2013年备战 高考如何提升自己的成绩专题讲座之抽象函数1

高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u=-∴2()2111u u f u uu-=+=--∴2()1x f x x-=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x解：∵22111()()(1)(f x x x x xxx+=+-+=11|||1||x xx =+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数解题思路所谓抽象函数是指没有给出解析式，只是给出一些特殊条件的函数问题，因为抽象，难以理解，因此它是高中数学函数局部的难点，但是这类问题对于开展抽象思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养创新思想，提高数学素质，有着重要作用，所以也是重点考查内容。

下面就这类问题的解题思路举例说明如下，供同学们学习参考。

一、利用特殊模型的解题教材中给出了一些抽象函数的特殊模型，假设充分利用这些模型解题，既可掌握解决数学问题的规律、培养解题能力，又能体会从感性通过抽象概括上升为理性的认识规律。

1、用特殊模型直接解抽象函数客观题例1、函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＞0时，f (x)＞1,那么当x＜0时，f(x)的取值范围是。

解析：借助函数f(x)=a x〔a＞1〕，那么0＜f〔a〕＜1评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到正确答案。

2、借助特殊模型为解抽象函数解答题铺路例2、函数f〔x〕(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),〔1〕求证：f(1)=f(-1)=0；〔2〕求证：f(x)为偶函数；解析：因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f (x)=logax (0＜a＜1〕, 理解题意显然不当，但是只要稍加变通，可以发现用f(x)=loga|x︳较为恰当。

〔证明过程学生自己解决〕评注：借助特殊函数模型铺路是解抽象函数解答题的常用处理方法，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路，使抽象函数变的有章可循。

二、利用函数性质的解题函数的特征是通过各种各样的性质反映出来的，抽象函数也不例外，只要充分利用题设条件已说明的或通过挖掘出隐含的函数性质，就能顺利解决抽象型函数问题。

1、利用奇偶性、周期性解题例3、函数f〔x〕是R上的奇函数，且任意x，有f〔x+4〕=f〔x〕+f〔2〕，求f〔14〕解析：取x=-2，f〔2〕=f〔-2〕+f〔2〕∴f〔-2〕=0，∴f〔2〕=0，由条件知4是函数f〔x〕的一个周期，∴f〔14〕=f〔4 3+2〕=f〔2〕=0评注：要充分利用周期性，化未知为；运用整体思想，优化整体为局部，再由各局部的解决使整体问题得解。

如何解决高一数学中的抽象函数问题在高一数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到头疼。

这些问题不像具体函数那样有明确的表达式，而是仅仅通过一些函数性质或运算关系来描述，具有较强的抽象性和逻辑性。

但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，抽象函数问题也能迎刃而解。

首先，我们要理解抽象函数的定义和常见类型。

抽象函数通常是指没有给出具体解析式的函数，而是通过一些条件，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，来描述函数的特征。

常见的抽象函数类型有：以函数运算关系给出的抽象函数，如$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋f(y)＄；以函数性质给出的抽象函数，如$f(x) ＝ f(x)＄表示函数为奇函数。

那么，解决抽象函数问题的关键在哪里呢？关键之一是赋值法。

通过对自变量赋予特殊值，往往能得出一些有用的结论。

比如，对于函数$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)＄，我们可以令$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$，得到$f(0) ＝ f(0) ＋ f(0)＄，从而得出$f(0) ＝ 0$。

再比如，若已知$f(1) ＝ 2$，要研究$f(2)＄，我们可以令$x ＝ 1$，＄y ＝1$，得到$f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ＝ f(1) ＋ f(1) ＝ 4$。

关键之二是利用函数的性质。

比如，如果已知函数是奇函数，那么$f(x) ＝ f(x)＄；如果是偶函数，就有$f(x) ＝ f(x)＄。

通过这些性质，可以将自变量转化为已知的形式，从而进行计算或推理。

例如，已知$f(x)＄是奇函数，且$f(2) ＝ 5$，那么$f(－2) ＝ f(2) ＝－5$。

关键之三是周期性。

如果函数具有周期性，我们可以利用周期将自变量的取值范围进行转化。

比如，若函数$f(x)＄的周期为$T$，那么$f(x ＋ kT) ＝ f(x)＄，＄k\in Z$。

例如，若函数的周期为$4$，＄f(1) ＝2$，求$f(9)＄，则可以将$f(9)＄转化为$f(9) ＝ f(1 ＋ 2\times 4) ＝ f(1) ＝ 2$。

第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．(2)证明： 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98a >；当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）． 【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【例6】设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，且(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),20,2-∞-B ．()()2,02,-+∞C ．()(),22,0-∞--D ．()()0,22,+∞【解析】设2()'()()()'()0,(0)()f x xf x f x g x g x x g x x x -=⇒=<>⇒在(0,)+∞上是减函数，又()f x （x R ∈）是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(x)()()()f f x f x g x x x x ---===--()g x ⇒是偶函数，(2)0(2)(2)022f g g -=-===-- 作出图象如下图，由00()()0()0()0x x f x xg x g x g x <>⎧⎧=>⇒⎨⎨<>⎩⎩或⇒()(),20,2x ∈-∞- ，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件'()()0xf x f x -<联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【例7】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期T 为||a b -，如果函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期T 为2||a .【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==（II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立. 令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，∴(0)0f =令x y =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=∴对于任意x ，都有()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<（1）又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-（2）由（1）（2）得12()()f x f x >,根据函数单调性的定义知)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数. ∴)(x f 在[3,3)-上的最大值为(3f -）.要使)6f x ≤（恒成立，当且仅当(3f -≤）6，又∵(3)(3)(21)[(2)(1)][(1)(1)(1)]3(1)f f f f f f f f f -=-=-+=-+=-++-, (1)2f ∴≥-【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x > 时,0()1f x << ∴当0x <时, 0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>--【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）0,x x x <<≠≠.【反馈检测5详细解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令 121[(1)]()(1)()()()x x x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数111212222222(2)0()()()()()()()x x x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+- 设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴-> 时，0+∴∞函数在（，）上是增函数12(3)2(22)(2)(2)2(4)2x x f f f f ==∴⨯=+=∴=令2(21)2(4)()+f x f f x -<=∞ 是偶函数在（0，）上时增函数22x 02100,|21|<4x x x x x ≠⎧⎪∴-≠<<≠≠⎨⎪-⎩. 【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， ()()()()g x xf x x f x xf x g -=--=-⋅-==（x)，所以()()g x xf x =是R 上的偶函数. 当0x >时，()()()()()g x x f x xf x f x xf x ''''=+=+ 因为()00()0f x x f x '>>> 所以()()0g (x)0f x xf x ''+>∴> 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<， 所以即0.8202log 5.13<<<，所以0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<， 所以b a c <<，故选C ．【反馈检测7答案】2005(2005)2003f =-∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f = ∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003∴(2005)f =-20052003。

抽象函数综合题的解题策略只给出函数符号或条件及一些间接关系，而没有给出函数的具体解析式或者图象，这样的函数称为抽象函数.这类试题，主要以函数的概念和性质为背景，以函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想为主线，以考查学生的各种能力为目的，在知识网络交汇处设计试题.此类试题往往具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，因此它既能考查函数的各种性质，又能考查学生对数学语言的阅读理解和转译能力，同时能考查出考生进入高校继续学习的潜能，因此在此有必要对抽象函数综合题的求解策略进行探讨.一、适当赋值赋值主要从以下方面考虑：①令x =…，﹣2，﹣1，0，1，2，…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x =x 2，y =x 1或y =1x 1，且x 1<x 2，判定抽象函数的单调性；③令y =﹣x ，判定抽象函数的奇偶性；④换x 为x +T ，确定抽象函数的周期；⑤用x =x 2+x 2或换x 为1x等来解答有关抽象函数的其它一些问题.例1 已知函数的定义域为R ，对任意x 、y 满足f (x +y )=f (x )+f (y )，当x >0时，f (x )>0.试判断f (x )的奇偶性和单调性.分析：在f (x +y )=f (x )+f (y )中，令x =y =0，得f (0)+f (0)=0，∴f (0)=0，又令y =﹣x ，f (x )+f (﹣x )=f (x ﹣x )=f (0)=0，即f (﹣x )=﹣f (x )，∴f (x )是奇函数， 再设x 1、x 2∈R，且x 1<x 2，且在f (x +y )=f (x )+f (y )中，令x =x 2，y =﹣x 1，则f (x 2﹣x 1)=f (x 2)+f (﹣x 1)由f (x )是奇函数得，f (x 2)﹣f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (x 2﹣x 1)，∵x 2﹣x 1>0，∴f (x 2﹣x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(﹣∞.+∞)上是增函数.二、变量代换根据题设条件中所给等式或不等式的结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换为的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价)，可以得到较为简单的等式或不等式，然后再设法作进一步的转化从中获解，例2 已知函数f (x )存在反函数且f (x )+f (﹣x )=2，则f －1(x ﹣1)+f －1(3﹣x )=________.分析：本题无法直接求出f －1(x )，若将已知等式左边看成两个函数，利用变量代换，则有如下简解：令y 1=f (x )，y 2=f (﹣x )，则x =f －1(y 1)，﹣x =f －1(y 2)，且当y 1+y 2=2时，有f －1(y 1)+f －1(y 2)=x﹣x =0，∵(x ﹣1)+(3﹣x )=2，∴f －1(x ﹣1)+f －1(3﹣x )=0.三、利用函数性质根据题目所给的条件，分析、探求函数具有哪些特殊的性质，比如：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，然后充分利用这些性质进行求解.例3 f (x )是定义在R 上的函数，且满足如下两个条件：①对于任意x ，y ∈R，有f (x +y )=f (x )+f (y )；②当x ＞0时，f (x )＜0，且f (1)=﹣2.求函数f (x )在[﹣3，3]上的最大值和最小值.分析：设0≤x 1≤x 2≤3，由条件①得f (x 2)=f [(x 2﹣x 1)+x 1]=f (x 2﹣x 1)+f (x 1)，即f (x 2﹣x 1)=f (x 2)﹣f (x 1)，∵x 2﹣x 1＞0，由条件②得f (x 2﹣x 1)＜0,∵f (x 2)﹣f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在[0，3]上是减函数，在条件①中令x =y =0，则f (0+0)=f (0.)+f (0)，∴f (0)=0.再令x =﹣y ，得f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )，∴f (﹣x )=﹣f (x )，∴f (x )是奇函数，∴f (x )在[﹣3，0]上是减函数，又∵当x ＜0时f (x )=﹣f (﹣x )＞0，从而f (x )在[﹣3，3]上是减函数，∴f (x )m a x =f (﹣3)=﹣f (3)=﹣f (1+2)=﹣f (1)﹣f (2)=﹣f (1)﹣f (1)﹣f (1)=﹣3f (1)=6，f (x )m i n =f (3)=﹣f (﹣3)=﹣6.例4 已知函数f (x )=a x 5+bsi nx +3，且f (﹣3)=7，求f (3)的值.解析:f (x )的解析式中含有两个参数a 、b ，却只有一个条件f (﹣3)=7，无法确定出a 、b 的值，因此函数f (x )(解析式不确定)是抽象函数，注意到g(x )=a x 5+bsi nx =f (x )﹣3是奇函数，可得g(﹣3)=﹣g(3)，即f (﹣3)﹣3=﹣[f (3)﹣3]，f (3)=6﹣f (﹣3)=﹣1.四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略，而此法是处理“是否存在”型函数综合题的常用方法.例5 已知函数f (x )在区间(﹣∞，+∞)上是增函数，a 、b∈R，(1)求证：若a+b≥0，则f (a)+f (b)≥f (﹣a)+f (﹣b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论.证明：(1)由a+b≥0，得a≥﹣b ，由函数f (x )在区间(﹣∞，+∞)上是增函数，得f (a)≥f (﹣b)，同理，f (b)≥f (﹣a)， ∴f (a)+f (b)≥f (﹣b)+f (﹣a)，即f (a)+f (b)≥f (﹣a)+f (﹣b).(2)中命题的逆命题是：若f (a)+f (b)≥f (﹣a)+f (﹣b)，则a+b≥0，此逆命题为真命题， 现用反证法证明如下：假设a+b≥0不成立，则a+b ＜0，a ＜﹣b ，b ＜﹣a ，根据单调性，得f (a)＜f (﹣b)，f (b)＜f (﹣a)，f (a)+f (b)＜f (﹣a)+f (﹣b)，这与已知f (a)+f (b)≥f (﹣a)+f (﹣b)相矛盾，故a+b ＜0不成立，即a+b≥0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题.五、利用模型函数探路抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型”入手，根据已知条件，寻找其模型函数，通过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.例6 已知定义域为R +的函数f (x )满足：(1)x ＞1时，f (x )＜0；(2)f (12)=1；(3)对任意的x ，y ∈R +，都有f (xy )=f (x )+f (y ).求不等式f (x )+f (5﹣x )≥﹣2的解集.解析：由题设(3)知f (x )以y =log a x 为模型函数，由题(1)知0＜a ＜1，从而y =log a x 在(0,+∞)上为减函数，故本题可先证f (x )在(0,+∞)上为减函数为突破口.设0＜x 1＜x 2，则x 2x 1＞1，且由f (xy )=f (x )+f (y )，得f (x 2)=f (x 2x 1·x 1)=f (x 2x 1)+f (x 1)， 又由条件x ＞1时，f (x )＜0，得f (x 2x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在R +上为减函数， 又由f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0，又f (12)=1，∴f (2·12)=f (2)+f (12)=0，∴f (2)=﹣1， ∴f (x )+f (5﹣x )≥﹣2=2f (2)=f (4)，于是⎩⎨⎧ 0＜x ＜5x(5﹣x)≤4，解得0＜x ≤1或4≤x ＜5，∴解集为x∈(0，1]∪[4，5).六、数形结合根据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大致符合条件的函数的图象，再根据图象的直观性作出正确解答.例7 若f(x)为奇函数，且在(﹣∞，0)内是增函数，又f(﹣2)=0，则xf(x)<0的解集为( )A.(﹣2,0)∪(0,2)B.(﹣∞,﹣2)∪(0，2)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣2,0)∪(2,+∞)解析：本题可根据题设条件先作出函数f(x)在(﹣∞，0)内的大致图象，如图，由对称性(奇函数的图象关于原点对称)及单调性(在(﹣∞，0)内是增函数)得出f(x)在(0，＋∞)的图象，如图所示.∵f(x)为奇函数，且，f(﹣2)=0，∴f(2)=0.由图象可知：当﹣2<x<0时，f(x)>0，∴xf(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，∴xf(x)<0.故不等式xf(x)<0的解集为(﹣2，0)∪(0，2)，选A.。

高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。

抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。

了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。

本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。

一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。

常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。

其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。

抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。

同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。

2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。

3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。

二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。

1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。

根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。

2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。

将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。

3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。

抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。

抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。

在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。

1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。

与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。

抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。

（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。

（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。

2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。

（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。

（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。

例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。

（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。

例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。

3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。

（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。

（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。

（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。

4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。

了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。

抽象函数问题的求解策略函数是每年高考的热点，而抽象函数问题又是函数的难点之一。

抽象函数通常是指没有给出具体函数的解析式，只给出了其他一些条件（如函数的定义域、特定点的函数值、解析递推式、特定的运算性质、部分图象特征等）的函数。

由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解、研究起来往往比较困难。

但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力，增强应用数学意识有着十分重要的作用，所以在近几年成为数学命题的生长点。

对于抽象函数问题，一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。

因为问题本身的抽象性和性质的隐蔽性，可以利用特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽象函数问题。

一、特殊模型法根据抽象函数的性质，找出一个对应的具体函数模型，再研究它的其它性质。

在高中数学中，常见抽象函数所对应的具体特殊函数模型归纳如下： 抽象函数)(x f 的性质 对应特殊函数模型)()()(2121x f x f x x f +=+)0()(≠=k kx x f )()()(2121x f x f x x f ⋅=+)10()(≠>=a a a x f x 且 )()()(2121x f x f x x f +=⋅)10(log )(≠>=a a x x f a 且 )()()(2121x f x f x x f ⋅=⋅ )()(为常数ααx x f =)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f ⋅-+=+ x x f tan )(= 1、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）例1：已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。

谈谈高考中抽象函数的解题策略高考中的抽象函数是数学领域的一个重要概念，对于解题有着重要作用。

抽象函数是指将一个数域映射到另一个数域的映射关系，常常用来描述问题中的一种变化规律。

通过了解和掌握抽象函数的基本特性以及解题策略，可以帮助考生更好地应对高考数学题目中的抽象函数相关内容。

首先，我们来了解抽象函数的基本概念和性质。

在高考中，抽象函数通常是通过给定的“对应关系”来定义的，可以是显式定义，也可以是通过表格、图像、关系式等方式给出。

解题时需要根据给出的信息，确定抽象函数的定义域和值域，并利用这种对应关系进行推导和计算。

在解题过程中，考生需要掌握抽象函数的一些基本性质。

首先，抽象函数具有唯一性，即给定定义域中的每个元素在函数的映射关系下只有唯一的值域元素。

其次，对于两个抽象函数，可以进行加、减、乘、除等基本运算来得到新的抽象函数。

此外，抽象函数还可以进行复合运算，即将一个抽象函数的值域作为另一个抽象函数的定义域，从而得到复合函数。

基于上述的基本概念和性质，可以总结出一些高考中抽象函数的解题策略。

首先是确定抽象函数的定义域和值域，考生需要仔细阅读题目中给出的信息，了解抽象函数的取值范围。

其次是掌握函数的性质，了解如何通过运算得到新的抽象函数。

这可以帮助考生在解题过程中进行推导和计算，进一步得到问题的解答。

另外，对于一些较为复杂的抽象函数，在解题过程中可以考虑使用函数图像的性质。

通过绘制函数图像，可以直观地观察到函数的变化趋势和特点，从而更好地理解抽象函数的规律。

同时，绘制函数图像也可以帮助考生验证解答的正确性，从而提高解题的准确度。

此外，在解题过程中，考生还需要注意一些常见的解题思路和方法。

例如，可以通过构造具体的数值进行取值的计算和推导。

通过给出特定的函数值，可以进一步了解抽象函数的性质和规律。

此外，还可以通过构造反函数或逆函数的方式来求解问题。

通过求解反函数或逆函数，可以更好地理解和掌握抽象函数的特性，从而解决实际问题。

高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。

通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。

本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。

一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。

这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。

抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。

二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。

而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。

2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。

通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。

3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。

极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。

4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。

三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。

可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。

图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。

四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。

在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。

在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。

在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。

总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。