2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点30 数列前n项和与数列的通项

等差数列及其前n 项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】 (1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D ．12(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．15答案](1)B (2)B 解析] (1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 【类题通法】1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．【对点训练】1. (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. 答案] (1)C (2)－72解析] (1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.考点二、等差数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n .解析] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7. 【类题通法】1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．【对点训练】2．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案] (1)C (2)A解析] (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2) 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .考点三、等差数列的性质与最值【例3】 (1)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 A ．2 B ．8 C ．7D ．4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．答案] (1)C (2) n ＝7解析] (1)法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.(2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ， 即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大. 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大. 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大. 【类题通法】 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .【对点训练】3．(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．297(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 15＝( ) A ．60 B ．70 C ．90D ．40答案] (1)B (2)A解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)因为数列{a n }为等差数列，所以S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等差数列，设S 15＝x ，则10,20，x －30成等差数列，所以2×20＝10＋(x －30)，所以x ＝60，即S 15＝60.。

第六章⎪⎪⎪ 数 列第一节数列的概念与简单表示突破点(一) 数列的通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[例1] 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； 本节主要包括2个知识点： 1.数列的通项公式；2.数列的单调性.(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋ －1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n 项和第n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控．(3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．利用a n 与S n 的关系求通项[例2] n n n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，所以{a n }的通项公式为a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2×3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． 所以当b ＝－1时，a n ＝2×3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.[方法技巧]已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．利用递推关系求通项[例3] (1)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n 2＋n ，则a n ＝________；(2)若数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则通项a n ＝________；(3)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________； (4)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. [解析] (1)由条件知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n －1－1n ， 即a n －a 1＝1－1n ，又∵a 1＝12，∴a n ＝1－1n ＋12＝32－1n .(2)由a n ＋1＝nn ＋1a n (a n ≠0)，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，b n ≠0，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1. [答案] (1)32－1n (2)23n (3)2n ＋1－3 (4)2n ＋1[方法技巧]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．(5)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋ －1 n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式．2.[考点一]数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D 所给数列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，…，通过对比各选项，可知选D.3.[考点二]已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2 D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.4.[考点三]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝ n －1 2＋n 2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．5.[考点三]若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式． 解：由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.又因为当n ＝1时满足此式，所以a n ＝2n－1.突破点(二) 数列的单调性数列的分类[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1， 即a 1(λa 1－2)＝0.若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0； 当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)． 则b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0，故当n ＝6时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项的和最大．[方法技巧]1．判断数列单调性的两种方法 (1)作差比较法a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法 ①当a n >0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．②当a n <0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．利用数列的单调性求参数的取值范围[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3C ．(2,3)D ．(1,3)[解析] 因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a ×2＋2≤a ，解得83≤a ＜3，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3. [答案] B [方法技巧]已知数列的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理．(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0解析：选D a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.2.[考点一]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则a n 是递减数列．设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3 k ＋1 ≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.3.[考点二]已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：∵对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ. 又∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1－a n >0，且当n ＝1时，a n ＋1－a n 最小， ∴a n ＋1－a n ≥a 2－a 1＝3＋λ>0，∴λ>－3. 答案：(－3，＋∞)4.[考点一、二]已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2 n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2 n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2 n －1 ＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n , a 8＝2，则a 1 ＝________.解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：123．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12.[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故该数列的一个通项公式为n2n －1.2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10解析：选C a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8解析：选B ∵a n ＋1a n ＝2n，∴a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2.则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.5．现定义a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为________．解析：令5n＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n 在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：110[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33解析：选C 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.3115解析：选A 令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.3．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C.5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.6．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.12B.12C.15D.110解析：选C ∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15. 二、填空题7．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.答案：318．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该数列的第10项．答案：109．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1，b 1＝－p ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数p 的取值范围为________．解析：由题中条件，可得1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝21a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是等比数列，所以1a n＋1＝2n ，可得b n ＋1＝2n (n －p )，则b n ＝2n －1(n －1－p )(n ∈N *)，由数列{b n }是单调递增数列，得2n (n －p )>2n －1(n －1－p )，则p <n ＋1恒成立，又n ＋1的最小值为2，则p 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 答案：1n三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整理得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 第二节等差数列及其前n 项和突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝n a 1＋a n2.本节主要包括3个知识点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n 项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(5)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”等差数列的基本运算[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2016·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2D ．3[解析] (1)∵a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5，则公差d ＝a 4－a 3＝2，故选B. (2)由S 3＝3 a 1＋a 3 2＝6，且a 1＝4，得a 3＝0， 则d ＝a 3－a 13－1＝－2，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2] (1)n 396n n 的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. [解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9， 所以3a 6＝27，所以a 6＝9， 所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列， 所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6， 所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)， 即2×15＝9＋(a 5＋b 6)， 解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)21能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱 解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.[解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20[例2] n 1n 512n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n n －12d＝na 1＋n n －1 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋ n －1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三：由于S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋1 a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n为整数， 故使得a n b n为整数的正整数n 的个数是5. 答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12 n －1 ＝－12n n －1 ，所以a n ＋1＝－12n n ＋1 ，而a n ＋1－a n ＝－12n n ＋1 －－12n n －1 ＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n n －1 n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． 3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，其中c ≠0. ∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8× 8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋ m －1 d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m m －1 d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －1 ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C.4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2 n －1 2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2016·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝ a 2＋a 4 ·52，得25＝ 3＋a 4 ·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________． 解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．95B ．100C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2017·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7 b 1＋b 7 2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17 a 1＋a 172＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选 C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n 2n －1 d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A ．310 B ．212 C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n n －12。

2018年高考数学数列专题复习通项与前n 项和通法一、问题描述一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用n S 与1-n S 的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。

第二、求数列的前n 项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。

第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。

这是解决好数列问题的重中之重。

二、智慧笔记1. 证明等差等比数列① 等差数列的证明方法：（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ ② 等比数列的证明方法： （1）定义法：1n na q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥g 2. 通项}{n a 的求法① 累加法：数列有形如)(1n f a a n n +=+的递推公式，且)}({n f 的前n 项和可求，可利用累加法求))((211∑=--+=ni i in n aa a a a 。

② 累乘法：数列有形如n n a n f a ⋅=+)(1的递推公式，且)}({n f 的前n 项积可求，则利用累乘法求出通项))2((123121≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n a a a a a a a a a n n n n 。

③ 已知通项公式n a 与前n 项和n S 关系求通项：利用n a 和n S 的关系，若给出n S 或可以求出n S ，则可利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a a n nn ，求n a 。

④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为q pa a n n +=-1型【其中，p,q 为常数，0)1)(1(≠--q p pq 】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，再设n n b a =+λ，则}{b n 即为以λ+=11a b 为首项，p 为公比的等比数列，求出}{b n 的通项公式，从而求出n a ；（Ⅱ）递推公式为11--+=n n n q pa a 型【其中p,q 为常数0)1)(1(≠--q p pq 】.方法为：先在原递推公式两边同除以n q ，得qq a q p q a n n n n 111+⋅=--，引入辅助数列}{b n （其中nn n q a b =），得qb q p b n n 11+⋅=-，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。

等比数列及其前n 项和【知识清单】一．等比数列的有关概念 1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}na A(na A总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 对点练习：【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ， 13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列D. 可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】C【解析】∵a n+1=3S n ， ∴S n+1−S n =3S n ， ∴S n+1=4S n ，若S 1=0，则数列{a n }为等差数列；若S 1≠0，则数列{S n }为首项为S 1，公比为4的等比数列，∴S n =S 1⋅4n −1， 此时a n =S n −S n −1=3S 1⋅4n −2(n ⩾2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。

考点三十一 数列的求和知识梳理1．公式法求和 常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.(3)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(4)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；(5)13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24；(6)1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2； (7)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . 2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和． 4.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和． 常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；5.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．典例剖析题型一 错位相减法求和例1 (2015山东文)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.变式训练 (2015湖北文)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n 2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.解题要点 错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确． 题型二 利用裂项相消法求和例2 (2015江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 答案2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n (n ＋1)2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n (n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 变式训练 (2015安徽文)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9.可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1 ＝1－12n ＋1－1.解题要点 熟记常见的裂项公式是求解的关键． 题型三 分组求和与并项求和例3 数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________.答案 n 2＋1－12n解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 变式训练 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 6解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．当堂练习1．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为____________. 答案 23⎝⎛⎭⎫1－14n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为____________.答案 12(n ＋2＋n ＋1－2－1)解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).3. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 100解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 4．已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为12，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，a 1＋d ＋2b 1＝6，解得a 1＝2，d ＝3，b 1＝12，所以a n ＝3n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋8×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，① ①×12得12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(3n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，整理得T n ＝－(3n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n＋5.课后作业一、 填空题 1．122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为____________. 答案 34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为____________. 答案 －815解析 设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . 所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1＝－815.3．若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是____________. 答案 n (n ＋2)解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ， ∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2).4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝____________.答案 2n ＋1－n －2解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋23＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.5．设数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝____________. 答案 50解析 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－1＋2－3＋4＋…＋(－1)200·100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50.6．已知数列{}a n ：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{}b n 的前n 项和S n 为____________. 答案4nn ＋1解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列{1a n a n ＋1}，其前n 项和为S n ，则S n 等于____________.答案n 2n ＋1解析 ∵a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.8．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为____________. 答案512解析 b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.9．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 (n －1)·2n ＋1解析 由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .②由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝____________. 答案 15解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10·28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.11． (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5 050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050.二、解答题12． (2015天津文)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解析 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3，所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.13．(2015福建文)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.。

等差数列及其前n 项和【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列中，若，则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=，9k S =，则k a =__________， 1a 的最大值为__________．【答案】 5 4.【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q=+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值． 对点练习：1.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a += （ ） A ．10 B ．18 C ．20 D ．28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1（理）】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，68S =，则{}n a 的公 差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=，414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=，()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且2142S=，若记2119132a a a n b --=，则数列{}n b （ ）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列 【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式 若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析：（1）先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=，进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n n n n a b -=⨯= 从而求得()212nn b n =-⋅，然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+：解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=， 故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n n n n a b -=⨯= ∴()212nn b n =-⋅， ∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥，且1359a a a ++=， 24612a a a ++=，则345a a a ++=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【2-2】【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中， 28a =， 52a =，且122n n n a a a ++-=（*n N ∈），则1210a a a +++的值是（ ）A. -10B. 10C. 50D. 70 【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由2582a a ==，，可得1102a d ==-，，，所以212n a n =-+，，当1n 6≤≤时， 0n a ≥，当7n ≥时， 0n a <，所以1210610250a a a S S +++=-=，选C ．【2-3】 【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=， ()388132a a -+=，则下列选项正确的是（ ）A. 1212S =， 58a a >B. 1224S =， 58a a >C. 1212S =， 58a a <D. 1224S =， 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=， ()388132a a -+=可得：()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-，构造函数3()f x x x =+，显然函数是奇函数且为增函数，所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-， 58a a >，又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=，故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-，且对任意的正整数m,n,p,q ，当m n p q +=+时，都有m n p q a b a b -=-，则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________． 【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-， 22b =-， 3122,a b a b -=-得33a =，又11n n n n a b a b ++-=-，11110n n n n a b a b a b +++=+==+=，即,2n n n n n a b a b a =--=，原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+，即{}n a 为等差列， n a n =，()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019，填2019. 考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d = ；n S 为最大值时的n = ． 【答案】2d =- 10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-，因为31(31)a a d =+-，1162(2)a ∴=+⨯-，120a ∴=，221n S n n ∴=-+，当212(1)n =-⨯-，由n ∈Z 得10n =或11时，n S 为最大值．【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{ 71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时， 6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{ 71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-， 故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列{}n a 中，已知a 1＝20，前n 项和为n S ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．【错解一】 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.得d ＝－53，a n ＝20－(n －1)·53. 当a n ＞0时，20－(n －1)·53＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.【错解二】 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53，令⎩⎪⎨⎪⎧20＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＞0， ①20＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53≤0， ② 由①得n ＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n 有最大值S 12＝130.易错分析： 错解一中仅解不等式a n ＞0不能保证S n 最大，也可能a n ＋1＞0，应有a n ≥0且a n ＋1≤0. 错解二中仅解a n ＋1≤0也不能保证S n 最大，也可能a n ≤0，应保证a n ≥0才行．正确解析： 解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142 d.∴d＝－53. ∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0.即当n≤12时，a n ＞0，n≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130. 解法二：同解法一，求得d ＝－53，∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 解法三：同解法一，求得d ＝－53，又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴5a 13＝0，即a 13＝0.又a 1＞0，∴a 1，a 2，…，a 12均为正数．而a 14及以后各项均为负数，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a 1＞0，d ＜0时，S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；②当a 1＜0，d ＞0时，S n 最小⇔100n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4.【解析】方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数.试题解析：（1）525125252a a d ---===---， 所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）13a =，()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4。