河南省名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(文)(Word版含解析)

高考资源网（ ）您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 绝密★启用前大联考2020－2021学年(上)高二年级期中考试文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若数列{a n }满足a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ∈N *)，则称{a n }为“Y 型数列”，则下列数列不可能是“Y 型数列”的是A.－1，0，1，0，－1，0，1，…B.1，2，1，3，5，2，3，…C.0，0，0，0，0，0，0，…D.2，1，－1，0，1，2，1，…2.已知锐角△ABC 的面积为2，AB ＝BC ＝2，则角B ＝A.6πB.3πC.4π D.34π 3.拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则第10层节点的个数为A.100B.128C.512D.10244.已知m<0，n>0，m ＋n<0，则下列不等式中正确的是A.n>－mB.m 2>n 2C.－n>－mD.11m n+<0。

绝密★启用前河南名校联盟2020－2021学年高二(上)期中考试数学(文科)考生注意：1.本试卷共8页。

时间120分钟，满分150分。

答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{－1，0}D.{1，2}2.函数f(x)＝()212log x 2x 3--的单调递增区间为A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(3，＋∞)3.已知sin(32π＋α)＝35，0<α<π，则tan α＝ A.34 B.43 C.－34 D.－43 4.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位。

每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率(227≈3.1429)、密率(355113≈3.1416)，这6个数据的中位数(精确到万分位)与极差分别为A.3.1429，0.0615B.3.1523，0.0615C.3.1498，0.0484D.3.1547，0.04845.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.4πB.103π C.3π D.83π (6.已知函数f(x)＝()x 2m,x 0f x 2,x 0⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩，若f(log 234)＝2，则实数m 为 A.1 B.2 C.－1 D.－27.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx －23cos 2ωx ，且f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当x ∈[0，4π]时，f(x)的最小值为 A.－1 B.－2 C.－3 D.－238.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＋a 3＝2，S 6－S 3＝6，则{a n }的公差d ＝A.13B.12C.1D.2 9.运行下面的程序框图，则输出k 的值为A.6B.5C.4D.310.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝1，∠ACB ＝60°，则异面直线B 1C 与AC 1所成角的余弦值为 A.16 B.13 C.14 D.1511.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若S ＝acosB ＋bcosA ，cos2A ＋sinA －79＝0，角A 为锐角，c ＝ABC 的外接圆的面积为 A.4π B.8116π C.6π D.254π 12.已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为A.2：5B.4：25C.2D.4：29第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年河南省名校联盟高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{1，2}2．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）3．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.04845．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．πC．3πD．π6．（5分）已知函数f（x）＝，若f（log2）＝2，则实数m为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣28．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1+a3＝2，S6﹣S3＝6，则{a n}的公差d＝（）A．B．C．1D．29．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．310．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（）A．2：5B．4：25C．2：D．4：29二、填空题（共4小题）13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m）．若（+）⊥，则m＝．14．（5分）如果a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间[﹣，]上是减函数，则ω的取值范围为．16．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（2n+1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++…+＜2．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1，数列{a n•2n}的前n 项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求T n．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．22．（12分）已知在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1、中，点E，F，G分别为AA1，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）从A，B1，D1，E，F，G这六个点中任取四点，求这四点共面的概率；（Ⅱ）点P为正方形ABCD内的任意一点，求点P在以A1为球心，为半径的球内的概率．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{1，2}解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（3，+∞）解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＝x2﹣2x﹣3单调递减，而0＜＜1，由复合函数单调性可知y＝log0.5（x2﹣2x﹣3）在（﹣∞，﹣1）上是单调递增的，在（3，+∞）上是单调递减的．故选：A．3．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：因为sin（+α）＝，所以cosα＝，又因为0＜α＜π，所以α为第二象限角，所以sinα＝，可得tanα＝﹣．故选：A．4．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.0484解：因为≈3.1429，≈3.1416，所以这6个数据的中位数是＝3.15225≈3.1523，极差为3.2031﹣3.1416＝0.0615．故选：B．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．πC．3πD．π解：由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是圆锥，其底面半径为2，高为2，下面是半圆柱，底面半圆直径为2，高为1的半个圆柱．所以组合体的体积为V＝×π×22×1+××π×22×2＝．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，若f（log2）＝2，则实数m为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：∵函数f（x）＝，f（log2）＝2，＜0，∴f（log2）＝f（+2）＝f（log23）＝+m＝3+m＝2，解得m＝﹣1．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣2解：因为f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣2×＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝2sin（2ωx﹣）﹣，由题意可知f（x）的最小正周期为2×＝，所以＝，即ω＝2，所以f（x）＝2sin（4x﹣），当x，4x﹣∈[﹣，]，所以2sin（4x﹣）∈[﹣，2]，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣∈[﹣2，2﹣]，因此函数f（x）的最小值为﹣2．故选：D．8．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1+a3＝2，S6﹣S3＝6，则{a n}的公差d＝（）A．B．C．1D．2解：∵a1+a3＝2，∴2a2＝2，∴a2＝1，∵S6﹣S3＝6，∴a6+a5+a4＝6，∴3a5＝6，∴a5＝2，∴a5﹣a2＝3d＝2﹣1＝1，∴d＝，故选：A．9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．3解：模拟程序的运行，可得第一次循环，a＝，k＝2，b＝；第二次循环，a＝，k＝3，b＝；第三次循环，a＝，k＝4，b＝；第四次循环，a＝，k＝5，b＝；第五次循环，a＝，k＝6，b＝，此时不满足b＞，故退出循环，输出k的值为6．故选：A．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成如图所示的直四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1，连接AD1，D1C1，由题意知∠D1AC1或其补角为异面直线B1C与AC1所成角，在△A1D1C1中，由余弦定理得：DC1＝＝，∵D1A＝，C1A＝，∴cos∠D1AC1＝＝，∴异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．解：因为S＝a cos B+b cos A，所以ab sin C＝a cos B+b cos A，由正弦定理可得sin Ab sin C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin C，可得b sin A＝2，因为cos2A+sin A﹣＝﹣2sin2A+sin A＝0，所以18sin2A﹣9sin A﹣2＝0，解得sin A＝（A为锐角，负值舍去），所以cos A＝，b＝3，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+20﹣2×＝9，解得a＝3，设△ABC的外接圆的半径为r，则，即＝2r，解得r＝，所以所求的△ABC的外接圆的面积为πr2＝．故选：B．12．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为（）A．2：5B．4：25C．2：D．4：29解：由题意可得△ABC的内切圆的半径为＝2，所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高AA1＝4，所以内切球的半径r＝2，取AC的中点D，A1C1的中点为E，则DE的中点为O为外接球的球心，所以外接球的半径R＝＝，因此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4πr2：4πR2＝4：29，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m）．若（+）⊥，则m＝﹣1．解：∵向量＝（2，1），＝（﹣1，1），＝（2，m），若（+）⊥，则（+）•＝•+•＝4+m+（﹣2+m）＝0，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）如果a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为4．解：a＞0，b＞0，（2a）b＝16，∴2ab＝24，∴ab＝4，∴a+2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b即a＝2，b＝时等号，故a+2b的最小值为4，故答案为：4．15．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间[﹣，]上是减函数，则ω的取值范围为（0，]．解：∵函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，故φ＝，f（x）＝2cos（ωx+）＝﹣2sinωx．由于f（x）在区间[﹣，]上是减函数，∴ω×（﹣）≥﹣，且ω×≤，求得0＜ω≤，故答案为：（0，]．16．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围为[，9]．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：π令z1＝4x﹣3y，平移直线4x﹣3y＝0，可得在A处z1取得最小值，在C处取得最大值；联立，解得点A（﹣1，1），联立，解得点C（，）；所以z1的最小值为2×（﹣1）﹣3×1＝﹣7，z1的最大值为4×﹣3×＝，所以z1＝4x﹣3y的取值范围是[﹣7，]，所以4x﹣3y﹣2∈[﹣9，﹣]，所以z＝|4x﹣3y﹣2|的取值范围是[，9]．故答案为：[，9]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos C，所以sin（A+B）＝2sin C cos C，所以sin C＝2sin C cos C，又因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因为c＝2，所以由余弦定理可得22＝a2+b2﹣2ab×，即a2+b2﹣ab﹣4＝0，又b＝2a，解得a＝，b＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n（n+1）（2n+1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++…+＜2．解：（Ⅰ）由于S n＝n（n+1）（2n+1）①．当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）n（2n﹣1）②．①﹣②得：，（首项符合通项），故．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以：++…+＝＝2﹣．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴A1B⊥AB1，∵AC⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1B，∵AB1∩AC＝A，∴BA1⊥平面AB1C；解：（Ⅱ）∵∠ABB1＝60°，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴△ABB1为等边三角形，则AB1＝2，，如图，连接CA1，∵A1C1∥AC，∴＝．∴三棱锥E﹣B1AC的体积为．20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1，数列{a n•2n}的前n 项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求T n．解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝a n2+2a n+1①，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1+1，②，①﹣②得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）﹣2（a n+a n﹣1）＝0，所以a n﹣a n﹣1＝2（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝2n﹣1．（Ⅱ）设，所以①，②，①﹣②得：，＝2×（21+22+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1﹣2，＝，整理得．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得A＝1，＝8，即ω＝，将（1，1）代入f（x）＝A sin（x+φ），可得sin（+φ）＝1，所以φ＝+2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣sin（x+），令t＝x+，则t∈[﹣，]，令≤x≤，所以≤x+≤，则≤x≤2π，所以函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间为[，2π]．（Ⅲ）因为f（x）﹣m2+2am+≤0，所以f（x）≤m2﹣2am﹣，因为x，所以f（x）∈[﹣，1]，由题意可知﹣≤m2﹣2am﹣，所以2ma﹣m2+3≤0，可视为以a为自变量的不等式M（a）≤0，所以，解得，解得m≥3，或m≤﹣3，则m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．22．（12分）已知在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1、中，点E，F，G分别为AA1，A1B1，A1D1的中点．（Ⅰ）从A，B1，D1，E，F，G这六个点中任取四点，求这四点共面的概率；（Ⅱ）点P为正方形ABCD内的任意一点，求点P在以A1为球心，为半径的球内的概率．解：（Ⅰ）从这6个点中随机选取4个点的所有可能结果与从这6个点中随机选取2个点的所有可能结果相同，即AB1，AD1，AE，AF，AG，B1D1B1E，B1F，B1G，D1E，D1F，D1G，EF，EG，FG，共15种，根据题意可知，四点共面的情况只有AEGD1，B1FGD，AEFB1，共3种，故四点共面的概率为＝；（Ⅱ）根据题意可知，点P为正方形ABCD内的任意以点，故点P的轨迹面积为4，∵满足条件的点P在以A1为球心，为半径的球内，故A1P≤，即≤，故AP≤，故满足条件的点P的轨迹面积为π×＝，故所求的概率为＝．。

高二年级《 理科数学 》期中试卷参考答案1-6 BBDDCD 7-12 BDCAAB 13. 28 14. {}|12x x -<≤ 15. 3-17. 解关于的不等式:(-)<0.解：(1)当=0时,原不等式可化为--1)<0,即>1.故此不等式的解集为{}1.x x > (2)当≠0时,原不等式可化为(-1)<0, ①若<0,则原不等式可化为(-1)>0,由于<0,则有<1,解得或>1. 故此不等式的解集为{}11.x x x a ><或②若>0,则原不等式可化为(-1)<0,则有：当=1时,=1, 故此不等式的解集为.∅当>1时,<1,解得<<1; 故此不等式的解集为{}11.x x a << 当0<<1时,>1,解得1<<. 故此不等式的解集为{}11.x x a <<18. (1)当时,,则, 当时,由, 得, 相减得=, 即,经验证时也成立,所以数列的通项公式为.所以数列的前项和为:= =.19. (1)由已知及正弦定理得=,∴=,化简并整理得, 即,∴, 从而.(2)由余弦定理得, ∴, 又,∴,即, ∴,从而, ∴的周长的最大值为15. 20. 由题意，和为方程 的两根，则解得由知，， .因为 恒成立，则 ，解得： .21. （1）当070x <<时，2211100404006040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70x ≥时，6400640010010120604001660y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2160400,070,264001660,70.x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 且且（2）当070x <<时，()22116040060140022y x x x =-+-=--+.当60x =时，y 取最大值1400万元；当70x ≥时， 640064001660166021500y x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当80x =时，取等号. 综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.22. (1)由题意,而, 即,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列.(2)由(1),得,∴.令,则,①,②①②得,===. 所以.。

河南百校联盟2020～2021学年高二1月联考文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：常用逻辑用语，圆锥曲线，导数的计算、导数与单调性、导数与极值． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“1x ∀≥，210x ->”的否定是（ ） A ．1x ∀≥，210x -≤ B ．01x ∃≥，0210x -≤ C ．01x ∃<，210x ->D ．01x ∃<，0210x -≤2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ） A ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知函数()()230e xf x x f =+'⋅，则()1f '=（ ） A ．3e 2B ．32e -C ．23e -D ．23e +4．关于x 的方程1420x x m ++-=有实数解的充要条件是（ ） A ．1m >B ．0m ≥C ．1m ≥-D ．0m >5．已知函数()32f x x ax bx =++在1x =处有极值，则()2f 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．命题“ABC △中，若222AB BC AC +<，则ABC △是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅=，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ） A ．11917B ．1517C ．1315D ．13178．已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，若152PF =，则2PF =（ ） A ．12B ．92C ．12或92D ．1或929．若函数()()22ln f x x a x a x =-++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞⋃+∞ B ．()()0,22,⋃+∞ C ．()2,+∞D ．{}210．如图，1F ，2F 是双曲线()222:103x y C a a -=>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为2F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（ ）A ．4B ．43C ．6D ．911．以()0,2M 为圆心，4为半径的圆与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，如图，点P 是优弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过P 作平行于y 轴的直线交抛物线于点N ，则PMN △的周长的取值范围是（ ）A ．[)8,12B ．(]8,12C ．()8,12D ．[]8,1212．已知函数()()2ln 2a f x x x x a =-∈R ，若对任意120x x >>，()()12f x f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)e,+∞D ．[]1,e二、填空题：本题共4小题．13．函数()e sin 1xf x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线的方程是______．14．王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）15．已知椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为______． 16．已知长为4的线段AB 的两个端点A ，B 都在抛物线22y x =上滑动，若M 是线段AB 的中点，则点M 到x 轴的最短距离是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．求下列函数的导数： （1）()326f x x x x=+-； （2）()cos ex xf x =； （3）()()221log f x x x =-．18．已知p ：方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线；q ：函数()[]()2210,1f x x mx m x =-++-∈的最大值不超过2．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．19．已知过点(的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点在圆225x y +=上，求实数m 的值．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的准线与圆()22325x y -+=相切．（1）求抛物线C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）如图，过点()1,0-的直线l 交抛物线C 于不同的两点P ，Q ，交直线4x =-于点G （Q 在PG 之间），直线QF 交直线1x =-于点H ，//GH PF ，求直线l 的方程．21．已知函数()()e xf x ax a =-∈R （e 271828=⋅⋅⋅.是自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 的零点的个数．22．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点R 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，122RF RF a +=，椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）在圆22:3O x y +=上取一点P ，过点P 作圆O 的切线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，问以MN 为直径的圆能否过坐标原点O ？若能，求出OMN △的面积；若不能，请说明理由．2020～2021学年高二1月联考文科数学参考答案、提示及评分细则1．【答案】B【解答】解：全称命题的否定是特称命题，1x ∀≥改成01x ∃≥，210x ->改成0210x -≤． 故选B ． 2．【答案】A 【解答】解：由214x y =，得124p =，则1216p =，且焦点在y 轴正半轴上， 故焦点坐标是10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ． 3．【答案】C【解答】解：()()230e xf x f '=+'⋅，所以()()0230f f '=+'，所以()01f '=-，所以()23e xf x '=-，所以()123e f '=-．故选C ． 4．【答案】D【解答】解：因为()21422110xx x m +=+=+->，所以关于x 的方程1420x x m ++-=有实根的充要条件是0m >． 故选D ． 5．【答案】B【解答】解：()232f x x ax b '=++，由题意知()10f '=，即320a b ++=，所以23a b +=-， 所以()()()28428228232f a b a b =++=++=+⨯-=． 故选B 6．【答案】C【解答】解：原命题是真命题，逆否命题是真命题．其逆命题为“若ABC △是钝角三角形，则222AB BC AC +<”， 这是一个假命题，于是否命题也是假命题． 因此真命题的个数是2． 故选C ． 7．【答案】D【解答】解：因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F △中，设25PF =，则112PF =，1213F F ==， 所以213c =，12217a PF PF =+=，213217c e a ==． 故选D ． 8．【答案】B【解答】解：由题意知2c ==，13a c PF +=>，所以点P 在C 的左支上，所以211PF PF -=，即2522PF -=， 所以292PF =． 故选B ． 9．【答案】B【解答】解：因为()()22ln f x x a x a x =-++既有极大值又有极小值，且()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=--+==>， 所以()0f x '=有两个不等的正实数解， 所以02a >，且12a≠，解得0a >，且2a ≠． 故选B ． 10．【答案】A【解答】解：因为点A 为2F B 的中点，所以1//OA F B ， 又12F B F B ⊥，所以2OA F B ⊥，12OF OF OB ==， 所以2160AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，所以3tan 603a=︒=， 所以1a =，所以122134F F =+=． 故选A ． 11．【答案】C【解答】解：易知圆心()0,2M 也是抛物线C 的焦点， 设PN 与抛物线的准线2y =-交于点H ， 根据抛物线的定义，可得MN NH =，故PMN △的周长4l NH NP MP PH =++=+．设点B 的坐标为()00,x y ，由()20022008,216,x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩解得004,2,x y =⎧⎨=⎩即()4,2B ．由于点P 不与A 、B 两点重合，也不在y 轴上， 所以PH 的取值范围为()4,8，所以PMN △的周长的取值范围为()8,12． 故选C ．12．【答案】A【解答】解：由题意知函数()f x 在()0,+∞上单调递增，因为()ln 1f x ax x '=--，所以转化为()0f x '≥在()0,+∞上恒成立， 因为()0,x ∈+∞，所以ln 1x a x +≥在()0,+∞上恒成立，即转化为maxln 1x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x'=-， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 11g x g ==，所以1a ≥． 故选A ．13．【答案】10x y -+=【解答】解：因为()01f =，()()esin cos xf x x x '=+，所以()01k f ='=，切线方程是1y x -=，即10x y -+=． 故答案为：10x y -+=． 14．【答案】必要【解答】解：因为“非有志者不能至”，所以“能至是有志者”， 因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件． 故答案为：必要． 15．【答案】3或163【解答】解：当焦点在x 轴上时，2a =，4c m =-，所以4122m -=，解得3m =； 当焦点在y 轴上时，a m =，4c m =-，所以412m m-=，解得163m =．故答案为：3或163． 16．【答案】158【解答】解：设抛物线22y x =的焦点为F ， 过点A ，B ，M 作抛物线22y x =的准线18y =-的垂线， 垂足分别是1A ，1B ，1M ，11112222AA BB AF BF MM AB ++==≥=， 当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立，所以当弦AB 过抛物线的焦点F 时，1MM 取最小值2， 此时，点M 到x 轴的距离取最小值为115288-=． 故答案为：158．17．【答案】解：（1）()()()32222636f x x x x x x ⎛⎫'='+'-'=++⎪⎝⎭． （2）()()()()22cos e e cos sin e e cos sin cos e ee x x x x x xx x xx x x xf x '-'-⋅-⋅+'===-． （3）∵()()2221log f x x x x =-+，∴()()2221log f x x x x ⎡⎤'=-+'⎣⎦()()()222221log 21log x x x x x x =-+'⋅+-+⋅'()222121log ln 2x x x x x -+=-+．18．【答案】解：对于p ，因为方程2215x y m m-=-对应的图形是双曲线， 所以()50m m ->，解得0m <或5m >． 所以若p 为真命题，则0m <或5m >．对于q ：当0m ≤时，()()max 012f x f m ==-≤，解得1m ≥-，所以10m -≤≤； 当01m <<时，()()2max 12f x f m m m ==-+≤m ≤≤，所以01m <<； 当1m ≥时，()()max 12f x f m ==≤，所以12m ≤≤． 所以若q 为真命题，则12m -≤≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真—假． 若p 真q 假，则实数m 满足05,12,m m m m <>⎧⎨<->⎩或或解得1m <-或5m >，若p 假q 真，则实数m 满足05,12,m m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩解得02m ≤≤．综上所述，所求实数m 的取值范围为()[](),10,25,-∞-⋃⋃+∞． 19．【答案】解：（1）设双曲线C的方程是)()220y λλ-=≠，则(22λ-=，解得2λ=，所以双曲线C 的方程是2222x y -=，即2212y x -=． （2）将y x m =+，代入2212y x -=消去y ，并整理得22220x mx m ---=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 则()224420m m ∆=++>，122x x m +=， 所以1202x x x m +==，002y x m m =+=． 因为点()00,M x y 在圆225x y +=上， 所以()2225m m +=．解得1m =±．20．【答案】解：（1）因为抛物线22y px =的准线2p x =-与圆()22325x y -+=相切， 所以352p+=，解得4p =． 所以抛物线C 的方程是28y x =，焦点F 的坐标()2,0． （2）显然直线l 与坐标轴不垂直，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ．联立()28,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得()2222280k x k x k +-+=．由()2222840k k ∆=-->，解得k <<．所以k <<且0k ≠．由韦达定理得212282k x x k -+=，121x x =．因为//GH PF ，所以PQ QF GQ QH=，所以12222241x x x x x --=++． 整理得()12128x x x x ++=，所以22827k k -=，整理得289k =．解得k =，经检验，k =满足0∆>． 所以所求直线l的方程为)13y x =+或()13y x =-+．即33y x =+或33y x =--． 21．【答案】解：①因为()e xf x ax =-，所以()e xf x a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； 当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <；令()0f x '>，得ln x a >， 所以()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞．（2）显然0不是函数()f x 的零点，由e 0x ax -=，得()e 0x a x x =≠． 令()e x g x x =，则()()2e 1x x g x x -'=．0x <或01x <<时()0g x '<，1x >时()0g x '>，所以()g x 在(),0-∞和()0,1上都是减函数，在()1,+∞上是增函数， 1x =时()g x 取极小值e ，又当0x <0时，()0g x <．所以0e a ≤<时关于x 的方程e xa x =无解，e a =或0a <时关于x 的方程e xa x =只有一个解，e a >时关于x 的方程e xa x =有两个不同解．因此，0e a ≤<时函数()f x 没有零点，e a =或0a <时函数()f x 有且只有一个零点，e a >时函数()f x 有两个零点．22．【答案】解：（1）∵122RF RF a +=，∴点31,2R ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，∴221914a b +=．①又∵离心率22112b e a =-=，∴2234a b =．②解①②得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）若以MN 为直径的圆过坐标原点O ，则OM ON ⊥．当切线l 的斜率不存在时，切线l的方程是：x =x =l 与椭圆22:143x y C +=相交于M ，N 两点，此时M ⎭，N⎭或M⎛ ⎝⎭，N⎛ ⎝⎭， ∴393044OM ON ⋅=-=≠，∴当切线l 的斜率不存在时，OM ON ⊥不成立．当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程是y kx m =+，=()2231m k =+．③ 联立得22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．∵直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，∴0∆>，化简得2243k m >-． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+． 若0OM ON ⋅=，则12120x x y y +=， ∴2222241231203434m m k k k --+=++，化简得，22712120m k --=．④联立③④，并消去m 得，22212112120k k +--=，即21k =-，显然无解， ∴当直线l 的斜率存在时，OM ON ⊥也不可能成立．综上所述，以MN 为直径的圆不可能过坐标原点O ．。

顶尖名校联盟2020～2021学年高二12月联考语文一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成下面小题。

千百年来，人们一直在试图寻找一个简明的概念，来概括具有自己鲜明特色的中国文化。

有一位学者指出，中国文化的深层特质在于“忧患意识”；另一位学者声言，中国文化是“乐感文化”。

忧乐这两种精神，有时分别统领了两个不同时代的文化风貌，如西汉的雄浑与魏晋的清远。

有时又常常分别代表着不同人士的神韵情采，如杜甫的沉郁与李白的飘透。

甚至同一个人，在一个时期里会意气风发，受“忧”的精神鼓舞，“猛志固常在”；到另一个时期里又超然物外，本“乐”的精神为怀，“悠然见南山”。

以上种种忧乐杂陈的状况，不能归结为我们的文化传统不具完整的性格，相反它们恰好表明了中国文化同时兼备这两种精神。

这两种精神理想地结合，便构成了忧乐圆融的中国人文精神。

在这方面说得最为深入浅出的，大概要推孔子的“发愤忘食，乐以忘忧，不知老之将至”了。

第一句“发愤忘食”是忧，第二句“乐以忘忧”是乐，第三句有从忘食忘忧而到达忘我的意思，便又无忧无乐可言，世界同一而无特定情感了。

孟子称伊尹为“圣之任者”，因为他能以天下为己任；称伯夷为“圣之清者”，因为他洁身自好；称柳下惠为“圣之和者”，因为他“不羞污君，不辞小官”。

但三人都不及孔子能集三人之大成，成为“圣之时者”（《孟子·万章下》）。

所谓“时”，是进退、出处、远近、迟速，都能因其所宜而为之，这是统摄忧乐而又超越忧乐的境界。

在庄子谈到人格类型时，我们也看到了任、清、和、时的影子。

在《应帝王》篇中，有一位壹子，能显四种相，其一是“地文”，相当于孟子的“圣之清”；其次是“天壤”，相当于“圣之任”；再次是“太冲莫胜”，相当于“圣之和”；最后也是最高的相叫“未始出吾宗”，相当于“圣之时”。

佛学有所谓四门诀——无门、有门、亦有亦无门、非有非无门，与孟子的四圣、庄子的四相，完全是一个套路。

2020-2021学年河南省名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}，B＝N*，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{1}2．（5分）sin34°sin64°﹣cos34°sin206°的值为（）A．B．C．D．13．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.04844．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）已知a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为（）A．2B．2C．4D．46．（5分）已知f（x）＝4x+m，f（1+log2）＝3，则m的值为（）A．B．C．1D．27．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．16D．188．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A．2+（3+）πB．2+（）πC．2+（）πD．（）π9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．310．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S ＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），f（0）＝，（，0）为f（x）图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①φ＝；②ω＝2；③函数f（x）在区间（，）上单调递增；④函数f（x）的最小正周期为，则上述说法正确的序号为（）A．①④B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共4小题）13．（5分）已知非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），则实数m＝．14．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为．15．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，＝，则＝．16．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．19．（12分）已知正项数列{a n}满足a n2﹣na n﹣2n2＝0，数列{（a n﹣1）•2n+a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n．20．（12分）甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．（Ⅰ）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；（Ⅱ）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．21．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}，B＝N*，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{1}解：∵集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}＝{y|y＝log2[（x﹣1）2+4]}＝{y|y≥log24}＝{y|y ≥2}，B＝N*，∴∁R A＝{y|y＜2}，∴（∁R A）∩B＝{1}．故选：D．2．（5分）sin34°sin64°﹣cos34°sin206°的值为（）A．B．C．D．1解：sin34°sin64°﹣cos34°sin206°＝sin34°cos26°+cos34°sin26°＝sin（34°+26°）＝sin60°＝．故选：C．3．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.0484解：因为≈3.1429，≈3.1416，所以这6个数据的中位数是＝3.15225≈3.1523，极差为3.2031﹣3.1416＝0.0615．故选：B．4．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：因为sin（+α）＝，所以cosα＝，又因为0＜α＜π，所以α为第二象限角，所以sinα＝，可得tanα＝﹣．故选：A．5．（5分）已知a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为（）A．2B．2C．4D．4解：a＞0，b＞0，（2a）b＝16，∴2ab＝24，∴ab＝4，∴a+2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b时取等号，故a+2b的最小值为4，故选：D．6．（5分）已知f（x）＝4x+m，f（1+log2）＝3，则m的值为（）A．B．C．1D．2解：∵f（x）＝4x+m，∴f（1+log2）＝+m＝4×+m＝3，解得m＝．故选：B．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．16D．18解：约束条件的可行域如图：z＝x2+y2+2x﹣2y＝（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，则z+2表示可行域内的点到P（﹣1，1）距离的平方，联立，可得点A的坐标（2，﹣2），故z+2的最大值为|PA|2＝32+（﹣3）2＝18．所以z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为：16．故选：C．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A．2+（3+）πB．2+（）πC．2+（）πD．（）π解：由三视图还原原几何体，可知该几何体是半个圆锥和四分之一个球的综合题，其中圆锥的底面半径为1，球的半径为1，圆锥的高为2，则圆锥的母线长为l＝，则该几何体的表面积为S＝．故选：B．9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．3解：模拟程序的运行，可得第一次循环，a＝，k＝2，b＝；第二次循环，a＝，k＝3，b＝；第三次循环，a＝，k＝4，b＝；第四次循环，a＝，k＝5，b＝；第五次循环，a＝，k＝6，b＝，此时不满足b＞，故退出循环，输出k的值为6．故选：A．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成如图所示的直四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1，连接AD1，D1C1，由题意知∠D1AC1或其补角为异面直线B1C与AC1所成角，在△A1D1C1中，由余弦定理得：DC1＝＝，∵D1A＝，C1A＝，∴cos∠D1AC1＝＝，∴异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S ＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．解：因为S＝a cos B+b cos A，所以ab sin C＝a cos B+b cos A，由正弦定理可得sin Ab sin C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin C，可得b sin A＝2，因为cos2A+sin A﹣＝﹣2sin2A+sin A＝0，所以18sin2A﹣9sin A﹣2＝0，解得sin A＝（A为锐角，负值舍去），所以cos A＝，b＝3，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+20﹣2×＝9，解得a＝3，设△ABC的外接圆的半径为r，则，即＝2r，解得r＝，所以所求的△ABC的外接圆的面积为πr2＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），f（0）＝，（，0）为f（x）图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①φ＝；②ω＝2；③函数f（x）在区间（，）上单调递增；④函数f（x）的最小正周期为，则上述说法正确的序号为（）A．①④B．③④C．①②④D．①③④解：f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），由f（0）＝，得2tanφ＝，即tanφ＝，结合|φ|＜，解得φ＝，故①正确；（，0）为f（x）图象的一个对称中心，故，k∈Z，解得ω＝6k﹣2，k∈Z，又0＜ω＜10，∴ω＝4，故②错误；当x∈（，）时，4x+∈（π，），故函数f（x）在区间（，）上单调递增，故③正确；∵ω＝4，∴f（x）的最小正周期T＝，故④正确．∴正确的序号为①③④．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），则实数m＝．解：∵非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），∴•（﹣）＝﹣＝5m2﹣（﹣m+2m）＝5m2﹣m＝0，则实数m＝，或m＝0（舍去），故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣2．解：f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝2sin（2ωx﹣）﹣．由题意可知f（x）的最小正周期为2×＝，所以＝，即ω＝2，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣．当x∈[0，]，4x﹣∈[﹣，]，所以2sin（4x﹣）∈[﹣，2]，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣∈[﹣2，2﹣]，所以x）的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，＝，则＝．解：根据等差数列的性质，若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，又因为：＝，则令S4＝k，S8＝3k，则S8﹣S4＝2k，S12﹣S8＝3k，S16﹣S12＝4k，可得：S12＝6k，S16＝10k，所以＝．故答案为：．16．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4：29．解：由题意，设BC＝6，AB＝8，AC＝10，则△ABC的内切圆的半径为，所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高AA1＝4，得内切球的半径r＝2，取AC的中点D，A1C1的中点D1，则DD1的中点M为外接球的球心，则外接球的半径R＝，因此，三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4πr2：4πR2＝4：29，即三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4：29．故答案为：4：29．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos C，所以sin（A+B）＝2sin C cos C，所以sin C＝2sin C cos C，又因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因为c＝2，所以由余弦定理可得22＝a2+b2﹣2ab×，即a2+b2﹣ab﹣4＝0，又b＝2a，解得a＝，b＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴A1B⊥AB1，∵AC⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1B，∵AB1∩AC＝A，∴BA1⊥平面AB1C；解：（Ⅱ）∵∠ABB1＝60°，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴△ABB1为等边三角形，则AB1＝2，，如图，连接CA1，∵A1C1∥AC，∴＝．∴三棱锥E﹣B1AC的体积为．19．（12分）已知正项数列{a n}满足a n2﹣na n﹣2n2＝0，数列{（a n﹣1）•2n+a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n．解：（Ⅰ）由a n2﹣na n﹣2n2＝0得（a n﹣2n）（a n+n）＝0，又a n＞0，∴a n＝2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：（a n﹣1）•2n+a n＝（2n﹣1）•2n+2n，∴S n＝[1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]+2（1+2+3+…+n）＝[1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]+2×，令x＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，则2x＝1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减得：﹣x＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2×﹣（2n ﹣1）•2n+1，整理得：x＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴S n＝（2n﹣3）•2n+1+6+n2+n．20．（12分）甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．（Ⅰ）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；（Ⅱ）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．解：（Ⅰ）假设第一组图形中正方形的边长为2，则正方形的外接圆的半径为＝，所以正方形的面积为4，其外接圆的面积为2π，则甲得3分的概率为＝1﹣，假设第二组图形中正方体的棱长为2，则正方体的外接球的半径为＝，乙得3分的概率为＝1﹣，（Ⅱ）甲得1分的概率为＝，甲得2分的概率为＝，所以甲的平均得分为1×+3×（1﹣）＝，乙得1分的概率为＝，甲得2分的概率为＝，所以乙的平均得分为1×+2×+3×（1﹣）＝﹣+3﹣，（）﹣（﹣+3﹣）＝﹣﹣＜0，因此预估乙的得分多．21．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n＝n2可得：a1+a2+a3+…+a n﹣1＝（n﹣1）2，n≥2，两式相减得：a n＝2n﹣1，又当n＝1时，a1＝1也适合上式，∴a n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1（+），当n为奇数时，T n＝（1+）﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝1+≤（当n＝1时取“＝“）；当n为偶数时，T n＝（1+）﹣（+）+…﹣（+）＝1﹣＜1，∴T n≤，∴数列{b n}的前n项和T n的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得A＝1，＝8，即ω＝，将（1，1）代入f（x）＝A sin（x+φ），可得sin（+φ）＝1，所以φ＝+2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣sin（x+），令t＝x+，则t∈[﹣，]，令≤x≤，所以≤x+≤，则≤x≤2π，所以函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间为[，2π]．（Ⅲ）因为f（x）﹣m2+2am+≤0，所以f（x）≤m2﹣2am﹣，因为x，所以f（x）∈[﹣，1]，由题意可知﹣≤m2﹣2am﹣，所以2ma﹣m2+3≤0，可视为以a为自变量的不等式M（a）≤0，所以，解得，解得m≥3，或m≤﹣3，则m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．。

绝密★启用前河南名校联盟2020－2021学年高二(上)期中考试数学(文科)考生注意：1.本试卷共8页。

时间120分钟，满分150分。

答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1，2}B.{－1，0，1}C.{－1，0}D.{1，2}2.函数f(x)＝()212log x 2x 3--的单调递增区间为A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(3，＋∞)3.已知sin(32π＋α)＝35，0<α<π，则tan α＝ A.34 B.43 C.－34 D.－43 4.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位。

每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率(227≈3.1429)、密率(355113≈3.1416)，这6个数据的中位数(精确到万分位)与极差分别为A.3.1429，0.0615B.3.1523，0.0615C.3.1498，0.0484D.3.1547，0.04845.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.4πB.103π C.3π D.83π (6.已知函数f(x)＝()x 2m,x 0f x 2,x 0⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩，若f(log 234)＝2，则实数m 为 A.1 B.2 C.－1 D.－27.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx －23cos 2ωx ，且f(x)图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当x ∈[0，4π]时，f(x)的最小值为 A.－1 B.－2 C.－3 D.－238.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＋a 3＝2，S 6－S 3＝6，则{a n }的公差d ＝A.13B.12C.1D.2 9.运行下面的程序框图，则输出k 的值为A.6B.5C.4D.310.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝1，∠ACB ＝60°，则异面直线B 1C 与AC 1所成角的余弦值为 A.16 B.13 C.14 D.1511.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若S ＝acosB ＋bcosA ，cos2A ＋sinA －79＝0，角A 为锐角，c ＝ABC 的外接圆的面积为 A.4π B.8116π C.6π D.254π 12.已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为A.2：5B.4：25C.2D.4：29第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。