2018版高中数学人教版A版必修五学案：§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。

2．理解二元一次不等式的几何意义。

3．能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合．【课前导学】（根据以下提纲，预习教材第 82 页～第 85 页）1．不等式34x -<<在数轴上的图形为 ，可见一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间.2．（1） 称为二元一次不等式；（2） 称为二元一次不等式组；（3） 称为二元一次不等式(组)的解集. 有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.可见二元一次不等式(组)的解集可以看成 .3．根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，则得不等式组为： .【预习自测】 分别用图形表示以下解集：1．{}1x x >； 2．{}2x x <； 3．{}13x x <≤；4．{}(,)1,1,x y x y x y R >>∈且、； 5．{}(,)6x y x y -=； 6．{}(,)6x y x y -<.【课中导学】例1 画出不等式260x y +-< 表示的平面区域。

变式：如何确定m 的范围使点)1,1(),2,1(在03=+-m y x 的异侧？例2 用平面区域表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 的解集。

变式:画出不等式0)4)(12(<+-++y x y x 表示的平面区域.【反馈检测】1．已知)34,21(),1,1(),0,0(321P P P ，则在不等式0132≤+-y x 表示的平面区域内的点是（ ）. A ．21,P P B ．2P C ．32,P P D ．.3P2．不等式0623>+-y x 表示的区间在直线0623=+-y x 的（ ）.A ．右上方B ．右下方C ． 左下方D ．左上方3．若点)0,0(O 和)3,1(P 在直线0=++a y x 的两侧，则a 的取值范围为（ ）.A ．(]0,4-B ．()1,3-C ． []0,4-D ．()0,4-4．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）A ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥B ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤ C ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ D ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥05．不等式组⎩⎨⎧≥≥≤-+.0,001y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）. A ． 21 B ．1 C ．2 D ．4 6．画出二元一次不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≤+06321232y x y x y x 所表示的平面区域。

§3.3.1二元一次不等式〔组〕与平面区域【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式〔组〕的相关概念，并能画出二元一次不等式〔组〕来表示的平面区域。

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学模型的过程，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模〞和解决实际问题的能力。

3．情感态度与价值观：培养学生深刻理解“数形结合〞的数学思想．尽管侧重于用“数〞研究“形〞，但同时也用“形〞去研究“数〞，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，鼓励学生大胆探索，勇于创新的科学精神。

【学情分析】在此之前，学生已经学习了直线方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。

为研究二元一次不等式〔组〕与平面区域的对应关系做了准备。

【教学重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式〔组〕，会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域。

【教学难点】如何确定不等式0(Ax By C ++>或<0)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域.【教学过程】一．创设情境，引出问题在现实生活中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。

前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系的模型。

现看一个实际例子：一家银行的信贷部方案年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？ 把实际问题数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。

由学生完成〔把文字语言符号语言〕〔1〕〔资金总数为25 000 000元〕〔2〕〔预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上〕〔3〕〔用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值〕 〔4〕将〔1〕〔2〕〔3〕合在一起，得到分配资金应满足的条件：转化⇒25000000x y +≤⇒(12%)x+(10%)y 30000≥⇒0,0x y ≥≥25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩教学目的：提高学生“建模〞和解决实际问题的能力，并激发学生的学习兴趣。

第二课时 二元一次不等式（组）与平面区域 一、课前准备1、课时目标：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，提高应用数形结合、化归、集合的数学思想. 2、基础预探：1.二元一次不等式(组)的有关概念（1）二元一次不等式 含有_________未知数，并且未知数的次数是______的不等式称为二元一次不等式．（2）二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的______,称为二元一次不等式组． （3）二元一次不等式(组)的解集满足___________________的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2.二元一次不等式表示的平面区域(1)不等式0(0)Ax By C ++>≥表示的平面区域①在平面直角坐标系内，二元一次不等式0Ax By C ++> 表示直线_______________某一侧所有点组成的平面区域．②该区域内的任一点00(,)p x y 满足____________(不等式0Ax By C ++≥表示的区域内的任一点00(,)p x y 满足________________ )． (2)边界的画法①不等式0Ax By C ++>表示的区域_________边界，边界直线0Ax By C ++=画成_____________________．②不等式0Ax By C ++≥表示的区域___________边界，边界直线0Ax By C ++=画成____________________． 3.不等式组表示的平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的_______.因而是各不等式所表示的平面区域的_______部分． 二、基本知识习题化1、不等式2310x y -->表示的平面区域在直线2310x y --=的 ( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．右下方2、不等式组50,0,03x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩，表示的平面区域是一个（ ）A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形3、画出2x y +≤表示的平面区域：4、画出下列不等式表示的平面区域： （1）22x y ->；(2) 3x ≥. 三、学习引领二元一次不等式表示的图形是半平面，二元一次不等式组表示的平面区域是由两个或多个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分，画图时，只用阴影表示出来即可.含有绝对值的不等式，在画图时，应按绝对值意义去掉绝对值号，或用函数的奇偶性对称做. 四、典例导析：例1、如何确定m 的范围使点(1,1)和点(1,2)在30y x m --=的异侧.思路导析：由于直线30y x m --=将平面分成三部分，在它同一侧的区域内所有点的坐标代入30y x m --=中符合相同，因此要使两点在它的异侧，则代入后它的符合相异，由此得到关于m 的不等式，解之即可.解： 把(1,1)和点(1,2)代入30y x m --=所得到的两个代数式值异号即可，于是(1)(2)0m m ----<，即(1)(2)0m m ++<，解得21m -<<-，故所求范围为21m -<<-.规律总结：一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系内表示直线:0l Ax By C ++=某一侧的所有点组成的平面区域，在直线外任取两点1122(,),(,)P x y Q x y ，若,P Q 在的同一侧，则11Ax By C ++与22Ax By C ++同号，若,P Q 在的异侧，则11Ax By C ++与22Ax By C ++异号.这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”.变式练习1、用不等式组表示图中的阴影部分.例2、画出不等式组5,23,x y x y +≤⎧⎨-≥⎩表示的平面区域思路导析：解题的关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式判断出所表示的平面区域.解：不等式组的解集是5x y +≤①，23x y -≥②的解集的交集.①式表示的区域是直线50x y +-=左下方平面区域并且包括直线50x y +-=， ②式表示的区域是直线230x y --=右下方平面区域并且包括直线230x y --=，所以不等式组表示的区域是图中的阴影部分（包括直线）.规律总结：在画二元一次不等式组所表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：（1）画线；（2）定侧；(3)求“交”；（4）表示.也可先画出所以直线，再在这些直线分成的区域中取点即可. 变式练习2、画出不等式组所表示的平面区域.210,250,2,x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩例3、画出不等式||||2x y +≤所表示的平面区域.解：平面区域在第一象限（包括两个坐标轴的正向部分）时，原不等式等价于不等式组0,0,2,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，画出它所表示的平面区域如图第一象限部分，即Rt AOB 的周界及其内部.因为||||x x -=，||||y y -=所以平面区域关于两个坐标轴都对此，据此可以画出平面去在其他象限的部分，得到所求的平面区域为图中的正方形ABCD 周界及其内部.规律总结：解答含绝对值的二元一次不等式问题的常规解法是：先用分类讨论方法去掉绝对值符号，得到相应的不等式组，作出其中某个（或某几个）不等式所表示的平面区域，再利用它的对称性作出其他区域即可.也可以先作出边界（利用函数图象或直线方程作图），再通过取点确定相应的区域即可.变式练习3、作出不等式组60,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域.五、随堂练习：1、不等式360(0)x ay a +-<>表示的平面区域是在直线360x ay +-=的哪里的点的集合 ( )A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方2、431210x y x y y +<⎧⎪->-⎨⎪≥⎩表示的平面区域内整点的个数是 ( )A ．2B ．4C ．5D ．83、完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2:3，请木工须付工资每人50元，请瓦工须付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请个人数的约束条件是（ ）A.235,x y x y N *+≤⎧⎨∈⎩ B. 5040200023x y x y +≤⎧⎪⎨=⎪⎩C. 5420023,x y x y x y N*⎧+≤⎪⎪=⎨⎪⎪∈⎩D. 5610023x y x y +<⎧⎪⎨=⎪⎩4、已知,x y 为非负整数，则满足2x y +≤的点(,)x y 共有__________个5、点(,4)P a 在不等式330x y +->表示的平面区域内，且到直线220x y -+=的距离等于P 的坐标为______．6、某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元；若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元．若每日预算成本不得超过6 000元，运费不得超过2 000元，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域． .六、课后作业：1、若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ( )A ．0a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．75a a ≥<或2、在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是 ( )A．．4 C．．23、不等式组1212x y -<<⎧⎨-<<⎩，表示的平面区域内的整点坐标为______________．4、由直线20,210,210x y x y x y +-=++=++=围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为___________________．5、ABC ∆中，(3,1),(1,1),(1,3)A B C --,写出ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组.6、某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.答案：一．1、（1）2, 2 （2） 不等式组 （3）二元一次不等式（组）2、(1)①0Ax By C ++= ②000Ax By C ++>(000Ax By C ++≥) (2) ①不包括，虚线 ②包括，实线二．1 D 解析： 作出直线2310x y --=，利用特殊点代入，如（0,0）即可判断选D2．C 解析：作出图象如图. 3．如图4．（1）（2）四．变式训练1：50,30,0,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩变式训练2：变式训练3：五．1.C 解析：由360x ay +-=得36y x a a=-+，因为0a >，所以直线为单调递减的，而且过点6(0,)a，代入特殊点（0，0）验证的答案C2 C解析：如图平面区域为，满足的有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)，这5个3.C．根据题意即得。

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 （第2课时）班级 姓名 组别 代码 评价【使用说明与学法指导】1． 在自习或自主时间通过阅读课本例2、例3、例4用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。

训练案在自习或自主时间完成。

2． 重点预习：二元一次不等式组表示的平面区域，从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处”。

【学习目标】1．会画 二元一次不等式组表示的平面区域，能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。

2. 经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想3. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识。

【学习重点】画 二元一次不等式组表示的平面区域【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式组，画 二元一次不等式组表示的平面区域。

【知识链接】1.画二元一次不等式表示的平面区域的方法?2. 画出下列不等式表示的平面区域:(1)123+-<x y (2) y x 2<【预习探究案】探究一：二元一次不等式组表示的平面区域例1.用平面区域表示不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集。

归纳：画出不等式组表示的平面区域的方法？ 。

练习1.画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

思维提升：练习2.画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。

探究二: 从实际问题中抽象出二元一次不等式组例2.一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.分析:一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，该两种肥料（1车皮）的配比方案如下表：解:练习:一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要10min打磨，6min着色，6min 上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.仿照例2，在分析时列出表格完成该题。

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习11、画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组表示的平面区域。

2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45 2 26/班2/人高中40 3 54/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有考虑到所投资金的限制，得到即另外，开设的班数不能为负，则把上面的四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=063xy例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。

§3.3.1 二元一次不等式（组）与平面地区（2）班级姓名学号学习目标1．稳固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面地区；2．能依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件.学习过程一、课前准备复习 1：画出不等式 2 x +y- 6＜ 0 表示的平面地区.2x 3 y12复习 2：画出不等式组 2x 3 y 6 所示平面地区 .x0二、新课导学※ 典型例题例 1 要将两种大小不一样的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数以下表所示：规格种类A 规格B 规格C 规格钢板种类第一种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为12 块、 15 块、 27块，用数学关系式和图形表示上述要求.例 2 一个化肥厂生产甲乙两种混淆肥料，生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐 66t，在此基础上生产这两种混淆肥料. 列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区.※ 着手试一试练 1.不等式组( x y5) (x y) 0 所表示的平面地区是什么图形？0x3练 2. 某人准备投资 1 200 万创办一所完整中学，对教育市场进行检查后，他获得了下边的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人装备教师硬件建设教师年薪 (万数数(万元 )元)初中45226/班2/人高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.三、总结提高※ 学习小结依据实质问题的条件列出拘束不等式组与目标函数. 频频的读题，读懂已知条件和问题，边读边纲要，读懂以后能够列出一个表格表达题意. 而后依据题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，达成实质问题向数学模型的转变.学习评论1.不在 3x 2 y 6 表示的平面地区内的点是（）.A ．（0，0）B．（ 1， 1）C．（0， 2）Ｄ．（ 2， 0）2.不等式组x y5 0 表示的平面地区是一个（） .0x3A ．三角形Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形y x3.不等式组x y 1 表示的地区为Ｄ，点 P1 (0,2) ，点 P2 (0,0) ，则（） .y3PD,PD PD,PDC．PD,PDD．PD,PDA ．12B ．1212124.由直线 x y20, x 2 y 1 0 和 2x y 1 0 的平围成的三角形地区（不包含界限）用不等式可表示为.4x 3 y 805.不等式组x0表示的平面地区内的整点坐标是.y0课后作业1.一个小型家具厂计划生产两种种类的桌子 A 和 B. 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序 .桌子 A 需要 10min 打磨， 6min 着色， 6min 上漆；桌子 B 需要 5min 打磨， 12min 着色，9min 上漆 .假如一个工人每日打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每日至多480min ，请你列出知足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面地区.2.某服饰制造商现有 10m2的棉布料， 10 m2的羊毛料， 6 m2的丝绸料 . 做一条裤子需要棉布料 1 m 2， 2 m 2的羊毛料， 1 m 2的丝绸料，一条裙子需要棉布料 1 m 2， 1m2的羊毛料， 1 m 2的丝绸料 .一条裤子的纯利润是20 元，一条裙子的纯利润是40 元 . 为了使利润达到最大，需要同时生产这两种服饰，请你列出生产这两种服饰件数所需要知足的关系式，并画出图形.。

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

第二课时 二元一次不等式(组)与平面区域 （二）一、教学目标（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。

教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育二、教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题三、教学过程（一）复习引入画出下列不等式组2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩所表示的平面区域： 解：不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域（二）探究新知例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件学段班级学生数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中45226/班2/人高中40354/班2/人解：设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200,x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则 0,0x y ≥≥2030,240,0,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩根据限制条件画出图形 （略）例2、教材P85面例3例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t 。