高2021届高2018级河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题解析版

高考资源网（）理科数学您身边的高考专家一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分)1、集合的真子集个数为( )A. 2、已知函数B. 的定义域为,则函数C. 的定义域是(D. )A.B.C.D.3、已知函数,则A.B.4、（2018 天津理）设,则“A.充分而不必要条件 C.充要条件()C.D.”是“”的( )B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件5、已知函数是定义域上的单调增函数,则 的取值范围是( )A.B.C.D.6、已知函数的最小值为 ,则实数 的取值范围是( )A.B.C.7、已知函数 的解集为( ) A.8、函数D.是定义在 上的偶函数,且在上单调递减,B.C.的图象的大致形状是( )C.A.B.,则不等式 D.D.-1-版权所有@高考资源网高考资源网（）您身边的高考专家9、设为正数,且,则( )A.B.C.D.10、已知均为正实数,若A.B.11、已知函数, C.恰有两个极值点 , (,,则( )D.),则 的取值范围是( )A.12、设 A.B.C.，则下列不等式成立的是（ ）B.C.D. D.二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分)13、若函数是定义在上的偶函数,则该函数的最大值为__________.14、已知 15、关于 的方程,则曲线在点处的切线方程为__________.有两个不等实根，则实数 的取值范围是__________.16、已知函数若的两个零点分别为 , ,则__________.三、解答题(每小题 10 分,共 6 小题 60 分)17、已知函数.（Ⅰ）求 的最小正周期；（Ⅱ）若 在区间上的最大值与最小值的和为 ，求 的值.18、己知在等差数列 中,,. -2-版权所有@高考资源网高考资源网（）(1)求数列 的通项公式;(2)设,求数列 的前 项和 .您身边的高考专家19、已知四棱锥中，底面，底面为菱形，，为 的中点. （1）证明：平面平面；（2）若，求 到平面的距离.20、已知函数在处取得极值.(1)求的值;(2)若有极大值 ,求在上的最小值.21、设函数(1)若曲线(2)若在.在点处的切线与 轴平行,求 ;处取得极小值,求 的取值范围.22、已知函数(1)若曲线在(2)若,求证:第 1 题答案 C处切线为坐标轴围成的三角形面积为 ,求实数 的值;.答案-3-版权所有@高考资源网高考资源网（）第 1 题解析中有 个元素,则真子集个数为.您身边的高考专家第 2 题答案 A 第 2 题解析 依题意有第 3 题答案 B 第 3 题解析令,则,解得 ,所以. .故选 B.第 4 题答案 A 第 4 题解析命题等价于,命题等价于,故 是 的充分不必要条件.第 5 题答案 A 第 5 题解析单增,且; ,解得单增, ,所以, .第 6 题答案 B 第 6 题解析函数的最小值为 ,可知:时,由,解得,因为可,第 7 题答案 B 在上递增,所以只需当时,恒成立即,所以,可得.-4-版权所有@高考资源网高考资源网（）第 7 题解析根据题意,函数 是定义在 上的偶函数,且在 ,又由,则解可得:,即不等式的解集为.上单调递减,第 8 题答案 A 第 8 题解析令可得,则排除 C,D.,当时,,当时,,故排除 B.第 9 题答案 A 第 9 题解析令,则,∴.同理,∴,故答案选 A.第 10 题答案 D 第 10 题解析,,利用函数,,如图所示,由图象可得.,∴.,,,您身边的高考专家 ,,-5-版权所有@高考资源网高考资源网（）您身边的高考专家第 11 题答案 A 第 11 题解析 ∵函数, 是方程,设,∴,由于函数的两个极值点为 , ,即的两个不等实根,即方程有两个不等式实根,且,∴,,在同一坐标系内画出这两个函数的图象,如图所示:要使这两个函数有 个不同的交点,应满足如图所示的位置关系,临界状态为图中虚线所示切线,恒过,设与曲线切于点,则,∴,∴,∴,若有 个不同的交点,则,解得:,所以 的取值范围是.或:方程有两个不等式实根,且,∴,设,-6-版权所有@高考资源网高考资源网（）您身边的高考专家,则函数在上递增,在上递减,且,,,所以,即.第 12 题答案 D 第 12 题解析令，则，令则，当 ∴函数时， 的增区间为， ，减区间为，当 ，又时，，，∴当时，，即，即而时，，即，故不正确，令，同理可知函数的增区间为，减区间为∴当时，，即，即；故选 ．第 13 题答案 第 13 题解析 由函数 所以函数是定义在上的偶函数,可得,且,,故该函数的最大值为 .,解得,第 14 题答案第 14 题解析 ,.第 15 题答案,所以即切线斜率,所以所求切线方程为第 15 题解析 关于 的方程，显然，-7-成立；则方程的另一个根为且版权所有@高考资源网高考资源网（），若，则方程为，由可得为极小值点也为最小值点，则，由（），您身边的高考专家，导数为只有一个解.当， 时，方程可化为，令，可得则在递减，且有递减，即有在且.，显然在递减，即有，，即有在递减；同样当时，恒成立，则当且时，原方程有两个不等实根，故答案为：第 16 题答案第 16 题解析由,所以令得:,,所以直线和曲线的交点 横坐标 ;直线和曲线对称,直线和关于对称;所以的交点 横坐标为 .如图,两曲线关于,;所以.第 17 题答案（1）；（2）.第 17 题解析 （Ⅰ）-8-， 版权所有@高考资源网高考资源网（）您身边的高考专家（Ⅱ）因为 ，所以当，即当，即又因为，，因此.第 18 题答案 见解析. 第 18 题解析(1)设等差数列 的公差为 ,由的通项公式为.(2).时，单调递增时，单调递减，所以，所以， ，故可得 ,所以,解得,,所以.第 19 题答案 （1）见推证过程；（2）。

[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|2A x x x =，{|14}B x x =<<，则A B =（ ）A. (,4)-∞B. [0,4)C. (1,2]D. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：∵A {x |0x 2}=≤≤，B {x |1x 4}=＜＜，∴A B 12]⋂=（，． 故选：C ．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. (2,1)-- B. (2,1)-C. (2,1)-D. (2,1)【答案】A 【解析】 【分析】设R z x yi x y =+∈（，），代入11z z i-=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x y ，的值，则答案可求．【详解】解：设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y ，则p ⌝为（ ）A. x y ∃≥，使得x xy yB. x y ∀，x x y y <C. x y ∃<，使得x x y y <D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x xy y所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2021中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。

答案1A 2B 3D 4D 5A 6C 7C8.【参考答案】C设AB x=,0.618a≈,因为矩形ABCD,EBCF,FGHC,FGJI,LGJK,MNJK均为黄金矩形,所以有BC ax=,2CF a x=,3FG a x=,4GJ a x=,5JK a x=,6KM a x=, 由题设得621.712a xa x⎧>⎨<⎩,解得30.35731.414x<<,故选C.9D10.【参考答案】D【试题解析】不妨设双曲线的方程是22221(0,0)x ya ba b-=>>,由||||2211BABA=及双曲线的对称性知12,A A与12,B B关于坐标轴对称,如图,又满足条件的直线只有一对,当直线与x轴夹角为45︒时,双曲线的渐近线与x轴夹角大于45︒,双曲线与直线才能有交点1212,,,A AB B,且满足条件的直线只有一对,可得tan451ba>︒=,即有2212c bea a==+>,则双曲线的离心率的范围是(2,)+∞.故选D.11C 12A13.【参考答案】14或112-14.【参考答案】491215.【参考答案】5π1216.【参考答案】32 2,3 ee-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【试题解析】因为()f x与()g x的图像上存在关于直线1y=对称的点,若()1g x mx=+关于直线1y=对称的直线为1y mx=-+,则直线1y mx=-+与2lny x=在21,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点,直线1y mx=-+过定点()0,1,当直线1y mx=-+经过点1,2e⎛⎫-⎪⎝⎭时,则直线斜率3m e-=-,3m e=,若直线+1y mx=-与2lny x=相切,设切点为(),x y,则+122y mxy lnxmx⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩,解得323232x eyme⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩,22m ee∴-≤≤时直线1y mx=-+与2lny x=在21,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点,即()f x与()g x的图象上存在关于直线1y=对称的点,实数m的取值范围是322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故答案为322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 17.【参考答案】(1)21nna=-；(2)1nnSn=+.【试题解析】(1)由已知112nn na a---=,∴11223211()()()()n n n n n n n aa a a a a a a a a -----=-+-+-++-+,∴12321222221n n n n a ---=++++++,∴1(1)1(12)21112n n n n a q a q -⋅-===---. (2)2log (1)n n b a n =+=,11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++,∴1111111111122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++. 18.解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C .又cos B cos C ＝－b 2a ＋c ,∴cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C, ∴2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0, ∵A ＋B ＋C ＝π,∴2sin A cos B ＋sin A ＝0, ∵sin A ≠0,∴cos B ＝－12,∵0＜B ＜π,∴B ＝2π3.(2)将b ＝13,a ＋c ＝4,B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ,∴13＝16－2ac (1－12),求得ac ＝3.于是,S △ABC ＝12ac sin B ＝343.19.【参考答案】(1)证明见解析；(2)14F AGC V -=. 【试题解析】(1)证明:如图,连接BD 交AC 于E 点,则E 为BD 的中点,连接GE ,∵SD ∥平面GAC ,平面SDB平面GAC GE =,SD ⊂平面SBD ,∴SD GE ∥,而E 为BD 的中点,∴G 为SB 的中点. (2)∵F ,G 分别为SC ,SB 的中点, ∴1111122448F AGC S AGC C AGS C ABS S ABC S ABCD V V V V V V ------=====,取AB 的中点H ,连接SH ,∵SAB △为等边三角形,∴SH AB ⊥, 又平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB 平面ABCD AB =,SH ⊂平面SAB ,∴SH ⊥平面ABCD ,而SH =,菱形ABCD 的面积为1222sin 602ABCD S =⋅⋅⋅︒=∴11233S ABCD ABCD V S SH -=⋅⋅=⋅=,∴1184F AGC S ABCD V V --==.20.【参考答案】(1)10x y ±-=；【试题解析】(1)当直线l 斜率为0时,不满足题意；当直线l 斜率不为0时,设()11,A x y ,()22,B x y ,设直线l 的方程为1x my =+, 代入椭圆C 的方程消去x ,得()225610250m y my ++-=, 由0Δ>,得m ∈R .由韦达定理得1221056m y y m -+=+①,1222556y y m -=+②, 则112121122F AB S F F y y =⋅-=⨯△11==, 整理得4250490m m --=,解得21m =,或24950m =-(舍去),所以1m =±, 故直线l 的方程为10x y ±-=.(2)若222BF F A =,则()()22111,21,x y x y --=-,所以212y y =-, 代入上式①②得121056m y m =+,21225256y m =+,消去1y ,得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭,解得m =所以121215268AB y y y =-=-===⨯+. 21.【参考答案】(1)1a =；(2)见解析.【试题解析】(1)()2af x x a x'=--,由题意可得(1)0f '=,解得1a =. 经检验,1a =时()f x 在1x =处取得极值,所以1a =. (2)证明:由(1)知,2()ln f x x x x =--,令332511311()()(4)3ln 326326x x x g x f x x x x x =--+-+=-+--,由33211(1)()333(1)x x g x x x x x x x--'=-+-=--=(0)x >,可知()g x 在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,所以()(1)0g x g ≥=,所以32511()4326x x f x x ≥-+-+22.【参考答案】(1)30x --=,22(2)4x y -+=；. 【试题解析】(1)将2t y =代入32x t =+,整理得30x -=, 所以直线l的普通方程为30x --=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=,将222x y ρ=+,cos x ρθ=代入24cos ρρθ=,得2240x y x +-=,即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=. (2)设A ,B 的参数分别为1t ,2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的角坐标方程得221(32)()42t +-+=,化简得230t +-=,由韦达定理得12t t +=于是122P t t t +==. 设00(,)P x y ,则0093(41(224x y ⎧==⎪⎪⎨⎪=⨯-=-⎪⎩,即9(,)44P -.所以点P 到原点O=23.【参考答案】(1)2(,4][,)3-∞-+∞；(2)[4,10]-.【试题解析】(1)①当12x ≤-时,()21(1)2f x x x x =--+-=--,由()2f x ≥解得4x ≤-； ②当112x -<<时,()(21)(1)3f x x x x =++-=,由()2f x ≥解得23x ≥,∴213x ≤<；③当1x ≥时,()(21)(1)2f x x x x =+--=+,由()2f x ≥解得0x ≥,∴1x ≥.综上可得()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞. (2)∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4], ∴当[3,4]x ∈时,|21||||3|x x m x +--≥-恒成立. 原式可变为21||3x x m x +--≥-即||4x m x -≤+,∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立, 显然当3x =时,24x +取得最小值10, 即m 的取值范围是[4,10]-.。

2021届河南省八市重点高中高三第一次测评（9月）数学（理）试题一、选择题1．已知全集U R =，集合{}{}22,0,2,|230 U A C B x x x =-=--≥，则A B ⋂= ( ) A. {}2- B. {}0,2 C. ()1,2- D. (]2,1-- 【答案】B【解析】∵2230x x --≥，∴x 1x 3≤-≥，或，故()B 1,3=-，又{}2,0,2A =-， ∴{}0,2A B ⋂= 故选：B2．已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=-，则z = ( ) A. 12i - B. 12i + C. 2i - D. 2i + 【答案】A【解析】设z a bi a b R =+∈，、，则a bi z =-，由232z z i +=-，得： ()2a bi a bi 32i ++-=-，即3a bi 32i +=- 易得： 1{ 2a b ==-，∴12z i =-故选：A3．已知等差数列{}n a 中， 22383829a a a a ++=,且0n a <，则数列{}n a 的前10项和为( )A. 9-B. 11-C. 13-D. 15- 【答案】D【解析】∵22383829a a a a ++=，∴(3a +8a )2=9,又0n a <∴3a +8a =−3,故S 10=()11010a a 2+=5(1a +10a )=5(3a +8a )=−15 故选D4．从[]0,2内随机取两个数，则这两个数的和不大于1的概率为( ) A.116 B. 18 C. 14 D. 12【答案】B【解析】设取出的两个数为x 、y ；则有0≤x ≤2，0≤y ≤2，其表示的区域为纵横坐标都在[]0,2之间的正方形区域，易得其面积为4，而x +y ≤1表示的区域为直线x +y =1上及下方，且在0≤x 1≤，0≤y 1≤表示区域内部的部分，如图，易得其面积为12×1×1=12； 则两数之和小于1的概率是： 124=18；故选B.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2B. 4C. 6D. 12 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱， 其体积为1V h 23262S ==⨯⨯⨯= 故选：C6．已知函数()32,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是( )A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()[),10,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()22,1{ 22,1x x f x x x -≤-=+>-，且()2f a ≥∴2a 1{22a -≤-≥或1{ 222a a >-+≥，即a 1≤-，或a 0≥故选：D7．二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数是( )A. 5B. 20-C. 20D. 5-【答案】A【解析】二项式5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()5r1512y 2rr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭依据题意易得： 53{2r r -==，即r 2=所以32x y 的系数是3251452C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故选：A8．执行如图的程序框图，输出的S 值为( )A. 3-033【答案】B【解析】由程序框图可知： S 0n 1==，，循环第一次可得： 3S n 2==，， 循环第一次可得： 33S 3n 322=+==，， 循环第一次可得： S 3n 4==，，循环第一次可得： 3S n 52==，， 循环第一次可得： S 0n 6==，， 此时不适合，故输出S 0= 故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωφωφ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()f x 的取值范围是( )A. 3322⎡-⎢⎣⎦B. 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】由图易知： 3753T π46124T πππ=-==，，即2ω=根据最高点，得： 522k πk Z 122ππφ⨯+=+∈，， 2k πk Z 3πφ=-+∈，，又22ππφ-<< ∴3πφ=-;再根据与y 轴的交点，可得： 3sin 32A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， A 1=， ∴()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由7521212636x x πππππ≤≤-≤-≤，，故()f x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：D点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1) max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()2:20E y px p =>的准线分别交于,A B两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0FA FB ⋅=，则双曲线C 的离心率为( )2【答案】D【解析】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程是y =ba±x 又抛物线()2:20E y px p =>的准线方程是x =−p 2， p 02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A ,B 两点的纵坐标分别是y =pb 2a ±， pb 2FA p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，， pb 2FB p a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又0FA FB ⋅=，∴222204p b p a-=，即224b a =， 2222245c a a c a -==，， e =故选：D11．三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 【答案】A【解析】不妨设a BC =底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD 与面ABD 垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为a ，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径22231325113312R π⎫⎫=⨯+⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=254π3R π=； 故选A ．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 12．已知方程213ln 022x mx -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A. 20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (20,e ⎤⎦D. ()20,e 【答案】D【解析】由213ln 022x mx -+=，得mx 2=2ln x +3， ∵x ≠0，∴方程等价为232ln m 22x x +=， 设f （x ）=232ln 2x x+，则函数f （x ）是偶函数， 当x ＞0时，f （x ）=232ln 2x x+， 则f ′（x ）=()42x 1lnx x -+，由f ′（x ）＞0得﹣2x （1+lnx ）＞0，得1+lnx ＜0，即lnx ＜﹣1，得0＜x ＜1e，此时函数单调递增， 由f ′（x ）＜0得﹣2x （1+lnx ）＜0，得1+lnx ＞0，即lnx ＞﹣1，得x ＞1e，此时函数单调递减，即当x ＞0时，x=1e 时，函数f （x ）取得极大值f （1e ）=213ln21e e +⎛⎫⎪⎝⎭=22e， 作出函数f （x ）的图象如图：要使232ln m 22x x +=，有4个不同的解，即y=m 2与f （x ）=232ln 2x x+有四个不同的交点，则满足0＜m 2＜22e ，故答案为： ()20,e点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．若平面向量a 与b 的夹角为090， ()2,0,1a b ==,则2a b +=__________． 【答案】2 【解析】()()()222222a b a b a b+=+=+=4422+=.故答案为： 2214．已知实数,x y 满足不等式组10{0 2x y x y x y m+-≥-≤+≤，且2z y x =-的最小值为2-，则实数m =__________．【答案】6【解析】做出可行域：当直线2z y x =+经过B 点时， 2z y x =-的最小值为2-.此时B 33m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，即2233m m -=-，即6m = 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，如图结构是戴九履一，左三右七，二匹为肩，六八为足,以五居中，洛书中蕴含的规律奥妙无穷，比如：222222492816++=++，据此你能得到类似等式是__________．【答案】222222438276++=++ 【解析】根据题意得：，即有222222492816.++=++ 又可得到222222438276++=++16．已知数列{}n a 满足()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅，且113a =，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 【答案】12n + 【解析】∵()()11110,2121n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++≠---=-+⋅ 两边同除以1n n a a +⋅，得：()()1112121111n n n nn na a a a a a +++---=-+， 整理，得：1111n na a +-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列. ()13112n n n a =+-⨯=+,即12n a n =+.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos cos b aB A-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（Ⅰ）4A π=（Ⅱ） 1.S ≤【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，利用两角和正弦公式可得结果；（2）利用余弦定理以及均值不等式求ABC ∆的面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）由cos cos b a B A -=，及正弦定理可得sin sin cos cos B C AB A-+=,()sin cos cos sin cos cos sin B A C A A B C A A B -==+cos sin C A C =，又sin 0C ≠，所以cos 2A =, 故4A π=.（Ⅱ）由余弦定理及（Ⅰ）得，2222242cos4a b c bc b c π==+-=+，由基本不等式得：(42bc ≥,当且仅当b c =时等号成立，所以()22222bc ≤=+-所以()112sin 2222 1.222S bc A =≤⨯+⨯=+ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 1D D ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，01160,3,2,,BAD DD CF FC E G ∠===分别是AB 和DF 的中点，（Ⅰ）求证: CG ⊥平面DEF ； （Ⅱ）求二面角1A DE F --的余弦值；【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）55【解析】试题分析：(1)在△ADE 中，利用余弦定理易得： DE AB ⊥，即DE DC ⊥，又平面11CDD C ⊥底面ABCD ，所以DE ⊥平面11CDD C ，故DE CG CG DF ⊥⊥，易得，得CG ⊥平面DEF ；（2）以点D 为坐标原点，分别以1,,DE DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,1CG =-是平面DEF 的一个法向量， ()0,3,1n =是平面1A DE 的一个法向量， 5cos ,5CG n CG n CG n⋅==-. 试题解析：（Ⅰ）证明：由012,1,602DA AE AB BAD ===∠=，结合余弦定理可得2223,DE DA AE DE ==+，所以,.DE AB DE DC ⊥⊥因为1D D⊥底面ABCD，所以平面11CDD C⊥底面.ABCD又平面11CDD C⋂底面ABCD CD=，所以DE⊥平面11CDD C,因为CG⊂平面11CDD C，所以.DE CG⊥ --------①由112,3CF FC CC==，得2.CF CD==因为点G是DF的中点，所以.CG DF⊥ --------②由①②，得CG⊥平面.DEF（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,DE DC DD两两垂直，以点D为坐标原点，分别以1,,DE DC DD所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，())()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,2,2,0,1,1,D E C F G)()()13,1,3,3,0,0,3,1,3.A DE DA-==-设(),,n x y z=是平面1A DE的一个法向量，则30330xx y z=∴-+=,取0,3x y==，得()0,3,1n=,显然，()0,1,1CG=-是平面DEF的一个法向量，5cos,.CG nCG nCG n⋅==-由图可以看出二面角1A DE F--5点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股获利不赔不亏损购买基金获利不赔不亏损市 40% 赚20%20% 赚10%概率p121838概率pm13n（Ⅰ）甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于45，求m 的取值范围； （Ⅱ）若12m =，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大.【答案】（Ⅰ）32.53m <≤（Ⅱ）应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大 【解析】试题分析：（ I ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中A ，B 相互独立．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率． （ II ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），可得ξ的分布列为．假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），可得η的分布列，计算即可比较出大小关系． 试题解析：（Ⅰ）设事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，则C AB AB AB =⋃⋃，其中,A B 相互独立， 因为()()1,2P A P B m ==，则()()()()P C P AB P AB P AB =++，即 ()()()11111112222P C m m m m ⎛⎫=-+-+=+ ⎪⎝⎭,由()14125m +>解得35m >； 又因为113m n ++=且0n ≥，所以23m ≤，故32.53m <≤， （Ⅱ）假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额（单位万元），则ξ的分布列为：则1135402.2884E ξ=⨯+⨯-⨯= 假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额（单位万元），则η的分布列为：则1115201.2366E η=⨯+⨯-⨯= 因为5546>，即E E ξη>，所以应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大. 20．已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0,A M 为圆上一动点，线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ； （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过()0,2F 的直线L 交曲线于不同的两点,G H ，（点G 在点F , H 之间），且满足35FG FH =，求直线L 的方程.【答案】（Ⅰ）22 1.2x y +=（Ⅱ） 2.y =+ 【解析】试题分析：(1) NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM=，.NC NM NC NA NC NM AC +=+=+=>由椭圆定义得轨迹方程；（2）设直线GH 的方程为：2y kx =+，联立方程得：2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，2121222343,,11222k k x x x x k k >+=-⋅=++，由35FG FH =,得1235x x =，巧借韦达定理建立k 的方程，解之即可.试题解析：（Ⅰ）设点N 的坐标为(),x y ，NP 是线段AM 的垂直平分线， NA NM =,又点N 在CM 上，圆()22:18C x y ++=，半径是r =.NC NM NC NA NC NM AC ∴+=+=+=∴点N 的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆，设其方程为()2222:10x y a b a b +=>>，则22221, 1.a a c b a c ====-=∴曲线E 方程： 22 1.2x y +=（Ⅱ）设()()1122,,,,G x y H x y当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为： 2y kx =+,222{ 12y kx x y =+∴+=,整理得： 2214302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭,由0∆>，解得： 2121222343,,.11222k k x x x x k k >+=-⋅=++ ------①又()()1122,,2,,,2FG x y FH x y =-=-,由35FG FH =,得1235x x =，结合①得 22235651212k k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，即2322k =>,解得k =∴直线l的方程为： 2y =+,当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为10,3x FG FH ==与35FG FH =矛盾.∴直线l 的方程为： 2.y =+21．已知函数()2ln 22,.22a a f x x x x a R ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若[)1,x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为0，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）210x y +-=（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】试题分析：(1)求出导函数，得到()()11,102f f '=-=，利用点斜式得到切线方程；（2）分类讨论函数()f x 的单调性，明确最小值，从而得到a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当1a =时， ()()21515ln 2,,222f x x x x f x x x =+-+=+-'()()11,10.2f f '=-=所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=--， 即210x y +-=.（Ⅱ）()()()()224222112222ax a x ax x a f x ax x x x -++-'-⎛⎫=+-+==⎪⎝⎭， 当0a =时， ()()22102x f x x-'-=<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意；当0a <时，任意[)1,x ∈+∞都有()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =， 故此时不符合题意；当02a <<时，由()0f x '=得12x =或21x a =>， 21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，所以函数在[)1,+∞上为减函数，而()10f =，故此时不符合题意； 当2a ≥时， ()()()22102ax x f x x'--=≥此时函数在[)1,+∞上为增函数，所以()()10f x f ≥=，即函数的最小值为0，符合题意， 综上a 的取值范围是[)2,+∞. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2tx y t=-=-，（ t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin .ρθ= （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()0,1A ，若点P 是直线l 上一动点，过点P 作曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，求四边形AMPN 面积的最小值.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=（Ⅱ）2【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，可得直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用切线的几何性质，将四边形AMPN 面积为直角三角形的面积问题. 试题解析：（Ⅰ）由y t =-得t y -=，代入22tx =-化简得240x y --=， 因为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=， 又因为{x cos y sin ρθρθ==，所以2220x y y +-=所以直线l 的普通方程为240x y --=，曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=； （Ⅱ）将2220x y y +-=化为()2211x y +-=，得点A 恰为该圆的圆心.设四边形AMPN 的面积为S，则S PM r r =⋅==PA 最小时， S 最小，而PA 的最小值为点A 到直线l的距离d ==所以min 2.S ===23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2112x x -+-<的解集为.M （Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）若整数m M ∈，正数,,a b c 满足42a b c m ++=，证明：1118.a b c++≥ 【答案】（Ⅰ）4|0 .3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法易得()3211f {1 21322x x x x x x x -≥=≤<-+<，，，，然后分段求解即可；（2）由（1）知， 42a b c ++=，巧用“1”得()111111142a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式即可证明不等式.试题解析：（Ⅰ）①当1x ≥时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得43x <，所以413x ≤<； ②当112x ≤<时，原不等式等价于2112x x -+-<，解得2x <，所以112x ≤<；③当12x <时，原不等式等价于1212x x -+-<，解得0x >，所以10.2x <<综上， 403x <<，即4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）因为4|0 3M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，整数m M ∈,所以42a b c ++= 所以()11111111444422a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14416622b a c a c b a b a c b c ⎛⎛⎫=++++++≥+ ⎪ ⎝⎭⎝ ()1624482=+++= 当且仅当2a b c == 时，等号成立，所以1118a b c ++≥点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

高三下学期第一次联考数学（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上；2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应的题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效；4．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。

）1．已知集合A ＝{x ｜2x ≥16}，B ＝{m}，若A∪B＝A ，则实数m 的取值范围是A ．（－∞，－4）B ．[4，＋∞）C ．[－4，4]D ．（－∞，－4]∪[4，＋∞）2．已知复数Z 的共轭复数Z ＝112ii－＋，则复数Z 的虚部是 A ．35 B ．35i C ．－35 D ．－35i 3．若f （x ）＝31(),()3()xx x x ⎧⎪⎨⎪,⎩≤0log ＞0，则f （f （19））＝A ．－2B ．－3C ．9D ．194．若{n a }为等差数列，n S 是其前n 项和，且S 11＝223π，{n b }为等比数列，5b ·7b ＝27π，则tan （6a ＋6b ）的值为 A ．3 B ．3±C ．3 D ．3± 5．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是A ．1920 B ．2021 C ．2122 D ．22236．已知点P 是抛物线2x ＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是Q ，点A 的坐标是（8，7），则｜PA ｜＋｜PQ ｜的最小值为A ．7B ．8C ．9D ．107．已知10770,0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－－≤≥≥表示的平面区域为D ，若(,)x y ∀∈D，2x ＋y≤a 为真命题，则实数a 的取值范围是A ．[5，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．[1，＋∞）D ．[0，＋∞）8．如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是A ．3＋2＋3B ．23C ．2＋2＋3D ．5＋29．已知双曲线M ：22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为23c （c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为A ．7B ．37C ．37D ．3710．四面体的一条棱长为x ，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为A ．272π B ．92π C ．152πD ．15π11．设x ，y∈R，则2(34cos )y x －－＋2(43sin )y x ＋＋的最小值为A ．4B ．16C ．5D ．2512．当｜a ｜≤1，｜x ｜≤1时，关于x 的不等式｜2x －ax －2a ｜≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[34，＋∞） B ．[54，＋∞） C ．[ 32，＋∞） D ．[52，＋∞）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。

八市。

学评20172018（上)高三第一次测评理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知全集R U =，集合{}{}032,2,0,22≥--=-=x x x B CA U，则=B A ( ）A {}2-B ．{}2,0C ．()2,1-D ．(]1,2--2.已知i 为虚数单位,复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z （ )A ．i 21-B ．i 21+C ．i -2 D.i +2 3.已知等差数列{}na 中，92832823=++a a a a,且0<n a ,则数列{}n a 的前10项和为（ ) A ．9-B ． 11-C ．13-D ．15-4。

从[]2,0内随机取两个数，则这两个数的和不大于1的概率为( ) A ．161 B ．81 C 。

41 D ．215。

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ) A ．2 B ．4 C. 6 D ．126。

已知函数()⎩⎨⎧->+-≤=-1,221,23x x x x f x ，则满足()2≥a f 的实数a 的取值范围是（ )A ．()()+∞-∞-,02,B ．()0,1-C 。

()0,2-D ．()[)+∞-∞-,01,7。

二项式5221⎪⎭⎫⎝⎛-y x 的展开式中23y x 的系数是（ ）A ．5B ． 20-C 。

20D ．5-8。

执行如图的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．23-B ．0C 。

23 D ．39.函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<->>+=22,0,0sin πϕπωϕωA x A x f 的部分图像如图所示,则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,12ππx 时,()x f 的取值范围是（ )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23C 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2110。

2021年高三9月名校联考理数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于( )A． B． C． D．2.曲线在点处的切线的斜率为( )A．-2 B．0 C．2 D．33.已知，则命题：“”的否定为( )A． B．C． D．4.设函数，则函数的定义域为( )A． B． C. D．5.已知集合，集合，则“”是“”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件6.若函数在区间上递减，且，则( )A． B． C. D．7.函数的图象大致为( )8.函数的零点所在区间为( )A．和 B．和C. 和 D．和9.已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则等于( )A． B． C. D．10.如图，矩形的长为3，宽为1，阴影部分的面积为2.25，其中，曲线对应的函数解析式为，则实数的值为( )A． B．2 C. D．311.设函数，，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为( )A． B． C. D．12.定义在上的可导函数的导数为，且，则( )A． B．C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设命题：若，则或，那么，的逆否命题为．14.若函数为上的奇函数，则的值为．15.设函数，且，则当时，的导函数的极小值为．16.若函数存在个零点，则称为级函数，并将所有的级函数组成的集合记为.若函数存在无穷多个零点，则.例如，若函数，则，.现有如下3个命题：①若函数，则；②设定义在上的函数满足，则；③设函数，则“”是“”的充要条件.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数，给出下列两个命题：命题：若，则.命题：，方程有解.（1）判断命题、命题的真假，并说明理由；（2）判断命题的真假.18. （本小题满分12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积；（2）求的单调区间和极值.19. （本小题满分12分）已知集合{}{{2,,2A x m x m B x y C y y x =<<====-. （1）若，求.（2）若，求的取值范围.20. （本小题满分12分）已知函数()()22sin ,x x f x e e ax b x a b R -=-++∈.（1）当时，为上的增函数，求的最小值；（2）若，，求的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）设，求在上的值域；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.22. （本小题满分10分）已知函数.（1）若，求证：；（2）若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求的最大值；（3）求证：当时，.试卷答案一、选择题1.C 由，得或.所以，又，所以.2.C ∵，∴.3.A “”的否定为“”.故选A.4.B ∵，∴，∴，∴，∴.5.A ∵，∴，而，∴，故选A.6.D 结合复合函数的单调性可得的递减区间为，∴，∴，又，∴.7.A ∵，∴是奇函数，排除B 、C.∵，∴，故可排除D ，从而选A.8.C ∵111151311,,32746428327f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=,=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴， ，而函数是连续的，∴函数零点所在区间为和.9.C()()()222222114log 48log 4log 484log log 3log 12123f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22244134193log 3log log 333333⎛⎫=+++=+⨯= ⎪⎝⎭. 10.D 由题意得曲线与的交点坐标为，∵矩形的面积为3，∴曲线与轴，直线围成的平面图形的面积为，∴，∴.11.B 设的值域为，∵函数的值域为，∴，∴要至少能取遍中的每一个数，又，于是，实数需要满足或.12.A 设，因为，所以()()()()()()()()221ln ln 0ln ln f x x f x f x x x f x x F x x x x '⋅-⋅'⋅-'==<， 所以在上递减，所以，即，即.所以.二、填空题13.若，则 逆否命题就是把原命题的条件结论都否定后再将条件结论互换.14.-8 ∵函数为上的奇函数.∴，∴，∴.15. 2 ∵，∴，∴，则当时，，设，∴，易得的极小值为.16. ①③ 对于①作图可得函数与的图象有无穷多个交点，故①正确.对于②，取()()()()()22241,g 129f x x A x x x x A =-∈=---∈，则，故②错误.对于③，若，则，即有三个不同的实根.记，则，令得；令得，故可作出的图象如下图所示. ∵，∴.故③正确.三、解答题（2）为假命题，为真命题.18. 解：（1）∵，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为，即.令得；令得.故所求三角形的面积为.（2）令得.令得或；令得.∴的增区间为，减区间为.∴的极大值为，的极小值为.19. 解：（1）若，则，∴，又，∴.（2）令，∴. ∴()221152121248y x x t t t ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭. 当，即时，取得最小值，且最小值为.故，从而.∵,∴.20. 解：（1）当时，.由为上的增函数可得对恒成立.则，∵224x x e e a a a -++≥=+，∴，∴，则的最小值为-4.（2），∵，∴.∵，，∴，∴.∴为上的增函数.又，∴为奇函数.由得.∵为上的增函数，∴，∴，∵，∴，∴.故的取值范围为.21. 解：（1）令，得，∴.令，则，∴，∴.∵与都在上递减，上递增，∴在上递减，上递增.∴，∴在上的值域为.（2）由（1）知即为.当时，即为，不合题意.当时，可转化为.∵，∴.∵，∴当即时，取得最小值-1.∴，∵，∴.当时，可转化为.∵当时，，∴，又，∴不合题意.综上，的取值范围为.22. 解：（1）证明：设，则.当时，，函数递减；当时，，函数递增.所以当时，.∵，∴，∴.（2）解：由得或（由（1）知不成立舍去）.即.设，则.当时，，函数递增；当时，函数递减，所以当时，，∴.（3）证明：()()()()2223ln ln 1lnln 1f x ax xx x x x ax x ax =--+=-+++ ()()()2222222211ln 1ln 1124244x ax x ax x ax x ax x ax x x ---⎛⎫⎛⎫++=-+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当时，，∴()()()222111124x ax ax ax ax --≥--=-. 故，等号若成立，则，即，由（1）知不成立，故等号不成立. 从而.33081 8139 脹-26106 65FA 旺31295 7A3F 稿F>21557 5435 吵27277 6A8D 檍22534 5806 堆=27723 6C4B 汋w"。

2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20x x x M =-≤，{}1,0,1,2N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1【答案】D【解析】由集合描述求M 的集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N =．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合交运算求集合，属于简单题. 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算求出z ，得出对应点的坐标后可得象限． 【详解】 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-，所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的综合运算，复数的几何意义，解题方法是由复数运算化复数为代数形式，然后由复数的几何意义得出结论．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得． 【详解】 由题意，605120a a =+，解得5a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等． 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．15B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】第一次运行时，8412S =+=，3i =； 第二次运行时．12315S =+=，2i =； 第三次运行时，15217S =+=，1i =； 第四次运行时，17118S =+=， 此时满足判断条件1i =． 则输出S 的值为18． 故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，从而得出结论．5．圆C ：2240x y y +-=被直线l 210x y --=所截得的弦长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出圆心到直线的距离，圆的半径，利用垂径定理得弦长． 【详解】圆C 的圆心为()0,2C ，半径为2R =，C 到直线l 的距离为202133d ⨯--==，所以所截得的弦长为22222232R d -=-=． 故选：B ． 【点睛】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．6．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ）A ．12B ．16C ．112D ．15【答案】B【解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率． 【详解】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法．7．函数()2421x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由奇偶性排除A ，C ，再求出0x >时函数有最值可排除D ，从而得正确选项． 【详解】由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+，所以()f x 偶函数，可排除A ，C ； 当0x >时，()2422222211112x f x x x x x x==≤=++⋅，即当且仅当1x =时，()max 1f x =，可排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势，图象的特殊点等排除一些选项，最终得出正确选项． 8．将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．22-B ．0C ．22D ．32【答案】A 【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，求出()()412k k ω=+∈Z ，求出解析式，再利用诱导公式即可求解. 【详解】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π242f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥，若1A D 与b 所成角为60°时，则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线,a b 的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小. 【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直，设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =，2·cos ,1?DC v DC v DC v m ∴===, 故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.10．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】A【解析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.11．在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．43C ．13D ．13【答案】D【解析】设3AH x =，求出,,,CA CH BA BH ，由双曲线的定义表示出2a ，2c AH =，再由离心率定义可得离心率．【详解】在ABC 中，0AH BC ⋅=，所以AH 为边BC 上的高，CA CB =．又3tan 4C =，令3AH x =，则|4CH x =，5AC CB x ==，BH x =，所以AB ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中，)21a BA BH x =-=，23c AH x ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为2123c c e a a====． 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是设3AH x =，根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率．12．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到0.1）A．609.4g B．447.3g C．398.3g D．357.3g【答案】C【解析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量．【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为102cm，所以半径为52cmOB=．因为母线与底面所成角的正切值为tan2B=10cmPO=．设正方体的棱长为a，2DE a=21021052a-=，解得5a=．所以该模型的体积为(()2331500ππ52105125cm33V=⨯⨯-=-．所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g33⎛⎫-⨯=-≈⎪⎝⎭．故选：C．【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键．二、填空题13．设向量()2,21a m m=-+，()1,3b=-，若a b⊥，则m=_______．【答案】1-【解析】0a b ⋅=可计算出m 值． 【详解】因为a b ⊥，所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=，解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考查数量积的坐标表示，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______．【答案】44-【解析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示： 由26z y x =-，可得32zy x =+，作直线0:3l y x =， 将其沿着可行域的方向平移，由图可知， 当直线32zy x =+过点B 时，z 取得最小值． 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ，所以min 226844z =⨯-⨯=-． 故答案为：44-.【点睛】本题主要考查了根据简单的线性规划求最值，理解目标函数的几何意义最关键，属于基础题15．曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______．【答案】440x y --=【解析】利用切线的斜率求得切点坐标，然后利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >，对函数32y x x =-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020314x x y x ='=+=， 因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0， 则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=． 故答案为：440x y --=． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈，则k 的取值集合是_______．【答案】{}4,5【解析】利用已知n S 求n a 的法，求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知{}n a 是递减数列，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，即可求得k 的取值集合.【详解】当1n =时，11364a a =-，解得116a =；当2n ≥时，364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减，得13n n n a a a -=-，即114n n a a -=， 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列， 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}n a 是递减数列，即各项依次为16，4，1，14，116，164，…，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，得k 的取值集合是{}4,5． 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，利用递推公式求数列通项，考查了等比数列的定义，属于中档题.三、解答题17．某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元． （1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润． 【答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）． 【解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润． 【详解】解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．【点睛】本题考查由频数计算概率，统计的数字特征求实际问题中的平均利润，属于中档题.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且2223b c a S +-=． （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2 【解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案．【详解】解：（1）由2223b c a S +-=，得12cos sin 32bc A bc A =⋅，所以cos A A =，所以tan A =()0,πA ∈， 所以π3A =．（2）由正弦定理，得2sin sin sin b c a R B C A，解得R =由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭ 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．19．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长2的菱形，PAB △和PBC 都是正三角形，且平面PBC ⊥平面PAB ．（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ，得到AC PB ⊥，再证明AC BD ⊥，则可证明AC ⊥平面PBD ，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=，而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离，即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅. 【详解】（1）证明：取PB 的中点O ，连接OA 和OC ．因为PBC 是正三角形，所以CO PB ⊥． 同理OA PB ⊥． 又COOA O =，CO ，AO ⊂平面AOC ，所以PB ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC PB ⊥，因为四边形ABCD 是边长2的菱形，所以AC BD ⊥，又PB BD B ⋂=，PB ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． 因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥． （2）因为//CD AB ，AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离，即3CO =，所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====．【点睛】本题考查空间垂直关系的判定及证明，考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查棱锥体积的求解，难度一般.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222ty y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22tu t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122t u t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u+=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21．已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性. （2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围. 【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-，()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+.令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x=-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤2x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得12x ≤<则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+，所以()115224h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭152ln2204->->，则()()min 24ln2h x h ==-+，()max12h x h ==-+⎝⎭11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u=⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=．【答案】（1）直线l 20y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u=⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=，得220u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=，则直线l 20y a -+=； 曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=，得220u a -=． 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ，2u ，则12u u += 而yu x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =，所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =12k k k +=．【点睛】本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及直线与抛物线的位置关系之交点问题，注意理解参数的意义，属于中档题. 23．已知函数()f x x x a =++． （1）当1a =-时，解不等式()3f x ≥．（2）若对任意的x ∈R ，总存在[]1,1a ∈-，使得不等式()22f x a a k ≥-+成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞．【解析】（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．分0x ≤，01x <≤，1x >三种情况分别求解不等式，可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+．①，即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥． 当0x ≤时，不等式变为13x x -+-≥，解得1x ≤-； 当01x <≤时，不等式变为13x x +-≥，无解； 当1x >时，不等式变为13x x +-≥，解得2x ≥． 綜上，不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞．（2）要使对任意的x ∈R ，不等式()22f x a a k ≥-+成立，只需()2min 2f x a a k ≥-+．①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 所以①可转化为22a a a k ≥-+．②即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，即总存在[]1,1a ∈-，使得()211a a k --+≥成立．而当1a =-时，()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时，max 1a =， 所以当1a =-时，()2max114a a ⎡⎤--+=⎣⎦， 所以4k ≤，故实数k 的取值范围是(],4-∞． 【点睛】本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，属于中档题.。

河南省名校联盟2020—2021学年高三9月质量检测 理科数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩N ＝A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．设11i z i＝－＋（i 为虚数单位），则｜z ｜＝ A ．1 B ．22 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2：a ：3，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a ＝A ．3B ．4C ．5D ．64．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中，含x 4的项的系数是A ．220B ．－220C ．100D ．－1005．已知1sin 264απ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，则cos 3cos 23πααπ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝ A ．72 B ．－72 C ．732 D ．－7326．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为 A ．35 B ．310 C ．25 D ．237．已知()212x x a f x －＝＋（a ∈R ）是奇函数，且实数k 满足f （2k －1）＜13，则k 的取值范围是A ．（－∞，－1）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（0，＋∞）8．将函数()sin 4f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋（ω＞0）的图象向左平移4π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ A ．－2 B ．0 C ．2 D ．3 9．已知圆C ：（x －3）2＋（y －1）2＝1和两点A （－t ，0），B （t ，0）（t ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是A ．（0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]10．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为102cm ，母线与底面所成角的正切值为2．打印所用原料密度为1 g ／cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取π≈3．14，精确到0．1）A ．609．4 gB ．447．3 gC ．398．3 gD ．357．3 g11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三边互不相等，若a ＝1，B ＝6π，14cos 0b C b＋＋＝，则△ABC 的面积是A ．3B ．3C ．3D ．1 12．已知函数()214313x e x f x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，≤，＝－＋－，＜＜，若函数g （x ）＝f （x ）－k ｜x ＋2｜有三个零点，则实数k 的取值范围是A ．（0，15）∪（1e ，3e ]B ．（0，15）∪（1e，＋∞） C ．（0，15） D ．（1e ，＋∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南名校联盟2018届高三数学9月适应性试卷（理科有答案）河南名校联盟2017-2018学年度高三适应性考试理科数学一.选择题：1.已知集合或，集合，则（）A.B.C.D.2.复数，则=（）A.-2B.2C.-2iD.2i3.如图所示为一个8X8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑方格内的豆子总数最接近（）A.40B.50C.60D.644.在等比数列中，，则为（）A.-6B.C.-8D.85.空间有不重合的平面和直线a,b,c,则下面四命题中正确的有：若且，则∥;：若a⊥b,b⊥c,则a∥c：若，则a∥b;:若a⊥，b⊥，且，则a⊥bA.,B.,C.,D.,6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示出来如下，若输入a=20,b=8,则输出的结果为（）A.a=4,i=3B.a=4,i=4C.a=2,i=3D.a=2,i=47.已知，则m的值为（）A.B.C.D.-18.已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A.16B.C.D.89.变量x,y满足，则z=3y-x的取值范围为（）A.[1,2]B.[2,5]C.[2,6]D.[1,6]10.展开式中，项的系数为A.32B.-32C.-20D.-2611.过抛物线的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，过着两点向y轴引垂线交y轴于D，C，若梯形ABCD的面积为，则p=（）A.1B.2C.3D.412.若对于任意的都有，则a的最大值为（）A.2eB.eC.1D.0.5二.填空题：13.已知非零向量满足，则=__________________14.已知圆O：，点，记射线OA与x轴正半轴所夹的锐角为，将点B绕圆心O逆时针旋转角度得到C点，则点C 的坐标是_________15.以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲线于A，B两点；再以线段AB为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（）16.数列的前n项和为，已知，若数列为等差数列，则=（）三.解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤，第17—21题为必考题，每个试题考生都必须解答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）17.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的外接圆半径为R，且满足（1）求角A的大小（2）若a=2,求△ABC周长的最大值18.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，△PDC和△BD C均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC，点E为PB的中点（1）求证：AE∥平面PDC（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值19.某建筑公司在A，B两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接运往C地，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从A地或者B地直达C地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至C以节约费用。

数学（理）答案2018.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请答案填在横线上. 13. 12e -14. 12- 15.1a ≥ 16.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17. 解: （Ⅰ）f(x)＝2sinx(32sinx ＋12cosx)＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin(2x －π3)＋32.函数f(x)的最小正周期为T ＝π由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间是[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， sin(2x －π3)∈[－32，1]，f(x)∈[0，1＋32]．所以当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[0，1＋32]． 18. 解：（Ⅰ）由 解得 所以（Ⅱ）19. 解:（Ⅰ）正弦定理得又（Ⅱ）在，根据余弦定理得即又又 ,20.解:（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ． ∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1． 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系： O xyz -，如图所示，则B (1，0，0)，D (-1，1，0)， A 1(0，2，A (0，0，B 1(1，2，0)，∴(11,2,AB =，()2,1,0BD =-，(1BA =-． ∴10AB BD ⋅=，110AB BA ⋅=，∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ． （Ⅱ）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ． 1,1,3()AD =--，1,2,0(0)AA =．∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n，∴020x y y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，0y x ==⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =得(3,,1)0=n 为平面A 1AD 的一个法向量．由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量，∴111cos AB AB AB ⋅-===⋅n n,n ． ∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为21. 解:（Ⅰ）证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．则()'2x f x e x =-，令()2x g x e x =-，则()'2x g x e =-，令()'0g x =，得l n 2x =．当()0,l n 2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x >∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=． （Ⅱ）()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，2x e a x ⇔=在()0,+∞有两个根，即函数y a =与()2xe G x x=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3e 2'x x G x x -=，当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递减当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增所以()G x 最小值为()2e 24G =， 当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，错误！未找到引用源。

2021年高三上学期9月质检数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．20．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄三中高三（上）9月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（△￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．．【考点】定积分．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：由题意==8．故答案为：8．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】易得p：k＞0，q：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．【解答】解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴；②若p假q真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（I）若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（I）因为f（﹣1）=f（2），函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（I）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…又因为函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞），即y=x2﹣2x+c的值域为[0，+∞），故=0，解得：c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（Ⅱ）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜220．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=，分类讨论解出f（x）≥4即可；（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]，变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f（x）=4y=则当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，浓度g（x）=2（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴4∈[4，8]，故当且仅当14﹣x=4时，y有最小值为8﹣a﹣4．令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年10月13日35430 8A66 試l|33559 8317 茗34175 857F 蕿\22566 5826 堦< 21226 52EA 勪/•}25607 6407 搇。

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2017—２018第一学期高三数学(理）9月学生学业能力调研卷１。

本试卷分第Ⅰ卷基础题（135分）和第Ⅱ卷提高题（15分)两部分,共１50分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚,酌情减3-５分,并计入总分。

知识技能学习能力习惯养成 总分内容集合与简易逻辑不等式 函数导数规律总结 卷面整洁 150分值25254７3３20３-5分第I 卷 基础题（共１35分)一、选择题(每题5分，共4０分)１.已知集合2{|3100}A x x x =--<,(){|ln 2}B x y x ==-，则()R A C B ⋂=（ ） A ． ()2,5 B ． [)2,5 Ｃ。

(]2,2- D 。

()2,2- 2.函数ln 1x y e x =--的图象大致是（ ）3。

下列说法错误．．的是（ ） A. 命题“若232=0x x -+,则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠，则2320x x -+≠” Ｂ。

“1x >”是“1x >”的充分不必要条件 C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题Ｄ。

命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”,则p ⌝：“R x ∀∈,均有210x x ++≥"4。

已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数,且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =,()0.612log 3,0.2b f c f -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是 （ ）Ａ. c a b << B. c b a << C. b c a << D 。