天津师范大学629数学分析2014考研专业课真题试卷

2014年天津师范大学行政管理考研真题及答案解析-公共行政学育明教育天津分校解析：育明教育通过多年的辅导经验和对历年真题的分析，专业课是决定考研成功的关键，各所学校都有自己独特的出题风格，建议大家复习的时候要遵循每年考试出题的风格、出题的规律把握考试的重点进行复习，育明教育专注考研专业课多年，更多的考研信息可以咨询天津分校王老师。

专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。

以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。

一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。

但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。

跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。

做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。

很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。

其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。

要在持之以恒的基础上有张有弛。

具体复习时间则因人而异。

一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。

四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。

例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。

根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。

2014年天津师范大学行政管理考研真题及答案解析--公共行政学天津分校分析：以多年的辅导经验来看，专业课是最终能否考上的关键，建议大家在准备的过程中一定要注重专业课的复习，尤其要抓住考试的重点进行复习，育明专注专业课辅导多年，更多考研信息可以随时关注育明官网或者咨询育明考研天津分校高级咨询师王老师专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。

以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。

一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。

但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。

跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。

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其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。

要在持之以恒的基础上有张有弛。

具体复习时间则因人而异。

一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。

四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。

例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。

根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。

2014年天津师范大学行政管理考研真题及答案解析--公共行政学天津分校分析：以多年的辅导经验来看，专业课是最终能否考上的关键，建议大家在准备的过程中一定要注重专业课的复习，尤其要抓住考试的重点进行复习，育明专注专业课辅导多年，更多考研信息可以随时关注育明官网或者咨询育明考研天津分校高级咨询师王老师专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。

以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。

一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。

但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。

跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。

做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。

很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。

其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。

要在持之以恒的基础上有张有弛。

具体复习时间则因人而异。

一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。

四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。

例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。

根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。

2014年天津师范大学行政管理考研公共政策考研真题答案解析一、简答题（20分）试比较结构优良的政策问题与结构适度的政策问题之间的异同二、论述题（70分）1，试析影响政策执行的因素（35分）2，试述政策评估的技术性标准及其应用（35分）专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。

以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。

一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。

但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。

跨专业考研或者对考研所考科目较为陌生的同学，则应该快速建立起对这一学科的认知构架，第一轮下来能够把握该学科的宏观层面与整体构成，这对接下来具体而丰富地掌握各个部分、各个层面的知识具有全局和方向性的意义。

做到这一点的好处是节约时间，尽快进入一个陌生领域并找到状态。

很多初入陌生学科的同学会经常把注意力放在细枝末节上，往往是浪费了很多时间还未找到该学科的核心，同时缺乏对该学科的整体认识。

其实考研不一定要天天都埋头苦干或者从早到晚一直看书，关键的是复习效率。

要在持之以恒的基础上有张有弛。

具体复习时间则因人而异。

一般来说，考生应该做到平均一周有一天的放松时间。

四门课中，专业课（数学也属于专业课）占了300分，是考生考入名校的关键，这300分最能拉开层次。

例如，专业课考试中，分值最低的一道名词解释一般也有4分或者更多，而其他专业课大题更是动辄十几分，甚至几十分，所以在时间分配上自然也应该适当地向专业课倾斜。

根据我们的经验，专业课的复习应该以四轮复习为最佳，所以考生在备考的时候有必要结合下面的内容合理地安排自己的时间：第一轮复习：每年的2月—8月底这段时间是整个专业复习的黄金时间，因为在复习过程遇到不懂的难题可以尽早地寻求帮助得到解决。

2014年天津师范大学政治与行政学院622公共行政学考研真题（回忆版）
一、简答下列各题
1．在政府的基本职能中，社会职能的主要内容有哪些方面？
2．简述公共行政学产生的历史原因。

3．如何理解公共行政执行在公共行政中的作用？
二、论述些列问题
谈谈你对行政道德失范的认识。

三、分析案例资料
厦门以管好“车辆、会议”为突破口，加强财政管理，有效控制行政成本。

对于公车更新增减，厦门市规定，由市财政局汇通纪检、审计和机关事务管理部门组成车辆编控小组，每年只定期研究一次车辆编制，用车单位中途不得随意增加车辆，厦门市直行政事业单位的所有车辆实行统一定点维修，通过政府采购确定的23家定点维修厂商，对公务车维修费用实行优惠。

3600多辆公务车的维修费用一年可下降31.53％，节约1300万元。

厦门还实行了市直党政机关办公设施设备配置标准，防止党政机关奢侈浪费现象。

为控制和降低各种会议成本，厦门市先于全国推行定点接待制度，确定9家宾馆为市接待定点宾馆。

其房价、会议室及设备租金、酒水价格按照相当幅度的优惠价结算。

厦门还统一会议费开支标准和范围，明确规定一般性会议经费一律在部门预算包干经费中开支。

各种洽谈、展览等会议要按市场方式运作，财政原则上不再安排经费。

市直行政事业单位举办
会议必须严格履行报批手续，严格控制会议数量、规模和会期。

问题：
1．结合案例资料谈谈你对控制行政成本的认识。

2．请结本案例资料起一个恰当的题目。

2013 —2014 学年第一学期期末考试试卷（开卷）科目：生物学文献检索与论文写作学院：生命科学学院一、完成检索报告(30%)1. 自定检索题目2. 利用检索工具完成检索报告，列出所检索出的结果。

3. 注意事项：（1）至少利用2种检索工具：书目数据库（天津师范大学图书馆馆藏书目数据库）；维普期刊数据库来检索你所自定的检索题目。

（2）以参考文献的形式列出检索的结果。

每个检索工具至少提供10条纪录。

（3）提供检索题目检索题目：基因工程（1）书目数据库检索：[1]侯云德.病毒基因工程的原理与方法[M].北京：人民卫生出版社，1985.[2]李宁.高级动物基因工程[M].北京：科学出版社，2012.[3]孙明.基因工程[M].北京：高等教育出版社，2006.[4]李立家，肖庚富.基因工程[M].北京：科学出版社，2004.[5]陆德如，陈永清.基因工程[M].北京：化学工业出版社，2002.[6]杨汝德.基因工程[M].广州:华南理工大学出版社，2003.[7]贺淹才.基因工程概论[M].北京：清华大学出版社，2008.[8]静国忠.基因工程及其分子生物学基础[M].北京:北京大学出版社，1999.[9]冯斌，谢先芝.基因工程技术[M].北京：化学工业出版社，2000.[10]彭秀玲，袁汉英.基因工程实验技术[M].长沙：湖南科学技术出版社，1987.8.[11]谢纳.生物芯片分析[M].北京：科学出版社，2003.（2）维普期刊数据库检索：[1] 刘立军.猪囊尾蚴病重组抗原和基因工程疫苗的研究进展[J].国外畜牧学：猪与禽,2013(8):75-77.[2] 张文玲.渗透调节物质在植物抗寒基因工程的应用[J].安徽农业科学,2013,41(14):6152-6154.[3] 杨惠兰.基因工程上演中国速度[J].中国经济周刊,2013(31):82-83.[4] 孔卓怡,钟莉.基因工程策略强化生物法生产CoQ10研究进展[J].黑龙江科学,2013(7):45-47.[5] 许孟先.猪大肠杆菌K88、K99双价基因工程灭活苗免疫效果观察[J].浙江畜牧兽医,2013,38(4):3-4.[6] 谢晓航,李宜海,卢国伟.Z.mobilis基因工程菌发酵酒精技术条件的研究[J].大众科技,2013,15(7):87-89.[7] 李宁宁,李雅.基于动物纤维素酶基因工程的科学前沿动态可视化方法研究[J].科技管理研究,2013,33(13):196-199.[8] 刘玲玲.基因工程在马铃薯育种中的应用现状[J].山东农业科学,2013,45(6):130-133.[9] 曹南.基因工程在食品中的应用分析[J].湖南农机：学术版,2013(2):230.[10] 熊伟.基因工程技术培育抗病毒马铃薯种质的研究进展[J].平顶山学院学报,2013,28(2):71-74.[11]杨瑞红.生物脱硫微生物及基因工程应用的研究进展[J].生物技术进展,2013,3(3):190-195.[12]王飞,陈慧慧,李健.基因工程药物治疗白血病的研究进展[J].现代肿瘤医学,2013,21(5):1158-1162.二、检索题（20%）1.以实例详细描述你如何利用“CNKI E-Learning”学习平台。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)选择题:共40分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014天津,理1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=().A.1-iB.-1+iC.17 25+3125i D.-177+257i答案:A解析:7+i3+4i =(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选A.2.(2014天津,理2)设变量x,y满足约束条件{x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为().A.2B.3C.4D.5 答案:B解析:画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).由z=x+2y,得y=-12x+12z,作直线l:y=-12x,平移l,由图形可知当l经过可行域中的点A(1,1)时,z取最小值,且z min=1+2×1=3,故选B.3.(2014天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为().A.15B.105C.245D.945答案:B解析:第一次执行循环体T=2×1+1=3,S=1×3=3,i=2;第二次执行循环体T=2×2+1=5,S=3×5=15,i=3;第三次执行循环体T=2×3+1=7,S=15×7=105,i=4.这时满足i≥4,跳出循环,输出S=105,故选B.4.(2014天津,理4)函数f(x)=lo g12(x2-4)的单调递增区间为().A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)答案:D解析:由x 2-4>0得x>2或x<-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x 2-4,当x ∈(-∞,-2)时,t 随x 的增大而减小,y=lo g 12t 随t 的减小而增大,所以y=lo g 12(x 2-4)随x 的增大而增大,即f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D . 5.(2014天津,理5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 答案:A解析:由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l 平行,因此ba=2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1,故选A .6.(2014天津,理6)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE=BE ·DE ;④AF ·BD=AB ·BF.则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案:D解析:由弦切角定理知∠FBD=∠BAD ,∵AD 平分∠BAC ,∠CBD=∠CAD , ∴∠BAD=∠DBC.∴∠FBD=∠CBD ,即BD 平分∠CBF ,∴①正确; 由切割线定理知,∴②正确;由相交弦定理知,AE ·ED=BE ·EC ,∴③不正确; ∵△ABF ∽△BDF ,∴AB BD=AF BF. ∴AF ·BD=AB ·BF ,∴④正确.故选D .7.(2014天津,理7)设a ,b ∈R ,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案:C解析:令f (x )=x|x|,则f (x )={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,画出f (x )的图象(如图),易知f (x )在R 上为单调递增函数,因此a>b ⇔f (a )>f (b ),故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故选C .8.(2014天津,理8)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE=λBC ,DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,则λ+μ=( ). A.12B.23C.56D.712答案:C解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3. 由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)=-23,所以λμ=λ+μ-23, 因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43=3,解得λ+μ=56,故选C .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014天津,理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案:60解析:依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6×300=60(名).10.(2014天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.答案:20π3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为2,高为2;下部是一个圆柱,底面圆半径为1,高为4,故该几何体的体积V=13·π·22·2+π·12·4=8π3+4π=20π3. 11.(2014天津,理11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 答案:-12解析:由已知得S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32×(-1)=4a 1-6,而S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),整理得2a 1+1=0,解得a 1=-12.12.(2014天津,理12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为 . 答案:-14解析:由2sin B=3sin C ,结合正弦定理得2b=3c ,又b-c=14a ,所以b=32c ,a=2c. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=(32c )2+c 2-(2c )22·32c ·c=-14. 13.(2014天津,理13)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点,若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案:3解析:由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以x 2+y 2=4y.所以圆的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ,其圆心为C (0,2),半径r=2;由ρsin θ=a ,得直线的直角坐标方程为y=a ,由于△AOB 是等边三角形,所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心,若设AB 的中点为D (如图).则CD=CB ·sin 30°=2×12=1,即a-2=1,所以a=3.14.(2014天津,理14)已知函数f (x )=|x 2+3x|,x ∈R .若方程f (x )-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 . 答案:(0,1)∪(9,+∞)解析:在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y=a|x-1|的图象,由图知,当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故必有a>0.若曲线y=-x 2-3x (-3≤x ≤0)与直线y=-a (x-1)(x ≤1)相切,联立方程得x 2+(3-a )x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),因此当0<a<1时,f (x )的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点;若曲线y=x 2+3x (x>0)与直线y=a (x-1)(x>1)相切,联立方程得x 2+(3-a )x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去), 因此当a>9时,f (x )的图象与y=a|x-1|的图象有4个交点,故当方程有4个互异实数根时,实数a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)(2014天津,理15)已知函数f (x )=cos x ·sin (x +π3)−√3cos 2x+√34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期.(2)可利用函数f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性求最值. 解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·(12sinx +√32cosx)−√3cos 2x+√34=12sin x ·cos x-√32cos 2x+√34=14sin 2x-√34(1+cos2x )+√34=14sin 2x-√34cos 2x=12sin (2x -π3).所以,f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f (x )在区间[-π4,-π12]上是减函数,在区间[-π12,π4]上是增函数,f (-π4)=-14,f (-π12)=-12,f (π4)=14, 所以,函数f (x )在闭区间[-π4,π4]上的最大值为14,最小值为-12.16.(本小题满分13分)(2014天津,理16)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.分析:(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解.(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列,再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 31·C 72+C 30·C 73C 103=4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X=k )=C 4k ·C 63-kC 103(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.17.(本小题满分13分)(2014天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F-AB-P 的余弦值.分析:方法一:用向量方法解.通过建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标.(1)用向量积为0,证线线垂直.(2)设平面PBD 的一个法向量.利用垂直关系确定法向量坐标,再由向量夹角公式求线面角.(3)确定出二面角的两个面的一个法向量,由向量夹角公式求二面角余弦值.注意共线向量定理的应用.方法二:几何证明法:(1)取PD 中点M.通过证明ABEM 为平行四边形来证明线线平行.由已知线面垂直证线线垂直,再证线面垂直.由此证得CD ⊥AM ,故可得结论.(2)由线与面、线与线、面与面的垂直,寻找并证明线面角,再通过解三角形,求出线面角的正弦值.(3)利用垂直关系寻找并证明二面角的平面角为∠PAG ,再通过解三角形,利用余弦定理,求出二面角的余弦值.方法一:依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1). (1)证明:向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),故BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以BE ⊥DC. (2)解:向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的法向量, 则{n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,x -2z =0.不妨令y=1,可得n =(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量. 于是有cos <n ,BE⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√2=√33.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33.(3)解:向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).由点F 在棱PC 上,设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤λ≤1. 故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-2λ,2-2λ,2λ). 由BF ⊥AC ,得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34. 即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,32).设n 1=(x ,y ,z )为平面FAB 的法向量,则{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·BF ⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,-12x +12y +32z =0. 不妨令z=1,可得n 1=(0,-3,1)为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0). 则cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√10×1=-3√1010.易知,二面角F-AB-P 是锐角,所以其余弦值为3√1010. 方法二:(1)证明:如图,取PD 中点M ,连接EM ,AM.由于E ,M 分别为PC ,PD 的中点,故EM ∥DC ,且EM=12DC ,又由已知,可得EM ∥AB 且EM=AB ,故四边形ABEM 为平行四边形,所以BE ∥AM. 因为PA ⊥底面ABCD ,故PA ⊥CD ,而CD ⊥DA ,从而CD ⊥平面PAD , 因为AM ⊂平面PAD ,于是CD ⊥AM , 又BE ∥AM ,所以BE ⊥CD.(2)解:连接BM.由(1)知CD ⊥平面PAD ,得CD ⊥PD ,而EM ∥CD ,故PD ⊥EM. 又因为AD=AP ,M 为PD 的中点,故PD ⊥AM ,可得PD ⊥BE , 所以PD ⊥平面BEM ,故平面BEM ⊥平面PBD.所以,直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ,而BE ⊥EM , 可得∠EBM 为锐角,故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角. 依题意,有PD=2√2,而M 为PD 中点,可得AM=√2,进而BE=√2. 故在直角三角形BEM 中,tan ∠EBM=EM BE=AB BE=√2,sin ∠EBM=√33.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33.(3)解:如图.在△PAC 中,过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H.因为PA ⊥底面ABCD ,故FH ⊥底面ABCD ,从而FH ⊥AC.又BF ⊥AC ,得AC ⊥平面FHB ,因此AC ⊥BH.在底面ABCD 内,可得CH=3HA ,从而CF=3FP.在平面PDC 内,作FG ∥DC 交PD 于点G ,于是DG=3GP. 由于DC ∥AB ,故GF ∥AB ,所以A ,B ,F ,G 四点共面. 由AB ⊥PA ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面PAD ,故AB ⊥AG. 所以∠PAG 为二面角F-AB-P 的平面角.在△PAG 中,PA=2,PG=14PD=√22,∠APG=45°,由余弦定理可得AG=√102,cos ∠PAG=3√1010. 所以二面角F-AB-P 的余弦值为3√1010.18.(本小题满分13分)(2014天津,理18)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B.已知|AB|=√32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过原点O 的直线l 与该圆相切,求直线l 的斜率.分析:(1)由题知A (a ,0),B (0,b ),|F 1F 2|=2c ,因此可由已知条件结合b 2=a 2-c 2,求出离心率.(2)由(1)可设出只含一个参数c 的椭圆标准方程,设出P 点坐标.由以PB 为直径的圆过F 1知PF 1⊥BF 1,得P 点坐标关系.由P 点在椭圆上,得P 点坐标另一关系,由此确定P 点坐标.再根据过原点的直线l 与圆相切,列出斜率k 的方程,即可求出k 值.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB|=√32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2,又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12.所以椭圆的离心率e=√22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1. 设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ), 有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,y 0),F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,c ).由已知,有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x 0+c )c+y 0c=0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0.① 又因为点P 在椭圆上,故x 022c 2+y 02c 2=1.② 由①和②可得3x 02+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c , 代入①得y 0=c 3,即点P 的坐标为(-4c 3,c 3). 设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c+02=-23c ,y 1=c 3+c 2=23c ,进而圆的半径r=√(x 1-0)2+(y 1-c )2=√53c.设直线l 的斜率为k ,依题意,直线l 的方程为y=kx.由l 与圆相切,可得11√k +1=r ,即|k (-2c 3)-2c3|√k +1√53c ,整理得k 2-8k+1=0,解得k=4±√15.所以,直线l 的斜率为4+√15或4-√15.19.(本小题满分14分)(2014天津,理19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M ,i=1,2,…,n }. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2)设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t.分析:在第(1)问中,由于q 和n 的值已给出,因此集合M 确定,从而x i 的取值确定.只需列出x 的所有可能的取值,即得集合A.在第(2)问中,考虑到s 和t 表达式的结构特点,应采用作差法证明它们的大小关系.在s-t 的表达式中,由于a i 与b i (i=1,2,3,…,n-1)的大小关系不确定,因此可将a i -b i (i=1,2,…,n-1)统一放大为其最大值q-1,而a n <b n ,可将a n -b n 放大为其最大值-1,然后将s-t 的表达式用等比数列求和公式化简,即可证得s-t<0. (1)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1 =(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.20.(本小题满分14分)(2014天津,理20)设f (x )=x-a e x (a ∈R ),x ∈R .已知函数y=f (x )有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围;(2)证明x2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明x 1+x 2随着a 的减小而增大.分析:在第(1)问中,由f (x )有两个零点知f (x )图象与x 轴有两个不同交点,因此可通过用导数研究f (x )的单调性与极值情况,结合图象分析,建立关于参数a 的不等条件求得其取值范围;在第(2)问中,首先应结合图象确定零点x 1,x 2的所在区间,然后针对a 的两个不同值a 1,a 2,考察它们对应零点ξ1,ξ2与η1,η2的大小关系,结合f (x )的单调性确定ξ2ξ1与η2η1的大小关系,证得结论;在第(3)问中,可结合(2)问的结论,只需证明x 1+x 2的值随x 2x 1的增大而增大即可.这时可通过对已知式子两边取对数,将x 1+x 2表示为关于x 2x 1的函数h (x ),然后用导数证明h (x )单调递增即可证得结论.(1)解:由f (x )=x-a e x ,可得f'(x )=1-a e x .下面分两种情况讨论:①a ≤0时,f'(x )>0在R 上恒成立,可得f (x )在R 上单调递增,不合题意. ②a>0时,由f'(x )=0,得x=-ln a.当x 变化时,f'(x ),f (x )这时,f (x )的单调递增区间是(-∞,-ln a );单调递减区间是(-ln a ,+∞). 于是,“函数y=f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立: 1° f (-ln a )>0; 2° 存在s 1∈(-∞,-ln a ),满足f (s 1)<0; 3° 存在s 2∈(-ln a ,+∞),满足f (s 2)<0. 由f (-ln a )>0,即-ln a-1>0,解得0<a<e -1.而此时,取s 1=0,满足s 1∈(-∞,-ln a ),且f (s 1)=-a<0;取s 2=2a+ln 2a,满足s 2∈(-ln a ,+∞),且f (s 2)=(2a-e 2a )+(ln 2a-e 2a )<0. 所以,a 的取值范围是(0,e -1).(2)证明:由f (x )=x-a e x =0,有a=xe x .设g (x )=xex ,由g'(x )=1-xex ,知g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当x ∈(-∞,0]时,g (x )≤0; 当x ∈(0,+∞)时,g (x )>0.由已知,x 1,x 2满足a=g (x 1),a=g (x 2).由a ∈(0,e -1),及g (x )的单调性,可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).对于任意的a 1,a 2∈(0,e -1),设a 1>a 2,g (ξ1)=g (ξ2)=a 1,其中0<ξ1<1<ξ2; g (η1)=g (η2)=a 2,其中0<η1<1<η2. 因为g (x )在(0,1)上单调递增,故由a 1>a 2, 即g (ξ1)>g (η1),可得ξ1>η1; 类似可得ξ2<η2. 又由ξ1,η1>0,得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1. 所以x 2x 1随着a 的减小而增大. (3)证明:由x 1=a e x 1,x 2=a e x 2,可得ln x 1=ln a+x 1,ln x 2=ln a+x 2.故x 2-x 1=ln x 2-ln x 1=ln x2x 1.设x2x 1=t ,则t>1, 且{x 2=tx 1,x 2-x 1=lnt ,解得x 1=lnt t -1,x 2=tlnt t -1.所以x 1+x 2=(t+1)lntt -1.① 令h (x )=(x+1)lnx x -1,x ∈(1,+∞),则h'(x )=-2lnx+x -1x(x -1)2.令u (x )=-2ln x+x-1x,得u'(x )=(x -1x)2.当x ∈(1,+∞)时,u'(x )>0.因此,u (x )在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x ∈(1,+∞),u (x )>u (1)=0. 由此可得h'(x )>0,故h (x )在(1,+∞)上单调递增. 因此,由①可得x 1+x 2随着t 的增大而增大.而由(2),t 随着a 的减小而增大,所以x 1+x 2随着a 的减小而增大.。