2013届中考数学第二轮复习专题(图象信息问题)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。

涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。

一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。

专题六运动问题1. (2012²南京一模)矩形ABCD中，AD＝8 cm，AB＝6 cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2 cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x(单位：s)，此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )解析此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当x≤4时，y＝6³8－x²2x＝－2x2＋48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点是抛物线的顶点(0，48)，最下点为(4，16)，当4＜x≤6时，点E停留在点B处，故y＝48－8x，此时函数的图象为直线y＝48－8x的一部分，它的最上点为(4，16)，最下点为(6，0)．结合图象可选A.答案 A2．(2012²浙江温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点．连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是( )A．一直增大B．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小解析 如图所示，连接CM ，∵M 是AB 的中点， ∴S △ACM ＝S △BCM ＝12S △ABC ，开始时，S △MPQ ＝S △ACM ＝12S △ABC ；由于P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点P 到达AC 的中点时，点Q 也到达BC 的中点，此时，S △MPQ ＝14S △ABC ；结束时，S △MPQ ＝S △BCM ＝12S △ABC .△MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选C. 答案 C3. (2012²浙江绍兴)如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA ＝1，OC ＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为________(用含n 的代数式表示)．解析 设反比例函数解析式为y ＝kx，则①与BC 、AB 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6得与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为(2，1.4)，代入y ＝k x ，得1.4＝k 2，所以k ＝145，∴反比例函数解析式为y ＝145x.则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：145n －145（n ＋1）＝145n （n ＋1）.②与OC ，AB 平移后的对应边相交时，由k －k 2＝0.6得k ＝65.∴反比例函数解析式为y ＝65x. 则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：65n －65（n ＋1）＝65n （n ＋1）.综上所述，第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为145n （n ＋1）或65n （n ＋1）.答案145n （n ＋1）或65n （n ＋1）4．如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O －C －D －O 路线作匀速运动，设运动时间为x (秒)，∠APB ＝y (度)，右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为()A ．2 B.π2 C.π2＋1D.π2＋2 解析 设⊙O 半径为r ，由图象知，移走了OC 长(即r )， 设走CD 长用x 秒，则1r ＝x2πr4，∴x ＝π2，∴点M 横坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1. 答案 C5. (2012²福建福州质量检查)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝16 cm ，DE ＝4 cm.动线段DE (端点D 从点B 开始)沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F (当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合)，连接DF ，设运动的时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；(2) 在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；(3) 设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积． 解 (1) BE ＝(t ＋4) cm ，EF ＝58(t ＋4) cm.(2)分三种情况讨论：① 当DF ＝EF 时，有∠EDF ＝∠DEF ＝∠B ， ∴ 点B 与点D 重合，∴ t ＝0. ② 当DE ＝EF 时，∴4＝58(t ＋4)，解得：t ＝125.③当DE ＝DF 时，有∠DFE ＝∠DEF ＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△ABC .∴DE AB ＝EF BC，即410＝58（t ＋4）16， 解得：t ＝15625.综上所述，当t ＝0、125或15625秒时，△DEF 为等腰三角形．(3)设P 是AC 的中点，连接BP ，∵EF ∥AC ， ∴△NBE ∽△PBC ，∴∠NBE ＝∠PBC . ∴点N 沿直线BP 运动，MN 也随之平移．如图，设MN 从ST 位置运动到PQ 位置，则四边形PQST 是平行四边形． ∵M 、N 分别是DF 、EF 的中点， ∴MN ∥DE ，且ST ＝MN ＝12DE ＝2.分别过点T 、P 作TK ⊥BC ，垂足为K ，PL ⊥BC ，垂足为L ，延长ST 交PL 于点R ，则四边形TKLR 是矩形，当t ＝0时，EF ＝58(0＋4)＝52，TK ＝12EF ²sin ∠DEF ＝12³52³35＝34；当t ＝12时，EF ＝AC ＝10，PL ＝12AC ²sin C ＝12³10³35＝3.∴PR ＝PL －RL ＝PL －TK ＝3－34＝94.∴S ▱PQST ＝ST ²PR ＝2³94＝92.∴整个运动过程中，MN 所扫过的面积为92cm 2.6. (2012²广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A 、B 分别落在坐标轴上．O 为原点，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)．动点M 从点O 出发．沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N 运动的时间为t 秒(t ＞0)．(1)当t ＝3秒时．直接写出点N 的坐标，并求出经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式； (2)在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？分析 (1)根据A 、B 的坐标，可得到OA ＝6、OB ＝8、AB ＝10；当t ＝3时，AN ＝5，即N 是AB 的中点，由此得到点N 的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式． (2)△MNA 中，过N 作MA 边上的高NC ，先由∠BAO 的正弦值求出NC 的表达式，而AM ＝OA －OM ，由三角形的面积公式可得到关于S △MNA 、t 的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA 的最大面积．(3)首先求出N 点的坐标，然后表示出AM 、MN 、AN 三边的长；由于△MNA 的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN ＝NA 、②MN ＝MA 、③NA ＝MA ；直接根据等量关系列方程求解即可． 解 (1)由题意，A (6，0)、B (0，8)， 则OA ＝6，OB ＝8，AB ＝10； 当t ＝3时，AN ＝53t ＝5＝12AB ，即N 是线段AB 的中点；∴N (3，4)． 设抛物线的解析式为：y ＝ax (x －6)，则： 4＝3a (3－6)，a ＝－49；∴抛物线的解析式：y ＝－49x (x －6)＝－49x 2＋83x .(2)过点N 作NC ⊥OA 于C ；由题意，AN ＝53t ，AM ＝OA －OM ＝6－t ，NC ＝NA ²sin ∠BAO ＝53t ²45＝43t ；则：S △MNA ＝12AM ²NC ＝12³(6－t )³43t＝－23(t －3)2＋6.∴△MNA 的面积有最大值，且最大值为6. (3)Rt △NCA 中，AN ＝53t ，NC ＝AN ²sin ∠BAO ＝43t ， AC ＝AN ²cos ∠BAO ＝t ；∴OC ＝OA －AC ＝6－t ，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－t ， 43t . ∴NM ＝（6－t －t ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43t 2＝ 529t 2－24t ＋36； 又：AM ＝6－t ，AN ＝ 53t (0＜t ＜6)；①当MN ＝AN 时，529t 2－24t ＋36＝53t ， 即：t 2－8t ＋12＝0，t 1＝2，t 2＝6(舍去)； ②当MN ＝MA 时，529t 2－24t ＋36＝6－t ， 即：439t 2－12t ＝0，t 1＝0(舍去)，t 2＝10843；③当AM ＝AN 时，6－t ＝53t ，即t ＝94；综上，当t 的值取2或94或10843时，△MAN 是等腰三角形．7．(2012²广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线：y ＝－2x ＋b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2.当b ＝________时，直线：y ＝－2x ＋b (b ≥0)经过圆心M ： 当b ＝________时，直线：y ＝－2x ＋b (b ≥0)与⊙M 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、B (6，0)、C (6，2)．设直线扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，分析 (1)①∵直线y ＝－2x ＋b (b ≥0)经过圆心M (4，2)，∴2＝－2³4＋b ，解得b ＝10.②如图，作点M 垂直于直线y ＝－2x ＋b 于点P ，过点P 作PH ∥x 轴，过点M 作MH ⊥PH ，二者交于点H .设直线y ＝－2x ＋b 与x ，y 轴分别交于点A ，B . 则由△OAB ∽△HMP ，得MH PH ＝AO OB ＝12. ∴可设直线MP 的解析式为y ＝12x ＋b 1.由M (4，2)，得2＝12²4＋b 1，解得b 1＝0.∴直线MP 的解析式为y ＝12x .联立y ＝－2x ＋b 和y ＝12x ，解得x ＝25b ，y ＝15b .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，15b . 由PM ＝2，勾股定理得，⎝ ⎛⎭⎪⎫25b －42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15b －22＝4， 化简得4b 2－20b ＋80＝0.解得b ＝10±2 5.(2)求出直线经过点A 、B 、C 、D 四点时b 的值，从而分0≤b ≤4，4＜b ≤6，6＜b ≤12，12＜b ≤14，b ＞14五种情况分别讨论即可． 解 (1)10 10±2 5(2)由A (2，0)、B (6，0)、C (6，2)，根据矩形的性质，得D (2，2)．如图，当直线经过A (2，0)时，b ＝4；当直线经过D (2，2)时，b ＝6；当直线经过B (6，0)时，b ＝12；当直线经过C (6，2)时，b ＝14. 当0≤b ≤4时，直线扫过矩形ABCD 的面积S 为0.当4＜b ≤6时，直线扫过矩形ABCD 的面积S 为△EFA 的面积(如图1)，图1在 y ＝－2x ＋b 中，令x ＝2， 得y ＝－4＋b ，则E (2，－4＋b )， 令y ＝0，即－2x ＋b ＝0，解得x ＝12b ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，0.∴AF ＝12b －2，AE ＝－4＋b . ∴S ＝12²AF ²AE ＝12²⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b －2²(－4＋b )＝14b 2－2b ＋4. 当6＜b ≤12时，直线扫过矩形ABCD 的面积S 为直角梯形DHGA 的面积(如图2)，图2在y ＝－2x ＋b 中，令y ＝0，得x ＝12b ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，0，令y ＝2，即－2x ＋b ＝2，解得x ＝12b －1，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －1，2. ∴DH ＝12b －3，AG ＝12b －2.AD ＝2∴S ＝12²(DH ＋AG )²AD ＝12²(b －5)²2＝b －5当12＜b ≤14时，直线扫过矩形ABCD 的面积S 为五边形DMNBA 的面积＝矩形ABCD 的面积－△CMN 的面积(如图3)．图3在y ＝－2x ＋b 中，令y ＝2， 即－2x ＋b ＝2，解得x ＝12b －1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －1，0， 令x ＝6，得y ＝－12＋b ， 则N (6，－12＋b )． ∴MC ＝7－12b ，NC ＝14－b .∴S ＝4³2－12²MC ²NC ＝8－12²⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12b ²(14－b )＝－14b 2＋7b －41.当b ＞14时，直线扫过矩形ABCD 的面积S 为矩形ABCD 的面积，面积为8. 综上所述．S 与b 的函数关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（0≤b ≤4）14b 2－2b ＋4（4＜b ≤6）b －5（6＜b ≤12）－14b 2＋7b －41（12＜b ≤14）8（b ＞14）。