2016-2017年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校联考高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2016~2017学年度第一学期高二理科数学第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1．直角坐标()3,1-P 转化为极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．抛物线214y x =-的准线方程为（ ） A ．116x =B ．1y =C ．1x =D ．116y =3．命题“若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0a b ≠≠，则220a b +≠B ．若0a b =≠，则220a b +≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠4．直线533x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（为参数）的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．若()xf x e =，则()()121limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．eB ．2eC ．e -D ．12e 7．用数学归纳法证明“()1111232n f n +++⋅⋅⋅+<”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是（ ） A ．12k - B ．21k - C ．2kD ．21k+8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨ 9．设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．﹣210．不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x ≤- B ．0x <或2x >C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥11．曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知O 为坐标原点，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．34第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13．曲线1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 10ρθρθ-+=的最大距离为14．若函数()()'221f x f x x =+，则()1f -=15．已知0a >，不等式2142,3,,x x x x +≥+≥⋅⋅⋅可推广为1n ax n x+≥+，则a = 16．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上所有正确的序号) ①f (x )＝x 2， ②f(x)＝sinx ， ③f (x)＝lnx ， ④f (x)＝tanx ， ⑤f (x )＝x ＋1x.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题满分10分）已知函数()2sin cos xf x x x e x =++⋅（1）求该函数的导数()'fx（2）求函数()f x 在0x =处的切线方程18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程220x x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：对任意[08]x ∈,,不等式log (1)x +≥23m m -恒成立．若“p 或q”是真命题，“p 且q”是假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若22+=a a （a 为常数），且n S 是n na 与na 的等差中项．（1）求431,,a a a ；（2）猜想出n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.21．（本小题满分12分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN 为直径的圆恰好经过原点.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P的E-且与曲线C交于A，B两点．轨迹为曲线C，直线过点(1,0)（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.高二理科数学联考试卷参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）131 14． 515． n n 16． ①②③⑤ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.解：（1）()()()()'''2cos cos cos 2cos cos sin x x x f x x x e x e x x x e x x =+++=++-…5分（2）()'0k f==2，切点为()0,1.所以切线方程为21y x =+…………5分18.解：命题p ：方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m ＞0，解得m ＜1；命题q ：f(x)=log (x+1),则f(x)在(1)-,+∞上为减函数，[08]x ∈,,∴当x=8时min ()(8)2f x f ,==-. 不等式log 2(1)3x m m +≥-恒成立,等价于223m m -≥-,解得12m ≤≤. …………6分p 且q 为假,p 或q 为真,则p 与q 有且只有一个为真. 若p 为真,q 为假,那么121m m m <>,⎧⎨<⎩则1m <.若p 为假,q 为真,那么 121m m ≤≤,⎧⎨≥,⎩则12m ≤≤. ……………10分综上所述2m ≤. ……………12分19.解：（1）由已知得n aa na na S n n n ⋅+=+=22， 当1=n 时，2111aa S a +==，则a a =1；当3=n 时，3233213⋅+=++=aa a a a S ，而22+=a a ， 于是可解得43+=a a ；同理可解得64+=a a .………………5分（2）由（1）中的 ,6,4,2,4321+=+=+==a a a a a a a a ，猜测出2(1)n a a n =+-. 数学归纳法证明如下：①当1=n 时，12(11)a a a ==+-，猜想成立； 当2=n 时，222(21)a a a =+=+-，猜想也成立.②假设当*(,2)n k k N k =∈≥时猜想成立，即2(1)k a a k =+-， 则当1+=k n 时，111(1)2k k k k a aa S S k ++++=-=⋅+-k a a k ⋅+2， 即1(1)k k k a ka a +-=-， 由2≥k 可得12(1)11k k ka a ka k k aa k k +-+--==--， 即122[(1)1]k a a k a k +=+=++-， 也就是说，当1+=k n 时猜想也成立.由①、②可知对任意的*n N ∈，2(1)n a a n =+-都成立. ………………12分20. 解：21. 解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线不经过点E ，所以直线一定有斜率 设直线方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2…………12分 法二：设直线方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+=直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2…………12分22. 解.（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．…………4分（2）存在△AOB 面积的最大值.因为直线过点(1,0)E -，可设直线的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=． 由22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得1y =2y =则21||y y -=．…………8分 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-==设1()g t t t=+，t =t ≥．则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()g t ≥．所以AOB S ∆≤0m =时取等号，即max ()AOB S ∆=．所以AOB S ∆．…………12分。

2015-2016学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数2．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（f（1+i））=（）A．2 B．0 C．3 D．2﹣2i3．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．94．下列正确的是（）A．如果两个复数的积是实数，那么这两个复数互为共轭复数B．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=122 D．在复平面中复数z满足|z|=2的点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆5．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“不便宜”是“好货”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．12月26号南昌地铁一号线正式运营，从此开创了南昌地铁新时代，南昌人民有了自己开往春天的地铁．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t分钟后的距离为s=t4﹣4t3+16t2，则列车瞬时速度为零的时刻是（）A．4分末B．8分末C．0分与8分末D．0分，4分，8分末7．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9．如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）A．B． C．D．10．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜11．已知椭圆C： +y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中O为坐标原点），则称点P为“闪光点”．下列结论正确的是（）A．椭圆C上的所有点都是“闪光点”B．椭圆C上仅有有限个点是“闪光点”C．椭圆C上的所有点都不是“闪光点”D．椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“闪光点”12．随着学习的深入我们发现很多对事物的看法已经颠覆了我们传统的认识，例如直线与曲线有且只有一个交点并不能说直线是曲线的切线，曲线的切线与曲线的切点也不一定只有一个．若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|，③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．③④C．①④D．②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=．14．函数y=f（x），定义域为（，3），其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为．15．曲线y=x2与y=围成的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积是．16．在抛物线y2=2px（p＞0）中有如下结论：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=f（x）为定值，请把此结论类比到椭圆中有：；当椭圆方程为+=1时， +=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的解答过程）17．已知F（x）=（3t2+2at+b）dt，若函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，（1）求a，b的值．（2）若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立时求实数c的取值范围．18．在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点A，B，过这两点引一条割线，抛物线在点Q平行于该割线的一条切线同时与圆5x2+5y2=36相切（1）求切点Q的横坐标（2）求切线和坐标轴所围三角形面积．19．命题p：函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，命题q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，如果命题“p ∧q”为真命题，求实数m的取值范围．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）21．已知a∈R，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当x∈（0，+∞）时，不等式e x≥x2﹣2ax+1恒成立，求a的范围．22．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）若f（x）≤0对定义域所有x恒成立，求k的取值范围；（3）n≥2，n∈N时证明+++…+≤．2015-2016学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．2．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（f（1+i））=（）A．2 B．0 C．3 D．2﹣2i【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法；复数的基本概念．【分析】此题考查分段函数和复数的简单计算，由内而外计算，注意计算时选择哪个函数式【解答】解：根据题意，f（f（1+i））=f（（1﹣i）（1+i））=f（2）=3，故选C．3．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．4．下列正确的是（）A．如果两个复数的积是实数，那么这两个复数互为共轭复数B．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=122 D．在复平面中复数z满足|z|=2的点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据共轭复数的定义进行判断即可；B反证法要假设结论的反面成立；C根据条件可得1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，…可得a10+b10=123．D显然成立．【解答】解：A如果两个复数的积是实数，那么这两个复数不一定互为共轭复数，比如2×3，故错误；B用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根，故错误；C观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=123，故错误；D根据复平面的定义，显然正确．故选：D．5．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“不便宜”是“好货”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．【解答】解：“好货”一定不便宜，反之“真是便宜没好货”，因此“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．故选：B．6．12月26号南昌地铁一号线正式运营，从此开创了南昌地铁新时代，南昌人民有了自己开往春天的地铁．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t分钟后的距离为s=t4﹣4t3+16t2，则列车瞬时速度为零的时刻是（）A．4分末B．8分末C．0分与8分末D．0分，4分，8分末【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求导，利用导数等于零，即可求出列车瞬时速度为零的时刻．【解答】解：s=t4﹣4t3+16t2，∴s′=t3﹣12t2+32t，∴s′=t3﹣12t2+32t=0，即t（t﹣4）（t﹣8）=0，解得t=0，t=4，t=8，故选：D．7．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】结合图象得到f（x）的单调性，从而求出导函数的大致图象．【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递减，故x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，故选：D．8．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象与图象变化．【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．9．如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）A．B． C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联解方程组，得直线与抛物线交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），因此求出函数3﹣x2﹣2x在区间[﹣3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．【解答】解：由，解得或∴直线y=2x与抛物线y=3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2）∴两图象围成的阴影部分的面积为=（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]=，故选：D10．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞]上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞]上恒成立问题求解．【解答】解：f′（x）=，由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥ln恒成立，∴ln≤0，即≤1，∴a≥e故选：C．11．已知椭圆C： +y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中O为坐标原点），则称点P为“闪光点”．下列结论正确的是（）A．椭圆C上的所有点都是“闪光点”B．椭圆C上仅有有限个点是“闪光点”C．椭圆C上的所有点都不是“闪光点”D．椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“闪光点”【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆上的点P（x0，y0），通过焦半径公式，利用|PO|2=|PF1|•|PF2|，求出x0，得到结果．【解答】解：设椭圆上的点P（x0，y0），|PF1|=2﹣ex0，|PF2|=2+ex0，因为|PO|2=|PF1|•|PF2|，则有，解得，因此满足条件的有四个点，故选：B．12．随着学习的深入我们发现很多对事物的看法已经颠覆了我们传统的认识，例如直线与曲线有且只有一个交点并不能说直线是曲线的切线，曲线的切线与曲线的切点也不一定只有一个．若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|，③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．③④C．①④D．②③【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线；③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，此函数有自公切线；④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【解答】解：①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线；③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线；④由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2﹣3=0，图象如右，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=5﹣e2．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，分别找出一次函数2x和指数e x的原函数然后代入计算即可．【解答】解：=∫022xdx﹣∫02e x dx=x2|02﹣e x|02=4﹣（e2﹣1）=5﹣e2，故答案为5﹣e2．14．函数y=f（x），定义域为（，3），其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为[﹣，1]∪[2，3）．【考点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【分析】利用导数的符号和单调性之间的关系，确定不等式的解集，f′（x）≤0对应f（x）的图象中，函数为单调递减部分．【解答】解：∵f′（x）≤0，∴对应函数f（x）的单调递减区间，由函数f（x）图象可知，当﹣≤x≤1和2≤x＜3时，函数单调递减，∴不等式f′（x）≤0的解集为[﹣，1]∪[2，3）．故答案为：[﹣，1]∪[2，3）．15．曲线y=x2与y=围成的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积是．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】欲求曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=π（x﹣x4）在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V，则，V==故旋转体的体积为：．16．在抛物线y2=2px（p＞0）中有如下结论：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=f（x）为定值，请把此结论类比到椭圆中有：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B则+=为定值；当椭圆方程为+=1时， +=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由类比推理，来得到关于椭圆的类似结论，易知在椭圆中有“+=”求解即可．【解答】解：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=，类比到椭圆中有：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B 则+=为定值，当椭圆方程+=1时， +=．故答案为：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B 则+=为定值；．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的解答过程）17．已知F（x）=（3t2+2at+b）dt，若函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，（1）求a，b的值．（2）若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立时求实数c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；定积分；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到0，2是方程3x2+2ax+b=0的根，代入方程解出a，b的值即可；（2）求出F（x）在[0，1]的最小值，问题转化为F（1）+c≤c2﹣2，解出即可．【解答】解：（1）F（x）=（3t2+2at+b）dt=x3+ax2+bx+c，F′（x）=3x2+2ax+b，函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，∴0，2是方程3x2+2ax+b=0的根，把x=0，2代入得：，解得a=﹣3，b=0；（2）由（1）得F（x）=x3﹣3x2+c，F′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令F′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数F（x）在[0，1]递减，∴F（x）min=F（1）=c﹣2，若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立，∴c﹣2+c≤c2﹣2，∴c2﹣2c≥0，解得c≤0或c≥2．18．在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点A，B，过这两点引一条割线，抛物线在点Q平行于该割线的一条切线同时与圆5x2+5y2=36相切（1）求切点Q的横坐标（2）求切线和坐标轴所围三角形面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；（2）利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，可得切线方程，即可求切线和坐标轴所围三角形面积．【解答】解：（1）两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）两点连线的斜率k=a﹣2，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a∴2x+a=a﹣2，解得x=﹣1，∴切点Q的横坐标为﹣1；（2）在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即=解得a=4或0（0舍去）所以切线方程为2x﹣y﹣6=0与坐标轴的交点坐标为（0，﹣6）（3，0）∴所围三角形面积为=9．19．命题p：函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，命题q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，如果命题“p ∧q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数的单调性判断出p为真时m的范围，根据复数的意义判断出q为真时m 的范围，取交集即可．【解答】解：p：∵函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，∴f′（x）=x2﹣（8m﹣2）x+15m2﹣2m﹣7≥0恒成立，∴△=（8m﹣2）2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0，解得：2≤m≤4∴p为真时：2≤m≤4；q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，∴，解得：0＜m＜3，∴q为真时：0＜m＜3，∴P真q真时：，∴2≤m＜3．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆离心率、焦距及a，b，c间的相互关系列出方程组，由此能求出椭圆方程．（2）过右焦点作斜率为1的直线为y=x﹣1，与椭圆联立，得3x2﹣4x=0，分别求出|AB|和|CD|，由此能求出△OAB和△OCD面积之比．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，∴依题意，，把代入，解得，b=1，∴椭圆方程为…（2）（2）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴过右焦点作斜率为1的直线为y=x﹣1，联立，得3x2﹣4x=0，|AB|==，|CD|===8，∴△OAB和△OCD面积之比==．…21．已知a∈R，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当x∈（0，+∞）时，不等式e x≥x2﹣2ax+1恒成立，求a的范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间和极值；（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=，∴由f'（x）＞0得，，即x＞ln4，∴递增区间（ln4，+∞）．由f'（x）＜0，解得x＜ln4，即函数f（x）的单调递减区间（﹣∞，ln4），∴当x=ln4时，函数取得极小值为f（ln4）=a+2﹣ln4，无极大值．（2）原不等式可化为：2a≥，令g（x）=，则，令M（x）=x+1﹣e x，可得M′（x）=1﹣e x在x∈（0，+∞）上恒小于等于零，∴函数g（x）=在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上有最大值g（1）=2﹣e，即所求a的范围是．22．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）若f（x）≤0对定义域所有x恒成立，求k的取值范围；（3）n≥2，n∈N时证明+++…+≤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由已知得x＞1，求出f′（x），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间；（2）当k≤0时，f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0不可能恒成立；当k＞0，f（x）max=f （+1）=﹣lnk，由此能确定实数k的取值范围；（3）①根据ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=n，得lnn≤n﹣1对n≥2，n∈N成立，根据数学归纳法证明即可；②放缩法证明即可．【解答】（1）解：∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴x＞1，f′（x）=﹣k=，当k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，函数无极值点；当k＞0时，f（x）在（1， +1）递增，（ +1，+∞）递减；∴x=1+是极大值点；（2）解：当k≤0时，∵﹣k（x﹣1）+1＞0，（x＞1），∴f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0不可能恒成立，当k＞0，由（1）可知f（x）max=f（+1）=ln﹣1+1=﹣lnk，由﹣lnk≤0，得k≥1，∴f（x）≤0恒成立时，k≥1；（3）由（2）得：k=1时，f（x）≤0成立，∴ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=n，得lnn≤n﹣1对n≥2，n∈N成立，∴≤，∴+++…+≤++…+，法一：下面只要用数学归纳法证明：…法二：令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，∴，∴=（n＞1）。

2016—2017学年度第二学期高二文科数学05月份联考试卷总分:150分考试时间：120分钟共22题一、选择题:(每题5 分共60分)1。

已知全集U＝Z，集合A＝｛x|x2＝x｝，B＝｛－1,0，1，2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( ）A。

｛－1,2｝B。

｛－1，0｝C。

｛0,1｝D。

{1，2｝【答案】A【解析】试题分析:依题意知A＝｛0，1｝,（∁U A）∩B表示全集U 中不在集合A中,但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1，2},选A．考点：集合韦恩图2. 已知命题,则命题的否定为（) A。

B.C。

D。

【答案】C【解析】命题“”的否定为“",故选C．3. 已知，为虚数单位,且，则的值为（)A。

4 B。

4+4 C。

D. 2【答案】C【解析】由(x—2）i—y=—1+i，得x=3，y=1,∴（1+i）4=2=(2i)2=-4。

4。

已知,那么下列命题中正确的是（）A。

若,则 B. 若,则C。

若，则D。

若，则【答案】C【解析】时A不正确，时B不正确，均为负时D不正确，只有C中由已知得，因此有,正确，故选C．。

.。

点睛：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1）不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2）不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;（3）不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．5。

执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是( ）A。

1 B。

2C。

3 D. 4【答案】D【解析】由程序框图，程序执行循环体时，变量值依次为；；，输入，故选D．6。

下列函数中，最小值是2的是（）A。

B。

C. D. .y=x＋【答案】D【解析】时，，A错，时，才能成立，B错;当时，，C错,,时,取等号,D正确．故选D．7. 两个相关变量满足如下关系：x1015202530y 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014则两变量的回归方程为（）.。

2016~2017学年度第一学期高二文科数学第二次联考试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1．直角坐标()3,1-P 转化为极坐标是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．抛物线y=﹣x 2的准线方程为（ ） A ．B ．y=1C ．x=1D ．3．若f （x ）=e x，则=（ ）A ．eB ．﹣eC ．2eD ．﹣2e4．曲线y=x 3﹣x+2上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．[，+∞）B ．（，+∞） C ．（﹣，+∞） D ．[﹣，+∞）5．命题“若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0a b ≠≠，则220a b +≠ B ．若0a b =≠，则220a b +≠ C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 6．命题：“00x ∃>，使()0021xx a ->”，这个命题的否定是（ ）A ．∀0x >，使()21xx a -> B ．∀0x >，使()21xx a -≤ C ．∀0x ≤，使()21x x a -≤D ．∀0x ≤，使()21xx a ->7．不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x ≤-B ．0x <或2x >C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥ 8．在等差数列{}n a 中，“13a a <”是“数列{}n a 是单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件9．已知命题p ：,cos 2x R x ∃∈=；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>，则下列结论中正确的是（ ）A ．p∨q 是假命题B ．p∧q 是真命题C ．（￢p ）∧（￢q ）是真命题D ．（￢p ）∨（￢q ）是真命题10．设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．﹣211．椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为F 1 、F 2 , P 是两曲线的一个交点，那么cos∠F 1PF 2的值是（ ） A.31 B. 32 C. 37D. 41 12. 过双曲线()22221,0x y a b a b -=>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则()()'22f f +=14．若函数()()'221f x f x x =+，则()1f -=15.与双曲线191622=-y x 共渐近线且过点)332(-，的双曲线方程____________________． 16.在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。

2016—2017学年度第二学期高二文科数学05月份联考试卷总分：150分考试时间：120分钟共22题一、选择题：(每题5 分共60分)1. 已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 ( )A. {－1,2}B. {－1,0}C. {0,1}D. {1,2}【答案】A【解析】试题分析：依题意知A＝{0,1}，（∁U A）∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A．考点：集合韦恩图2. 已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“”的否定为“”，故选C．3. 已知，为虚数单位，且，则的值为 ( ）A. 4B. 4+4C.D. 2【答案】C【解析】由(x-2)i-y=-1+i,得x=3,y=1,∴(1+i)4=2=(2i)2=-4.4. 已知，那么下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】时A不正确，时B不正确，均为负时D不正确，只有C中由已知得，因此有，正确，故选C．...点睛：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．5. 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】由程序框图，程序执行循环体时，变量值依次为；；，输入，故选D．6. 下列函数中，最小值是2的是（）A. B.C. D. .y=x＋【答案】D【解析】时，，A错，时，才能成立，B错；当时，，C错，，时，取等号，D正确．故选D．7. 两个相关变量满足如下关系：x 10 15 20 25 30y 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014则两变量的回归方程为 ( )...A.＝0.56x＋997.4B.＝0.63x－231.2C.＝0.56x＋501.4D.＝60.4x＋400.7【答案】A【解析】由已知，，代入A、B、C、D四个方程只有A适合，故选A．点睛：线性回归直线一定过点．8. 若是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（）A. 真真B. 假假C. 真假D. 假真【答案】B【解析】试题分析：“”的否定是真命题，所以“”是假命题，由复合命题的真值表知，假假，故选 B．考点：1、复合命题的真假；2、命题的否定．9. 设命题甲:的解集是实数集R;命题乙:,则命题甲是命题乙成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】试题分析：甲：的解集是实数集①则恒成立②则，由①②得．即命题甲．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选B．考点：必要条件的判断10. 已知,那么复数的共轭复数在平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】11. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为（　）A. B. C. D.【答案】B12. 已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A. －4<m<2B. －2<m<4...C. m≥4或m≤－2D. m≥2或m≤－4【答案】A【解析】，当且仅当即时取等号，所以，解得．故选A．二．填空题(每题5 分共20分)13. “△中,若,则都是锐角”的否命题为_______________________；【答案】△中,若<C≠900,则不都是锐角.【解析】否命题就是将原命题中的条件和结论都否定得到的新的命题，即为所求解，故为若,则不都是锐角条件和结论都否定14. 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第八个三角形数是_______________________【答案】36【解析】第八个三角数为．点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．15. 一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是__________cm3。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.方程0=所表示的曲线是（）A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆.D.一条直线和一个圆 【答案】D 【解析】试题分析：0=转化为0x =或2222322302x y x y +-=∴+=，因此表示一条直线和一个圆考点：曲线方程2.直线1y kx =-与椭圆2217x y t+=恒有公共点，则t 值可能是（）A ．7B ．-1C ． 0.5D ．1 【答案】C考点：直线与椭圆的位置关系3.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ）A.35 B.553 C.552 D.1053【答案】B 【解析】试题分析：抛物线上取点()200,x x ，点到直线的距离为d 01x =时d 取得最小值553 考点：点到直线距离4.已知直线l ：y ＋m(x ＋1)＝0与直线my －(2m ＋1)x ＝1平行，则直线l 在x 轴上的截距是( )A ．1B ．－ D ．－2【答案】A 【解析】试题分析：由两直线平行可得()2111m m m m =-+∴=-，直线方程为10y x --=，所以在x 轴上的截距是1考点：直线的位置关系5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.15222=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.14322=-y x【答案】A 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221x y a b -=，将1y x =-代入得()222222220b a x a x a a b -+--=22121222222223x x a a x x a b a b +∴+=∴==--- 222222,5c a b a b =+∴== ，双曲线方程为15222=-y x考点：双曲线的标准方程6.设椭圆22＋10y x ＝1和双曲线22－8y x ＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 是这两曲线的交点，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )．A ．3B ．2C ．22D ．1【答案】A 【解析】试题分析：由方程可知焦点为()3,0±，1226F F c ∴==12PF PF +=222121212cos02PF PF F FPF PFθ+-∴==1290F PF∴∠= ，所以外接圆半径为12132F F c==考点：椭圆双曲线方程及性质7.设,x y满足约束条件2208400,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b=+>>的最大值为18，则2a b+的最小值为（）A．4B．72C．74 D.144【答案】C考点：1.线性规划问题；2.不等式性质8.方程02=-nymx与)0(122>>=+nmnymx的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）【答案】B【解析】试题分析：方程20mx ny-=即2my xn=-，表示抛物线，方程221mx ny+=表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程221mx ny+=表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线2my xn=-开口向右，方程221mx ny+=表示双曲线，考点：曲线方程9.双曲线12222=-b y a x )0,0>>b a （的一条渐近线平分圆C :(x-1)2+(y-3)2=1的周长,此双曲线的离心率等于( ) A.2B.3C.10D.4【答案】C 【解析】试题分析：双曲线渐近线为b y x a =，圆心为()1,331b ce a a∴=⨯∴== 考点：双曲线，圆的方程及性质10.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系,42sin 22cos x y αα=-⎧⎨=--⎩（α为参数）与曲线24cos 21ρρθ-=的交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】A 【解析】试题分析：参数方程化为普通方程为()()22424x y -++=，圆心为()4,2-，半径为12r =，曲线极坐标方程化直角坐标方程为()22225x y -+=，圆心为()2,0，半径25r =，所以圆心距21d r r ==<-，所以两圆内含，无交点考点：1.参数方程与极坐标方程；2.两圆的位置关系11.椭圆22221x y a b +=和双曲线()222210x y a b a b-=>>的离心率为12,e e ，且,,a b c 成等比数列，下列结论正确的是（）A.121=+e eB.112=-e eC. 221=∙e eD.221=+e e 【答案】B 【解析】试题分析：,,a b c 成等比数列2b ac ∴=，椭圆中2222222010a b c ac c c ac a e e =+=+∴+-=∴+-=1e ∴=222222222010a b c a ac c c ac a e e e +=∴+=∴--=∴--=∴=所以有211e e -=考点：椭圆双曲线方程及离心率12.我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+0a b c >>>).如图,设点210,,F F F 是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x,y 轴的交点,若△F 0F 1F 2是边长为2的等边三角,则a,c 的值分别为( )A.1,27B.2,32C. 2,7D.3,7【答案】D 【解析】试题分析：2021,OF OF c b =====∴=222437a b c a ∴=+=+=∴=考点：椭圆的简单性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在直角坐标平面内，已知点F 1(0,－3)，F 2(0,3)，动点M 满足条件：|MF 1|＋|MF 2|＝6，则点M 的轨迹方程是 【答案】x ＝0(－3≤y ≤3) 【解析】试题分析：12126MF MF F F +==，所以M 的轨迹为以12,F F 为端点的线段，所以方程为x ＝0(－3≤y ≤3)考点：动点轨迹方程14.抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆1422=+y x 的一个焦点，则此抛物线方程【答案】2y =±考点：椭圆抛物线方程及性质15.设F 是椭圆1161722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有17个不同的点P i （i=1、2、3、…），F P 1，F P 2，F P 3，…组成公差为d 的等差数列，则实数d 的取值范围是 .【答案】1,1-,0088⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，【解析】试题分析：椭圆中1a c ==，当数列为增数列时1171711711,1160162a a a a d a a d ∴≥≤+=+∴<-=≤ 108d ∴<≤同理当数列是减数列时有108d -≤<，所以⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,00,81-， 考点：1.椭圆方程与性质；2.等差数列16.过双曲线()222210x y b a a b-=>>的左焦点()(),00F c c ->作圆 222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若()12OE OF OP =+则双曲线的离心率为【解析】试题分析：：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ， ∴22EF c a b =-=，∵()12OE OF OP =+ ，∴E 为PF 的中点，|OP|=|OF|=c ，|PF|=2b ，设F'（c ，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a ，可令P 的坐标为（m ，n ）， 则有24n cm =，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a ， m=2a-c ，()242n c a c =-，又|OP|=c ，即有()()22242c a c c a c =-+-， 化简可得，221c ac a --=， 由于ce a=，则有210e e --=， 由于e ＞1，解得，e =考点：双曲线的简单性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)中心在原点，焦点在坐标轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且1021=F F ,椭圆的长半轴比双曲线的半实轴长5，离心率之比为2：3。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等2015-2016学年高二上学期期中联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.直线02)1(2=++-y x a 的倾斜角的取值范围是（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0.π，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43.C ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，24,0. D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ，，24,0值可能是恒有公共点，则与椭圆直线t ty x kx y 171.222=+-=（ ） A ．7 B ．-1 C ． 0.5 D ．1所表示的曲线是方程0322x x 3.22=-+y （ ）A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆.D.一条直线和一个圆4．设椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+的离心率为e ＝31，右焦点为F(c ，0)，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2) ( )A ． 必在圆x 2＋y 2＝1 外B ．必在圆x 2＋y 2＝1上C ． 必在圆x 2＋y 2＝1内D ．以上三种情形都有可能5、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则△OAF 外接圆方程为( )A. 5)2()1(22=-++y xB. 5)2()1-(22=++y xC. 5)2()1(22=+± y xD. 5)2()1(22=±+±y x6.在极坐标系中，A 为直线013sin 4cos 3=++θρθρ上的动点， B 为曲线0cos 2=+θρ上的动点，则AB 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．511D ．37．方程02=-ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）8．双曲线12222=-by a x )0,0>>b a （的一条渐近线平分圆C:(x-1)2+(y-3)2=1的周长,此双曲线的离心率等于( )A.2B.3C.10D.4 9.已知点(),P x y 满足72x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆7922=+y x 相交于B A ,两点，则AB 的最小值为( )A ．25B ． 210C ． 27D ．29210．已知经过椭圆2215x y +=的焦点且与其对称轴成60º的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB|＝( )． A ．415+ B ．310 C ．235415++或 D ．415310+或 、下列结论正确的是（）成等比数列且的离心率记作和双曲线椭圆c b a e e a b y a x b y a x ,,,)0b (11.112,122222222>>=-=+ A.121=+e e B.112=-e e C. 221=∙e e D.221=+e e12.我们把由半椭圆22221(0)xy x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222,a b c =+0a b c >>>).如图,设点210,,F F F 是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x,y 轴的交点,若△F 0F 1F 2是边长为2的等边三角,则a,c 的值分别为( )A.1,27B.2,32C. 2,7D.3,7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦AB 与坐标原点构成的三角形面积为 14.设F 是椭圆1161722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有17个不同的点P i （i=1、2、3、…），F P 1，F P 2，F P 3，…组成公差为d 的等差数列，则实数d 的取值范围是 .15.与圆x 2+y 2-2y=0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 .16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，抛物线px y 22= 的焦点与2F 重合，若点P 为椭圆和抛物线的一个公共点且97cos 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分10分)中心在原点，焦点在坐标轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且1021=F F ,椭圆的长半轴比双曲线的半实轴长5，离心率之比为2：3。

2015—2016学年第一学期高二理科数学期中联考卷第Ⅰ卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．）1.直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．值可能是恒有公共点，则与椭圆直线t ty x kx y 171.222=+-=（ ）A ．7B ．-1C ． 0.5D ．1所表示的曲线是方程0322x x 3.22=-+y （ ）A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆.D.一条直线和一个圆4．设椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+的离心率为e ＝，右焦点为F(c ，0)，方程的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2) ( )A ． 必在圆x 2＋y 2＝1 外B ．必在圆x 2＋y 2＝1上C ． 必在圆x 2＋y 2＝1内 D ．以上三种情形都有可能 5、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则△OAF 外接圆方程为( )A. B. C. D.6.在极坐标系中，A 为直线013sin 4cos 3=++θρθρ上的动点， B 为曲线上的动点，则AB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．方程与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） A .B.8．双曲线的一条渐近线平分圆C :(x-1)2+(y-3)2=1的周长,此双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D.49.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ) A ． B ． C ． D ．10．已知经过椭圆的焦点且与其对称轴成60º的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB|＝( )． A ． B ． C ． D ． 、下列结论正确的是（）成等比数列且的离心率记作和双曲线椭圆c b a e e a b y a x b y a x ,,,)0b (11.112,122222222>>=-=+·O 1O 2A. B. C. D.12.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”(其中).如图,设点是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与x ,y 轴的交点,若△F 0F 1F 2是边长为2的等边三角,则a ,c 的值分别为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卷内）1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23 3．（5分）若，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④中，正确不等式的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①②④4．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln28．（5分）若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．29．（5分）等于（）A．1B．0C．πD．π+110．（5分）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．011．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）12．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n=（）A．1936B．2016C．2017D．2208二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若z∈C，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值为．14．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．16．（5分）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．18．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2时取得极值，且函数y=f （x）过原点，求函数y=f（x）的表达式．19．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）中，椭圆长轴长是短轴长的倍，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交与A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为﹣，求斜率k的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）当k=2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a=1时，求函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卷内）1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由=，得复数的共轭复数是：1+2i．故选：A．2．（5分）用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1B．1+2C．1+2+22D．1+2+22+23【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，左侧的特点是，由1一直加到2n+1项结束．所以在验证n=1时，左端计算所得的项为：1+2+22．故选：C．3．（5分）若，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④中，正确不等式的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①②④【解答】解：若，则a＜0，b＜0，且a＞b则①a+b＜0，ab＞0，故①正确；②a＜0，b＜0，且a＞b，显然|a|＜|b|，故②正确；③由②得a＞b，故③错；④由于a＜0，b＜0，故＞0，＞0则+≥2=2（当且仅当=即a=b时取“=”）又a＞b，则+＞2，故④正确；故选：D．4．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，即点P的极坐标为（2，），故选：C．6．（5分）已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=∴一个焦点到一条渐近线的距离为d==，即7b2=2a2，由此可得双曲线的离心率为e==．故选：C．7．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．1+ln2【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2故选：D．8．（5分）若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选：D．9．（5分）等于（）A．1B．0C．πD．π+1【解答】解：原式=（sinx+x）=π，故选：C．10．（5分）曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=，设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0）∴=2，解得x0=1，∴y0=ln（2x0﹣1）=ln1=0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为=．即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故选：A．11．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【解答】解：∵数f（x）=（x﹣3）e x∴f′（x）=（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A．12．（5分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n=（）A．1936B．2016C．2017D．2208【解答】解：OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，构成等差数列，由第n棵树所在点坐标是（46，0），则n=46×3+×2=2208棵树．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若z∈C，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值为2．【解答】解：∵|z﹣i|≤|z|+|﹣1|=1+1=2，故答案为：2．14．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．【解答】解：y′=﹣5e x，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．15．（5分）命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题⇔命题“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”为真命题．△=4a2﹣4≤0⇒﹣1≤a≤1故答案为：[﹣1，1]16．（5分）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9．【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：9三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）18．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2时取得极值，且函数y=f （x）过原点，求函数y=f（x）的表达式．【解答】（本题满分12分）解：∵f（x）=2x3+3ax2+3bx+c，∴f'（x）=6x2+6ax+3b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【解答】解：令f（x）=x2+mx+1，若命题p真，则有，解得m＞2．若命题q真，则有判别式△′=[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得1＜m＜3．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得命题p和命题q一个为真，另一个为假．当命题p为真、命题q为假时，m≥3．当命题p为假、命题q为真时，1＜m≤2．综上可得，m的取值范围为[3，+∞）∪（1，2]．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）中，椭圆长轴长是短轴长的倍，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交与A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为﹣，求斜率k的值．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知得，所以椭圆的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0．（8分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）因为AB 中点的横坐标为，所以，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）当k=2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（1）当k=2时，f（x）=lnx﹣2x+1，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由，所以函数的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即在（0，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令，则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以g（x）在（0，1）为增区间，在（1，+∞）为减区间，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以当x=1时，g（x）max=g（1）=1．故k≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知函数f（x）=lnx +x2﹣（a+1）x（a∈R）．第11页（共12页）（I）a=1时，求函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）a=1时，函数f（x）=lnx +x2﹣2x，（x＞0）则f′（x）=+x﹣2==≥0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）=﹣＜0，f（4）=ln4＞0，故函数y=f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）∵f（x）=lnx +x2﹣（a+1）x（a＞0），∴f′（x）=+ax﹣（a+1）=，令f′（x）=0，则x=1，或x=，当≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1．e]上恒成立，函数y=f（x）为增函数，此时当x=1时，函数取最小值﹣（a+1）=﹣2，解得：a=2；当1＜＜e ，即＜a＜1时，f′（x）＜0在区间[1.]上恒成立，函数y=f（x）为减函数，f′（x）≥0在区间[．e]上恒成立，函数y=f（x）为增函数，此时当x=时，函数取最小值﹣lna +﹣=﹣2，不存在满足条件的a值；当≥e，即0＜a ≤时，f′（x）≤0在区间[1．e]上恒成立，函数y=f（x）为减函数，此时当x=e时，函数取最小值1+e2﹣e（a+1）=﹣2，解得：a=（舍去）；综上可得：a=2第12页（共12页）。

2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．B．y=1 C．x=1 D．3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠04．直线（为参数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°5．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．若f（x）=e x，则=（）A．e B．2e C．﹣e D．7．用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+18．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣210．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（）A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣D．x≤﹣或x≥311．曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．曲线（α为参数）上的点到曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0的最大距离为．14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=．15．已知a＞0，不等式，可推广为，则a=．16．已知函数f （x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f （x0）=f′（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是．（填上所有正确的序号）①f （x）=x2，②f（x）=sinx，③f （x）=lnx，④f （x）=tanx，⑤f（x）=x+．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x2+sinx+e x•cosx（1）求该函数的导数f′（x）（2）求函数f（x）在x=0处的切线方程．18．（12分）已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对任意x∈[0，8]，不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，若a2=a+2（a为常数），且S n 是na n与na的等差中项．（1）求a1，a3，a4；（2）猜想出a n的表达式，并用数学归纳法进行证明．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，即点P的极坐标为（2，），故选C．【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．B．y=1 C．x=1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线化成标准方程，得x2=﹣4y，由此求出=1，即可得到该抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2=﹣4y，∴2p=4，可得=1，因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y=1．故选：B【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．4．直线（为参数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的参数方程．【分析】求出直线的普通方程，得出直线的斜率，根据斜率计算倾斜角．【解答】解：由（为参数）得x+y=5+3．∴直线的斜率k=tanα=﹣．∴直线的倾斜角α=150°．故选D．【点评】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化，直线的斜率与倾斜角，属于基础题．5．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是59时，m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，59是从3开始的第29个奇数当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个故m=8故选C【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．6．若f（x）=e x，则=（）A．e B．2e C．﹣e D．【考点】极限及其运算．【分析】=2=2f′（1），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴=2=2f′（1）=2e．故选：B．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念、极限性质的合理运用．7．用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【考点】数学归纳法．【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．【解答】解：用数学归纳法证明等式”时，当n=k时，左边=1+++…+，那么当n=k+1时，左边=1+++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）10．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（）A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣D．x≤﹣或x≥3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：解不等式2x2﹣5x﹣3≥0，得：x≥3或x≤﹣，故不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是：x＜0或x＞2，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及解不等式问题，是一道基础题．11．曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（m，n），求出函数y的导数，求得切线的斜率，由二次函数的性质可得斜率的范围，再由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π且α≠），即可得到所求范围．【解答】解：设P（m，n），y=x3﹣x+2的导数为y′=3x2﹣，即有切线的斜率为k=3m2﹣，由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠），可得tanα≥﹣，解得α∈，故选A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及直线的斜率公式和倾斜角的范围，属于中档题．12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题13．曲线（α为参数）上的点到曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0的最大距离为．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】把曲线C的参数方程化为普通方程为（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．求出圆心到直线的距离，将此距离再加上半径，即得所求．【解答】解：∵曲线（α为参数），消去参数化为普通方程为（x ﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，即x﹣y+1=0，圆心到直线x﹣y+1=0的距离为d=，故曲线C上的点到直线x﹣y+1=0的距离的最大值为，故答案为．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=5．【考点】导数的运算．【分析】由函数解析式，求导，f′（1）=2f′（1）+2，代入即可求得f′（1）=﹣2，求得函数解析式，即可求得f（﹣1）．【解答】解：f（x）=2xf′（1）+x2，求导f′（x）=2f′（1）+2x，f′（1）=2f′（1）+2，∴f′（1）=﹣2，∴f（x）=﹣4x+x2，∴f（﹣1）=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题考查导数的运算，求函数解析式，考查计算能力，属于基础题．15．已知a＞0，不等式，可推广为，则a= n n．【考点】归纳推理．【分析】由已知中不等式，归纳不等式两边各项的变化规律，可得答案．【解答】解：由已知中不等式，归纳可得：不等式左边第一项为x．第二项为，右边为n+1，故第n个不等式为：x+≥n+1，∴a=n n．故答案为n n【点评】本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理．16．已知函数f （x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f （x0）=f′（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是①②③⑤．（填上所有正确的序号）①f （x）=x2，②f（x）=sinx，③f （x）=lnx，④f （x）=tanx，⑤f（x）=x+．【考点】函数的值．【分析】求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．【解答】解：对于①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，∴函数有巧值点，故①正确；对于②中的函数，f（x）=sinx，f′（x）=cosx，要使f（x）=f′（x），则sinx=cosx，解得x=45°+k•360°，k∈Z或x=225°+k•360°，k∈Z，∴函数有巧值点，故②正确；对于③中的函数，f （x）=lnx，f′（x）=，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象它们有交点，因此方程有解，∴函数有巧值点，故③正确；对于④中的函数，f （x）=tanx，，要使f（x）=f′（x），则tanx=，即sinxcosx=1，即sin2x=2，无解，∴原函数没有巧值点，故④错误；对于⑤中的函数，f（x）=x+，，要使f（x）=f′（x），则x+=1﹣，即x3﹣x2+x+1=0，设函数g（x）=x3﹣x2+x+1，g'（x）=3x2+2x+1＞0且g（﹣1）＜0，g（0）＞0，∴函数g（x）在（﹣1，0）上有零点，原函数有巧值点，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查函数是否存在“巧值点”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2016秋•南昌县校级月考）已知函数f（x）=x2+sinx+e x•cosx （1）求该函数的导数f′（x）（2）求函数f（x）在x=0处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（1）利用导数公式，求该函数的导数f′（x）；（2）求出切线斜率，即可求函数f（x）在x=0处的切线方程．【解答】解：（1）f′（x）=2x+cosx+（e x）′cosx+e x（cosx）′=2x+cosx+e x（cosx﹣sinx）…（2）k=f′（0）=2，切点为（0，1）．所以切线方程为y=2x+1…【点评】本题考查导数的几何意义，考查导数的计算，属于中档题．18．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对任意x∈[0，8]，不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，解得m；命题q：不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立等价于m2﹣3m小于或等于log（x+1）在x∈[0，8]上的最小值，从而问题转化为利用单调性求函数f（x）=log（x+1）最小值问题，求得m的范围；若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p与q必然一真一假，求解不等式组即可得答案．【解答】解：命题p：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m ＞0，解得m＜1；命题q：f（x）=log（x+1），则f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，∵x∈[0，8]，∴当x=8时，f（x）min=f（8）=﹣2．不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立，等价于﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．若p为真，q为假，那么，则m＜1．若p为假，q为真，那么，则1≤m≤2．综上所述m≤2．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了不等式恒成立问题的解法，恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键，考查了推理能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知数列{a n}的前n项和记为S n，若a2=a+2（a为常数），且S n是na n与na的等差中项．（1）求a1，a3，a4；（2）猜想出a n的表达式，并用数学归纳法进行证明．【考点】数学归纳法．【分析】（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）利用（1）的结论，猜想a n 的表达式，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由已知得，当n=1时，，则a 1=a ，，而a 2=a +2，于是可解得a 3=a +4；同理可解得a 4=a +6．（2）由（1）中的a 1=a ，a 2=a +2，a 3=a +4，a 4=a +6，…， 猜测出a n =a +2（n ﹣1）． 数学归纳法证明如下：①当n=1时，a 1=a=a +2（1﹣1），猜想成立； 当n=2时，a 2=a +2=a +2（2﹣1），猜想也成立．②假设当n=k （k ∈N *，k ≥2）时猜想成立，即a k =a +2（k ﹣1），则当n=k +1时，，即（k ﹣1）a k +1=ka k ﹣a ，由k ≥2可得，即a k +1=a +2k=a +2[（k +1）﹣1]， 也就是说，当n=k +1时猜想也成立．由①、②可知对任意的n ∈N *，a n =a +2（n ﹣1）都成立．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px 上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（1）将E（2，2）代入y2=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算=0，即可得到结论．【解答】（1）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（2）证明：设，，M（x M，y M），N（x N，y N），设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y2﹣2my﹣4=0则由韦达定理得：y1y2=﹣4，y1+y2=2m直线AE的方程为：，即，令x=﹣2，得同理可得：∴=4+y M y N=4+=4+=0∴OM⊥ON，即∠MON为定值．【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2016•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E （﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（2）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．由△=（2m）2+12（m2+4）的最＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，由此能求出S△AOB大值．【解答】解：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…故曲线C的方程为．…（2）存在△AOB面积的最大值．…因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x=my﹣1或y=0（舍）．则整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．…（7分）由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，．则．因为=．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m=0时取等号，即．的最大值为．…（13分）所以S△AOB【点评】本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。