2021最新苏科版九年级数学下册(全套)精品课件

2020-2021学年度苏科版九年级下学期数学5.2.3 y ＝a(x ＋h)2的图像和性质 巩固训练卷一、填空题1、根据函数关系式2)5(-=x y 填空：（1）图像开口向 ，顶点坐标 ，对称轴 ；（2）当x 时，y 随x 的减小而减小；当x = 时，y 的最 值是 ． 2、抛物线y=-2(x-3)2的开口方向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . 3、已知二次函数y=3(x-4)2的图像上有三点A (-1,y 1),B (2,y 2),C (5,y 3),则y 1,y 2,y 3的大小关系为 (用“<”连接). 4、已知抛物线25y x =，若把它向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ，若把它向下平移4个单位，所得抛物线的解析式是 ． 5、已知抛物线y=-21(x-1)2的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),且x 1>x 2>x 3>1, 则y 1,y 2,y 3的大小关系是________.6、二次函数y ＝﹣2（x +1）2的图象在对称轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）7、抛物线y ＝（x ﹣2）2的对称轴是 ．8、抛物线y ＝－3x 2是由抛物线y ＝－3(x －5)2向_______平移________个单位长度得到的． 二、选择题9、将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2，则这个平移过程是( )A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移2个单位长度D ．向下平移2个单位长度10、在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象可能是 ( )11、对于函数y ＝－2(x －m)2的图像，下列说法不正确的是()A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交 12、关于二次函数y=-(x-2)2的图像,下列说法正确的是 ( )A .是中心对称图形B .开口向上C .对称轴是直线x=-2D .最高点的坐标是(2,0)13、 已知抛物线y=3(x+3)2与y=3(x-3)2,下列说法错误的是 ( )A.形状相同,开口方向相反B.对称轴关于y 轴对称C.顶点关于y 轴对称D.图象关于y 轴对称14、已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．15、对于二次函数y ＝3（x ﹣1）2，下列结论正确的是（ ）A ．当x 取任何实数时，y 的值总是正的B ．其图象的顶点坐标为（0，1）C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大D ．其图象关于x 轴对称16、已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6 三、解答题17、已知抛物线y ＝a(x ＋h)2向右平移3个单位长度后，得到抛物线y ＝2(x ＋1)2，求a ，h 的值．18、已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是直线x＝－1，且过点(2，－3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？19、如图,在平行四边形ABCD中,BC=6,S▱ABCD=12,求抛物线的表达式.2020-2021学年度苏科版九年级下学期数学5.2.3 y ＝a(x ＋h)2的图像和性质 巩固训练卷（答案）一、填空题1、根据函数关系式2)5(-=x y 填空：（1）图像开口向 ，顶点坐标 ，对称轴 ；（2）当x 时，y 随x 的减小而减小；当x = 时，y 的最 值是 ． 答案：（1）上，（5，0），5=x ；（2）＞5，5，小，0；2、抛物线y=-2(x-3)2的开口方向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 . 答案：向下 直线x=3 (3,0)3、已知二次函数y=3(x-4)2的图像上有三点A (-1,y 1),B (2,y 2),C (5,y 3),则y 1,y 2,y 3的大小关系为 y 3<y 2<y 1(用“<”连接). 4、已知抛物线25y x =，若把它向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ，若把它向下平移4个单位，所得抛物线的解析式是 ． 答案：25(3)y x =+，254y x =-； 5、已知抛物线y=-21(x-1)2的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),且x 1>x 2>x 3>1, 则y 1,y 2,y 3的大小关系是________.【解析】抛物线y=-21(x-1)2的对称轴为x=1,开口向下,故在对称轴右侧,y 随x 的增大而减小.而x 1>x 2>x 3>1, ∴y 1<y 2<y 3.6、二次函数y ＝﹣2（x +1）2的图象在对称轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”） 【解答】解：∵﹣2＜0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y 随x 值的增大而增大，故答案为上升．7、抛物线y ＝（x ﹣2）2的对称轴是 直线x ＝2 ．【解答】解：抛物线y ＝（x ﹣2）2的对称轴是直线x ＝2， 故答案为：直线x ＝2．8、抛物线y ＝－3x 2是由抛物线y ＝－3(x －5)2向___左_____平移___5_____个单位长度得到的． 二、选择题9、将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2，则这个平移过程是( A )A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移2个单位长度D ．向下平移2个单位长度10、在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象可能是 ( )【解析】选D.二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点在x 轴上.11、对于函数y ＝－2(x －m)2的图像，下列说法不正确的是( )A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交 [解析] ∵k ＝－2＜0，∴函数y ＝－2(x －m )2的图像开口向下，∴A 正确；∵函数y ＝－2(x －m )2的对称轴是直线x ＝m ，∴B 正确； ∵函数y ＝－2(x －m )2的最大值为0，∴C 正确；∵函数y ＝－2(x －m )2的图像与y 轴一定有交点，∴D 错误．故选D.12、关于二次函数y=-(x-2)2的图像,下列说法正确的是 ( . D )A .是中心对称图形B .开口向上C .对称轴是直线x=-2D .最高点的坐标是(2,0)13、 已知抛物线y=3(x+3)2与y=3(x-3)2,下列说法错误的是 ( )A.形状相同,开口方向相反B.对称轴关于y 轴对称C.顶点关于y 轴对称D.图象关于y 轴对称【解析】选A.抛物线y=3(x+3)2与y=3(x-3)2的开口均向上,形状相同,对称轴分别为直线x=-3和x=3,关于y 轴对称,顶点分别为(-3,0)和(3,0),关于y 轴对称,图象也关于y 轴对称.14、已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．[解析] ∵二次函数的表达式为y ＝－2(x ＋2)2，∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x ＝－2.∵A (－1，y 1)，B (－2，y 2)，C (3，y 3)，∴点B 在直线x ＝－2上，点C 离直线x ＝－2最远， ∴y 2>y 1>y 3.15、对于二次函数y ＝3（x ﹣1）2，下列结论正确的是（ ）A ．当x 取任何实数时，y 的值总是正的B ．其图象的顶点坐标为（0，1）C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大D ．其图象关于x 轴对称 【解答】解：A 、当x ＝1时，y ＝0，故A 错误； B 、y ＝3（x ﹣1）2顶点坐标是（1，0），故B 错误；C 、a ＝1＞0，对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，故C 正确；D 、y ＝3（x ﹣1）2的对称轴是x ＝1，故D 错误； 故选：C ．16、已知二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6[解析] 二次函数y ＝－(x －h )2，当x ＝h 时，y 有最大值0，而当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，故h ＜2或h ＞5.若h ＜2，则当2≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 有最大值，此时－(2－h )2＝－1，解得h 1＝1，h 2＝3(舍去)，故h ＝1；若h ＞5，则当2≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，y 有最大值，此时－(5－h )2＝－1，解得h 3＝6，h 4＝4(舍去)，故h ＝6.综上可知，h 的值为1或6.故选择B.三、解答题17、已知抛物线y ＝a(x ＋h)2向右平移3个单位长度后，得到抛物线y ＝2(x ＋1)2，求a ，h 的值．解：∵将抛物线y ＝a (x ＋h )2向右平移3个单位长度后，得到抛物线y ＝a (x ＋h －3)2＝2(x ＋1)2，∴a ＝2，x ＋h －3＝x ＋1，∴h ＝4，即a ＝2，h ＝4.18、已知抛物线y ＝a (x ＋h )2的对称轴是直线x ＝－1，且过点(2，－3)．(1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：(1)∵抛物线y ＝a(x ＋h)2的对称轴是直线x ＝－1， ∴－h ＝－1，解得h ＝1，∴抛物线的表达式可写为y ＝a(x ＋1)2.∵抛物线y ＝a(x ＋h)2过点(2，－3)，∴－3＝9a ，解得a ＝－13， ∴抛物线的表达式为y ＝－13(x ＋1)2.(2)由(1)可知其顶点坐标为(－1，0)．(3)∵a ＝－13＜0，∴抛物线开口向下．∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大．19、如图,在平行四边形ABCD 中,BC=6,S ▱ABCD =12,求抛物线的表达式.【解析】根据题意设平行四边形的高为h 1,因为BC=6,S ▱ABCD =12,所以S ▱ABCD =BC ·h 1, 即6·h 1=12,h 1=2. 所以点A,D 的纵坐标是2,即A(0,2),D(6,2).根据抛物线的对称性,得点C(3,0),所以设抛物线的表达式为y=a(x-3)2,把点A(0,2)代入y=a(x-3)2得a=92,所以抛物线表达式为y=92(x-3)2.。

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形模型方法课之公共角、边模型（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为（ ）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．4.5cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 证△ABP ≌△EBP ，推出AP ＝PE ，得出S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，推出12S PBC S ABC ∆=∆，代入求出即可． 【详解】∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°，在△ABP 和△EBP 中，∠ABP ＝∠EBPBP ＝BP∠APB ＝∠EPB ，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ， ∴2119 4.522S PBC S ABC cm ∆=∆=⨯=， 故答案选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．2．如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②PA ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【分析】 过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．证明Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．∵PK ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∴PK ＝PD ，在Rt △BPK 和Rt △BPD 中，BP BP PK PD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BPK ≌Rt △BPD （HL ），∴BK ＝BD ，∵∠APC +∠ABC ＝180°，且∠ABC +∠KPD ＝180°，∴∠KPD ＝∠APC ，∴∠APK ＝∠CPD ，故①正确，在△P AK 和△PCD 中，AKP PDC PK PDAPK CPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△P AK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，P A＝PC，故②正确，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△P AK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．四边形ABCP故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．1.5 B．2 C．22D．10【答案】B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA，在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．二、解答题4．已知，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度均为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）如图1，连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（3）如图3，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，请直接写出∠CMQ 度数．【答案】（1）不变，60°；（2）第43秒或第83秒时；（3）120°． 【详解】试题分析：（1）通过证△ABQ ≌△CAP 得到∠BAQ=∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；（3）通过证△ABQ ≌△CAP 得到∠BAQ=∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．试题解析：（1）不变．在△ABQ 与△CAP 中，∵{60AB ACB CAP AP BQ=∠=∠=︒=，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ）， ∴∠BAQ=∠ACP ，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°； （2）设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t ，①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ ， ∴4-t=2t ，43t =； ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP ，∴ t=2（4-t ），t=83； ∴当第43秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形；（3）在△ABQ 与△CAP 中，∵{60AB ACB CAP AP BQ=∠=∠=︒=，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ），∴∠BAQ=∠ACP ，∴∠∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°． 考点：①等边三角形的性质；②全等三角形的判定与性质．5．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．【答案】见解析【分析】先在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,根据BD 平分∠ABC ,可得∠ABD =∠EBD ,根据AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,可判定△ABD ≌△EBD ,根据全等三角形的性质可得:AD=ED ,∠A =∠BED ．再根据AD=CD ,等量代换可得ED =CD ,根据等边对等角可得:∠DEC =∠C ．由∠BED +∠DEC =180°,可得∠A +∠C =180°． 【详解】证明:在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,如图所示,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠EBD ,在△ABD 和△EBD 中,AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△EBD （SAS ）,∴AD=ED ,∠A =∠BED ．∵AD=CD,∴ED =CD ,∴∠DEC =∠C ．∵∠BED +∠DEC =180°,∴∠A +∠C =180°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.6．如图，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠BAD ＋∠C ＝180°，求证：AD ＝CD ．【答案】见解析【详解】试题分析：在边BC 上截取BE =BA ，连接DE ，根据SAS 证△ABD ≌△EBD ，推出AD =ED ，∠A =∠BED ，求出∠DEC =∠C 即可．试题解析：证明：在边BC 上截取BE =BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△EBD 中，BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴AD =ED ，∠A =∠BED ．∵∠A +∠C =180°，∠BED +∠CED =180°，∴∠C =∠CED ，∴CD =ED ，∴AD =CD ．点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD 和CD 放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．7．如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．【答案】见解析.【分析】如图，作CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．由Rt △CF A ≌Rt △CEB ，推出∠ACF ＝∠ECB ，推出∠ACB ＝∠ECF ，由∠ECF +∠MON ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB +∠AOB ＝180°，推出∠OAC +∠OBC ＝180°．【详解】如图，作CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．∵OC 平分∠MON ，CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．∴CE ＝CF ，∵AC ＝BC ，∠CEB ＝∠CF A ＝90°，∴Rt △CF A ≌Rt △CEB （HL ），∴∠ACF ＝∠ECB ，∴∠ACB ＝∠ECF ，∵∠ECF +∠MON ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB +∠AOB ＝180°，∴∠OAC +∠OBC ＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.8．已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒，求证：2CE BD =.【答案】见解析.【分析】延长BD 交CA 的延长线于F ，先证得△ACE ≌△ABF ，得出CE=BF ；再证△CBD ≌△CFD ，得出BD=DF ；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD 交CA 的延长线于F ，90BAC ︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC ︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC ︒∠=90BDC FDC ︒∴∠=∠=90ABF BED ︒∴∠+∠=AEC BED ∠=∠ACE ABF ∴∠=∠AB AC =()ACE ABF ASA ∴∆∆≌CE BF ∴= CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．9．如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE 点F 在AB 上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论【答案】（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析 【分析】（1）延长CE 交AB 于点G ，证明AEG ∆≅AEC ∆，得E 为中点，通过中位线证明DE //AB ，结合BF=DE ，证明BDEF 是平行四边形（2）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE=12BG ，再根据AEG ∆≅AEC ∆，得AC=AG ，用AB-AG=BG ，可证1()2BF AB AC =- 【详解】（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．10．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于(,0) ,(0,)A a B b 两点，且,a b 满足2()|4|0a b a t ，且0,t t >是常数，直线BD 平分OBA ∠，交x 轴于点D ．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于点N ，求证：ON OD =；（2）如图2，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，猜想AE 与BD间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）2BD AE =,证明见解析．【分析】（1）由已知条件可得AO BO =，进而得OBA OAB ∠=∠，由直线BD 平分OBA ∠及直角三角形斜边上中线的性质得BOM OAB ∠=∠，再由三角形的外角定理，分别求得,ODN OND ∠∠，根据角度的等量代换，即可得ODN OND ∠=∠，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长AE 交y 轴于点C ，先证明BCE BAE △≌△，得AE EC =，再证明DOB COA ∠≌△，即可得2BD AC AE ==．【详解】（1）2()|4|0a b a t ，4a b t ∴==，AO BO ∴=，∴OBA OAB ∠=∠，直线BD 平分OBA ∠，ABD OBD ∴∠=∠， M 为AB 的中点， ∴12OM AB BM AM ===， BOM OBA ∴∠=∠，OBA OAB ∠=∠，BOM OAB ∴∠=∠，OND OBD BOM ∠=∠+∠，ODN OAB ABD ∠=∠+∠，OND ODN ∴∠=∠，ON OD ∴=．（2）2BD AE =，证明：如图，延长AE 交y 轴于点C ，直线BD 平分OBA ∠，AE BD ⊥，ABD OBD ∴∠=∠，AEB CEB ∠=∠， 又BE BE =，∴BCE BAE △≌△（ASA ），∴AE CE =1=2AC ， AO BC ⊥，∴DOB COA ∠=∠，即90OAC OCA OCA CBE ∠+∠=∠+∠=︒，OAC OBD ∴∠=∠，又OB OA =，∴DOB COA ∠≌△（ASA ），2BD AC AE ∴==，即2BD AE =．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键．11．如图，在ABC 中，BE 是ABC ∠的平分线，AD BE ⊥，垂足为D ，求证：21C ∠=∠+∠．【答案】见解析【分析】∠=∠，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两根据角平分线的定义可得ABE CBE个内角的和可得AED CBE C∠=∠+∠，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．【详解】∠的平分线，证明：BE是ABC∴∠=∠，ABE CBE由三角形的外角性质得，AED CBE C∠=∠+∠，AD BE⊥，∴∠+∠=︒，290ABE∴1190∠+∠=∠+∠+∠=︒，AED CBE C∴∠+∠=︒-∠，190C CBE∠=∠∠=︒-∠，ABE CBE ABE,290∴∠=∠+∠．21C【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．己知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝BC＝△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝，则S△ABC＝．【答案】（1）见解析；（2）②7 2【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD²=DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案;（2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE 从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（²=32，DP²+PC²=DC²=（²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64 从而求出BP AB∥PC则S△ABC＝12AB×BP.【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90°在Rt△AOB中AB²=AO²+OB²∴∠COD=90°在Rt△COD中CD² =DO²+OC²∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²∴AB2＋CD2＝AD2＋BC ²(2) ①解：连DC、AE相交于点F∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BC AB=BD∠CBE=∠ABD=90°∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD∵AB BC∠ACB=90°∴AC=∵AB BD∠ABD=90°∴AD10=∵BC，BE∠CBE=90°∴CE8=由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∴(10)²+（8）²=（²+DE²∴DE②连DC、AE相交于点F∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝∴DC=2GH =作CP⊥BD交DB延长线于点PBP²+CP²=BC²=（²=32²=96DP²+PC²=DC²=（∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∴DP²-BP²=64∴（BD+BP)²-BP²=64∴（BP )²-BP ²=64∴BP ∵∠PBA =90°，∠P =90°，∴∠PBA +∠P =90°+90°=180°∴AB ∥PC则S △ABC ＝12AB ×BP =12×72【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

图上距离与实际距离知识点一、比例线段1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.（1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；（2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；（3）线段的比，最终要化成最简整数比.2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.例：下列四条线段能成比例线段的是（ ）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．，2，3D．2，3，4，5【解答】C【解析】A、1×3≠1×2，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；B、1×4≠2×3，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意；C、×3＝×2，故四条线段能成比例线段，此选项符合题意；D、2×5≠3×4，故四条线段不能成比例线段，此选项不符合题意．故选C．知识点二、比例的基本性质1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d.2.合比性质：如果，那么，如果，那么.例：已知，则的值为（ ）A．B．C．D．【解答】A【解析】∵，∴a＝b，∴．故选A．知识点三、比例中项在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项.例：已知线段c为线段a，b的比例中项，若a＝1，b＝2，则c＝（ ）A．1B．C D【解答】B【解析】∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝1×2，解得c＝±又∵线段是正数，∴c．故选B．巩固练习一．选择题1．下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）A．1，2，2，3B．1，2，3，4C．1，2，2，4D．3，5，9，11 2．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（ ）A ．2a ＝3bB ．b ﹣a ＝1C ．a b b =52D ．a a b =―23．a ，b ，c ，d 是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是（ ）A ．a ＝2cm ，b ＝5cm ，c ＝5cm ，d ＝10cmB ．a ＝5cm ，b ＝3cm ，c ＝10cm ，d ＝6cmC ．a ＝30cm ，b ＝2cm ，c ＝0.8cm ，d ＝2cmD ．a ＝5cm ，b ＝0.02cm ，c ＝7cm ，d ＝0.3cm4．若b a =34，则2a b a 的值为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．585．下列各组线段中，成比例的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cm ，5cmB ．2cm ，4cm ，6cm ，8cmC ．3cm ，6cm ，8cm ，12cmD ．1cm ，3cm ，5cm ，15cm6．在比例尺是1：200000的地图上，A 、B 两地间的距离为4cm ，则A 、B 两地的实际距离是（ ）A ．8kmB ．5kmC ．80kmD ．0.5km 7．已知a 、b 、c 均不为0，且a +b +c ≠0，若2b c a =2c a b =2a b c =k ，则k ＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．38．已知线段a ＝2，c ＝4，线段b 是a ，c 的比例中项，则线段b 的值为（ ）A ．8B ．3C ．D ．9．下列说法正确的是（ ）A ．一个小时的25%是25分钟B ．一根长为7米的绳子，用去了37，还剩47米C ．出席“班班有歌声”合唱比赛的学生有96人，那么出席率是96%D ．在一幅比例尺为1：1250000地图上，量得A 、B 两城市之间的距离是8厘米，那么A 、B 两城市之间的实际距离是100千米10．如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：411．已知a，b，c为△ABC的三边，且2ab c =2ba c=2ca b=k，则k的值为（ ）A．1B．12或﹣1C．﹣2D．1或﹣212．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相交于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）舞蹈社溜冰社魔术社上學期345下學期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变二．填空题13．如果ab =cd=23，其中b+2d≠0，那么a2cb2d= ．14．已知ab =37，则b ab a= ．15．已知，x2=y2=z5，则3x2y z2x= ．16．在一幅比例尺是1：6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是 千米．17．已知2x+y―2z=03x―y―z=0（z≠0），则x：y＝ ．18．一幅地图上，5厘米表示实际距离10千米，这幅地图的比例尺是 ，甲乙两地的实际距离是15千米，则甲乙两地图上距离是 厘米．19．若a是2，4，6的第四比例项，则a＝ ；若x是4和16的比例中项，则x＝ ．20．已知a ba =15，则aa b= ．21．已知：a：b＝3：4，b：c＝1：2，那么a：b：c＝ ．22．已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为 ．23．已知2b3a b =34，则ab= ．24．若线段a，b，c满足关系ab =34，bc=35，则a：b：c＝ ．25．已知a：b＝2：3，b：c＝4：5，那么a：b：c＝ ．三．解答题26．下面是学校操场的平面图，已知比例尺是14000，请你计算操场的实际面积是多少平方米？27．在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是2：3，甲、乙两车的速度各是多少？28．已知ab =23，求3a4b2a b的值．29．已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式3a b c2a3b c的值；（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．30．已知x2=y3=z4，且x+y﹣z＝2，求x、y、z的值．31．已知△ABC和△DEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．32．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa b =yb c=zc a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa b =yb c=zc a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y zx =z xy=x yz（x+y+z≠0），求x y zx y z的值．33．我们知道：若ab =cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a cb d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b ca =a cb=a bc=t，求t2﹣t﹣2的值．。

重难点02“四点共圆”模型1.识别几何模型。

2.利用“四点共圆”模型解决问题一．填空题（共3小题）1．（2021秋•南京期中）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C＝100°，BC＝CD，则∠A+∠D ＝°．2．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为．3．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是．二．解答题（共7小题）4．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．5．（兴化市校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点．（1）线段AF与BE有何关系．说明理由；（2）延长AF、BC交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．6．（2022秋•建湖县期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．（1）若∠DAE＝75°，则∠DAC＝°；（2）过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明；（3）若AB＝6、AE＝2，求BD2﹣AD2的值．7．（2023•淮安区一模）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．8．（2022秋•靖江市期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）．[探索发现]小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．[拓展应用]在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值．[灵活运用]在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值．9．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．（1）在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆；（2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得＝180°，所以∠BED＝，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．10．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵BD是⊙O的直径，∴，∴∠A+∠C＝180°，∵四边形内角和等于360°，∴．（2）请回答问题2，并说明理由；【深入探究】如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；（4）探究EF、GH满足的位置关系；（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．一．选择题（共3小题）1．（2022•思明区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．（2023•泾阳县模拟）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为（）A．6B．C．D．3．（2023•蜀山区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（）A．10B．12C．15D．16二．填空题（共2小题）4．（2023•银川校级二模）如图，在直径为AB的⊙O中，点C，D在圆上，AC＝CD，若∠CAD＝28°，则∠DAB的度数为．5．（2023•海曙区校级一模）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝，△ABC的面积为．三．解答题（共7小题）6．（2022秋•南关区校级期末）【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为；（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为．7．（2023•萍乡模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角；（2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形．8．（2022•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），作点B 关于直线AP的对称点E，连接AE，再连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF和CF．（1）若∠BAP＝α，则∠AED＝（用含α的式子直接填空）；（2）求证：点F在正方形ABCD的外接圆上；（3）求证：AF﹣CF＝BF．9．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB，CB＝10cm，CD＝8cm，AB＝14cm．（1）∠A度数．（直接写出答案）（2）求的长度．（3）P是⊙O上一点（不与A，B，C重合），连结BP．①若BP垂直△ABC的某一边，求BP的长．②将点A绕点P逆时针旋转90°后得到A′，若A′恰好落在CD上，则CA'的长度为.（直接写出答案）10．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A，D，B，E四点共圆．11．（2022秋•新华区校级期末）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC，PD＝3．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）求⊙O的直径；（3）当点B在CD下方运动时，直接写出△ABC内心的运动路线长是．12．（2021秋•固始县月考）阅读材料并完成相应任务：婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．下面对该定理进行证明．已知：如图（1），四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥BC于点M，延长MP交AD于点N．求证：AN＝ND．证明：∵AC⊥BD，PM⊥BC，∴∠BPM+∠PBM＝90°，∠PCB+∠PBC＝90°，∴∠BPM＝∠PCB．……任务：（1）请完成该证明的剩余部分；（2）请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，BC，AC分别交⊙O于点D，E，连接AD，BE交于点P．过点P作MN∥BC，分别交DE，AB于点M，N．若AD⊥BE，求NP的长．。