-6
以函数 y 4 x
和 y4 x
的函数图象为例来研究反比例函数的性质
反比例函数的图象和性质
y4 x
-10
-5
y4
x
反比例函数的图象是
由两支双曲线组成的.
因此称反比例函数的
图象为双曲线;
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
x
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
x
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数，
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如
yk x
(k是常数,k≠0)的函数,
叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函
数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实
数.
反比例函数的三种表达式：
① yk x
② y kx1 ③ xy k
1、过点（2，5）的反比例函数的解析
式是：
y 10 x
于（ C ）
x
Ａ．第一、二象限Ｂ．第一、三象限
Ｃ．第二、四象限 பைடு நூலகம்．第三、四象限
数形结合
已知点A(2,y1)， B（5,y2)是C（反-比3,例y3函)是数象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
y

4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
质
一、三象限，在每个二、四象限，在每个象限内，y随x的增大象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
练一练 1
1、函数
y

20
x
的图象在第_一__、__三___象限,
2、函数 y 30 的图象在第_二__、___四__象限,
x
在每一象限内，y随x的增大而___增__大____.
3、函数 y ,当x>0时,图象在第_一___象限,
A：
B：
C：
D：
课堂小结
谈谈你这一节课的收获
复习回顾反比例函数的性质 1.当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象
限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
2. 双曲线不过原点且与两坐标轴永
不相交，但无限靠近x轴、y轴.
4
３、y随的x变化有怎
样的变化？
2
5
10
-2
当k>0时,两支双曲线分
-4
位于第一,三象限内; -6 当k<0时,两支双曲线分别
位于第二,四象限内;
-8
反比例函数的图象和性质：
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图象
当k＞0时，函数图象当k＜0时，函数图象
性的两个分支分别在第的两个分支分别在第
.
2、一次函数y=2x-1的图象
是一条直线，y随x的增大而增大.
3、用描点法作函数图象的步骤：
列表，描点，连线
_______________________________
26.1.2 反比例函数的图象和性质
教学目标
1、明确反比例函数图象的作法 2、根据图象得出反比例函数的性质
例 1 画出反比例函数y =
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
-1 1 2 3 4 5 6 …
-6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y
6
5
y =-
6 x
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
6 x
的函数图象。
函数图象画法
描点法
列表
描点
和y=
6 x
连线
x
y
=
6 x
y=
6 x
注意：①列表时自变量取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x … -6 -5 -4 -3 -2
y
=
6 x
…
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
y=
6 x
…
1
1.2 1.5
2
3
y
6
5
4 3
y
=
6 x
3. 反比例函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是原点，有两条对称轴.

反比例函数的图像和性质(课件)

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