2020年暑假高二数学补习题 (8)-0715(解析版)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

2020年高二暑假数学补习训练题 (14)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合A ={0,2}，B ={x ∈N|x <3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2. 复数11+i =( )A. 12−12iB. 12+12iC. 1−iD. 1+i3. sin20π3=( )A. −√32B. √32C. −12D. 124. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法( )A. 10种B. 16种C. 25种D. 32种 5. 函数f(x)=3x −√x+16的零点所在区间是( )A. (O,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 6. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( ) A. b <a <c B. a <b <c C. c <a <bD. b <c <a7. 用min{a,b}表示a ，b 两个数中的较小值，设f(x)=min{2x −1,1x }(x >0)，则f(x)的最大值为( )A. −1B. 1C. 0D. 不存在8. 在用数学归纳法证明不等式“当n ≥2时1n+1+1n+2+⋯+13n >910”时，第2步由n =k(k ≥2)不等式成立，推证n =k +1时左边的表达式为( )A. 1k+1+1k+2+⋯+13k B. 1k+1+1k+2+⋯+13k+1C. 1k+2+1k+3+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1) D. 1k+1+1k+2+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1)9. 已知函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0，且f(x +3)是R 上的偶函数，若f(2a −1)≤f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,32] B. (−∞,52]C. [32,52]D. (−∞,32]∪[52,+∞)10. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(2)=3，且f′(x )<1，则不等式f(x 2)<x 2+1的解集是( )．A. (−∞,−√2)B. (√2,+∞)C. (−√2,√2)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知幂函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，则f(12)的值为__________．12. 若函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________． 13. 从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的不同方案有______ 种． 14. 函数f(x)=√3sin (x 2−π4) ,x ∈R 的最小正周期为__________． 15. 二项式(√x 3−2x )8的展开式中的常数项为______．16. 如果随机变量X ～B(100,0.2)，那么D(4X +3)= ______ ．17. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2,x >2，若方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−6x +8<0}，B ={x|(x −a)⋅(x −3a)<0}．(1)若a =1，求A ∩B ；(2)若A ∩B =⌀，求a 的取值范围．19. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；20. 已知函数f(x)=−x 2+2x,x ∈[−2,a]，求f(x)的值域．21. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ) ( A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若x ∈[−π2,π12]，求f(x)的值域．22. 已知函数f(x)=xlnx +kx,k ∈R ．(1)求y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：当n ∈N ∗时，不等式∑ln n i=1(4i 2−1)>2n 2−n 2n+1成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：11+i =1−i(1+i)(1−i)=12−i2故选A由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题3.答案：B解析：解：sin20π3=sin(6π+2π3)=sin2π3=sinπ3=√32．故选：B．运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步．通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法．【解答】解：共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16种．故选B．5.答案：B解析：解：∵f(0)=1−1−6<0，f(1)=−72<0，f(2)=9−6−√2+1=4−√2>0，∴函数f(x)的零点在区间(1,2)能，故选：B．分别求出f(0)，f(1)，f(2)的值，得出f(1)<0，f(2)>0，从而得出答案．本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出．6.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．容易得出0<sin2<1, log 0.3π<0, 40.5>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵0<sin2<1，log 0.3π<log 0.31=0，40.5>40=1， ∴b <a <c ． 故选：A ． 7.答案：B解析：【分析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．先根据符号：min{a,b}的含义化简函数f(x)的表达式，变成分段函数的形式，再画出函数的图象，观察图象的最高点即可得f(x)的最大值． 【解答】解：由方程2x −1=1x ，(x >0)， 得：x =1，∴f(x)={2x −1,0<x ≤11x,x >1,画出此函数的图象，如图，由图可知：当x =1时，f(x)的值最大，最大值为1． 故选B ． 8.答案：C解析：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k 到k +1的变化.显然13k 不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾故n =k +1时最后一项应为13(k+1)所以在3k 后面还有3k +1、3k +2.最后才为3k +3即3(k +1)应选择C ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，以及函数的对称性，属于中档题．根据题意，由f(x +3)是R 上的偶函数，分析可得函数f(x)的图象关于直线x =3对称，进而分析可得函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，可得在[3,+∞)上是减函数，从而将f(2a −1)≤f(4)转化为|2a −1−3|≥4−3，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，f(x +3)是R 上的偶函数， 则函数f(x)的图象关于直线x =3对称，又由函数f(x)满足对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0， 则函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，又由函数f(x)的图象关于直线x =3对称， 则函数f(x)在[3,+∞)上是减函数， 若f(2a −1)≤f(4)，则有|2a −1−3|≥4−3，即|a −2|≥12， 解得：a ≤32或a ≥52，所以a 的取值范围是(−∞,32]∪[52,+∞)． 故选：D ． 10.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用构造法构造新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．根据条件构造F(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，然后将f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2即F(x 2)<F(2)，根据单调性建立关系，解之即可． 【解答】解：令F(x)=f(x)−x ，又f ′(x )<1， 则F′(x)=f ′(x )−1<0， ∴F(x)在R 上单调递减． ∵f(2)=3，∴f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2， 即F(x 2)<F(2)．根据F(x)在R 上单调递减则x 2>2， 解得x ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)． 故选：D ． 11.答案：2解析：【分析】本题考查了幂函数的解析式和求值，属于基础题． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ，则函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，故2a =12，解得a =−1，故函数解析式为y =x −1，则f(12)=2．故答案为2．12.答案：(1,2)解析：【分析】本题考查函数的单调性，涉及不等式的解法，问题等价于k 2−3k +2<0，解不等式可得，属基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数， ∴k 2−3k +2<0，即(k −1)(k −2)<0， 解不等式可得1<k <2 ∴k 的取值范围为：(1,2) 故答案为(1,2)13.答案：2100解析：解：∵从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组， 由分层抽样知道从男生中抽取6×515=2人，从女生中抽取6×1015=4人，共有C 52C 104=2100种， 故答案为：2100．用分层抽样做出从男生中抽取2人，从女生中抽取4人，共有C 52C 104种结果，问题得以解决． 本题考查了分层抽样和排列组合的问题，属于基础题． 14.答案：4π解析：函数f(x)=√3sin (x2−π4) 的最小正周期为T =2π12=4π .15.答案：112解析：解：展开式的通项为T r+1=(−2)r C 8r x83−43r ， 令83−43r =0得r =2，所以展开式中的常数项为(−2)2C 82=112． 故答案为：112．利用二项展开式的通项公式求出二项式(√x 3−2x )8展开式的通项，令x 的指数为0求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 16.答案：256解析：解：∵随机变量X ～B(100,0.2)， ∴Dξ=100×0.2×0.8=16，∴D(4X +3)=16Dξ=16×16=256．故答案为：256．利用二项分布的方差的性质求解．本题考查二项分布的方差的计算，解题时要认真审题，是基础题． 17.答案：(0,2)解析：解：已知函数的图象如图：方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根， 则圆锥函数图象与y =t 有三个交点，由图象可知，当t ∈(0,2)满足题意；故答案为：(0,2)由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y =t 有三个交点的t 的范围．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，考查数形结合的思想方法；难度中档．18.答案：解：(1)由A 中不等式变形得：(x −2)(x −4)<0， 解得：2<x <4，即A ={x|2<x <4}．把a =1代入B 得：(x −1)(x −3)<0，解得：1<x <3，即B ={x|1<x <3}．则A ∩B ={x|2<x <3}． (2)要满足A ∩B =⌀，当a =0时，B =⌀满足条件；当a >0时，B ={x|a <x <3a}，可得a ≥4或3a ≤2． 解得：0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ={x|3a <x <a}，显然a <0时成立， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,23]∪[4,+∞)．解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．(1)求出A 中不等式的解集确定出A ，把a =1代入确定出B ，求出A 与B 的交集即可； (2)由A 与B 交集为空集，分a =0，a >0与a <0三种情况求出a 的范围即可． 19.答案：解：(1)ξ可能取的值为0，1，2， 且P(ξ=0)=C 20·C 53C 73=27，P(ξ=1)=C 21·C 52C 73=47，P(ξ=2)=C 22·C 51C 73=17，所以ξ的分布列为(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67，D(ξ)=(0−67)2×27+(1−67)2×47+(2−67)2×17=140343=2049．解析：本题考查离散型随机变量及其分布列以及期望与方差的计算，属于中档题．(1)ξ可能取的值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到分布列； (2)通过期望和方差公式计算，即可得到ξ的均值与方差．20.答案：解：f(x)=−x 2+2x =−(x −1)2+1，a >−2， (1)当−2<a ≤1时，f(x)在[−2,a]单调递增，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (a )=−a 2+2a ， ∴f(x)的值域为[−8,−a 2+2a];(2)当1≤a ≤4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (1)=1, ∴f(x)的值域为[−8,1]; (3)当a >4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (a )=−a 2+2a,f (x )max =f (1)=1， ∴f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．综上：当−2<a ≤1时，f(x)的值域为[−8,−a 2+2a]; 当1≤a ≤4时，f(x)的值域为[−8,1]; 当a >4时，f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．解析：本题考查二次函数单调性与最值问题，对称轴固定，区间不定，通过讨论a 与对称轴的关系，讨论函数在区间上的单调性与最值．21.答案：解：(1)设函数f(x)的最小正周期为T ，由图象知：A =2，14T =π6−(−π12)=π4，所以周期T =π，从而ω=2πT=2.因为函数图象过点(−π12,2)，所以sin(−π6+φ)=1.因为0<φ<π，所以−π6<−π6+φ<5π6，所以−π6+φ=π2，解得φ=2π3.因此A =2，ω=2，φ=2π3．(2)由(1)知f(x)=2sin(2x +2π3).因为x ∈[−π2,π12]， 所以−π3≤2x +2π3≤5π6，所以− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而函数f(x)的值域为[−√3,2]．解析：本题考查三角函数y =Asin(ωx +φ)的图像与性质，属于中档题．(1)根据函数的图像写函数的解析式；(2)由x 得范围得到−π3≤2x +2π3≤5π6，然后求得− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而确定函数的值域． 22.答案：解：(1)函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1+lnx +k ，f ′(1)=1+k ，∵f(1)=k ，∴函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −k =(k +1)(x −1)， 即y =(k +1)x −1；(2)设g(x)=lnx −x +k −1，g ′(x)=1x −1， x ∈(0,1)，g ′(x)>0，g(x)单调递增， x ∈(1,+∞)，g ′(x)<0，g(x)单调递减， ∵不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，且x >0， ∴lnx −x +k −1≤0，∴g(x)max =g(1)=k −2≤0即可，故k ≤2， (3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立， 令x =14i 2−1，由于i ∈N ∗，14i 2−1>0．故，ln 14i 2−1<14i 2−1−1，整理得：ln(4i 2−1)>1−14i 2−1， 变形得：：ln(4i 2−1)>1−1(2i+1)(2i−1)， 即：ln(4i 2−1)>1−12(12i−1−12i+1) i =1，2，3……，n 时，有ln3>1−12 (1−13)’ ln5>1−12 (1−13)…………ln(4n 2−1)>1−12 (12n−1−12n+1)两边同时相加得：∑ln n i=1(4i 2−1)>n −12(1−12n+1)=2n22n+1>2n2−n 2n+1，所以不等式在n ∈N ∗上恒成立．解析：本题考查了导数的几何意义，导数证明单调性，导数恒成立问题，导数中的不等式证明，属于难题．(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)构造函数g(x)=lnx −x +k −1，然后求导，结合导数可研究其单调性，由不等式的恒成立转化为求解函数的最值，可求；(3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立，对已知不等式进行赋值，转化为所要证明的不等式的左边，利用累加法即可证明．。

2020年高二暑假数学补习训练题 (15)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={y|y=x2−6x+5}，B={y|y=6x+3−9x2}，则A∩B=()A. {(1,0),(15,9625)} B. {y|y≥−4}C. {y|−4≤y≤4}D. {y|y≤4}2.i为虚数单位，则(1−i1+i)2017=()A. −iB. −1C. iD. 13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6>S7>S5，则下列命题错误的是()A. d<0B. S11>0C. S12<0D. |a6|>|a7|4.若椭圆x216+y2b2=1过点(−2,√3)，则其焦距为()A. 2√5B. 2√3C. 4√5D. 4√35.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有()A. 16个B. 70个C. 140个D. 256个6.如图所示的程序运行后，输出的值是()A. 8B. 9C. 10D. 117.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为()A. 65B. 105+3√342C. 70+3√342D. 608.直线y=x被圆(x−1)2+y2=1所截得的弦长为()A. √22B. 1C. √2D. 29.已知函数f(x)=sin(x−φ)−1(0<φ<π2)，且∫2π3 (f(x)+1)dx=0，则函数f(x)的一个零点是()A. π6B. π3C. 7π12D. 5π610.若ΔABC内角A、B、C所对的边分别为，且a2=c2−b2+√3ba，则∠A+∠B=()A. π6B. 5π6C. π4D. 3π411.函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a>0，c>0B. a>0，c<0C. a<0，c>0D. a<0，c<012.函数y=cos2ωx−sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)=2sin(ωx+π4)的一个单调递增区间是()A. [−π2,π2] B. [5π4,9π4] C. [−π4,3π4] D. [π4,5π4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为_____．14.若双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，则ba=_______．15.已知|a−8b|+(4b−1)2=0，则log2a b=__________．16.已知S为{a n}的前n项和，a1=0，若a a+1=[1+(−1)n]a n+(−2)n，则S100=________三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知a、b、c是△ABC的内角A、B、C所对的边，△ABC的面积为4√3，C=60∘，且．(1)求a+b的值；(2)若点D为AC边上一点，且BD=AD，求CD的长．18. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，二面角B −AD −S为60∘，E 为SD 中点．⑴求证：CE ⊥SA ；⑴求AB 与平面SCD 所成角的余弦值．19. 某手机公司生产某款手机，如果年返修率不超过千分之一，则生产部门当年考核优秀，现获得该公司2010−2018年的相关数据如下表所示：年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产量(万台) 3 4 5 6 7 7 9 10 12 产品年利润(千万元) 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.8 7.5 7.9 9.1 年返修量(台)474248509283728790(1)从该公司2010−2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(千万元)关于年生产量x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).部分计算结果：y =19∑y i 9i=1=6.2，∑x i 29i=1=509，∑x i 9i=1y i =434.1．附：；线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b̂=∑ni=1(x i −x)(y i −y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i −nxy∑ni=1x i2−nx 2，â=y ̂−b ̂x ．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的准线与x 轴交于点M ，(1)若M 点坐标为(−1,0)，求抛物线的方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线交于两点P ，Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(其中F 试抛物线的焦点)，求证：直线l 的斜率为定值．21. 函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，求a 、b 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2+y 2−2y =0，倾斜角为π6的直线l 过点M(−2,0)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．(1)求C 1和C 2交点的直角坐标；(2)若直线l 与C 1交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用配方法求得两个集合函数的值域，再根据交集运算求解．【解答】根据题意得：A=[−4,+∞),B=(−∞,4]所以A∩B={y|−4≤y≤4}．故选C．2.答案：A解析：解：(1−i1+i)2017=[(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)]2017=(−i)2017=(−i)2016⋅(−i)=−i，故选：A．根据复数的运算性质计算即可．本题考查了复数的化简求值问题，是一道基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的最值、等差数列的通项公式、前n和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．由S6>S7>S5，得a1>0，d<0，得a6>0，a7<0，S11=11a6>0，S12=12(a6+a7)>0，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S6最大，且S6>S7>S5，∴a1>0，d<0，故A正确；∵S6>S7>S5，∴a6>0，a7<0，S11=11a1+55d=11(a1+5d)=11a6>0，故B正确，S12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7)>0，∴D正确，C错误故选C．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题；根据条件把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，得到a=4，b=2，即可求出焦距．【解答】解：由题意知，把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为x216+y24=1，所以a =4，b =2，c =√a 2−b 2=√16−4=2√3， 则其焦距为2c =4√3； 故选D ． 5.答案：B解析：【分析】此题考查排列的应用，属于基础题．先把8个数字全排列，再除以1和2重复的情况数即可． 【解答】解：4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有A 88A 44·A 44=70，故选B ．6.答案：B解析：【分析】本题考查了DO LOOP 循环语句，熟练掌握语句的含义是解答本题的关键． 【解答】解：本题是直到型循环结构的程序语句，算法的功能是求满足2i >2017的最小的正整数i 的值，∴输出i =9． 故选B ．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查三视图的应用，直接利用三视图进行复原，利用表面积公式求出结果． 【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个三棱柱去掉一个三棱锥． 所以表面积为(2+5)×52+(2+5)×42+3×52+3×42+3×5=60故选D ． 8.答案：C解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 先求出圆心和半径，以及圆心到直线y =x 的距离d 的值，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：由于圆(x −1)2+y 2=1的圆心为(1,0)，半径等于1， 圆心到直线y =x 的距离为d =√2=√22，故弦长为2√r 2−d 2=√2． 故选C ． 9.答案：D解析：由∫2π30 (f (x )+1)dx =0得：[−cos (x −ϕ)]|2π3=0，即−cos (2π3−ϕ)+cos (x −ϕ)=0，所以sin (ϕ−π3)=0，因为0<φ<π2，所以ϕ=π3，则f (x )=sin (x −π3)−1，由sin (x −π3)=1，得x =5π6+2kπ,k ∈Z ，取k =0，得x =5π6，选D ．10.答案：B解析：【分析】本题考查余弦定理的应用．解题关键是由余弦定理变形求得，从而得C 角．【解答】解：∵，∴，在三角形中，，∴．故选B ．11.答案：A解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，通常从定义域，值域，特殊点等方面来判断，属于中档题． 根据f(0)=0判断b =0，根据定义域判断c ，根据函数值域判断a ． 【解答】解：∵f(x)图象过原点， ∴f(0)=0，即=0，∴b =0．∵f(x)的定义域为R ，∴c >0．∵当x >0时，f(x)>0，当x <0时，f(x)<0， ∴a >0， 故选A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查正弦函数的图象与性质，先把函数化为一个角的正弦函数，再由周期求得ω的值，利用正弦函数的单调区间解得x的范围．【解答】解：∵y=cos2ωx−sin2ωx=cos2ωx，T=2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(x+π4)单调递增区间为：2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z)，令k=1，∴x∈[54π,94π]．故选B．13.答案：60°解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题．由题意画出图形，连接BC1，A1C1，由M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，得MN//A1C1，同理可得EF//BC1，则∠A1C1B即为异面直线EF，MN所成的角，再由△A1C1B为等边三角形得答案．【解答】解：如图，连接BC1，A1C1，∵E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，∴MN//A1C1，EF//BC1，∴∠A1C1B即为异面直线EF与MN所成的角，连接A1B，则△A1C1B为等边三角形，可得．∴异面直线MN与EF所成的角大小为60°．故答案为：60°14.答案：√3解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，可得e=ca=√a2+b2a=2，化简即可求解．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，∴e =c a=√a 2+b 2a=2，即a 2+b 2=4a 2，∴b 2=3a 2， ∴b a=√3，故答案为√3．15.答案：14解析：【分析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．【解答】解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b=log 2214=14．故答案为14．16.答案：2−21013解析：【分析】本题考查数列的递推关系及数列求和，根据递推关系分n 为奇数和n 为偶数，求出通项，即可求和，属中档题． 【解答】解：当n 为奇数时，a n+1=(−2)n ，则a 2=(−2)1,a 4=(−2)3,⋯,a 100=(−2)99，当n 为偶数时，a n +1=2a n +(−2)n =2a n +2n ， 则a 3=2a 2+22=0，同理，a 5=0，⋯，a 99=0， 因为a 1=0，所以S 100=a 2+a 4+⋯+a 100+0=(−2)1+(−2)3+⋯+(−2)99 =−2×(1−450)1−4=2−21013．故答案为2−21013．17.答案：解：，∴由正弦定理得4ca =bc ， ∴b =4a ，，∴a=2,b=8，∴a+b=10.(2)设CD=x，则BD=8−x，由余弦定理得，即(8−x)2=22+x2−4⋅x⋅12，∴x=307，∴CD=30 7.解析：(1)因为，所以由正弦定理得4ca=bc然后进行求解即可；(2)设CD=x，则BD=8−x，然后利用余弦定理进行求解即可．18.答案：解：(1)证明：取SA的中点F，连接EF，∵E为SD中点，，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE//BF，平面ABS，为二面角B−AD−S的平面角，∴∠SAB=60∘，∵AB=AS,∴BA=BS,∴BF⊥SA，∴CE⊥SA;(2)作AB中点O，由(1)知SO⊥AB,SO⊥AD，AB∩AD=D,∴SO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，设BC =1， 则S(0,0,√3),C(1,1,0),D(−1,2,0),∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3)， 设平面SCD 的法向量n =(x,y,z),得{−2x +y =0−x −y +√3z =0, 可取n =(1,2,√3),∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),，，∴AB 与平面SCD 所成角的余弦值为√144．解析：本题考查了线面垂直，线线垂直的证明，用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．(1)构造平行四边形，得CE//BF ，由BA =BS 得BF ⊥SA ，即可得答案．(2)建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量的夹角公式即可求解．19.答案：解：(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 50C 43C 93=121，P(X =1)=C 51C 42C 93=514， P(X =2)=C 52C 41C 93=1021，P(X =3)=C 53C 40C 93=542，故的分布列为： X 0 1 2 3P 121 514 1021 542 ∴E(X)=0×121+1×514+2×1021+3×542=53， (2)因为x 6=x =7，b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ， 所以去掉2015年的数据后不影响b̂的值， 所以b ̂=i 9i=1i −9xy ∑x 29−9x 2=434.1−9×7×6.2509−9×72=43.568≈0.64， 去掉2015年数据后，x =7，y =9×6.2−7.88=6，所以a ̂=y −b ̂x =6−43.568×7≈1.52，故回归方程为：y ̂=0.64x +1.52．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查回归直线方程的求法，(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而X 的所有可能取值为0，1，2，3.分别示出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(2)因为x 6=x =7，所以去掉2015年的数据后不影响b ̂的值，由公式可得b ̂的值，故可得线性回归方程．20.答案：(1)y 2=4x(2)略解析：(1)由题意知−p 2=−1，∴p =2，∴抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的斜率为k ，∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，F(p 2,0)，∴(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p 2,y 2)=0，即x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=0①，直线l 的方程为y =k(x +p 2)，联立y 2=2px ，得k 2x 2+(pk 2−2p)x +k 2p 24=0，∴x 1+x 2=2p−pk 2k 2②，x 1x 2=p 24③，又y 1y 2=k 2[x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24]④，联立①②③④得k =±√22，经检验，k =±√22时，直线l 与抛物线交于两个点．21.答案：解：∵f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2，∴f′(x)=3x 2+2ax +b ，∵函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，∴{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解得{a =4b =−11，或{a =−3b =3， 当{a =4b =−11时，f′(x)=3x 2+8x −11=(3x +11)(x −1)， 当−113<x <1时，f′(x)<0，当x >1时，f′(x)>0，满足x =1处为极值点；当{a =−3b =3时，f′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2，易知在x =1的两侧f′(x)>0， 故x =1不是极值点，应舍去．故只有{a =4b =−11满足题意．解析：由题意可得{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解之可得a ，b 的值，验证需满足在x =1的两侧单调性相反，即导数异号才为极值点．本题考查函数在某点取得极值的条件，注意验证是解决问题的关键，属中档题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0，解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0， 得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0，设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4．易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3 x ≤12x +1 12<x <23x −3 x ≥2，不等式f (x )≥3可化为{−3x +3≥3x ≤12 或{x +1≥312<x <2 或{3x −3≥3x ≥2， 解得，不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞).(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=”，∴当a ≤4时，x 的取值范围为a2≤x ≤2；当a >4时，x 的取值范围为2≤x ≤a 2.解析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．(1)分三段分别求解即可；(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=，讨论a 的取值得出结论．。

2020年暑假高二数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则下列正确的为()A. U=A∪BB. U=(C U A)∪BC. U=A∪(C U B)D. U=(C U A)∪(C U B)2.设z=21+i+2i，则z−的虚部是()A. 2B. 1C. −2D. −13.cos480°=()A. 12B. √32C. −12D. −√324.已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是()A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班B. 甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班C. 学科平均分分差最小的是语文学科D. 学科平均分分差最大的是英语学科5.若a=0.20.2，b=1.20.2，c=log1.20.2，则()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b6.在空间中，a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a//b的是()A. a⊥α，b⊥αB. a//α，b⊂αC. a⊂α，b⊂β，α//βD. a⊥α，b⊂α7.曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的倾斜角为α，则tanα=()A. 2B. −43C. −1D. 08.已知a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗−b⃗ |=()A. √5B. 2√5C. √10D. 109.(文科做)要得到函数y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象()A. 向左平行移动π3个单位 B. 向右平行移动π3个单位 C. 向左平行移动π6个单位D. 向右平行移动π6个单位学10. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.11. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p >0) 与双曲线C 2:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线C 1的焦点的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. √6 B. √5 C. √3 D. √212. 已知函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )(n ∈N +)，则a 2019=( )A. 73B. 43C. 56D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 4x,x ≥19x ,x<1，则f(f(2))的值为___________ ．14. 在等差数列{a n }中，a 2+a 7=20，则数列{a n }的前8项之和S 8= ______ ． 15. 若直线2x +y −2=0与圆(x −1)2+(y −a)2=1相切，则a =______．16. 三棱锥S −ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =3，△ABC 是边长为2的正三角形，则其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开.为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据得到列联表如下：收看 没收看 合计男生40女生3060合计(Ⅱ)根据上表说明，能否有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关？(结果精确到0.001)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87918.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1√a+√a}的前84项和．19.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且E，F分别是BC，B1C1中点．(1)求证：A1B//平面AEC1；(2)求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值．21.在平面直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=4√33的距离和到点(√3,0)的距离比值是2√33．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知点A(2,0)，若P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E，求|DE||AP|的取值范围．22.已知函数f(x)=1+lnxx．(Ⅰ)若f(x)在(m,m+1)上存在极值，求实数m的取值范围；(Ⅱ)证明：当x>1时，(x+1)(x+e x)f(x)>2(1+1e)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，∴C U B={1,2,4,6,7}，∴A∪C U B={1,2,3,4,5,6,7}=U．故选C．2.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：cos480°=cos(360°+120°)=cos120°=−12．故选：C．直接利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．4.答案：C解析：分析：先对图表信息的分析、处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表信息的分析及简单的合情推理，属中档题．解：由雷达图可知：选项A、B、D均正确，又由图可知学科平均分分差最小的是地理学科，即C错误，故选：C．5.答案：B解析：【分析】此题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数和对数函数的单调性，将a，b，c与0或1的大小进行比较，进而得出结果．【解答】解：∵0<a=0.20.2<1，b=1.20.2>1，，则c<a<b．故选B．6.答案：A解析：解：A选项正确，a⊥α，b⊥α，可由垂直于同一平面的两条直线平行这一结论得出a//bB选项不正确，因为线面平行，线与面内的线可能是异面．C选项不正确，因为两个平行平面中的两条直线的位置关系是平行或者异面．D选项不正确，因为a⊥α，b⊂α，则两线的位置关系是垂直，故选A由题设中的条件a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面再结合四个选项中的条件判断线线平行，得出正确选项．本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解答本题，关键是有一定的空间想像能力及熟练掌握线线平行的判断条件．本题考查了推理判断的能力，7.答案：A解析：解：y=x3−x的导数为y′=3x2−1，曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的斜率为3−1=2，即tanα=2．故选：A．求得函数y的导数，由导数的几何意义，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，属于基础题．8.答案：C解析：解：a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2x+2=0，解得x=1，∴a⃗−b⃗ =(1+2,2−1)=(3,1)，∴|a⃗−b⃗ |=√32+12=√10．故选：C．根据a⃗⊥b⃗ 时a⃗⋅b⃗ =0，求出x的值，再计算a⃗−b⃗ 的模长．本题主要考查两个向量垂直的性质与应用问题，是基础题目．9.答案：D解析：解：∵将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位得：y=f[2(x−π6)]=f(2x−π3)，∴要得到y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位．故选D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，掌握先周期变换后相位变换的规律是关键，属于中档题．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查利用函数的特殊值判断函数的图像． 【解答】 解：因为，故排除A ，C 又，故排除B ， 故选D ． 11.答案：B解析：【分析】先根据条件求出店A 的坐标，再结合点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ；得到a 2b 2=14，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e 和渐近线的斜率±ba 之间有关系e 2=1+(±ba )2． 【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y =ba x ， 联立{y 2=2px y =ba x⇒{x =2pa 2b 2y =2pab； 故A (2pa 2b 2,2pab).∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ， ∴p2+2pa 2b 2=p ；∴a 2b 2=14，∴双曲线C 2的离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√5．故选：B ． 12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )，则a 2=a 1−1=43， a 3=a 2−1=13， a 4=a 3+12=56，a5=2a4−1=23，a6=2a5−1=13，a7=a6+12=56，则数列{a n}满足a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，则a2019=a3+2016=a3=13，故选：D．根据题意，由函数的解析式以及数列的递推公式求出数列{a n}的前7项，分析可得a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，据此可得a2019=a3+2016=a3，即可得答案．本题考查数列与函数的综合应用，涉及数列的递推公式以及分段函数的解析式，属于基础题．13.答案：3解析：【分析】用函数的解析式，求解f(2)，然后求解f[f(2)]的值．【解答】解：因为，故可得f(f(2))=f(12)=912=3，故答案为3．14.答案：80解析：解：由等差数列的性质可得a1+a8=a2+a7=20，∴数列{a n}的前8项之和S8=8(a1+a8)2=80故答案为：80由等差数列的性质可得a1+a8=20，代入求和公式计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．15.答案：±√5解析：解：因为直线2x+y−2=0与圆(x−1)2+(y−a)2=1相切，所以√22+12=1，解得a=±√5．故答案为：±√5．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．16.答案：43π3解析：【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面三角形外接圆半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．属于中档题．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=3，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=2√33，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=32，故球的半径R=√r2+d2=√43+94=√4312．三棱锥S−ABC外接球的表面积为：4πR2=4π×4312=433π.故答案为：43π3．17.答案：解：Ⅰ依据题中提供的数据，完成列联表如下：收看没收看合计男生8040120女生303060合计11070180(Ⅱ)根据列联表计算K2=180×(80×30−40×30)2120×60×110×70=36077≈4.675<6.635，所以没有的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关.解析：本题考查独立性检验在解决实际问题中的应用，属于基础题．(Ⅰ)根据题中提供数据填写列联表即可；(Ⅱ)根据列联表计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)和6.635比较即可得到答案．18.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵a+a =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{a+a }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{√a +√a }的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC ，∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ， ∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ， ∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ， ∵sinA ≠0， ∴cosB =−12， ∵0<B <π， ∴B =2π3，(2)由a =2,B =2π3,S =12acsinB =√3，解得：c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，① 将，a =2，c =2，B =2π3代入①，得b =√22+22+2×2×2×12=2√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB =sinA ，结合sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围可求B 的值．(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b 、c 的值． 20.答案：证明：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ， ∵ACC 1A 1为正方形，∴O 为A 1C 中点，又E 为CB 中点，∴EO 为△A 1BC 的中位线， ∴EO//A 1B ，又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴A 1B//平面AEC 1．解：(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ， ∵AB =AC ，E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，又∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ⊥平面BCC 1B 1=BC ， AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1， 而AE ⊂平面AEC 1，∴平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，∴FM ⊥平面AEC 1， ∴∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角， 设AB =AC =AA 1=1，则在Rt △AFM 中，FM =√33，AF =√62，∴直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值sin∠FAM =FM AF =√23．解析：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ，则EO//A 1B ，由此能证明A 1B//平面AEC 1．(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ，推导出AE ⊥BC ，AE ⊥平面BCC 1B 1，从而平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，进而FM ⊥平面AEC 1，∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角，由此能求出直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设动点P 的坐标为(x,y)， 根据题意得|x−4√33|√(x−√3)2+y 2=2√33，化简得曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)∵P 不在x 轴上，故直线AP 的斜率不为0， 设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x ．联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1, 得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0．设P(x 0,y 0)，则2+x 0=16k 21+4k 2，即x 0=8k 2−21+4k 2． 故|AP|=√(x 0−2)2+y 02=√(1+k 2)(x 0−2)2=4√1+k 21+4k 2． 设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|．由{y =−1k x x 24+y 2=1，解得x 12=4k 24+k 2，y 12=44+k 2， |OD|=√x 12+y 12=2√1+k 2k 2+4，∴|DE|=4√1+k 2k 2+4． ∴|DE||AP|=4√1+k 2k 2+441+k 21+4k 2=2√k 2+4．设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2．|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t (t >2)．令g(t)=4t 2−15t (t >2)，则g′(t)=4t 2+15t 2>0．∴g(t)是一个增函数，∴|DE||AP|=4t 2−15t >4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是(12,+∞)．解析：本题考查曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(Ⅰ)由直接法即可求解．(Ⅱ)设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x.联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1得到P 点坐标，求得|AP|，设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|，求得|DE|即可求解．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，所以 f′(x)=−lnxx 2，当0<x <1时，f′(x)>0，当x >1时，f′(x)<0．所以 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，则 x =1是函数f(x)的极大值点，又f(x)在(m,m +1)上存在极值，则m <1<m +1⇔0<m <1，故实数m 的取值范围是(0,1)．(Ⅱ)证明：(x +1)(x +e −x )f(x)>2(1+1e )⇔1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1．令g(x)=(x+1)(lnx+1)x ，则g′(x)=x−lnxx 2， 令φ(x)=x −lnx ，则φ′(x)=1−1x =x−1x ，当x >0时,φ′(x)>0，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以φ(x)>φ(1)=1>0，∴g′(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，g(x)>g(1)=2，故g(x)e+1>2e+1令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，则ℎ′(x)=2e x−1(1−e x )(xe x +1)2∵x >1，∴1−e x <0，∴ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减．所以，ℎ(x)<ℎ(1)=2e+1，故 g(x)e+1>ℎ(x)，即(x +1)(x +e x )f(x)>2(1+1e )．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，属于中档题． (Ⅰ)求出函数的单调性，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出m 的范围； (Ⅱ)问题转化为证明1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1，令f(x)=(x+1)(lnx+1)x ，g(x)=2e x−1xe x +1，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．。

2020年暑假高二数学提分训练题 (5)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2i2+4的虚部为()i+1A. −3B. −1C. 1D. 22.已知集合A={x∈N|lnx≤x<3}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. {1,2}B. [1,2]C. (−∞,2]D. [0,+∞)3.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy的值为()A. 88B. 96C. 108D. 110π,c=π−2，则()4.设a=log2π,b=log12A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a5.已知向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，若向量a⃗//b⃗ ，则m=()D. 2A. −1B. 1C. 12)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()6.已知函数f(x)=cos(ωx−π3A. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到3B. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到3C. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到6D. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到67.某同学用收集到的6组数据对(x i,y i)(i=1,2,3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：y∧=b∧x+a，相关指数为r.现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③b∧>1；其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围()A. (4,6)B. [4,6]C. (2,4)D. [2,4]9. 某几何体的三视图如图所示，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 16πB. 24πC. 36πD. 32π10. 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，ab =cosAcosB ，A =π6，BC 边上的中线长为4，则△ABC 的面积S 为( )A. 16√37B. 8√37C. 247D. 487 11. 已知实数a ，b 满足2a 2−5lna −b =0，c ∈R ，则(a −c)2+(b +c)2的最小值为( )A. 12 B. √32C. 3√22D. 92 12. 已知函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 在定义域内有零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,1e )B. (−∞,1e ]C. (0,1e ]D. [1e ,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在某次夏令营活动中，甲、乙、丙三人都恰好报了清华大学、北京大学中的某一所大学的夏令营，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报了清华大学的夏令营，乙也报了清华大学的夏令营，丙报了北京大学的夏令营”； 乙说：“我报了清华大学的夏令营，甲说的不完全对”； 丙说：“我报了北京大学的夏令营，乙说的对”．已知甲、乙、丙三人中，恰有一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是________． 14. 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是______ ．15.已知不等式组{x+y−1≥0x−y+1≥02x−y−2≤0表示的平面区域为D，若对任意的(x,y)∈D，不等式｜x−2y｜≤t恒成立，则实数t的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线x24−y2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB=√6，则p的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，AD=AP=PB=1，∠APB=90°，点E、F分别为BC、AP中点．(1)求证：EF//平面PCD；(2)求三棱锥D−PEF的体积．19.(为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.82820.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√2，左右顶点分别为A,B，且过点(√2,1).若P(x0,y0),y0≠0为直线x=4上任意一点，PA,PB分别交椭圆E于C,D两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=ax2−blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=1；(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)求f(x)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数)，直线l的参数方程为{x=3−t,y=1+t(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线m:θ=β(ρ⩾0)．(1)求C和l的极坐标方程；(2)设m与C和l分别交于异于原点O的P，Q两点，求|OP||OQ|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−|x|+1．(1)求不等式f(x)≥2x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)⩾|x2+a|在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 解：∵z =2i 2+4i+1=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴复数z =2i 2+4i+1的虚部为−1．故选B ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查并集运算和对数不等式，考查计算能力，属于基础题． 先化简A ，B ，再求并集． 【解答】解：A ∪B ={x ∈N|lnx ≤x <3}∪{y|y =√2−x}={1,2}∪{y|y ≥0}， 即A ∪B =[0,+∞)， 故选D ． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，列方程组求出x ，y ，由此能求出xy 的值． 【解答】解：∵样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，∴{15(9+10+11+x +y)=1015[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(x −10)2+(y −10)2]=2，解得{x +y =20(x −10)2+(y −10)2=8，解得{x =12y =8或{x =8y =12，∴xy =96． 故选B ． 4.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵a>log22=1，b=−log2π<0，0<c<π0=1，∴a>c>b，故选C．5.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，向量a⃗//b⃗ ，∴−21=2m，解得m=−1．故选：A．由向量a⃗//b⃗ ，列出方程，能求出m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．先由题意确定ω=2ππ=2，再根据g(x)平移可得．【解答】解：由题意，得ω=2ππ=2，则f(x)=cos(2x−π3)的图象可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π6个单位得到．故选D．7.答案：A解析：【分析】本题考查回归统计中的回归分析，属基础题．【解答】解：①.由散点图知，相关指数为r>0，①正确；②.x=16(0+1+2+3+7+5)=3，y=16(1.5+2+2.3+3+4.2+5)=3，因为样本中心点(3,3)，所以回归直线l恰好过点D点，②正确；因为直线l的斜率接近与AD斜率，而k AD=kAD=3−1.53=12<1" role="presentation" style="margin: 0px; padding: 5px 2px; display: inline-block; ; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; font-family:"MicrosoftYaHei ", arial, SimSun, sans-serif, tahoma; position: relative;">3−1.53=12<1，所以③错误．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键.由抛物线定义可得|AF|=x 1+1，从而△FAB 的周长=|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论. 【解答】解：由题意知抛物线y 2=4x 的准线为x =−1， 设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1,y 0)，B(x 2,y 0)， 则|AF|=x 1+1，由{y 2=4x (x −1)2+y 2=4， 消去y ， 整理得：x 2+2x −3=0， 解得x =1，或x =−3(舍)∵B 在圆(x −1)2+y 2=4的实线部分上运动， ∴1<x 2<3，∴ΔFAB 的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3∈(4,6)， 故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，根据三视图知几何体是三棱柱，为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：几何体为三棱柱，是长方体一部分，且长方体的长、宽、高分别是2√2, 2√2、4， ∴三棱柱的外接球与长方体的相同， 设该几何体外接球的半径是R ，由长方体的性质可得，(2R )2=(2√2)2+(2√2)2+42=32， 解得R 2=8，∴该几何体外接球的表面积S =4πR 2=32π， 故选D ． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于一般题．首先根据正弦定理得出sinAcosB =sinBcosA ，得到sin(A −B)=0，然后利用余弦定理结合面积公式求出结果． 【解答】解：由题得acosB =bcosA ，再由正弦定理得sinAcosB =sinBcosA ， 所以sin(A −B)=0， 故B =A =π6，得，由正弦定理得c =√3a ，由余弦定理得16=c 2+(a 2)2−2c ·a 2cos π6，得a =8√77，c =8√217， 得S =12acsinB =16√37．故选A ．11.答案：D解析：【分析】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式的应用，考查求函数上一点处的切线方程，属于较难题．首先将题目转化为求曲线y =2x 2−5lnx 上一点到已知直线y +x =0距离的最小值问题，然后求出与已知直线平行且与曲线相切的直线，切点到已知直线的距离即为所求值． 【解答】分别用x 代换a ，y 代换b ，则x ，y 满足：2x 2−5lnx −y =0，即y =2x 2−5lnx(x >0)， 以x 代换c ，可得点(x,−x)，满足y +x =0．因此求√(a −c)2+(b +c)2的最小值即为求曲线y =2x 2−5lnx 上的点到直线y +x =0的距离的最小值．设直线y +x +m =0与曲线y =2x 2−5lnx =f(x)相切于点P(x 0,y 0)， f′(x)=4x −5x，则f′(x 0)=4x 0−5x 0=−1，解得x 0=1，∴切点为P(1,2)，∴点P 到直线y +x =0的距离d =√2=32√2， 据此可得：(a −c)2+(b +c)2的最小值为92． 故选D ． 12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数与方程的综合应用问题，也考查了函数零点以及利用导数研究函数的单调性与最值问题，是中档题． 令函数f(x)=0，得出，设，利用导数求得g(x)的最大值g(x)max ，设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2，根据二次函数求得ℎ(x)的最小值 ℎ(x)min ，利用ℎ(x)min ≤g(x)max 求得a 的取值范围． 【解答】解：函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 的定义域为(0,+∞)， 令lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x =0， 得；设，则，则当0<x <e 时，g′(x)>0，∴g(x)在区间(0,e)上单调递增； 当x >e 时，g′(x)<0，∴g(x)在区间(e,+∞)上单调递减； ∴x =e 时，函数g(x)取得最大值为g(x)max =g(e)=1e ； 设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2=(x −e)2+a ，则当x =e 时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(x)min =ℎ(e)=a ； 要使f(x)在定义域内有零点，则ℎ(x)min ≤g(x)max ， 即a ≤1e ，∴实数a 的取值范围是(−∞,1e ]. 故选B ．13.答案：甲、丙解析：【分析】本题主要考查合情推理的知识，解答本题的关键是知道合情推理的特点． 【解答】解：根据题意得，甲、乙、丙三人中，只有甲一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是甲、丙． 故答案为甲、丙．14.答案：π8解析：【分析】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题．由题意，所求概率符合几何概型的概率求法，由此只要求出正方形的面积以及半圆的面积，求面积之比即可． 【解答】解：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型的概率， 所以豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是12π×122×2=π8，故答案为：π8．15.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及应用问题，是中档题．画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x −2y|max ，即可得出实数t 的取值范围． 【解答】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，在点B 处|x −2y|取得最大值，由{2x −y −2=0x −y +1=0，解得B(3,4)，所以|x −2y|max =|3−2×4|=5，所以不等式|x −2y|≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5． 故答案为[5,+∞)．16.答案：2√6解析：【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是准线方程和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求得A ，B 的坐标，可得|AB|，解方程可得p 的值． 【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的准线为l ：x =−p2， 双曲线x 24−y 2=1的两条渐近线方程为y =±12x ，可得A (−p2,−p4)，B (−p 2,p4)，则|AB |=|p4−(−p4)|=√6√6，可得p =2√6． 故答案为2√6．17.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+a 2=4(a1+a 2)+(a 2+a 3)=12, 即{a 1+a 2=4a 2+a 3=8, 所以{a 1+(a 1+d)=4(a 1+d)+(a 1+2d)=8，解得{a 1=1d =2, ∴a n =1+2(n −1)=2n −1； (Ⅱ)a n 2n−1=(2n −1)⋅(12)n−1，∴S n =1⋅(12)0+3⋅(12)1+5⋅(12)2+⋯+(2n −1)⋅(12)n−1①，∴12S n =1⋅(12)1+3⋅(12)2 +⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(12)n② ，①− ②得12S n =1+2⋅(12)1+2⋅(12)2 +2⋅(12)3+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n=1+2·12(1−12n−1)1−12−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(12)n，∴S n =6−(2n +3)⋅(12)n−1=6−4n+62n．解析：本题考查了利用数列的递推公式求出通项公式和利用错位相减法求前n 项和，属于中档题． (Ⅰ)根据数列的递推公式求出公差d ，即可求出数列{a n }的通项公式， (Ⅱ)根据错位相减法即可求出前n 项和．18.答案：解：(1)证明：取PD 中点G ，连接GF ，GC ，在△PAD 中，G ，F 分别为PD 、AP 中点， ∴GF = //12AD ，在矩形ABCD中，E为BC中点，∴CE=//1AD，2∴GF=//EC，∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC//EF，而GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF//平面PCD；(2)∵AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，∵BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC//平面PAD，∵AD=AP=PB=1，∠APB=90°，，AP⊥PB，∵平面PAD∩平面PAB=PA，平面PAD⊥平面PAB，BP⊂平面PAB，∴BP⊥平面PAD，∵BC//平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，而，，∴三棱锥P−DEF的体积为1．12解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及判定的运用，三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题．(1)取PD中点G，连接GF，GC，根据几何关系证明四边形GFEC是平行四边形，即得到GC//EF，再运用线面平行的判定定理进行判定即可得证；(2)先根据已知条件证明BP⊥平面PAD，再根据BC//平面PAD，得到点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即，代入数据进行运算即可得解．19.答案：析：(Ⅰ)因为月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为0.15；由频率分布直方图得(0.02+2m+4n+0.01)×5+0.15=1，化简得m+2n=0.07；…①由中位数为39百元可得0.02×5+2m×5+2n×(39−35)=0.5，化简得5m+4n=0.2；…②由①②解得m=0.02，n=0.025；技术工非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数311950总计5050100由表中数据计算得K 2=100×(19×19−31×31)250×50×50×50=5.76<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．解析：本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据频率分布直方图列方程组求得m 、n 的值；(Ⅱ)根据题意得到列联表，计算观测值，对照数表得出结论． 20.答案：(Ⅰ)解：依题意，得{2c =2√22a2+1b2=1a 2=b 2+c 2,解得： {a 2=4b 2=2, 故椭圆方程为：x 24+y 22=1；(Ⅱ)证明：由题意，A(−2,0),B(2,0)， 设P(4,t)，t ≠0，C(x 1,y 1),D(x 2,y 2)， 则直线PA 的方程为：y =t6(x +2)， 直线PB 的方程为：y =t 2(x −2)， 联立{x 24+y 22=1y =t 6(x +2), 得(18+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−72=0， 它的两个根分别为A,C 的横坐标， 由韦达定理：−2x 1=4t 2−7218+t 2，则x 1=36−2t 218+t 2，于是y 1=t6(x 1+2)=12t18+t 2 ，联立{x 24+y 22=1y =t2(x −2)， 得(2+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−8=0， 同理可得：2x 2=4t 2−82+t2，则x 2=2t 2−42+t 2，于是y 2=−4t2+t 2， 所以直线CD 的斜率为 k =y 1−y 2x1−x 2=12t 18+t 2+4t2+t236−2t 218+t 2−2t 2−42+t 2=4t6−t 2，所以直线CD ：y +4t2+t 2=4t6−t 2(x −2t 2−42+t 2)，化简可得：y =4t6−t 2(x −1)，故直线CD 过定点(1,0)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，以及定点问题，属于中档题． (Ⅰ)由条件可得{2c =2√22a 2+1b2=1a 2=b 2+c 2，从而求出椭圆的方程；(Ⅱ)设P(4,t)t >0，由点斜式可得直线PA 、PB 的方程，分别联立直线和椭圆方程可以得到C 、D 两点的坐标，从而表示出直线CD 的方程，可以得到定点．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax 2−blnx ，∴x >0，f′(x)=2ax −bx ；又∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =1， ∴{f′(1)=0f(1)=1，即{2a −b =0a =1， 解得{a =1b =2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x 2−2lnx ， f′(x)=2x −2x ，由f′(x)=2x −2x =2⋅x 2−1x=0，解得x =±1(负值舍去)，∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=1．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义，是基础题．(Ⅰ)求出函数f(x)的导数f′(x)，根据题意列出方程组{f′(1)=0f(1)=1，解方程组求出a 、b 的值；(Ⅱ)利用导数判断函数f(x)的单调性，求出f(x)在定义域上的最小值f(x)min ．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x −2)2+y 2=4， 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得(ρcosθ−2)2+ρ2sin 2θ=4，可得，C 的极坐标方程为ρ=4cosθ， ∵直线l 的参数方程为{x =3−ty =1+t(t 为参数)，∴l 的普通方程为x +y −4=0，∴l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4=0， 即ρsin (θ+π4)=2√2； (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则=sinβcosβ+cos 2β=12sin2β+12cos2β+12=√22sin(2β+ π 4)+12，由射线m 与C 相交且与直线l 相交， 则不妨设β∈(−π4,π2)，则2β+π4∈(−π4,5π4)，∴当2β+π4=π2，即β=π8时，|OP ||OQ |取得最大值，此时|OP ||OQ |=√2+12， 所以|OP ||OQ |的最大值为√2+12．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，属于中档题． (1)由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的一般方程，再由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,能求出C 的极坐标方程；由直线l 的参数方程求出l 的普通方程，由此能求出l 的极坐标方程． (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则，即可求出结果．23.答案：解：(1)x ≥0时，f(x)=x 2−x +1≥2x ，解得：0≤x ≤3−√52或x ≥3+√52，x <0时，f(x)=x 2+x +1≥2x ，解得：x <0， 综上，x ∈(−∞,3−√52]∪[3+√52,+∞)；(2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x 2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，解得：−1516≤a ≤716．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分段讨论，去掉绝对值，即可求不等式 f(x)≥2x 的解集； (2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，可得结果．。

2020年暑假高二数学提分训练题 (4)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|x<m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是()A. [2,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]2.若z=3+4i1−i+iz(i是虚数单位)，则|z|=()A. 32B. 2 C. 52D. 33.设a=log2π,b=log12π,c=π−2则()A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a4.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为()A. 110B. 114C. 124D. 1255.函数f(x)=(21+e x−1)⋅sinx的图象大致为()A. B.C. D.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为()A. B. C.D.7. 如图所示的算法框图的输出结果为( )A. 2B. 4C. 6D. 88. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√3 9. (1−x)5展开式x 3的系数是( )A. −10B. 10C. −5D. 510. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0,83]B. (0,12]C. [12,83]D. [38,2]11. 已知点M 为双曲线C ：x 2−y28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=( ) A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 12. 若函数f(2x +1)=3x −1，则函数f(−2x 2+1)的解析式为( )A. −3x 2−1B. 3x 2−1C. 3x 2+1D. −3x 2+1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若等差数列{a n }前n 项之和是S n ，且a 2+a 10=4，则S 11= ______ ．14. 已知函数f(x +1)为奇函数，函数f(x −1)为偶函数，且f(0)=2，则f(4)=__________． 15. 人们的出行方式越来越多，“共享单车”给人们带来了极大便利，2019年某公司推出“共享宝马汽车”，A ，B ，C ，D 四个家庭(每个家庭两个人)共8个人决定周末乘甲，乙两辆车出行，已知每车限坐4名(乘同一辆车的4人不考虑位置)，则乘坐甲车的4人恰有2名来自于同一个家庭且A 户家庭两人需乘坐同一辆车的概率为_________．16. 如图所示的几何体是一个五面体，四边形ABCD 为矩形，AB =4，BC =2，且MN//AB ，MN =3，△ADM 与△BCN 都是正三角形，则此五面体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC−√3ccosA=0．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，且AB⊥AC，点M在棱CC1上，点N是BC的中点，且满足AM⊥B1N.(1)证明：AM⊥平面A1B1N；(2)若CM=C1M，求二面角A1−B1N−C1的正弦值．19.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．20. 过双曲线x 24−y 25=1的右焦点做倾斜角为45°的弦AB.求：(1)求弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离； (2)求弦AB 的长．21. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)．(1)当a =1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2，其中x 1<x 2，求证：f(x 1)>−12.22. 已知曲线C 的参数方程为{x =√t −√ty =3(t +1t )+2(t 为参数，t >0).求曲线C 的普通方程．23. 已知函数f(x)=|x −2a|−|x −a|,a ∈R ．(Ⅰ)若f(1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a <0，对∀x,y ∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y +2020|+|y −a|恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x|x2−2x≤0}=[0,2]∵B={x|x<m}，A⊆B，∴m>2．故选：B．由已知中，集合A={x|x2−2x≤0}，解二次不等式求出集合A，再由A⊆B，即可得到实数m的取值范围．本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据集合包含关系，构造出关于参数m的不等式组是解答本题的关键．2.答案：C解析：解：∵z=3+4i1−i +iz，∴z(1−i)=3+4i1−i，则z=3+4i(1−i)2=3+4i−2i，∴|z|=|3+4i−2i |=|3+4i||−2i|=52．故选：C．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：∵a=log2π>1，b=log12π<0，c=1π2<1，∴b<c<a．4.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6 =4−2+8−2+16−2+32−2+64−2=(4+8+16+32+64)−10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的本题考查函数图象的作法，属于较易题，根据函数的性质排除即可．【解答】解：因为，f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，D，又因为，排除B，故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查归纳推理，根据算筹的摆放形式有纵横两种形式，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，可得结果．【解答】解：根据题意，9117按千位、百位、十位、个位排列，依次是横式9，纵式1，横式1，纵式7，故选A．7.答案：D解析：【分析】根据程序框图得出结果．【解答】解：由程序框图可得：先把2赋给a，再把4赋给a，所以最后a的值为4+4=8．故选D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C9.答案：A解析：【分析】本题主要考查二项展开式的通项公式，项的系数的求解，属于基础题． 由题意利用二项展开式的通项公式，求出(1−x)5展开式x 3的系数． 【解答】解：根据(1−x)5展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−x)r ，令r =3，可得x 3的系数是−C 53=−10，故选：A ． 10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，函数单调性的应用，属于基础题．根据正弦函数的单调性，结合在区间[−π4,2π3]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【解答】 解：当x ∈[−π4,2π3]时，ωx +π6∈[−π4ω+π6,2π3ω+π6]，∴[−π4ω+π6,2π3ω+π6]⊆[2kπ−π2,2kπ+π2], k ∈Z ，∴{−π4ω+π6≥2kπ−π22π3ω+π6≤2kπ+π2，解得{ω≤−8k +83ω≤3k +12(k ∈Z),又∵ω>0，∴只能取k =0，此时ω∈(0,12]． 故选B ． 11.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，由条件求得a ，b ，c ，再结合双曲线的定义求得结果． 【解答】解：双曲线C ：x 2−y 28=1，可得a =1，b =2√2，c =3，点M 为双曲线C ：x 2−y 28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=−2a +2c =4． 故选B ． 12.答案：A解析：令2x +1=t ，则x =t−12，∴f(t)=32t −52，∴f(−2x 2+1)=32(−2x 2+1)−52=−3x 2−1.故选A ．13.答案：22解析：解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2+a 10=4， ∴S 11=112(a 1+a 11)=112(a 2+a 10)=22，故答案为：22．根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得S11=112(a1+a11)=112(a2+a10)，运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．14.答案：−2解析：【分析】本题考查函数奇偶性，利用奇偶性求函数值，中等题；利用f(x+1)为奇函数，函数f(x−1)为偶函数，将f(4)转化即可【解答】解：由题意得f(x−1)=f(−x−1)，令x=1∴f(0)=f(−2)=2，又∵f(x+1)=−f(−x+1)，令x=3∴f(4)=−f(−2)=−2．故答案为−215.答案：1235解析：【分析】本题主要考查计数原理的运用以及古典概型的计算，属于中档题．【解答】解：由题意可将A户家庭在甲车上与A户家庭不在甲车上，进行分类讨论．(1)当A户家庭两人在甲车上时，则甲车上另外两位乘客来自剩下的三个家庭中，所以此时共有C32C21C21=12种；(2)当A户家庭两人不在甲车上时，则剩下的三个家庭必有一个家庭在甲车上，剩下的2个乘客来自于剩下的家庭，所以此时共有C31C21C21=12种；所以乘坐甲车的4人恰有2名来自于同一个家庭且A户家庭两人需乘坐同一辆车的概率为P=12+12 C84=2470=1235．故答案为1235．16.答案：11√116解析：解：采用分割的方法，分别过M，N作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EFM−NGH，两个全等的四棱锥：M−AEFD，N−GBCH，∴这个几何体的体积：V=V EFM−NGH+2V N−GBCH=S△MEF×EG+2×13S矩形GBCH×NO=12×2×√112×3+2×13×12×2×√112=11√116．故答案为：11√116． 采用分割的方法，分别过M ，N 作与平面ABCD 垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， asinC −√3ccosA =0，由正弦定理得sinAsinC −√3sinCcosA =0，∵sinC ≠0 ∴tanA =√3∴A =π3；(Ⅱ)a =2，△ABC 的面积为√3， ∴S =12bcsinA =√34bc =√3，可得bc =4．由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得b 2+c 2−bc =4， 解得：b =c =2．解析：(Ⅰ)利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角A 的大小； (Ⅱ)通过a =2，△ABC 的面积为√3，以及余弦定理，即可求b ，c ．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，同角三角函数的关系式，考查计算能力．18.答案：解：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ，AC ∩AA 1=A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥AM ， ∵AB//A 1B 1，∴A 1B 1⊥AM ， 又AM ⊥B 1N ，A 1B 1∩B 1N =B 1， ∴AM ⊥平面A 1B 1N.(2)解：以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 设AA 1=a ，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)， B 1(1,0，a)，M(0,1，a2)，N(12,12,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，a 2)，B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−a)，∵AM ⊥B 1N ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−a 22=0，解得a =1，即AA 1=1， ∴B 1(1,0，1)，M(0,1，12)，C 1(0,1，1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)， B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−1)，C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1)， 设平面B 1NC 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y −z =0n⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −12y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，0)， 由(1)由知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)是平面A 1B 1N 的一个法向量，∴cos <n ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√52=√105．∴二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值为(√105)=√155．解析：(1)推导出AB ⊥平面ACC 1A 1，从而AB ⊥AM ，由AB//A 1B 1，得A 1B 1⊥AM ，再由AM ⊥B 1N ，能证明AM ⊥平面A 1B 1N.(2)以AB ，AC ，AA 1分别作为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A 1−B 1N −C 1的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则P(A)=C 32C 21C 21+C 31C 31C 22C 62C 42=730．(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，则获得一等奖的概率为P 1=C 32C 22C 62C 42=130， 获得三等奖的概率为P 3=2C 32C 22+C 31C 31C 21C 21C 62C 42=715， 所以P(B)=130+730+715=1115．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−1115)2=16225，P(X =1)=C 21×1115×(1−1115)=88225， P(X =2)=(1115)2=121225． X所以E(X)=0×16225+1×88225+2×121225=2215．解析：(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B ，先求出P(B)，由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．20.答案：解：(1)双曲线x 24−y 25=1的右焦点(3,0)，直线AB 的方程为y =x −3．代入双曲线的方程，可得x 2+24x −56=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=−24，x 1x 2=−56，∴弦AB 的中点C(−12,−15)，∴弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离√(3+12)2+(0+15)2=15√2；(2)弦AB 的长=√1+1⋅√(−24)2−4×(−56)=16√5．解析：(1)求出直线AB 的方程，代入双曲线方程，求出C 的坐标，即可求弦AB 的中点C 到右焦点F 2的距离；(2)利用弦长公式求弦AB 的长．本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 21.答案：解：(1)a =1时，f (x )=x (lnx −x )，定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx +1−2x ，令g(x)=lnx −2x +1，则g′(x)=1x −2，当0<x <12时g′(x)>0，g(x)递增，当x >12时g′(x)<0，g(x)递减，g(x)最大值为g(12)=ln 12<0，故f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减;(2)证明：由已知条件可得f′(x)=lnx +1−2ax =0有两个相异实根x 1，x 2，令f′(x)=ℎ(x)，则ℎ′(x )=1x −2a ，x >0，①若a ≤0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，f′(x)不可能有两根；②若a >0，令ℎ′(x)=0，得x =12a ，∴ℎ(x)在(0,12a )上单调递增，在(12a ,+∞)上单调递减，令f′(12a )>0，解得0<a <12，所以1e <12a ，f′(1e )=−2a e <0， 1a 2>12a ，f′(1a 2)=−2lna +1−2a <0，∴当0<a<1时，函数f(x)有两个极值点，2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘1，．令，，F(x)在(0,1)单调递减，所以F(x)>F(1)=−1，，得证．即f(x1)>−12解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、单调区间，以及函数的极值．(1)由f(x)=x(lnx−x)，得到f′(x)=lnx+1−2x，判断f′(x)<0，得到f(x)在(0,+∞)上单调递减；−2a，分类讨论a的情况，得到结果．(2)根据题意，构建f′(x)=ℎ(x)，由ℎ′(x)=1x22.答案：解：∵x=√t−√t∴x2=t+1−2t=x2+2∴t+1t)+2=3(x2+2)+2∴y=3(t+1t∴y=3x2+8∴曲线C的普通方程为：x2=y−8．3解析：根据消元法把曲线C的参数方程化为普通方程即可．本题主要考查了参数方程及普通方程之间的相互转化，属于基础题，解答此题的关键是要熟练掌握转化的方法．23.答案：解：(Ⅰ)由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1，，则不等式化为1−2a−1+a>1，解得a<−1；若a≤12<a<1，则不等式化为2a−1−(1−a)>1，解得a>1，即不等式无解；若12若a≥1，则不等式化为2a−1+1−a>1，解得a>1，综上所述，a的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)．(Ⅱ)由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020|+|y−a|恒成立，只需[f(x)]max≤[|y+2020|+|y−a|]min，当x∈(−∞,a]时，|x−2a|−|x−a|≤−a，[f(x)]max=−a，因为|y+2020|+|y−a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y−a)≤0时，[|y+2020|+|y−a|]min=|a+2020|，即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0)．解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想和转化问题，是中档题．(Ⅰ)由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；(Ⅱ)由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y−a|]min，分别求出[f(x)]max和[|y+2020|+ |y−a|]min，列出不等式求解集即可．。

2020年高二暑期数学补习题（模拟高考） (20)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合P ={x|2≤x ≤3}，Q ={x|x 2≤4}，则P ∪Q =( )A. (−2,3]B. [−2,3]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪[3,+∞)2. 将正弦曲线y =sinx 经过伸缩变换{x′=12xy′=3y后得到曲线的方程的周期为( ) A. π2B. πC. 2πD. 3π3. 下列命题中，正确的是( )A. ∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0=32B. 复数z 1,z 2,z 3∈C ，若(z 1−z 2)2+(z 2−z 3)2=0，则z 1=z 3C. “a >0,b >0”是“ba +ab ≥2”的充要条件D. 命题“∃x ∈R,x 2−x −2≥0”的否定是：“∀x ∈R,x 2−x −2<0”4. 在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A ，B ，C 三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是( ) A. 96 B. 72 C. 36 D. 24 5. 若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ，则它的直角坐标方程为( )A. x 2+(y +4)2=16B. x 2+(y −4)2=16C. (x −4)2+y 2=16D. (x +4)2+y 2=166. (x 2+2x )8的展开式中x 4的系数是( )A. 16B. 70C. 560D. 11207. 已知f(x)=e x −e −x2，则下列正确的是( )A. 奇函数，在R 上为增函数B. 偶函数，在R 上为增函数C. 奇函数，在R 上为减函数D. 偶函数，在R 上为减函数8. 已知椭圆x 25+y 2=1与直线y =√3(x −2)交于A ，B 两点，则AB =( )A. 8√5B. 4√5C. √5D. √529. f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−2,0)∪(0,2)D. (−2,0)∪(2,+∞)10. 学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A. 240B. 180C. 150D. 54011. 若M 为椭圆E ：x 24+y 23=1上动点，直线L 经过圆(x −1)2+y 2=12的圆心P ，且与圆P 交于A 、B 两点，则2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 18 B. 17 C. 16 D. 1512. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,1] B. (0,2] C. (−1,1] D. (−1,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为______ ． 14. 若f(x)={x,−1⩽x <0,x 2,0⩽x ⩽1,则f(log 42)=____.15. 设(2x +1)3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=______． 16. 已知函数f(x)=x|x|，若f(x 0)=4，则x 0的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ−π6)−3√3=0，曲线C 的参数方程为．(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最大值．18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −12m +12)(x −12m −2)≤0．(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．(结果用数字表示)(1)女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？(2)女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？20. (1)求函数f (x )=x +√1−2x,x ∈[0,14]的值域；(2)已知f (1−x )+2f (1+x )=3x −2，求f(x)的解析式．21. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．22. 已知f(x)=(|x −1|−3)2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)−ax −2有三个零点，求实数a 的值；(Ⅱ)若对任意x ∈[−1,1]，均有f(2x )−2k−2x ≤0恒成立，求实数k 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P∪Q．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解答】解：∵集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，∴P∪Q={x|−2≤x≤3}=[−2,3]．故选：B．2.答案：B解析：解：∵{x′=12x y′=3y，∴{x=2x′y=13y′，∴13y′=sin2x′，即y′=3sin2x′，∴变换后的曲线周期为2π2=π．故选：B．根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．本题考查了坐标系的伸缩变换，三角函数的周期，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，三角函数的最值，复数的应用，是基本知识的考查．【解答】解：因为y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2<32，所以A不正确；复数z1，z2，z3∈C，若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以B不正确；当a，b同号时，“ba +ab≥2”恒成立，所以C不正确；命题“∃x>0，x2−x−2≥0”的否定是：“∀x>0，x2−x−2<0”，满足命题的否定形式，所以D正确．故选D．4.答案：C解析：解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种对应方法，则一共有6×6=36种同分配方案；故选：C．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求．5.答案：B解析：【分析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题目．利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，求解即可．【解答】解：由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即ρ2=x2+y2，可得x2+y2=8y，整理得x2+(y−4)2=16．故选B．6.答案：D解析：由于(x2+2x )8展开式中通项公式为T r+1=C8r(x2)8−r(2x)r=2r C8r x16−3r，16−3r=4，r=4，展开式中x4的系数是24C84=1120．7.答案：A解析：f(−x)=e −x−e x2,f(−x)=f(−x)，所以为奇函数；y=e x上R为增函数，y=e x在R上是减函数，在y=−e−x上R是增函数．8.答案：D解析：【分析】本题考查了直线与椭圆相交弦长问题，考查计算能力，属于中档题．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，再由弦长公式即可求出．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x25+y2=1y=√3(x−2),消去y 得16x 2−60x +55=0， x 1+x 2=154,x 1.x 2=5516，所以AB =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+3√(154)2−4×5516=√52， 故选D ． 9.答案：A解析：解：f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增的，f(−2)=0， 可得f(x)在(0,+∞)也单调递增，且过点(2,0)， 故函数f(x)的图象大致如图所示：由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②. 解①求得x >2，解②求得x <−2，综上可得，不等式的解集为{x|x >2或x <−2}． 故选：A ．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 函数f(x)的图象大致如图所示，由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②，数形结合求得x 的范围．10.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、先将5位同学分成3组： 若分成1−2−2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A 33=6种情况，则每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法25×6=150种； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①、先将5位同学分成3组：需要分2种情况讨论，②、将分好的三组对应三所大学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 11.答案：B解析：解：设M(2cosθ,√3sinθ)．圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22．∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2． ∴4MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(√2)22=2[(1−2cosθ)2+(√3sinθ)2]−1=2(cosθ−2)2−1≤2×32−1=17，当cosθ=−1时取等号． ∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为17． 故选：B ．设M(2cosθ,√3sinθ).由圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22.由于MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12.答案：A解析：【分析】主要考查了函数的零点与方程的跟的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键． 【解答】解：由题意可知：函数f(x)的图象如下：由关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解， 可知方程a =f(x)与f(x)=0恰有三个不同的实数解， 由于f(x)=0只有一个解x =1，所以方程a =f(x)恰有两个不同的实数解，即函数y =a 与函数y =f(x)的图象恰有两个不同的交点． 由图象易知：实数a 的取值范围为(0,1]． 故选A ．13.答案：(0,10)解析：解：由题意得{x >01−lgx >0，即{x >0x <10，得0<x <10，故函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为(0,10)， 故答案为：(0,10)根据对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．14.答案：14解析：【分析】本题考查分段函数求值，属基础题． 先求log 42=12，再求f(12)的值即可． 【解答】解： 因为log 42=12log 22=12， 所以f (log 42)=f (12)=(12)2=14． 故答案为14．15.答案：27解析：解：令x =1，a 0+a 1+a 2+a 3=33=27， 故答案为：27令x =1可得a 0+a 1+a 2+a 3的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 16.答案：2解析：【分析】本题考查由函数解析式的应用，属于基础题目． 【解答】解：由题意可得f(x 0)=x 0|x 0|={x 02,x 0≥0−x 02,x 0<0，由f(x0)=4，可得当x 0=2． 故答案为2．17.答案：解：(1)由得，∴直线的直角坐标方程为x −√3y +3√3=0，由{x =cosα,y =√3sinα消α得曲线C 的直角坐标方程x 2+y 23=1； (2)设，，当时，d 取最大值，∴d max =√10+3√32．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，属于中档题．(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程；(2)利用椭圆的参数方程和点到直线的距离公式及辅助角公式求解即可． 18.答案：解：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0． 解得m−12≤x ≤m+42．∴¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴m−12>10，或12m +2<−2．∴m <−8，或m >21，所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，∴{m−12≥−212m +2≤10，∴−3≤m ≤16..所以实数m 的取值范围为[−3,16]．解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0.解得m−12≤x ≤m+42.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得m−12>10，或12m +2<−2.解得实数m 的取值范围．(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选， 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A 55种情况， 此时有6×A 55=720种站法；②女生甲不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在队尾，女生乙有5个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，此时有5×5×A55=3000种站法；则一共有720+3000=3720(2)根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，则此时有24×60=1440种站法；(3)根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，则女生甲要在女生乙的右方的排法有12×A77=2520种情况．解析：本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．(1)根据题意，分2种情况讨论：①女生甲排在队尾，②女生甲不在队尾，每种情况下依次分析女生乙和其他5名女生的站法数目，由分步计数原理可得每种情况下的站法数目，由加法原理，将两种情况的站法数目相加，即可得答案；(2)根据题意，用插空法分2步进行分析：①将4名男生全排列，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(3)根据题意，将7人全排列，计算可得7人全排列的站法数目，分析可得：女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，计算可得答案．20.答案：解：(1)设t=√1−2x，则t∈[√22,1]，x=1−t22，代入f(x)得，y=1−t22+t=−12(t−1)2+1，因为t∈[√22,1]，所以值域为[2√2+14,1]；(2)由题意得，f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，②由①②解得f(x)=3x−113．解析：(1)本题主要考查函数的值域.由题意设t=√1−2x，求出t的范围和x的表达式，代入f(x)化简后，根据一元二次函数的性质和t的范围，求出函数f(x)的值域；(2)本题主要考查函数的解析式的求解.因为f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，即可解得．21.答案：解：(Ⅰ)曲线C：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos2θ=λρsinθ，即：x2=λ2y，由于：曲线C的焦点F的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α， 整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α， 解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1， 可得函数图象如图所示：联立方程：(x −4)2=ax +2，由Δ=(a +8)2−56=0，可得a =−8±2√14，结合图象可知a =−8+2√14．同理(x +2)2=ax +2，由Δ=(4−a)2−8=0，可得a =4±2√2，因为4+2√2<K PQ =7，结合图象可知a =4−2√2，综上可得：a =−8+2√14或a =4−2√2．(Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t −4)，易得m(t)∈[−4,−3]，(2)当t ∈[12,1)时，m(t)=−t(t +2)，易得m(t)∈(−3,54],所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可．。

【关键字】暑假作业第15天三角函数的应用课标导航：会用三角函数图象与性质解决简单的实际问题一、选择题1. 若函数是偶函数，则（）A. B. C. D.2. 方程在内（）A.没有根B.有且仅有一根C.有且仅有两根D.有无穷多根3. 已知函数，设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为( )A．4∶3∶2 B．5∶6∶C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 5. 函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①；②；③；④．则其中属于“互为生成函数”的是（）A.①②B.①③C. ③④D.②④7. 某班设计了一个八边形的班徽（它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A.；B.C. D.8. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递加区间是( )A. B. C. D.和二、填空题9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为_______ _;10. 已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积 ;11. 矩形ABCD 中，轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 ;12. 定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP1⊥x 轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图像交于点P2,则线段P1P2的长为________________.三、解答题13. 已知函数.（1）若点在角的终边上，求的值； （2）若，求的值域.14. 设函数的图象经过点．（1）求的解析式，并求函数的最小正周期．（2）若，若是面积为的锐角的内角，，求的长．15.如图，已知△ABC 中，|AC|＝1，∠ABC ＝，∠BAC ＝θ，记f(θ)＝·.(1) 求f(θ)关于θ的表达式；(2) 求f(θ)的值域．16. 春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数（，，）（如图4），且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃．⑴ 求这段时间气温随时间变化的函数解析式；⑵ 这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？注：一昼夜指从凌晨0时（含）到午夜24时（不含）．【链接高考】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.第15天1~8 CCBD CBAD ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ;13.（1）；（2）.14.（1）函数的最小正周期；（2）15. (1)f(θ)＝·＝||·||cos ＝sin θ·sin ·＝sin －.(2) f(θ)的值域为.16. ⑴；⑵在每天的时或时的气温为℃．链接高考：(1)证明：在△ABC 中，由于sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC ，所以sinB ＝·，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝，△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2 。

2020高二文科数学暑假作业（一） 一、选择题 1．复数22()i i+= A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +2.设全集U 是自然数集N ，集合{}{}1,2,3,1A B x N x ==∈≤，则如图所示的阴影部分的集合为 A.{}0,1B.{}1,2C.{}2,3D.{}0,1,23. 已知x 0 1 23 y 1 35 7则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )95 5.在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换公式是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213.C ''6. 已知抛物线24y x =的准线与双曲线()2221,0x y a a-=＞交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是 A.3B.6C.2D.37.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为12，则该几何体的俯视图可以是8．过点M(2，0)作圆221x y +=的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），则MA MB ⋅=u u u r u u u rA．532 B ． 52 C ．332 D ．329．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 10．如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ） A. k≤11? B .k≥11? C.k≤10? D .k≥10?11．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（ )A. B. C. D. 12.已知函数()f x 满足：当()()()()211;12,log 7x x f x f x x f x f ≥=-==时，当＜时，则A.72B.74C.78D.716二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24， 则正（主）视图中a 的值为 .14.在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为___________________．15.已知实数[]0,10x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为(,)P x y 2212516x y +=A (3,0)||1AM =u u u u r 0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ||PM u u u u r23233i +OZ uuu r OZ uuu r60o'OZ u u u u r16．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+，当1,2,3,k =⋅⋅⋅时，观察下列等式可以推测A-B=_______________ 三、解答题 17．若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 18．(本小题满分12分)如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆所在平面互相垂直，F 为BC 的中点， 90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，22DC AC AE ===.（1）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （2）求证：AF ∥平面BDE ； （3）求四面体B CDE -的体积.19、己知等比数列{}n a 所有项均为正数，首11a =，且435,3,a a a 成等差数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若*21()n n S n N =-∈，求实数λ的值．20．（本小题满分12分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；(3)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.2013高二文科数学暑假作业（一）答案1-5 ACABC 6-10 BADBD 11-12BB 13． 6 14． 2i 15．1/216．41 17． (1)2'()3f x ax b =- 所以'(2)0f =,4(2)3f =-.即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,由此可解得13a =,4b =(2)31()443f x x x =-+ 2'()4(2)(2)f x x x x =-=-+所以()f x 在2x =-处取得极大值283,在2x =处取得极小值43-所以42833k -<< 18．（1）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC I 面ACDE AC =，CD AC ⊥,∴DC ⊥面ABC ，又∵DC ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . （2）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则FP12DC , 又∵EA12DC ，∴EA FP ， ∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，又∵EP ⊂面BDE 且AF ⊄面BDE ，∴AF ∥面BDE .（3）∵BA ⊥AC ，面ABC I 面ACDE =AC ， ∴BA ⊥面ACDE .∴BA 就是四面体B CDE -的高，且BA =2. ∵DC =AC =2AE =2，AE ∥DC ， ∴11(12)23,121,22ACE ACDE S S ∆=+⨯==⨯⨯=梯形 ∴312,CDES ∆=-= ∴1422.33E CDE V -=⨯⨯=19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件得423,3,q q q 成等差数列，所以4326q q q +=解得2,3=-=q q 或 由数列的所有项均为正数,则q =2数列{}n a 的通项公式为n a =12n -(*)n N ∈（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ 若0,0,2===n n S b λ不符合条件；若2≠λ， 则21=+nn b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2, 此时)12)(2()21(21)2(--=---=n n n S λλ又n S ＝21(*)n n N -∈,所以1=λ20．解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. （1）(1)(3)f f ''=，解得23a =. （3）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a.③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.。

2020年暑假高二数学补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5+i 1−i=( )A. 2+3iB. 3+3iC. 2−3iD. 3−3i2. 设集合M ={x|x 2≥9}，N ={x|x ≤−4}，则M ∩N =( )A. (−∞,−4]B. [3,+∞)C. (−∞,−3]∪[3,+∞)D. (−∞,−3]3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，则−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−12,5)B. (12,5)C. (−12,−5)D. (12,−5)4. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π−2α)=( )A. 725B. −725C. 925D. −9255. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是( )A. 2√2B. 4C. 4√2D. 86. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) A. 336种 B. 320种 C. 192种 D. 144种 7. 已知双曲线x 2m 2+12−y 25m−1=1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A. ±53B. ±35C. ±34D. ±438. 如图所示的算法框图的输出结果为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A. √64B. √63C. √26 D. √3610. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A. [12,54]B. [12,34]C. (0,12]D. (0,2]，11. 已知函数f(x)=2017x +log 2017(√x 2+1+x)−2017−x +3，则关于x 的不等式f(1−2x)+f(x)>6的解集为( ) A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (1,2) D. (1,4)12. 已知函数f(x)=(x −3)e x +a(2lnx −x +1)在(1,+∞)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. (e,+∞) B. (e,2e 2) C. (2e 2,+∞) D. (e,2e 2)∪(2e 2,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y，则2x −y 的最大值为______．14. 等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7+a 9=16，S 7=7，则a 12= ______ ． 15. 已知(ax +1√x )6(a >0)展开式中的常数项为60，则∫(a−a sinx +|x|)dx =______．16. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△MNF 的面积为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1=a 1，b 4=S 3．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =1bn ⋅log 2a 2n+2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12．18. 在中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且．(I)求角A 的大小； (II)已知面积为 √3，且外接圆半径 R =√3，求的周长．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．(1)求证：AE⊥PD；(2)若PA=4，求二面角E−AF−C的余弦值．20.某兴趣小组在网上看见一则消息称哈尔滨工业大学男女比例近似满足4：1，由于哈工大的专业偏向理科，该小组猜想高中生的文理科选修与性别有关．为了判断高中生的文理科选修是否与性别有关，该小组随机调查了100名学生的情况，得到如下图所示的2×2列联表理科文科合计男30女3545合计60(2)试通过计算说明，能否有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．,其中n=(a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005≥k0)K00.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87921. 已知函数f(x)=(x +a)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a <1时，试确定函数g(x)=f(x −a)−x 2的零点个数，并说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是坐标平面内一点，且|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 1的直线L 与该椭圆相交于M 、N 两点，且|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线L 的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i 2=2+3i ．故选：A ． 2.答案：A解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合M ，由此能求出M ∩N ． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， N ={x|x ≤−4}，∴M ∩N ={x|x ≤−4}=(−∞,−4]． 故选A ． 3.答案：C解析：解：∵向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2,7+3)=(1,10)， ∴−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−5)． 故选：C ．根据平面向量的加法运算法则，进行加减运算即可．本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应根据平面向量的线性运算进行解答，是基础题． 4.答案：A解析：解：∵sin(π2−α)=cosα=35，∴cos(π−2α)=−cos2α=1−2cos 2α═1−2×(35)2=725，故选：A ．由已知及诱导公式可求cosα，由诱导公式和二倍角公式化简所求后代入cosα的值即可求解． 本题主要考察了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 5.答案：B解析：解：∵在各项均为正数的等比数列{a n }中， a 2=1，a 8=a 6+2a 4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+2a1q3 q>0，解得a1=√22，q=√2，∴a6=a1q5=√22×(√2)5=4．故选：B．由已知条件利用等比数列的性质求解．本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21⋅C43⋅A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22⋅C42⋅A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．求出双曲线的实轴长，得到m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可．【解答】解：双曲线x2m2+12−y25m−1=1的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=−2(舍去)，所以双曲线的渐近线方程为：x4±y3=0，则该双曲线的渐近线的斜率：±34．故选：C．8.答案：D解析：【分析】根据程序框图得出结果．【解答】解：由程序框图可得：先把2赋给a，再把4赋给a，所以最后a的值为4+4=8．故选D．9.答案：A解析：【分析】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．由题意得到∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，根据AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，再放在三角形AB 1C 中，求出cos∠AB 1C ，即可得到答案． 【解答】解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°， 则∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，因为AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，在三角形AB 1C 中，|AB 1|=√3+3=√6,|B 1C |=|AC |=√1+3=2，过C 作CE ⊥AB 1，垂足为E ， 则E 为AB 1的中点，所以cos∠AB 1C =|B 1E ||B1C |=√622=√64， 则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为√64． 故选A ．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题由条件利用正弦函数的减区间可得{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，由此求得实数ω的取值范围． 【解答】解：∵ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，求得12≤ω≤54，故选：A．11.答案：A解析：【分析】本题考查了依据函数的奇偶性和单调性来解不等式，属于中档题．先判断奇偶性和单调性，再构造不等式，求解．【解答】解：令，定义域为R，因为g(x)+g(−x)=2017x+log2017(√x2+1+x)−2017−x+2017−x+log2017(√x2+1−x)−2017x=log20171=0，定义域关于原点对称，所以g(x)为奇函数，又结合指数函数、对数函数性质易知g(x)单调递增，则f(1−2x)+f(x)>6等价于g(1−2x)+g(x)>0，所以g(1−2x)>−g(x)=g(−x)，即1−2x>−x，解得x<1．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．【解答】解：由题意，函数，可得f′(x)=e x+(x−3)e x+a(2x−1)=(x−2)(e x−ax )=(x−2)(xe x−ax)，又由函数f(x)在(1,+∞)上有两个极值点，则f′(x)=0，即在(1,+∞)(x−2)(xe x−ax)=0上有两解，即xe x−a=0在在(1,+∞)上有不等于2的解，令g(x)=xe x，则g′(x)=(x+1)e x>0,(x>1)，所以函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(1)=e且a≠g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即(x−2)(xe x−ax)≥0在(1,2)上恒成立，即xe x−a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥xe x在1，2)上恒成立，又由函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(2)=2e2，综上所述，可得实数a的取值范围是a>2e2，即a∈(2e2,+∞)，故选C ．13.答案：3解析：解：作出{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y 对应的区域(如图阴影)，设z =2x −y ，变形目标函数z =2x −y 可得y =2x −z ， 平移直线y =2x 可得：当直线经过点A(2,1)时，直线的截距最小， z 取最大值，代值计算可得2×2−1=3， 故答案为：3作出平面区域，变形目标函数z =2x −y 平移直线y =2x 可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 14.答案：15解析：解：∵a 7+a 9=2a 8=16， ∴a 8=8，∵S 7=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=7a 4=7，∴a 4=1∵2a 8=a 4+a 12， ∴a 12=15． 故答案为15．根据等差中项的性质分别根据a 7+a 9=16，S 7=7求得a 8和a 4，最后根据2a 8=a 4+a 12求得a 12． 本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题． 15.答案：4解析：解：根据题意，(ax +√x )6(a >0)展开式的通项T r+1=C 6r(ax)6−r (√x )r ， 令r =4可得，T 5=C 64(ax)2(√x )4=15a 2， 又由其展开式中的常数项为60， 即15a 2=60，且a >0，则a =2，∫(a−a sinx+|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx −x)dx +∫(20sinx +x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02=4；故答案为：4．根据题意，由二项式定理可得(ax +1√x )6(a >0)展开式的通项，令r =4可得其常数项，结合题意可得15a 2=60，解可得a 的值，又由定积分计算公式可得∫(a−a sinx +|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx−x)dx +∫(20sinx+x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02，计算可得答案．本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键求出a 的值．16.答案：3√22解析：【分析】本题考查了抛物线的定义，标准方程及简单性质，属于中档题．根据抛物线的性质和2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知NE//x 轴，从而可得E 点坐标，求出M 、N 的坐标，计算MN ，NF 即可求出三角形的面积． 【解答】解：准线方程为x =−1，焦点为F(1,0)， 不妨设N 在第三象限，∵2NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是MF 的中点， ∴NE =12MF =EF ，∴NE//x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上， ∴E(12,−√2)，∴N(−1,−√2)，M(0,−2√2)， ∴NF =√6，MN =√3， ∴S △MNF =12×√6×√3=3√22． 故答案为：3√22． 17.答案：(I)解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1，∴a n=1×2n−1=2n−1．∵设等差数列{b n}的公差为d，满足b1=a1，b4=S3，∴b1=1，b1+3d=1+2+22，解得d=2．∴b n=1+2(n−1)=2n−1．∴a n=2n−1.b n=2n−1．(2)证明：c n=1b n⋅log2a2n+2=1(2n−1)⋅log222n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{c n}的前n项和为T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)，∵数列{1−12n+1}为单调递增数列，∴T1=13≤T n<12．∴13≤T n<12．解析：(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(2)由于c n=1(2n−1)⋅log222n+1=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”可得数列{c n}的前n项和为T n=1 2(1−12n+1)，再利用数列的单调性即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：，，即，，又0<A<π，∴A=π3；，，面积为√3，，得bc=4，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=√21，∴周长a+b+c=3+√21.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和二倍角公式及其应用，是中档题．(I)由二倍角公式化简得，即可得，得出A的大小；(II)由正弦定理得，由面积为√3，得bc=4，再由余弦定理得b +c =√21，从而得出结果．19.答案：(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． 又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD =A ， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥PD ；(2)解：由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2√3,−2,0)，C(2√3,2，0)，D(0,4，0)，P(0,0，4)，E(2√3,0，0)，F(√3 ,1,2)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3 ,1,2). 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，因此{2√3x 1=0√3x 1+y 1+2z 1=0，取z 1=−1，则m⃗⃗⃗ =(0,2，−1)， 连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ． ∵BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，PA 、AC ⊂平面AFC ， ∴BD ⊥平面AFC ，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的法向量． 又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,6，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√48=√155． ∵二面角E −AF −C 为锐二面角， ∴所求二面角的余弦值为√155．解析：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求解二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．(1)由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形，由E 为BC 的中点，得AE ⊥BC.进一步得到AE ⊥AD.再由已知得PA ⊥AE.由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PAD ，从而得到AE ⊥PD ； (2)由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出平面AEF的一个法向量，证明BD ⊥平面AFC ，可知BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的一个法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角E−AF−C的余弦值．≈10.77>6.635，(2)K2=100(30×35−10×25)240×60×55×45∴有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．解析：(1)根据表中数据，完成该2×2列联表．(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．21.答案：(Ⅰ)解：因为f(x)=(x+a)e x，x∈R，所以f′(x)=(x+a+1)e x，令f′(x)=0，得x=−a−1，当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调减区间为(−∞,−a−1)；单调增区间为(−a−1,+∞)．(Ⅱ)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)=f(x−a)−x2=0，得方程xe x−a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解，所以x=0是函数g(x)的一个零点，当x≠0时，方程可化简为e x−a=x，设函数F(x)=e x−a−x，则F′(x)=e x−a−1，令F′(x)=0，得x=a，当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：即F(x)的单调增区间为(a,+∞)；单调减区间为(−∞,a )， 所以F(x)的最小值F (x )min =F (a )=1−a >0， 因为a <1，所以F (x )min =F (a )=1−a >0， 所以对于任意x ∈R ，F (x )>0， 因此方程e x−a =x 无实数解． 所以当x ≠0时，函数g(x)不存在零点． 综上，函数g(x)有且仅有一个零点.解析：(Ⅰ)求出导函数，根据导数的正负求出函数的单调区间；(Ⅱ)由F(x)=e x−a −x ，令F′(x)=0，得x =a.求出函数的单调区间，得到F(x)的最小值为F(a)=1−a.通过a 的范围，综合得出函数的零点个数．22.答案：解：(1)设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则由|OP|=√72，得x 02+y 02=74． 由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34，得(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=34．即x 02+y 02−c 2=34，∴c =1． 又∵c a=√22，∴a 2=2，b 2=1．因此所求椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由已知可得，直线L 的斜率显然存在， 设直线L 的方程为y =k(x +1)，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2(k 2−1)=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1．∵|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1+c,y 1)=−2(x 2+c,y 2), ∴y 1=−2y 2， ∴{−y 2=y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k2k 2+1−2y 22=y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，解得：k =±√142．∴直线L 的方程为y =±√142(x +1)．即√14x −2y +√14=0或√14x +2y +√14=0．解析：(1)设出P 点和两焦点坐标，由|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34列出方程组求解c 的值，然后结合离心率和隐含条件a 2=b 2+c 2求得a ，b 的值，则椭圆的方程可求；(2)由题意可知直线L 的斜率存在，设出直线方程，和椭圆方程联立后得根与系数的关系，由|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得到M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数关系列式求解k 的值，则直线L 的方程可求． 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是由向量的关系得到坐标的关系，是高考试卷中的压轴题．。