九年级数学下册6.4.5三角形的重心同步练习(共4套苏科版)

第6章　图形的相似6.5　相似三角形的性质基础过关全练知识点1　相似三角形的性质1.【一题多解】(2022江苏连云港中考)△ABC 的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF ,其最长边长为12,则△DEF 的周长是( )A.54B.36C.27D.212.【教材变式·P 74T 2】(2022广西贺州中考)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DE =2,BC =5,则S △ADE ∶S △ABC 的值是( )A.325B.425C.25D.353.(2023山东聊城月考改编)如果两个相似三角形的面积比为4∶9,那么它们的对应边上中线的比为 .4.(2023山东济南高新区期末)如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC =120 mm,高AD =80 mm,要把它加工成矩形零件PQMN ,使一边在BC 上,其余两个顶点分别在边AB 、AC 上.(1)当点P 恰好为AB 的中点时,PQ = ;(2)当PQ =40 mm 时,求出PN 的长度;(3)若PN∶PQ=1∶2,则这个矩形的长、宽各是多少?知识点2　相似多边形的性质5.(2023山东青岛李沧期中)将等边三角形、菱形、矩形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长,得到如图所示的4组图形,变化前后的两个多边形一定相似的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组6.(2023湖南常德临澧期中)某校有两块相似的多边形草坪,其面积比为9∶4,其中较大的一块草坪的周长是36米,则另一块草坪的周长是 .7.【新独家原创】某图案上有五个五角星,其中大五角星的边长是小五角星边长(4个小五角星一样大)的3倍,那么大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是 .8.小李准备进行如下的操作,把一根长50 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个长、宽不等的矩形,两矩形相似且相似比为2∶3.　(1)要使这两个矩形的面积之和为78 cm 2,则较小矩形的长、宽各是多少?(2)小李认为这两个矩形的面积和不可能为91 cm 2,你同意吗?说明理由.能力提升全练9.(2021西藏中考,11,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,△AOB 的面积为278,BA 垂直x 轴于点A ,OB 与双曲线y =k x (k ≠0)相交于点C ,且BC ∶OC =1∶2,则k 的值为( )A.-3B.-94C.3D.9210.【一题多变】(2020四川内江中考,7,★★☆)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,S 四边形BCED =15,则S △ABC =( )A.30B.25C.22.5D.20[变式1](2022湖南郴州模拟,14,★★☆)如图,在△ABC中,DE ∥BC ,DE BC =23,△ADE 的面积是8,则四边形BCED 的面积为 .[变式2](2023吉林长春德惠期末,13,★★☆)如图,在△ABC 中,点D 在AB 上,点E 在AC 上,∠ADE =∠C ,四边形DBCE 的面积是△ADE 面积的3倍.若DE =3,则BC 的长为 .11.【新考法】(2023山东济南历下期中,7,★★☆)图1是装满了液体的高脚杯,用去部分液体后,放在水平的桌面上,如图2所示,此时液面距离杯口的距离h 为( )图1图2A.85 cmB.2 cmC.125 cmD.3 cm12.【易错题】(2022浙江绍兴中考,10,★★☆)将一张以AB 为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ,其中∠A =90°,AB =9,BC =7,CD =6,AD =2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )A.252B.454C.10D.354素养探究全练13.【推理能力】(2021山东青岛中考)如图,已知正方形ABCD 的边长为3,E 为CD 上一点,连接AE 并延长,交BC 的延长线于点F ,过点D 作DG ⊥AF ,交AF 于点H ,交BF 于点G ,N 为EF 的中点,M 为BD 上一动点,连接MC ,MN.若S △DCG S △FCE =14,则MN +MC 的最小值为 .答案全解全析基础过关全练1.C　解法一:设2对应的边长是x,3对应的边长是y,∵△ABC∽△DEF,∴2x =3y=412,∴x=6,y=9,∴△DEF的周长是6+9+12=27.解法二:∵△ABC∽△DEF,∴C△ABCC△DEF =412,∴2+3+4C△DEF=13,∴C△DEF=27.故选C.2.B　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵DE=2,BC=5,∴S△ADE∶S△ABC的值为425,故选B.3.答案2∶3解析　∵相似三角形的面积比等于相似比的平方,面积比为4∶9,∴对应边上中线的比=相似比=2∶3,故答案为2∶3.4.解析　(1)60 mm.详解:∵四边形PQMN为矩形,∴PQ∥MN,即PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴PQBC =APAB.∵点P恰好为AB的中点,∴AP=12AB,∴PQ=12BC=12×120=60(mm).(2)设AD与PQ交于点H(图略).∵PQ∥BC,AD⊥BC,∴PQ⊥AD,由(1)知△APQ∽△ABC,∴AHAD =PQBC,∴AH80=40120,∴AH=803mm,∴PN=HD=1603mm.(3)设PN=x mm,∵PN∶PQ=1∶2,∴PQ=2x mm,由(2)知PQBC =AHAD,∵PQ=2x mm,AD=80 mm,BC=120 mm,HD=PN=x mm,∴2x120=80―x80,解得x=2407,∴2x=4807.答:矩形的长为4807mm,宽为2407mm.5.C　由题意得,等边三角形角对应相等,边对应成比例,两个三角形相似;菱形四条边均相等,所以边对应成比例,角也相等,所以两个菱形相似;矩形四个角均相等,但边不一定成比例,所以两个矩形不一定相似;正方形四条边均相等,所以边对应成比例,角也相等,所以正方形相似.故选C.6.答案24米解析　∵面积比为9∶4,∴相似比为3∶2,设另一块草坪的周长为x米,当较大的草坪的周长是36米时,36∶x=3∶2,解得x=24,故答案为24米.7.答案9∶4解析　∵大五角星的边长是小五角星边长的3倍,大五角星和小五角星是相似图形,∴相似比是3∶1,∴一个大五角星和一个小五角星面积的比是32∶12=9∶1,∴大五角星的面积与4个小五角星面积和的比是9∶4.8.解析　(1)∵两矩形相似且相似比为2∶3,∴两矩形的周长的比为2∶3,两矩形的面积的比为4∶9,∴较小矩形的周长为50×22+3=20(cm),较小矩形的面积为78×44+9=24(cm2),设较小矩形的一边长为x cm,则与其相邻的边长为(10-x)cm,∴x(10-x)=24,整理得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.答:较小矩形的长为6 cm,宽为4 cm.(2)同意.理由如下:由(1)知较小矩形的周长为20 cm,假设两个矩形的面积和为91 cm 2,则较小矩形的面积为91×44+9=28(cm 2),设较小矩形的一边长为x cm,则与其相邻的边长为(10-x )cm,∴x (10-x )=28,整理得x 2-10x +28=0,∵Δ=(-10)2-4×28=-12<0,∴方程没有实数解,∴这两个矩形的面积和不可能为91 cm 2.能力提升全练9.A 如图,过C 作CD ⊥x 轴于D ,∵BC OC =12,∴OC OB =23,∵BA ⊥x 轴,∴CD ∥AB ,∴△DOC ∽△AOB ,∴S △DOC S △AOB ===49,∵S △AOB =278,∴S △DOC =49S △AOB =49×278=32,∵双曲线y =kx 位于第二象限,∴k =-2×32=-3,故选A.10.D ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC ,DE =12BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴S △ADE S △ABC ==14,∴S △ADE ∶S 四边形BCED =1∶3,即S △ADE ∶15=1∶3,∴S △ADE =5,∴S △ABC =5+15=20.故选D.[变式1]　答案 10解析　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵DEBC =23,∴S△ADES△ABC==49,∵△ADE的面积是8,∴△ABC的面积是18,∴四边形BCED的面积=△ABC的面积-△ADE的面积=18-8=10,故答案为10.[变式2]　答案6解析　∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE,∴S△ADES△ACB =14,∴DEBC =12,∴BC=2DE=6.故答案为6.11.A　如图,过O作ON⊥CD于N,交AB于M,∵CD∥AB,∴OM⊥AB,∵OC=OD,∴CN=12CD=3 cm,∴ON=OC2―CN2=52―32=4(cm),　∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OAOC =OMON,∴35=OM4,∴OM=125cm,∴h=4-125=85(cm),故选A.12.A　①如图所示(四边形ABEF为矩形),由已知可得,△DFE ∽△ECB ,则DF EC =FE CB =DE EB ,设DF =x ,CE =y ,则x y =97=6+y 2+x ,解得x =274,y =214,∴DE =CD +CE =6+214=454,故选项B 不符合题意;EB =DF +AD =274+2=354,故选项D 不符合题意.②如图所示(四边形ABEF 为矩形),由已知可得,△DCF ∽△FEB ,则DC FE =CF EB =DF FB ,设FC =m ,FD =n ,则69=mn +2=nm +7,解得m =8,n =10,∴FD =10,故选项C 不符合题意,BF =FC +BC =8+7=15.③如图所示(四边形ABEF 为矩形),此时两个直角三角形的斜边长为6和7.故选A.素养探究全练13.答案 210解析　连接AM (图略),∵四边形ABCD 是正方形,∴A 点与C 点关于BD 对称,∴CM =AM ,∴MN +CM =MN +AM ≥AN ,∴当A 、M 、N 三点共线时,MN +CM 的值最小,最小值为AN 的长.∵AD ∥CF ,∴∠DAE =∠F ,∵DG ⊥AF ,∴∠CDG +∠DEH =90°,∵∠DAE +∠DEH =90°,∴∠DAE =∠CDG,∴∠CDG=∠F,∵∠DCG=∠ECF=90°,∴△DCG∽△FCE,∵S△DCG S△FCE =14,∴CDCF=12,∵正方形ABCD的边长为3,∴CF=6,∵AD∥CF,∴AD CF =DECE=12,∴DE=1,CE=2,在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2,∴EF=22+62=210,∵N是EF的中点,∴EN=10,在Rt△ADE 中,AE2=AD2+DE2,∴AE=32+12=10,∴AN=210,∴MN+MC的最小值为210.。

九年级数学下册同步练习6.4探索三角形相似的条件（三边成比例的两个三角形相似）一、选择题1.下面给出4个结论：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个,2，2，△A'B'C'的两边长分别为1，5，要使△ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C' 2.△ABC的三边长分别为10的第三边长为（）3.如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A B C D4.若一个三角形的三边长分别是5cm.6cm.8cm，另一个三角形三边的长分别是24cm.15cm.18cm，则这两个三角形（）A．全等B．相似C．不相似D．不一定相似5.下面给出4个结论：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，下列结论正确的是（）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．△AOC∽△DOA第6题第7题7.如图，若A.B.C.P.Q.甲.乙.丙.丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲.乙.丙.丁四点A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题8.在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A'B'C'中，A'B'＝1，C'A'＝2，当B'C'＝＿＿＿＿＿时，△ABC∽△A'B'C'9.在△ABC中，BA＝6，AC＝8，在△A'B'C'中，A'B'＝4，A'C'＝3，若BC：B'C'＝＿＿＿＿＿，则△ABC∽△＿＿＿＿＿＿＿＿10.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6（1）如果DE＝10，那么当EF＝＿＿＿，FD＝＿＿＿＿时，△DEF∽△ABC；（2）如果DE＝10，那么当EF＝＿＿＿，FD＝＿＿＿＿时，△FDE∽△ABC.11.如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF，其中正确的结论是＿＿＿＿＿＿(写出所有正确结论的序号)．第11题第12题12.如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，则∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=＿＿＿＿＿．13.在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，底角平分线BD交AC于点D，得点D是线段AC的黄金分割点．若AC=10 cm．则AD≈＿＿＿＿＿cm．三、解答题14.在△ABC和△A’B’C’中，AB＝12，BC＝15，AC＝24，A’B’＝25，B’C’＝40，C’A’＝20.求证：△ABC 和△A’B’C’相似.15.如图，已知O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点．（1）求证：△DEF∽△ABC．（2）图中还有哪几对相似三角形？16.如图，在△ABC 和△ADE 中，AE AC DE BC AD AB ==，试说明△ABD ∽△ACE.17.如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A.B.C 在单位正方的顶点上，请在图中画出一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC （相似比不为1），且点A 1，B 1，C 1都在单位正方形的顶点上.18.如图，已知格点△ABC ，请在图中分别画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2，并使△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比等于2，而A 2B 2C 2与△ABC 的相似比等于5.19.已知：如图在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，E.F 分别为边AB.AC 上的中点，△DEF 与△ABC 相似吗？说明你的理由.20.如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．(1)请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；(2)若∠OBD=15°，AM=4，求AB的长。

苏科版九年级数学下册6-5 相似三角形的性质章节培优训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．162．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：43．已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：14．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：5．在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍6．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED 的比值为（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：29．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．10．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG ∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．12．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为．13．两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为cm．14．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为cm2．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．16．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B 重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD 的长为．18．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．20．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．21．如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．16【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算，得到答案．∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，∴EF＝2，故选：B．2．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．3．已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：2，∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，故选：A．4．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．Rt△ABC中，cos A，Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，cos A．故选：A．6．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到，由相似三角形的性质得到S△CBF＝4S△AEF＝8，利用三角形的面积公式得到S△ABF S△CBF＝4，S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴S△ABC＝S△ADC，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∴（）2，∴S△CBF＝4S△AEF＝8，∴S△ABF S△CBF＝4，∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，故选：C．7．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED 的比值为（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，由平行线分线段成比例可求CN，DG的长，通过证明△CEN∽△DEG，可得，可求解．如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH 的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，∵AF∥CH，∴△BNH∽△BAF，∴，∴NH AF，∴CN＝CH﹣NH，∵DM∥AF，∴，∴DG，∵CH∥DM，∴△CEN∽△DEG，∴，故选：C．8．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2【分析】利用平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，则可判断△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质求解．∵DE：EC＝3：2，∴DE：DC＝3：5，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DE：AB＝3：5，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴（）2＝（）2．故选：C．9．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝（）2．故选：D．10．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG ∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．∵点D、E是AB的三等分点，∴，，∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，∴，，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是1：2．【分析】利用三角形的中位线定理得到三角形的相似比即可．因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故1：2．12．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为3：2．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故3：213．两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为48cm．【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设小多边形的周长为xcm，则有64：x＝4：3，解得x＝48，故48．14．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为26cm2．【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为10cm2，∴9x﹣4x＝10，解得：x＝2，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．故26．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝2，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD＝BD＝2，∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，∴AC，故．16．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为10．【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△AEF∽△CDF，可得，可得CF＝2AF，即可求解．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，∴AC15，∵E是边AB中点，∴AE＝6，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴CF＝2AF，∵AF+CF＝AC＝15，∴AF＝5，∴CF＝10，故10．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B 重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为或或．【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB 得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12，设AD＝x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽Rt△ACB，∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x，综上所述，AD的长为或或．故答案为或或．18．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝或．【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，∴∠OMC+∠B＝180°，∴∠MOB+∠BCM＝180°，∴∠MOB＝90°，∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB，∴，∴，∴AM，∴CM＝AC﹣AM＝8．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，∵∠BOC＝∠OMN，∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，∴∠MOC＝∠A，∵∠MCO＝∠ACO，∴△OCM∽△ACO，∴OC2＝CM•CA，∴25＝CM•8，∴CM，故答案为或．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴，∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∴，∴DE＝8（cm）．20．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．【分析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得TD＝TE，再利用三角形的面积公式可证明结论；（2）设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形的面积公式可求解S△ABT：S△ACT＝BT：TC，再结合（1）的结论可证明结论．（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，∵AT为∠BAC的平分线，∴TD＝TE，∵S△ABT AB•TD，S△ACT AC•TE，AB＝3，AC＝4，∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；（2）设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABT BT•h，S△ACT TC•h，∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，∴．21．如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论；（2）通过证明△CDO∽△BDC，可得，可得结论．证明：（1）连接AC，交BD与H，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，∴∠AOB＝2∠ADO，∴∠DAO＝∠ADO，∴OA＝OD，∴OA＝OC，又∵AH＝CH，∴OB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∴∠BDC＝∠CBD．由（1）得∠ODC＝∠OCD，∴∠OCD＝∠DBC．在△CDO和△BDC中，∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD∴△CDO∽△BDC．∴，即CD2＝OD•BD．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；（2）两种情况：当时，即，解得t＝1.2（秒）；当时，即，解得t＝3（秒）．故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ；（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《6.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（）A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么图中一定相似的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，，下列结论正确的是（）A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（）A．A B．B C．C D．D5．已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△P AB 和△PCD相似，则满足条件的点P的有（）个．A．1B．2C．3D．无数6．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（）A．100°B．120°C．115°D．135°7．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s 8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．如图，△ABC中，BD，CE是高，则图中有对相似三角形．10．如图，在Rt△OAD中，∠A＝90°，B，C在AD边上，且OA＝AB＝BC＝CD，有下列结论：①△AOB∽△BOD：②△BOC∽△BDO：③△COD∽△BDO，其中成立的有（选填序号）11．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△P AD与△PBC相似，则满足条件的AP长．12．如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC＝6，E是AB的中点，F是AC边上一个动点．将△AEF沿EF折叠，使点A落在A′处，如果△AEF与原△ABC相似，则EF的长为．13．平面直角坐标系中，A（﹣4，﹣2），B（0，﹣2），点C在x轴的正半轴，以O、B、C 为顶点的三角形与△ABO相似，则点C的坐标是．14．如图，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC＝2，点E在BC上，连接AE交BD 于点F，且∠AFD＝60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为顶点的三角形与△ABF相似时，则BM的长为．15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D为BC的中点，E为AB上的动点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为．16．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝．17．如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2．若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为．18．如图，D、E是以AB为直径的半圆O上任意两点，连接AD、AE、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加的一个条件是（填正确结论的序号）．①∠ACD＝∠DAB；②AD＝DE；③AD2＝BD•CD；④CD•AB＝AC•BD．三．解答题19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s 的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．求证：△FDB∽△ABC．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．求证：△BDE ∽△CAD．22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．23．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求证：DE•BF＝EF•BC．24．如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM＝x．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC三边长是，，2，∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，故选：A．2．解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ABC，∴△ADE∽△ADC，∵∠B＝∠DCE，∠BCD＝∠EDC，∴△DCE∽△BCD．故有4组．故选：C．3．解：∵CM＝CN，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠CNA＝∠CMN+∠MCN，∠AMB＝∠CNM+∠MCN，∴∠CNA＝∠AMB，∵AM：AN＝BM：CM，∴AM：AN＝BM：CN，∴△ANC∽△AMB，故选：B．4．解：阴影三角形两直角边长分别为2和3，（A）该直角三角形的两直角边长分别为3和4，且≠，故不能与阴影三角形相似．（B）该直角三角形的两直角边长分别为4和5，且，故不能与阴影三角形相似．（C）该直角三角形的两直角边长分别为4和6，且＝，故能与阴影三角形相似．（D）该三角形的三边长分别为、、，不是直角三角形，故不能与阴影三角形相似．故选：C．5．解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，∵∠B＝∠D＝90°，∴当或时，△P AB和△PCD相似，当时，则，解得：x＝，当时，则，解得：x＝，∴BP的值有三个，故选：C．6．解：∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠BPD，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝60°，∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．故选：B．7．解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t（cm），CE＝2t（cm），AE＝AC﹣CE＝（12﹣2t）（cm），①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8，∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故选：A．8．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．二．填空题9．解：图中有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△ACE，△COD∽△ABD，△BOE∽△BDA，△BOE∽△CAE，6对三角形相似．故答案为：6．10．解：设OA＝AB＝BC＝CD＝1，∵∠A＝90°，OA＝AB＝BC＝CD，∴OB＝，OC＝，OD＝，∴，＝，∴，∵∠OBD＝∠DBO，∴△BOC∽△BDO，故答案为：②．11．解：分两种情况：①如果△P AD∽△PBC，则P A：PB＝AD：BC＝2：3，又P A+PB＝AB＝7，∴AP＝7×2÷5＝2.8；②如果△P AD∽△CBP，则P A：BC＝AD：BP，即P A•PB＝2×3＝6，又∵P A+PB＝AB＝7，∴P A、PB是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两根，解得x1＝1，x2＝6，∴AP＝1或6．综上，可知AP＝2.8或1或6．故答案为2.8或1或6．12．解：①当EF∥BC时，△AEF∽△ABC，∵AE＝EB，∴AF＝FC，∴EF＝BC＝．②当△AEF∽△ACB时，设AF＝x，∴＝∴＝∴EF＝，综上所述，EF的长为或．13．解：∵A（﹣4，﹣2），B（0，﹣2），∴AB＝4，OB＝2，∠ABO＝90°，∴＝2，∵∠BOC＝90°，∴当＝或＝时，以O、B、C为顶点的三角形与△ABO相似，∴OC＝1或4，∴点C的坐标是（1，0）或（4，0），故答案为：（1，0）或（4，0）．14．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°＝∠AFD，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAE，∴∠BAE＝∠DBC，如图，当点M在BC上时，作∠BDM＝∠ABD，∴△ABF∽△BDM，∵∠BDM＝∠ABD，∴∠DMC＝∠DBC+∠BDM＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，∴∠DMC＝∠DCM＝60°，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝CM＝2，∴BM＝4，当点M'在BC的延长线上时，作∠CDM'＝∠BAE，∵∠ACB＝∠CDM'+∠M'＝60°，∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝60°，∴∠M'＝∠ABD，∴△ABF∽△BM'D，∵∠CDM'＝∠CBD，∠BDM＝∠M'，∴△BDM∽△DM'C，∴，∴＝，∴CM'＝1，∴BM'＝7，综上所述：BM＝4或7，故答案为：4或7．15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∵D为BC中点，∴BD＝2，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝t，BE＝BC﹣AE＝8﹣t，当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，∴△BDE∽△BCA，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE＝4，可得t＝4；当∠DEB＝90°时，∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故答案为：4或7或9．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM＝90°，∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP+∠CBM＝90°，∴∠ABP＝∠CBM，∴当＝时，△BAP∽△BCM，即＝，解得BM＝2；当＝时，△BAP∽△BMC，即＝，解得BM＝，综上所述，当BM为2或时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或．17．解：若△OBF∽△ACB，∴，∴OB＝，∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2，∴AC＝4，AB＝2．又∵OF＝OE＝2，∴OB＝＝；若△BOF∽△ACB，∴，∴OB＝，∴OB＝＝4；综上，OB＝或4；故答案为：或4．18．解：①∠ACD＝∠DAB，∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD相似，故①正确；②由AD＝DE，得∠DAC＝∠DBA，又∵∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD相似，故②正确；③由AD2＝BD•CD，得＝，且∠ADC＝∠BDA，△ADC∽△BDA，故③正确；④由CD•AB＝AC•BD，得＝，∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD不相似，故④错误；故答案为：①②③．三．解答题19．解：（1）设经过t秒钟S△PCQ＝2cm2，由题意得，AP＝2t，CQ＝t，则PC＝8﹣2t，由题意得，×（8﹣2t）×t＝2，整理得，t2﹣4t+2＝0解得，t＝2±，则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）设再经过n秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP＝2n，CQ＝2+n，则PC＝8﹣2n，当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得，n＝1.6，当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得，n＝，综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．20．证明：∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC．21．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴∠B＝∠C，AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠ADC＝∠DEB＝90°，∴△BDE∽△CAD．22．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝BD•CE，∴＝，即＝，∴△ABD∽△ECA．23．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF；（2）∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∴点B，点C，点D，点E四点共圆，∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，∴△DEF∽△CBF，∴，∴DE•BF＝EF•BC24．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN+∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB＝90°，∴∠CMN＝∠MAB．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）解：∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使Rt△ABM∽△Rt△AMN，必须有：，由（1）知：，∴BM＝MC，∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x＝2．。

6.5相似三角形的性质同步习题一．选择题1．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG ∥DF，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠F＝80°，则∠E的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，Rt△A′B′C′的斜边为25．则两条直角边分别为（）A．4，5B．10，5C．5，20D．15，204．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若∠BAD+∠ACB＝180°，且BC＝3，AD＝4，AC＝5，AB＝6，则＝（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．7．如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC＝4AF时，的值是（）A．B．C．D．8．如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则等于（）A．B．C．D．9．在△ABC中，AC＝6，AB＝14，BC＝16，点D是△ABC的内心，过D作DE∥AC交BC 于E，则DE的长为（）A．B．C．D．10．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，连接DE，点F是DE上一点，使得∠AFE＝∠ABC．若∠ADE＝∠CDE，＝2，给出下列结论：①AF＝DF；②△AFD∽△DCE；③；④S平行四边形ABCD＝3S△AEF．其中正确的结论（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二．填空题11．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是．12．△ABC与△DEF是相似三角形，且A与D，B与E是对应顶点，若∠A＝53°，∠B＝61°，则∠F＝．13．如图，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F．若CF＝2，则DF的长为．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，线段CE，BD相交于点F，若且BF＝2，则DF＝．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．三．解答题16．如图，已知∠1＝∠2，∠F＝∠C．（1）试说明△ABC∽△AEF；（2）若＝，AC＝6，求AF的长．17．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC＝BD•AC；（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．18．如图，AB∥CD，E是CD的中点，AD、BC相交于点F，AE、BC相交于点G．（1）当AB＝CE时，求证：BF＝CF；（2）求证：2BF•CG＝BG•CF．参考答案一．选择题1．解：∵AD∥BC，∴＝，，∴A选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；B选项结论正确，不符合题意；∵BG∥DF，∴△AFD∽△CFH，∴＝，D选项结论正确，不符合题意；故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠F＝80°，∴∠C＝∠F＝80°，∴∠E＝∠B＝180°﹣80°﹣40°＝60°．故选：C．3．解：∵Rt△ABC的两条直角边分别为3、4，由勾股定理可得Rt△ABC的斜边＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，∴相似比＝＝，∴Rt△A'B'C'的两直角边长为3×5＝15，4×5＝20，故选：D．4．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴＝＝，＝（）2＝，∴选项C正确，选项D错误，∵无法确定，的值，故选项A，B错误，故选：C．5．解：如图，过点O作OE∥AD，交AB于E，∵OE∥AD，∴∠OEB＝∠DAB，∵∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠ACB+∠OEB＝180°，∴∠ABC+∠COE＝180°，且∠AOE+∠COE＝180°，∴∠AOE＝∠ABC，且∠BAC＝∠EAO，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴OE＝，∵OE∥AD，∴△BOE∽△BDA，∴，∴＝，∴BE＝，∴AE＝6﹣BE＝，∵OE∥AD，∴＝，故选：D．6．解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．7．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，∴∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，∴∠AFD+∠ADF＝∠AFD+∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠CFE，∴△ADF∽△CFE，∴＝，∴＝＝，∵AC＝4AF，∴设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，∴＝＝，∴，①﹣②得，3BD﹣BE＝4BE﹣4BD，∴7BD＝5BE，∴＝，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△ABO∽△CEO，∴＝（）2＝，∴，∴CE＝3AB＝3CD，∴DE＝2CD，∵AB∥CD，∴故选：B．9．解：如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于点H，∵点D是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ACD＝∠DCB，∵DE∥AC，BH∥AC，∴∠H＝∠DAC，∠EDC＝∠ACD，∴∠H＝∠BAD，∠EDC＝∠ECD，∴AB＝BH＝14，DE＝EC，∵BH∥AC，∴△ACF∽△HBF，∴，∴∴CF＝，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴，∴∴DE＝，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，且∠ADE＝∠CDE，∴∠AFE＝2∠ADE，且∠AFE＝∠F AD+∠ADE，∴∠ADE＝∠F AD，∴AF＝DF，故①符合题意，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，且∠DAF＝∠EDC＝∠ADE，∴△AFD∽△DCE，故②符合题意，∵AD∥BC，AE⊥BC，∴∠DAE＝90°，∴∠DAF+∠EAF＝90°，∠ADE+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF，∴EF＝DF，∴S△AEF＝S△ADF＝S△ADE＝S▱ABCD，故④不符合题意；如图，连接CF，∵＝2，∴EC＝2BE，BC＝3BE＝AD，∵∠DEC＝∠CDE，∴CE＝DC＝2BE，且EF＝DF，∴CF⊥DE，∴∠CFE＝∠DAE＝90°，且∠ADE＝∠DEC，∴△ADE∽△FEC，∴∴2EF2＝3BE×2BE∴EF＝BE，∴DF＝BE，∴＝，故③符合题意，故选：C．二．填空题11．解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，解得，x＝，综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．12．解：△ABC中，∠A＝53°，∠B＝61°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣53°﹣61°＝66°，∵△ABC∽△DEF，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，∴∠F的对应角是∠C，∴∠C＝∠F＝66°，故答案为：66°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AE，∴△BCF∽△EDF，∴，∴＝，∴DF＝1，故答案为：1．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∵，∴＝＝，∵BF＝2，∴，∴DF＝，故答案为：．15．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．三．解答题16．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△AEF；（2）∵△ABC∽△AEF，∴＝，∴＝，解得，AF＝．17．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE•BC＝BD•AC；（2）解：∵S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED＝4+5＝9，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝9．18．证明：（1）∵E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD，∵AB＝CE，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DCF，∴，∴BF＝CF；（2）∵AB∥CD，∴△ABF∽△DCF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△ABG∽△ECG，∴，∴，∴2BF•CG＝BG•CF．。

第六章《图形的相似》（探索三角形相似的条件）一．选择题1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或二．填空题（共6小题）7．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=时，△OMN与△BCO相似．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．三．解答题（共16小题）13．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β=°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．参考答案与解析一．选择题1．（2016•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．二．填空题7．（2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB ∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）．【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP ∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有16对．【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN 时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当不唯一，如∠ADE=∠C时，△AED与△ABC相似．【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4秒．【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．三．解答题13．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA．【解答】解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA．理由如下：∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形，∴∠B=∠GAF=45°，而∠AED=∠BEA，∴△EAD∽△EBA．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE﹣AD即可得解．（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C是公共角，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CE=CA：CB，∴CD：CA=CE：CB，∴△DCE∽△ACB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是关键．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：=时，△BPQ∽△BAC，即=；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，然后方程解方程即可．【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．故答案是：4．（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，=，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．===，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，由（1）得：∴△ABE∽△ECF，∴=2，∴BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，∴DF=3a，∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∵=2，∴，又∵∠AEF=∠B=90°，∴△AEF∽△ABE，∴△ABE∽△ECF∽△AEF．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？【分析】设x秒后△PCQ与△ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．当，或时，△PCQ与△ACB相似，解方程即可．【解答】解：设x秒后△PCQ与△ACB相似．由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．∵∠C=∠C，当，或，△PCQ与△ACB相似．∴，或，解得：x=，或x=；∴秒或秒后△PCQ与△ACB相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键．26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当=时，△ABP∽△PDC，即=，当=时，△ABP∽△CDP，即=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得=或=，然后分别解方程求出x 的值即可得到BP的长．【解答】解：（1）存在．设BP=x，则PD=10﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为；（2）存在2个P点．设BP=x，则PD=12﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣12x+36=0，解得x1=x2=6；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为6或．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，。

第9课时相似三角形的性质(2)1．(1)假设两个相似三角形对应高的比为1：3，那么它们的相似比为______；对应中线的比为______；对应角平分线的比为 ______；周长的比为______；面积的比为______．假设两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形的周长比为_______，对应边上的中线的比为_______．如果两个相似三角形的周长分别为15cm和25cm，那么这两个相似三角形对应的角平分线的比为_______．2．如图，△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝cm，那么EH的长为_______．3．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是 ( )A．1：4 B．1：3 C．1： 2 D．1：24．用一放大镜看一个直角三角形，该三角形的边长放大到原来的 10倍后，以下结论错误的是( )A．斜边上的中线是原来的10倍B．斜边上的高是原来的10倍C．周长是原来的10倍D．最小内角是原来的10倍5．如图是圆桌正上方的灯泡〔看做一个点〕发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影〔圆形〕的示意图．桌面的直径为米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，求地面上阴影局部的面积．6．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，另一个与其相似的直角三角形的斜边长为20cm，求另一个直角三角形斜边上的高．7．△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2：3，那么△ABC与△DEF的周长比为_______．8．两个三角形相似，一组对应边长分别为3cm和2cm，假设它们对应的两条角平分线的长度之和为15cm，那么这两条角平分线的长分别为______________．9．两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56cm，那么这两个三角形的周长分别为______________．10．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高为cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3cm的矩形纸条，如下图，剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是第_______张．11．如图，大正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是()A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．不确定112．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在上，那么这个正方形材料的边长是多少？BC＝12cm，高AD＝8cm，现在要把它裁BC上，其余两个顶点分别在AB、AC（13．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高多少米？14．〔2021．乐山〕如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON=1．1〕求BD的长；2〕假设△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．15．〔2021．宜昌〕：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．1〕求证：△ADE∽△CDF；2〕当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．2参考答案1．(1)1：31：31：31：31：3(2)2：32：3(3)3：52．3．D4．D5．π平方米1200 6．cm1697．2：38．9cm和6cm9．24cm和80cm10．611．A12．13．1米14．〔1〕∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，=，∵M为AD中点，∴MD= AD= BC，即=，=，即BN=2DN，设OB=OD=x，那么有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2〔x﹣1〕，解得：x=3，∴BD=2x=6；2〕∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为，∴△MCD面积为，∵S平行四边形 ABCD=AD?h，S△MCD= MD?h=AD?h，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=10．15．〔1〕证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，3∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；2〕解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，那么BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，那么AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，=，=，x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π?〔DC〕22π〔4y〕22，=π?DC==4πy 四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为224πy：12y=π：3．4。

苏科版九年级数学下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习题-附带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若两个相似三角形的面积比是9：16，则它们的相似比是（）A．9：16 B．16：9 C．81：256 D．3：42．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm2，则较大三角形的面积是（）A．75cm2B．65cm2C．50cm2D．45cm23．如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（）A．ADAB ＝AEACB．AEEC＝23C．DEBC ＝23D．S△ADES△四边形DBCE＝4214．如图，有一锐角为30°的三角尺，它的内外两个三角形是相似的.三角尺的斜边长为12cm，其内部三角形的最短边长为3cm，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（）A．1：√3B．1：2C．1：3D．1：45．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（）A．√S B．√2S C．14S D．12S6．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝6，DC＝8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．ΔABO的面积是的面积的2倍8．如图所示，在矩形ABCD中，点F是 BC的中点，DF的延长线与AB的延长线相交于点E，DE与AC相交于点O，若，则（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题9．已知△ABC与ΔA'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，则∠C＝度．10．如图，平分且，则当BD=时，.11．如图，已知在△ABC 中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E，F 分别在AB，AC 上，AD 交EF 于点N，则AN 的长为.12．如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．13．如图，直角三角形BCF中，在线段上取一点，作交于点，现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为.若，则AD=.三、解答题14．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为，试求AD、AE的长．15．如图，D、E分别是AC、AB上的点△ADE∼△ABC，DE=8，BC=24，AD=6，∠B=70°求AB的长和∠ADE的度数．16．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q 从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6√3，BD=3．（1）求∠A的度数；（2）求BC的长及△ABC的面积．18．如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．答案1．D2．D3．C4．D5．C6．B7．B8．C9．4010．√611．2012．（-1，0）或者（1，0）或者（-4，0）13．3.214．解答：当△ABC ∽△ADE 时，相似比为 ， ＝ ＝ ，即： ＝ ＝ 解得：AD=2，AE=1.5；当△ABC ∽△AED 时，＝ ＝ ，即： ＝ ＝ ，解得：AD=1.5，AE=2．15．解：∵△ADE ∽△ABC∴AD AB =DE BC∵AD =6，DE =8，BC =24∴6AB =824∴AB =18∴AB =18，∠ADE =70°． 16．解：设经过t 秒两三角形相似，则AP=AB ﹣BP=8﹣2t ，AQ=4t ，①AP 与AB 是对应边时，∵△APQ 与△ABC 相似，∴AP AB =AQ AC 即8−2t 8=4t 16解得t=2，②AP 与AC 是对应边时，∵△APQ 与△ABC 相似∴AP AC =AQ AB 即8−2t 16=4t 8解得t=45，综上所述，经过45或2秒钟，△APQ 与△ABC 相似．17．解：（1）∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D∴AC 2=AD •AB ，即（6√3）2=AD •（AD+3）整理得AD 2+3AD ﹣108=0，解得AD=9或AD=﹣12（舍去） 在Rt △ACD 中，∵cosA=AD AC =6√3=√32∴∠A=30°；（2）∵AB=AD+BD=9+3=12而∠A=30°∴BC=12AB=6∴S △ABC =12•AC •BC=12•6√3•6=18√3．18．（1）解：∵点E 是AB 的中点，OA=2，AB=4∴点E 的坐标为（2，2）将点E 的坐标代入y=，可得k=4即反比例函数解析式为：y=∵点F 的横坐标为4∴点F 的纵坐标==1故点F 的坐标为（4，1）（2）解：由折叠的性质可得：BE=DE ，BF=DF ，∠B=∠EDF=90° ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°∴∠CDF=∠GED又∵∠EGD=∠DCF=90°∴△EGD ∽△DCF结合图形可设点E 坐标为（，2），点F 坐标为（4，） 则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB ﹣AE=4﹣在Rt △CDF 中，CD===∵CD GE =DF ED ，即= ∴√4−k =1解得：k=3。

九年级数学下册6.4.5三角形的重心同步练习（共4套苏科版）[6.4 第5课时三角形的重心] 一、选择题 1．下列命题中，错误的是( ) 链接听课例1归纳总结 A．三角形的重心是三条中线的交点 B．三角形中各条边的中垂线的交点是三角形的重心 C．三角形的重心一定在三角形内 D．一个三角形只有一个重心 2．如图K－19－1，△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E，若BC＝6，则EC的长度为( ) 图K－19－1 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．图K－19－3中的四个三角形，与图K－19－2中的三角形相似的是( ) 图K－19－2 图K－19－3 图K－19－4 4．如图K－19－4，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( ) A.22 B.32 C．1 D.62 二、填空题 5．已知正三角形的边长为2，则它的重心到三个顶点的距离之和为________． 6．等腰直角三角形ABC中，斜边AB＝6，则该三角形重心与外心之间的距离是________． 7．如图K－19－5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，BC＝5，BD＝4，则CD的长为________，AD的长为________．图K－19－5 8．如图K－19－6，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝__________．图K－19－6 三、解答题 9．求证：三角形的重心将中线分成2∶1的两部分．图K－19－710．如图K－19－8，已知AD是△ABC的边BC上的中线，G是三角形的重心，EF过点G且平行于BC，分别交AB，AC于点E，F. 求AF∶FC 和EF∶BC的值．图K－19－811.如图K－19－9，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图K－19－912．如图K－19－10所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)试说明：△EDM∽△FBM； (2)若BD＝9，求BM的长．图K－19－10探究题我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若O是△ABC的重心(如图K－19－11)，连接AO并延长交BC于点D，证明：AOAD＝23； (2)若AD是△ABC的一条中线(如图②)，O是AD上一点，且满足AOAD＝23，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； (3)若O是△ABC的重心，过点O的一条直线分别与AB，AC相交于点G，H(均不与△ABC的顶点重合)(如图③)，S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究S四边形BCHGS△AGH的最大值．图K－19－11详解详析 [课堂达标] 1．B 2．[解析] C ∵D是△ABC的重心，∴AE 是BC边上的中线，E是BC的中点．又∵BC＝6，∴EC＝3. 故选C. 3．[解析] B 本题方法较多，可以从三边对应成比例入手；还可以通过观察，发现原三角形是直角三角形，再根据其直角边对应成比例入手等． 4．[解析] C 如图，作MH⊥AC于点H. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH＝MH ＝22AM＝22×2＝2. ∵CM平分∠ACB，∠ABC＝90°，∴BM＝MH＝2，∴AB＝2＋2，∴AC＝2AB＝2(2＋2)＝2 2＋2，∴OC＝12AC＝2＋1，CH＝AC－AH＝2 2＋2－2＝2＋2. ∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴ONMH＝OCCH，即ON2＝2＋12＋2，∴ON＝1.故选C. 5．2 3 6．[答案] 1 [解析] 如图，∵等腰直角三角形的外心是斜边的中点D，∴CD＝12AB＝3. ∵I是△ABC的重心，∴DI＝13CD ＝1.故答案为1. 7．3 94 8．[答案] 4 [解析] 证明△ABC∽△CDE 即可． 9．证明：连接EF. ∵BF，CE是△ABC的中线，∴E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，从而BC∥EF，BC＝2EF，∴△EFG∽△CBG，∴BG＝2GF，CG＝2EG. 同理，AG＝2DG. ∴三角形的重心将中线分成2∶1的两部分． 10．[解析] G是三角形的重心，所以可知AG∶GD＝2∶1，AG∶AD＝2∶3，EF∥BC，所以AF∶FC＝AG∶GD＝2∶1，EF∶BC＝AF∶AC＝AG∶AD＝2∶3. 解：∵G是三角形的重心，且AD是BC边上的中线，∴AG∶GD＝2∶1，AG∶AD＝2∶3. ∵EF∥BC，∴AF∶FC＝AG∶GD＝2∶1，EF∶BC＝AF∶AC＝AG∶AD＝2∶3. 11．解：(1)证明：如图，连接AE. ∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC ＝90°，∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝CE. (2)如图，连接DE. ∵BE ＝CE＝3，∴BC＝6. ∵∠BED＋∠DEC＝180°，∠BAC＋∠D EC＝180°，∴∠BED＝∠BAC. 又∵∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴BEAB＝BDBC，即3AB＝26，∴AB＝9，∴AC＝AB＝9. 12．解：(1)∵E是AB 的中点，AB＝2CD，∴BE＝CD. ∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠EBD. 又∵BD ＝DB，∴△CDB≌△EBD，∴∠CBD＝∠EDB. 又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM. (2)由(1)中△CDB≌△EBD，知BC＝DE. 又∵F是BC的中点，∴BFDE＝12. 由(1)中△EDM∽△FBM，得BFDE＝BMDM＝12，∴BMBD＝13，∴BM＝13BD＝3. [素养提升] [解析] (1)如图①，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论； (2)如答图2，作△ABC 的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由(1)可知，AQAD ＝23，而已知AOAD＝23，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；(3)如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出S四边形BCHGS△AGH的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．解：(1)证明：如图①所示，连接CO并延长，交AB于点E. ∵O是△ABC的重心，∴CE是中线，E是AB的中点，∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE＝12AC. ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴AODO＝ACDE＝2. ∵AD＝AO＋OD，∴AOAD＝23.(2)O是△ABC的重心．证明：如图②，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则Q为△ABC的重心．由(1)可知，AQAD＝23，而AOAD＝23，∴点Q与点O重合(是同一个点)，∴O是△ABC的重心． (3)如图③所示，连接DG. 设S△GOD＝S，由(1)知AOAD＝23，即AO＝2OD，∴S△AGO＝2S，S△AGD＝S△GOD＋S△AGO＝3S. 为简便起见，不妨设AG＝1，BG＝x，则S△BGD＝3xS，∴S△ABD＝S△AGD＋S△BGD＝3S ＋3xS＝(3x＋3)S，∴S△ABC＝2S△ABD＝(6x＋6)S. 设OH＝k•OG，由S△AGO＝2S，得S△AOH＝2kS，∴S△AGH＝S△AGO＋S△AOH＝(2k ＋2)S. ∴S四边形BCHG＝S△ABC－S△AGH＝(6x＋6)S－(2k＋2)S＝(6x－2k＋4)S. ∴S四边形BCH GS△AGH＝（6x－2k＋4）S（2k＋2）S ＝3x－k＋2k＋1①. 如图③，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G 作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE.∵OF∥BC，∴OFCD＝AOAD＝23，∴OF＝23CD＝13BC. ∵GE∥BC，∴GEBC＝AGAB＝1x＋1，从而GE＝BCx＋1，∴OFGE＝13BCBCx＋1＝x ＋13，∴OFGE－OF＝x＋13－（x＋1）＝x＋12－x. ∵OF∥GE，∴OHGH ＝OFGE，∴OHOG＝OFGE－OF＝x＋12－x，∴k＝x＋12－x，代入①式得 S四边形BCHGS△AGH＝3x－k＋2k＋1＝3x－x＋12－x＋2x＋12－x＋1＝－x2＋x＋1＝－(x－12)2＋54，∴当x＝12时，S四边形BCHGS△AGH有最大值，最大值为54.。