2009.2.23第66讲离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着整结果变化而变化的变量称为鰹壁(2)表示法:随机变量常用字母X，丫，f，〃，…表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列岀的随机变量，称为离散型随机变量.3.分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为兀1，兀2，…，5X取每一个值Xi(i=l,29…,兀)的概率P(X=Xi)=p i9以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的含鯉4.分布列的性质(1”NO, Z=1,2,3 n1=15.两点分布称分布列为两点分布列•若随机变量X的分布列为一两点分布列，就称X服从两点分布，并称“=P（X=1）_为成功概率.6.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（x=k）= _______ 鱼,疋=0,1,2, •••, m,其中/w=min{M, n}9且MWN, n, M, NwZ.称分布列为超几何分布列•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X月艮从_超几何分布【冷考龜鰹】离散型随机变量［例1］写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件, 可能含有的次品的件数X是随机变量;⑵一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个,其中所含白球的个数e是一个随机变量.［解］⑴随机变量X可能的取值为：04,2,3,4. {X=0},表示抽出0件次品；{X=l},表示抽出1件次品；{X=2}f表示抽出2件次品；{X=3},表示抽出3件次品；{X=4},表示抽出的全是次品.(2)随机变量可能的取值为：04,2,3.K=o},表示取出o个白球, 3个黑球; 忙=1},表示取出1个白球, 2个黑球; K=2},表示取出2个白球, 1个黑球; K=3},表示取出3个白球, 0个黑球.这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.［对点训练］判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量?⑴天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数;(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数;(3)某林场的树木最高达30 m,在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长.解：⑴接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量.(2)被抽取的卡片号数可以一一列岀，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量.(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值,无法一一列岀，不是离散型随机变量.(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm,为定值，不是随机变量•［例2］设随机变量X的分布列为比=|)=吨=1,2,3,4,5).⑴求常数"的值;(3)⑵求P\X^(1 7)⑶求缶＜Xv討55［解］⑴由P\^=i =必仇=1，2,3,4,5),可知工=》ak=I »丿k=l ' 丿k=\a+2a+3a+4«+5a = l,解得"=在］A k 3\ 3\(2)由⑴可知片X=j=左仇=1，2,3,4,5),所以P\X^^=P\X=^(4)3454+申可+P("1)在+計后p(1 7〕r n f 2)⑶％＜Xv帀=p+P3)+忙沪ii+4+4=在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可1 = 1,2,…，n；n(2)2j?z=l.1=1［对点训练］若离散型随机变量X的分布列为:试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知: P(X=O)+P(X=1)=1,1亠 2 即9C2-9C+3=1,得C=3或C=y(9C2-C^0,又因为〔3-8CM0,13 1解得所以C=y:型三离散型随机变量的分布列［例3］放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.［解］设黄球有«个，则由题意知绿球有2n个，红球有4〃个，球的总数为7〃个.X的可能取值为一1,0,1.In 2所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为-101P 271747n 1 4n 4［类题通法］求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写岀分布列.［对点训练］某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.题型四超几何分布的应用解：将O, A, B, 4B四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.De C；o 2 C%4P(X-l)-c i -^, P(X-2)-c i s-15，P(X=3)=^=余’P(X=4)=^=l故其分布列为［例4］在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张, 每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.题型四超几何分布的应用［解］（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.cl 4 22 3则P（X=O）=I—P（X=I）=I—因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=虫苧②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 15 1 45_3‘ C}CJ 6 2 p(Y=50)=^=-=-c{cl 3 1p （y=io ）=^^= 5o 18_2 45=5, 尸(丫=20)=琴目= 5o 3 1 45一15’P(Y=60)=~^2^=5o45 15*此随机变量F的分布列为［类题通法］解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型.［对点训练］从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3 件，求取得次品数为X的分布列.解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N =15, M=2, w=3, X可能的取值为0丄2湘应的概率依次为所以随机变量X的分布列为【條対反績】1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为y,则丿所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 7D. 6解析：y的可自老取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.答案：c2. 一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为答案：BP(X=1)=^^=5o 16 45*28 A -- 入4517 D 453.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a, b, c成等差数列，且c=ab,则这名运动员得3分的概率是 ____________解析：由题中条件，知2b=a+c f c=ab,再由分布列的性质, 知a+方+c = l,且a, b, c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得"=£，方=扌’c=£,所以得3分的概率是”.答案応尖向上的概率为0.8,随机变量X 的分布列为 解析：随机变量X 服从两点分布，KP(X=0)+P(X=l)=l, 由 P(X=l)=0.8,可得 P(X=0) = l-0-8=0.2,故可写出 X 的分布列・ 答案:5.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件 产品中的次品数，求X 的分布列.4.在掷一枚图钉的随机试验中，令％=1(针尖向上), 0(针尖向下)，如果针解：由题意知，X服从两点分布，p(x=0)=^F=^, ~ 99 1所以P(X=1) = 1—硕=硕・所以随机变量X的分布列为。

离散型随机变量及其分布列教案离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。

离散型随机变量通常用来描述一些试验的结果，例如抛硬币的结果，掷骰子的结果等。

在教学过程中，可以通过引入离散型随机变量教授概率论的基本概念和计算方法。

以下是一个关于离散型随机变量及其分布列的教案：教学目标：1.了解离散型随机变量的定义和特点；2.掌握计算离散型随机变量的分布列；3.学会使用分布列计算期望值和方差。

教学内容：1.离散型随机变量的定义和特点：-定义：离散型随机变量是指在其中一区间内取值有限或可列无限个的随机变量。

-特点：离散型随机变量的取值是可以数清的，不能取到区间之外的值。

2.离散型随机变量的分布列：-分布列是用来描述离散型随机变量各个取值的概率的表格或公式。

-分布列的特点：各个取值的概率之和为13.离散型随机变量的期望值和方差：-期望值是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积之和。

表示为E(X)。

E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn- 方差是离散型随机变量各个取值与其相应概率的乘积减去期望值的平方之和。

表示为Var(X)。

Var(X) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn教学步骤：Step 1：引入离散型随机变量的概念通过实际例子引入离散型随机变量的概念，例如掷骰子的结果就是一个离散型随机变量。

Step 2：介绍离散型随机变量的定义和特点详细介绍离散型随机变量的定义和特点，并与连续型随机变量进行对比。

Step 3：讲解离散型随机变量的分布列解释离散型随机变量分布列的含义，给出分布列的例子，并教授计算分布列的方法。

Step 4：演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差从分布列的角度出发，演示如何计算离散型随机变量的期望值和方差。

Step 5：练习和巩固提供一些练习题，让学生通过计算离散型随机变量的分布列、期望值和方差来巩固所学知识。