河南省天一大联考2017届高考数学模拟试卷(解析版)(文科)(五)

天一大联考2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（五）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 若集合{}|210A x R x =∈-=的子集个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知复数z ，则“0z z +=”事故“z 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，则a 的值为A. 52B. 53C. 54D. 554.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.4+B. 4+C. (4π+D. (4π+5.执行如图所示的程序框图，若输入的3p =，则输出的n = A. 6 B. 7 C. 8 D. 9《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ==，则该阳马外接球的体积为A.92π B. 9π C. 272π D. 27π 7.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，则ABC ∆是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.以上都不对 8.设函数()1xf x x=+，则使得()()31f x f x >-成立的x 取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.将函数cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为 A. 8x π=B. 4x π=C. x π=D.32x π=10.已知函数()()()23,320f x x g x ax a a =-=+->，若对任意的[]11,1x ∈-总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x =成立，则实数a 的值为 A.14 B. 12 C. 45D.1 11.函数3x x y e=的图象大致为12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点（异于右顶点），12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点()2,0，过2F 的直线l 与双曲线交于A,B 两点，若使2AB b =的直线恰有三条，则暑期小的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D. ()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则实数m 的取值范围为 . 14.设实数,x y 满足100y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是,BC CD边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为 .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +>，则C 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3 5.2n T ≤<18.（本题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限度，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级，在35—75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.为了比较甲、乙两城市2016年的空气质量情况，省环保局从甲、乙两城市全年的检测数据中各随机抽取20天的数据作为样本，制成如图所示的茎叶图（十位为茎，个位为叶）. （1）求甲、乙两城市所抽取20天数据的中位数m 甲和m 乙；（2）从茎叶图里空气质量超标的数据中随机抽取2个，求这2个数据都来自甲城市的概率.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABC DEF -中，4,3,5,4,2,3A B A C B C A D B E CF ======,且BE ⊥平面ABC ，//AD 平面BEFC .（1）求证：//CF 平面ABED ；（2）求多面体ABC DEF -的体积.20.（本题满分12分）已知A,B,C 三点满足2,AB AC ==，以AB 的中点O 为原点，以向量AB 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系. （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈，直线y kx b =+被轨迹E 截得的弦长不小于k 的取值范围.21.（本题满分12分） 已知函数()l n .xf x e x =-（1）求曲线()y f x =在点处的切线方程； （2）证明：() 2.f x >请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A.8B.7C.6D.4【答案】A【解析】解：集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，2，4}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选：A．化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．2.设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】C【解析】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=-2．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.“a2＞b2”是“lna＞lnb”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna＞lnb．∴“a2＞b2”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故选：B．若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna ＞lnb．即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A.866B.500C.300D.134【答案】D【解析】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．5.已知圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.（1，）B.（1，2）C.（，+∞）D.（2，+∞）【答案】D【解析】解：由题意，圆心到直线的距离d==，∴k=±，∵圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，∴＞，∴1+＞4，∴e＞2，故选：D．先求出切线的斜率，再利用圆（x-1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）有两个交点，可得＞，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6.函数f（x）=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数f（x）=是奇函数，排除A，D．当x=时，f（）=＞0，函数的图象的对应点在第一象限，排除B．故选：C．判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性，特殊点等等是解题的常用方法．7.已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A.（1，2]B.（，1）C.（1，2）D.[2，+∞）【答案】A【解析】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＞的值，当x≤2时，y=-x+6≥4恒成立，当x＞2时，由y=3+log a2≥4得：log a2≥1，解得：a∈（1，2]，故选：A．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=，，＞的值，根据程序框图的输出值y∈[4，+∞），分类讨论可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，程序框图，根据已知分析出程序的功能是解答的关键．8.已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=-2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=-2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=-2x+2与2x+y-4=0之间的距离：d==．故选：B．画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．9.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积（）A.10πB.12πC.14πD.16π【答案】C【解析】解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∴xy•3x=6，∴y=，∴AB+AD+AA1=4x+≥3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径为=，∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积=14π，故选C．先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．本题考查长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．10.已知函数f（x）=A sin（2x+φ）-（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2-3m≤f（x），则实数m的取值范围为（）A.[1，]B.[1，2]C.[，2]D.[，]【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=A sin（2x+φ）-（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，∴A sinφ-=1，即A sinφ=．∵函数f（x）=A sin（2x+φ）-的图象关于直线x=对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴A•sin=，∴A=，∴f（x）=sin（2x+）-．对于任意的x∈[0，]，都有m2-3m≤f（x），∵2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]，sin（2x+）∈[-，]，f（x）∈[-2，-1]，∴m2-3m≤-2，求得1≤m≤2，故选：B．利用函数y=A sin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m 的取值范围．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.10C.12D.14【答案】D【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下所示：三棱锥A-BCD的体积为：××3×4×4=8，四棱锥C-AFED的体积为：××（2+4）×2×3=6，故组合体的体积V=6+8=14，故选：D由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合可得几何体的体积．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12.已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）-log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f （log43），则a，b，c的大小关系是（）A.b＞c＞aB.a＞c＞bC.c＞b＞aD.a＞b＞c【答案】D【解析】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数，由题意得∀x∈（0，+∞），f[f（x）-log2016x]=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）-log2016x是定值，设t=f（x）-log2016x，则f（x）=t+log2016x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5∴a＞b＞c，故选：D．根据f（x）-log2016x是定值，设t=f（x）-log2016x，得到f（x）=t+log2016x，结合f（x）是增函数判断a，b，c的大小即可．本题考查了函数的单调性、对数函数的运算以及推理论证能力，是一道中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且|+|=|-|，则|+2|= ______ ．【答案】5【解析】解：∵平面向量=（1，2），=（-2，m），∴=（-1，2+m），=（3，2-m），∵|+|=|-|，∴1+（2+m）2=9+（2-m）2，解得m=1，∴=（-2，1），=（-3，4），|+2|==5．故答案为：5．利用平面向量坐标运算法则求出，，由|+|=|-|，求出m=1，由此能求出|+2|的值．本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．14.已知α∈（0，π），sinα=，则tan（α-）= ______ ．【答案】-或-7【解析】解：当α∈（0，）时，由sinα=，可得：cosα==，tan=，可得：tan（α-）==-；当α∈（，π）时，由sinα=，可得：cosα=-=-，tan=-，可得：tan（α-）==-7．故答案为：-或-7．（漏解或错解均不得分）由已知，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用两角差的正切函数公式即可计算求值得解．本题主要考查三角函数恒等变换与求值问题，考查分类讨论的思想方法，属于基础题．15.已知抛物线C1：y=ax2（a＞0）的焦点F也是椭圆C2：+=1（b＞0）的一个焦点，点M，P（，1）分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|+|MF|的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：P（，1）代入椭圆C2：+=1，可得=1，∴b=，∴焦点F（0，1），∴抛物线C1：x2=4y，准线方程为y=-1．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为1-（-1）=2．故答案为2．先求出椭圆方程，可得焦点坐标，再设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P 三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．16.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BD cosα+CD sinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为______ ．【答案】（3+，3+2）【解析】解：∵BC=BD cosα+CD sinβ，∴sin∠BDC=sinβcosα+sinαsinβ，∴sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，∴（cosβsinα+cosαsinβ）=sinβcosα+sinαsinβ，∴cosβsinα=sinαsinβ，∴tan，又∵β∈（0，π），∴，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB•AD cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos=7，又∵BD2=CB2+CD2-2CB•CD cosβ=（CB+CD）2-3CB•CD≥（CB+CD）2-=，∴CB+CD≤2，又∵CB+CD＞，∴四边形ABCD的周长AB+CB+CD+DA的取值范围为：（3+，3+2）．故答案为：（3+，3+2）．由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosβsinα=sinαsinβ，进而可求tan，结合范围β∈（0，π），可求，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2，利用两边之和大于第三边可求CB+CD＞，即可得解四边形ABCD的周长的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用和解三角形的基本知识以及运算求解能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知正项等比数列{b n}的前n项和为S n，b3=4，S3=7，数列{a n}满足a n+1-a n=n+1（n∈N+），且a1=b1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【答案】解：（1）由题意，设等比数列{b n}的公比为q，则，解得．又a n+1-a n=n+1，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+…+2+1=；（2）∵，∴=．【解析】（1）设等比数列{b n}的公比为q，由题意列式求得b1，得到a1，利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用裂项相消法求得数列{}的前n项和．本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，是中档题．18.如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2．（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；（2）求几何体ADG-BCE，P-EF-B的体积．【答案】（Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，∴AE⊥平面ABCD，又AE⊂平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，∴ABCD为正方形，又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，∵EF⊂平面ABEG，∴EF⊥BC，又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=，又AG的中点为F，∴∠AEF=．∵∠AEF+∠AEB=，∴EF⊥BE．又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE，又EF⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．∴V ADC-BCE==．∴几何体ADC-BCE的体积为4．【解析】（1）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（2）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC-BCE的体积．本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题．19.2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．临界值表：参考公式：K2=．【答案】解：（1）各公园幸运之星的人数分别为=3，=4，=2，=1；（2）基本事件总数=15种，这两人均来自乙公园，有=6种，故所求概率为=；（3）K2==7.5＞6.635，∴据此判断能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．【解析】（1）利用抽样比，求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型概率公式求解；（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，知识综合性强．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；【答案】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，即，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2-4=0，由已知得△=4m2k2-4（k2+4）（m2-4）＞0，即k2-m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=-3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2-k2-4=0显然m2=1不成立，∴∵k2-m2+4＞0，∴＞，即＞．解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（-2，-1）∪（1，2）∪{0}【解析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x+alnx与g（x）=3-的图象在点（1，1）处有相同的切线．（1）若函数y=2（x+m）与y=f（x）的图象有两个交点，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=3（x-）+g（x）-2f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：F（x2）＜x2-1．【答案】解：（1）∵f′（x）=1+，g′（x）=，根据题意得，解得：；∴f（x）=x+lnx，设T（x）=f（x）-2x-2m=lnx-x-2m，则T′（x）=-1，当x∈（0，1）时，T′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，T′（x）＜0，∴T（x）max=T（1）=-1-2m，∵x→0时，T（x）→-∞，x→+∞时，T（x）→-∞，故要使两图象有2个交点，只需-1-2a＞0，解得：a＜-，故实数a的范围是（-∞，-）；（2）证明：由题意，函数F（x）=x--2lnx，其定义域是（0，+∞），F′（x）=，令F′（x）=0，即x2-2x+m=0，其判别式△=4-4m，函数F（x）有2个极值点x1，x2，等价于方程x2-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，又x1x2＞0，故0＜m＜1，∴x2=1+且1＜x2＜2，m=-+2x2，F（x2）-x2+1=x2-2lnx2-1，令h（t）=t-2lnt-1，1＜t＜2，则h′（t）=，由于1＜t＜2，则h′（t）＜0，故h（t）在（1，2）递减，故h（t）＜h（1）=1-2ln1-1=0，∴F（x2）-x2+1=h（x2）＜0，∴F（x2）＜x2-1．（x）-2x-2m=lnx-x-2m，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出F（x）的导数，等价于方程x2-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，根据函数的单调性证明结论即可．本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力、函数与方程思想．22.已知极坐标系的极点为直角坐标系x O y的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ=（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）∵圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x-2y=0，∴圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ+2cosθ-2sinθ=0，即，∵直线l的参数方程为（t为参数），消参得：x-y+1=0，∴直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0，即sinθ-cosθ=；（Ⅱ）当θ=时，|OP|==2，故点P的极坐标为（2，），|OQ|==，故点Q的极坐标为（，），故线段PQ的长为：．【解析】（I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将θ=代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长．间的转化方式，是解答的关键．23.已知函数f（x）=|x+3|+|x-2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a-a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a2在R恒成立，因为|x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，所以6a-a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=-5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．【解析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．本题主要考查绝对值函数，考查恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

天一大联考2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（六）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}{}|ln 1,|12A x y x B x x ==-=-<<，则()R C A B =I A. ()1,2 B. ()1,2- C. ()1,1- D. (]1,1-2.已知复数z 满足1341iz i i+⋅=+-，则z 的共轭复数为 A. 43i + B. 43i -+ C. 43i -- D.43i -3.“221ab>>”是“33a b >”的A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A,B,C 三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A,B,C 中抽取的箱数分别为,,m n t ，若2t m n =+，则420箱中等级C 的箱数为A.110B. 120C. 130D. 1405.函数()()12sin cos 12xxf x x -=⋅+的图象大致是6.若sin 3,sin1.5,cos8.5a b c ===，则执行如图所示的程序框图，输出的是A. cB. bC. aD.3a b c++ 7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与椭圆22143x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 为双曲线C 的左右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为A.32B. 16C. 8D. 48.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.某几何体ε的三视图如图所示，将该几何体分别沿棱和表面的对角线截开可得到一个鳖臑和一个阳马，设V 表示体积，则::=V V V ε阳马鳖臑 A. 9:2:1π B. 33:3:1π C. 33:2:1π D. 33:1:1π9.将函数()[]()()22,1,12,1,x x f x f x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的正零点从小到大的顺序排成一列，得到数列{},n a n N *∈，则数列(){}11n n a +-的前2017项和为A. 2016B. 2017C. 4032D. 4034 10.在平行四边形ABCD 中，4,2,,3AB AD A M π==∠=为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u r u u u r u u u u r u u u r，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r11.已知倾斜角为6π的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，抛物线C 上存在点P 与x 轴上一点()5,0Q 关于直线l 对称，则p = A. 2 B. 1 C.12D. 4 12.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x += 2 B. 1 C. 1- D. 3-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数321y x =+与23y x b =-的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b = .14.如图将边长为1的正六边形ABCDEF 绕着直线l 旋转180o ，则旋转所形成的几何体的表面积为 .15.已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且475,,24a a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅L 的值为 .16.已知不等式2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩组表示的平面区域的面积为43，则1y x +的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知角A,B,C 为等腰ABC ∆的内角，设向量()()2sin sin ,sin ,cos ,cos m A C B n C B =-=u r r，且//,7.m n BC =u r r（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积.18.（本题满分12分）某商家在网上销售一种商品，从该商品的销售数据中抽取6天的价格与销量的对应数据，如下表所示：（1）由表中数据，看出可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测当价格为1000元时，每天的商品的销量是多少？ （2）若从这6天中随机抽取2天，求至少有1天的价格高于700元的概率.19.（本题满分12分）如图，在几何体111A B C ABC -中，190,2,ABC AC BC AA ∠===⊥o 平面ABC ，111111////,::3:2:1AA BB CC BB CC AA =.（1）求证：平面111A B C ⊥平面11A ABB ；（2）F 为线段1BB 上一点，当11//A B 平面ACF 时，求11B FB B的值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12.设过点2F 的直线l被椭圆C 截得的线段为RS ，当l x ⊥轴时， 3.RS =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()4,0T ，证明：当直线l 变化时，总有TS 与TR 的斜率之积为定值.21.（本题满分12分）已知函数()()()1ln ,.f x a x g x x f x x'==++ （1）讨论()()()h x g x f x =-的单调性；（2）若()h x 的极值点为3，设方程()0f x mx +=的两个根为12,x x ，且21a x e x ≥， 求证：()()121265f x x m f x x ++>'-.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

天一大联考2016——2017学年高中毕业班阶段性测试（四）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知复数4723iz i-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}{|42830,|A x x x B x y =-+≤==，则A B =A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是 A.该金锤中间一尺重3斤B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C.该金锤的重量为15斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤4.已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接,AD BE ，现在往圆O 内投掷粒2000小米，0.55==）A. 275B. 300C. 550D. 6005.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 916π+B. 918π+C. 1228π+D. 1818π+6.若圆Ω过点()()0,10,5-，且被直线0x y -=截得的弦长为Ω的方程为A. ()2229x y +-=或()()224225x y ++-= B. ()2229x y +-=或()()221210x y -+-=C. ()()224225x y ++-=或()()224217x y ++-= D. ()()224225x y ++-=或()()224116x y -++= 7.运行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为 A. 134 B. -19 C. 132 D. 21 8.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，其中点315,0,,044A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为了得到函数()2sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则应当把函数()y f x =的图象A. 向左平移134π个单位 B.向右平移134π个单位 C.向左平移1312π个单位 D. 向右平移1312π个单位9.已知0x R ∃∈，使020041xae x x -->成立，则实数a 的取值范围A. RB. ()32,e -+∞ C. 6,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，直线l 过不同的两点()2,0,,22a b ab b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，则双曲线的离心率为A.43 B. 2或3 C. 3D.211.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，18,4,DC CC CB AM MB +===,点N 是平面1111A B C D 上的点，且满足1C N 当长方体1111ABCD A BC D -的体积最大时，线段MN 的最小值是A. B. 8C.D. 12.已知函数()21,22,2416x mx f x mx x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪+⎩，当22x >时，对任意[)12,x ∈+∞的总存在()2,2x ∈-∞使得()()12f x f x =，则实数m 的取值范围是A. [)2,4B. []2,4C. [)3,4D.[]3,4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足30644x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为 .14.规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况：先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 101 111 011 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为 .15.如图，在ABC ∆中，3,5,60,,AB AC BAC D E ==∠=分别,AB AC 是的中点，连接,CD BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接，则AF BG ⋅=.16.已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得1500n n S na +-+<的最小正整数n 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知四边形MNPQ 如图所示，2,MN NP PQ MQ ====其中（1cos M P -的值；（2）记MNQ ∆与NPQ ∆的面积分别是1S 与2S ，求2212S S +与的最大值.18.（本题满分12分）如图1，在ABC ∆中，MA 是BC 边上的高.如图（ 2），将MBC ∆沿MA 进行翻折，使得90BAC ∠= ，在过点B 作//BD AC ，连接,,AD CD MD ，且30.AD CAD =∠=（1）求证：CD ⊥平面MAD ； （2）求点A 到平面MCD 的距离.19.（本题满分12分）2016年天猫双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众张抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在[)[)[]55,65,65,75,75,85对应的小矩形的面积分别是123,,S S S ，且12324S S S =-.（1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[)45,65的人数；（2）计算在双十一活动中消费超过3000元的消费者的平均年龄；（3）若按照分层抽样，从年龄在[)[)15,25,65,75的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在[)15,25内的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(),1⎛- ⎝⎭，过点()1,0-且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若x 轴上存在一点M ，使得2531MA MB t k ⋅+=+，其中t 是与k 无关的常数，求点M 的坐标和t 的值.21.（本题满分12分）已知函数()ln .f x x x = （1）求()f x 在()0,+∞上的极值；（2）当121,,1x x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且121x x <-时，求证：()1212ln ln 4ln x x x x +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天一大联考2016——2017学年高中毕业班阶段性测试（四）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数4723i zi ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合|42830,|1A x x x B x y x ，则A BA. 1,12B. 1,12C. 31,2D.31,23.我国古代名著《九章算术》中中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是 A.该金锤中间一尺重3斤 B.中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C.该金锤的重量为15斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤4.已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接,AD BE ，现在往圆O内投掷粒2000小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是（参考数据：31.82.0.553） A. 275 B.300 C. 550 D. 6005.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.916 B. 918 C.1228 D. 18186.若圆过点0,10,5，且被直线0x y 截得的弦长为27，则圆的方程为 A. 2229x y 或224225x yB.2229x y 或221210x y C.224225x y 或224217x y D. 224225x y 或224116x y 7.运行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为 A. 134 B. -19 C. 132 D. 218.已知函数2sin 0,2f xx 的图象如图所示，其中点315,0,,044A B ，为了得到函数2sin 3g x x 的图象，则应当把函数y f x 的图象 A. 向左平移134个单位 B.向右平移134个单位 C.向左平移1312个单位 D. 向右平移1312个单位9.已知0x R ，使020041x ae x x 成立，则实数a 的取值范围A. RB. 32,eC. 6,e D. 1,10.已知双曲线2222:10,0xy C ab a b 的左、右焦点分别为12,0,,0Fc F c ，直线l 过不同的两点2,0,,22a b ab b a a，若坐标原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为 A. 2或43 B. 2或233 C. 233 D.211.如图，长方体1111ABCD A B C D 中，18,4,DC CC CB AM MB ,点N 是平面1111A B C D 上的点，且满足15C N，当长方体1111ABCD A B C D 的体积最大时，线段MN 的最小值是A. 62B. 8C. 21D. 4312.已知函数21,22,2416x m x f x mx x x ，当22x 时，对任意12,x 的总存在2,2x 使得12fx f x ，则实数m 的取值范围是 A. 2,4 B.2,4 C. 3,4 D.3,4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知实数,x y 满足30644xy x y x y ，则2zx y 的最小值为 . 14.规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况：先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 011 101 010 100 100 011 111 110000 011 010 001 111 011 100 000 101 101据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为 . 15.如图，在ABC 中，3,5,60,,AB AC BAC D E 分别,AB AC 是的中点，连接,CD BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接，则AF BG. 16.已知数列n na 的前n 项和为n S ，且2n n a ，则使得1500n n S na 的最小正整数n 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知四边形MNPQ 如图所示，2,2 3.MN NP PQ MQ 其中（1）求3cos cos M P 的值；（2）记MNQ 与NPQ 的面积分别是1S 与2S ，求2212S S 与的最大值. 18.（本题满分12分）如图1，在ABC 中，MA 是BC 边上的高.如图（ 2），将MBC 沿MA 进行翻折，使得90BAC ，在过点B 作//BD AC ，连接,,AD CD MD ，且23,,30.AD CAD （1）求证：CD平面MAD ；（2）求点A 到平面MCD 的距离.19.（本题满分12分）2016年天猫双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众张抽取了500人作调查，所得概率分布直方图如图所示：记年龄在55,65,65,75,75,85对应的小矩形的面积分别是123,,S S S ，且12324S S S .（1）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在45,65的人数；（2）计算在双十一活动中消费超过3000元的消费者的平均年龄；（3）若按照分层抽样，从年龄在15,25,65,75的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在15,25内的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆2222:10xy C a b a b 过点331,,2,13，过点1,0且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若x 轴上存在一点M ，使得2531MA MB t k ，其中t 是与k 无关的常数，求点M 的坐标和t 的值.21.（本题满分12分）已知函数ln .f x x x （1）求f x 在0,上的极值；（2）当121,,1x x e 且121x x 时，求证：1212ln ln 4ln x x x x .请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020届河南省天一大联考2017级高三上学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题:本题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5A =-,{}0,1,3,4,6B =,则A B =（ ）A. {}1,3B. {}1C. {}1,0,1,1,3,4,5,6-D. {}1,0,1,3,4,5,6- 【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】依题意,{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-. 故选：D.2.设复数()()312i z i i i -=+-+,则z =（ ）A. C. 2 【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式,然后利用复数的模长公式可计算出z .【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--,故z ==故选：A.3.已知向量()3,0m =,()3,0n =-,()()q m q n -⊥-,则q 为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1 【答案】C【解析】由题意可知n m =-,由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+,可得出()()0q m q m -⋅+=,由此可得出q m =,进而得解.【详解】由题意可知n m =-,由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+,()()0q m q m ∴-⋅+=,即22q m =,因此,22303q m ==+=. 故选：C.【点睛】本题考查向量模长的计算,同时也考查了向量垂直的等价条件的应用,解题的关键就是得出n m =-,考查计算能力,属于基础题.4.近年来,随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代,各种方便的app 相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途,随机抽取了56290名大学生进行调查,各主要用途与对应人数的结果统计如图所示,现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】 根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较,可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例,可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例,可判断③的正误.综合得出结论.。

2017年河南省高考数学质检试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）=0}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a 的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，，且，则等于（）A．B．1 C．2 D．5．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣6．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．97．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1 B．y=f（x）•e﹣x+1 C．y=f（x）•e﹣x﹣1 D．y=f（x）•e x+1 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．11．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，则=．16．（5分）若函数f （x ）=（x 2﹣ax +a +1）e x （a ∈N ）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f （x ）在点（0，f （0））处切线的方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n （n ∈N*）项和为S n ，a 3=3，且λS n =a n a n +1，在等比数列{b n }中，b 1=2λ，b 3=a 15+1． （Ⅰ）求数列{a n }及{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }的前n （n ∈N*）项和为T n ，且，求T n ．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC=90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB=AC=，点E 在AD 上，且AE=2ED ．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且CF=2FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若△PBC 的面积是梯形ABCD 面积的，求点E 到平面PBC 的距离．20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年河南省高考数学质检试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）=0}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a 的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由（x+1）（x﹣4）=0，解得x=﹣1，4．∴A={﹣1，4}，又B={x|x≤a}，A∩B=A，则a的值可以是4．故选：D．2．（5分）已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：复数z=（2+i）（a+2i3）=（2+i）（a﹣2i）=2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果．故选：D．4．（5分）已知向量，，且，则等于（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：∵，，且，∴•=2m﹣2=0，解得m=1，∴=（1，2），∴2﹣=2（1，2）﹣（2，﹣1）=（0，5），+=（1，2）+（2，﹣1）=（3，1）∴|2﹣|=5，•（+）=1×3+2×1=5，∴=1，故选：B．5．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．6．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，则（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d===，则c=3a，即b=2a，由双曲线C过点，即，解得：a=1，则双曲线C的实轴长为2a=2，故选A．8．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1 B．y=f（x）•e﹣x+1 C．y=f（x）•e﹣x﹣1 D．y=f（x）•e x+1【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣e x0=0，∴f（x0）=e x0，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）e x0﹣1=e x0e x0﹣1≠0，故A错误；B、y=f（﹣x0）e x0+1=﹣（e x0）2+1≠0，故B错误；C、y=e x0f（﹣x0）﹣1=﹣e x0•e x0﹣1≠0，故C不正确；D、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e x0e﹣x0+1=0，故D正确．故选：D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选A．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2，==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间（）上，2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，sin（2θ﹣）=，则2θ﹣=，求得θ=，故选：B．11．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D12．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=．故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为5．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．15．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，则=2．【解答】解：由于：（a2+b2）tanC=8S，可得：a2+b2=4abcosC=4ab•，可得：a2+b2=2c2，则：==2．故答案为：2．16．（5分）若函数f（x）=（x2﹣ax+a+1）e x（a∈N）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为x﹣y+6=0．【解答】解：f′（x）=e x[x2+（2﹣a）x+1]，若f（x）在（1，3）只有1个极值点，则f′（1）•f′（3）＜0，即（a﹣4）（3a﹣16）＜0，解得：4＜a＜，a∈N，故a=5；故f（x）=e x（x2﹣5x+6），f′（x）=e x（x2﹣3x+1），故f（0）=6，f′（0）=1，故切线方程是：y﹣6=x，故答案为：x﹣y+6=0．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，∴或b n=（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴=，∴T n==1+﹣﹣=．18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a +0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5， 数学成绩在[60，70）的人数为：， 数学成绩在[70，80）的人数为：， 数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC=90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB=AC=，点E 在AD 上，且AE=2ED ．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且CF=2FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若△PBC 的面积是梯形ABCD 面积的，求点E 到平面PBC 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，∴∠ACD=45°，即AD=CD，∴，∵AE=2ED，CF=2FB，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG=CD=1设PA=x，连接PG，则，∵侧面PBC的面积是底面ABCD的倍，∴，即PG=2，求得，∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，∵V A=V P﹣ABC，S△PBC=2S△ABC，﹣PBC∴E到平面PBC的距离为．20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，∴|MN|=|y1﹣y2|==2；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n∵=﹣3，∴x1x2+y1y2=+y1y2=﹣3，∴n2﹣4n+3=0，∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d=．由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴=．∵m=，∴=64，∴=8，∴m=0，∴直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），．∵函数f（x）与F（x）有公共切线，∴函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．当两函数图象相切时，设切点的横坐标为x0（x0＞0），则，解得x0=2或x0=﹣1（舍去），则f（2）=F（2），得a=ln2﹣3，由此求出a≥ln2﹣3，即a的取值范围为[ln2﹣3，+∞）．（Ⅱ）等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，因为g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得，所以g（x）的最小值为，令，因为，令t'（x）=0，得x=1，且所以当a∈（0，1）时，g（x）的最小值，当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为=t（2），所以a∈[1，2]．综上得a的取值范围为（0，2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2017届河南省天一大联考高三上学期段测一数学（文）试题一、选择题1．已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B = （ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{1} D ．{3} 【答案】B【解析】试题分析：11,1,2,2,3,4,0,2k n kn k n k n ========，故{}1,2A B = . 【考点】集合交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．已知复数142iz i i+=-+，则复数z 的模为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【解析】试题分析：()214()43,5z i i i i z =-++-=-=. 【考点】复数概念及运算．36、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A ．44B ．54C ．88D ．108 【答案】C【解析】试题分析：球的体积为344364833r πππ=⋅=，长方体的高为48642÷÷=，故表面积为()264426288⋅+⋅+⋅=. 【考点】球与长方体．4．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（ ） A ．（1,2）或（1，-2） B ．（1,4）或（1，-4） C ．（1,2） D ．（1,4） 【答案】A【解析】试题分析：依题意()1,0R -，设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1,Q t -，面积为2112,224t t t ⎛⎫+==± ⎪⎝⎭，故选A. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系．5．函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=+>><<的图象如图所示，则（ ）A ．()2sin3f x x =B ．()2sin(+3f x x π=）C ．()2sin(3+6f x x π=） D ．()2sin(2+6f x x π=）【答案】D【解析】试题分析：由图可知2A =.()02sin 1,6f πϕϕ===，2sin 2,2666f πππωω⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选D.【考点】三角函数图象与性质．6．以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y -+-=B ．22(1)(1)5x y +++=C ．22(1)5x y -+=D ．22(1)5x y +-= 【答案】A【解析】试题分析：圆心到这两条直线的距离相等d ==，解得1,a d ==【考点】直线与圆的位置关系．7．满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15【答案】A【解析】试题分析：由24120m m --≤解得26m -≤≤，一元二次方程2240x x m -+=有实数根，21640,22m m ∆=-≥-≤≤，故概率为12. 【考点】几何概型．8．如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．263π+B ．83π+C ．243π+D ．43π+ 【答案】C【解析】试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为122221433ππ⋅+⋅⋅=+. 【考点】三视图．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）A ．19B ．24C ．30D ．37 【答案】B【解析】试题分析：12,1M N ==，循环，3,2,15,2P Q M N ====，循环，4,3,19,6P Q M N ====，循环，5,4,24,24P Q M N ====，退出循环，输出24M =.【考点】算法与程序框图．10．已知直线l 与函数())ln(1)f x x =--的图象交于P ，Q 两点，若点1(,)2R m 是线段PQ 的中点，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14【答案】C【解析】试题分析：注意到111())l n (1)222f =--=，经计算得11122f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，故12m =.【考点】函数图象与性质． 11．已知函数21()cos(2)sin cos 232f x x x x π=++-，[0,]3x π∈.若m是使不等式()f x a ≤a 的最小值，则2cos 6m π=（ ）A．．12- C．12【答案】D【解析】试题分析：11cos 21111()cos 22cos 22cos 2sin 2222222226x f x x x x x x x π⎛⎫-⎛⎫=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，25[0,],2[0,],2[,]33666x x x πππππ∈∈+∈，故最大值为0，0,a a ≥≥，21cos 62π=.【考点】三角函数恒等变形．【思路点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．12．函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数lg()x x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C【解析】试题分析：依题意函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-，化简得00ln 1x y x x =+-，斜率为1x ，令()'10011,ln x xe e x x x ===，切线方程为01ln 0011ln x y e x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得0000111ln x y x x x x =-+，是同一条切线，故000000011111ln 1ln ln x x x x x x x -=-+=+，000001121ln 1,ln 11x x x x x ⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，画出2ln ,11y x y x ==+-的图象，由图可知，有两个交点.【考点】函数导数与切线．【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就可以这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的00ln 1x y x x =+-，得到斜率为01x ，利用这个斜率，可以求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为0000111ln x y x x x x =-+，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，可以得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图象就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.二、填空题13．已知||a =a b = (-)()15a b a b +=- ，则向量a 与b 的夹角为_________. 【答案】56π 【解析】试题分析：依题意有22cos 15a b a b a b θ⋅=⋅⋅=-=-，解得5cos 26πθθ=-=. 【考点】向量运算．14．若x ，y 满足约束条件20,220,20,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为__________.【答案】103【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点24,33⎛⎫⎪⎝⎭取得最大值为103.【考点】线性规划．15．在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC ∆的面积为______.【答案】【解析】试题分析：在BCD ∆中，由余弦定理有2227816cos3CD CD π=+-⋅，解得3,5CD CD ==，当5CD =时，112,12822AC S ==⋅⋅⋅=，当3CD =，110,1082AC S ==⋅⋅=【考点】解三角形．【思路点晴】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．要学会熟练运用几何性质，如本题中，线段垂直平分线上的点，到两段的距离相等.利用余弦定理求边长，要注意有两个解的情况. 16．6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向 （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向 （3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向 （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断：①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断正确的序号是__________. 【答案】③【解析】试题分析：由（1）知，甲选A 或B ；由（2）知，乙选C 或D ；由（3）知，丙选C 或D ；由（4）知，丁选C 或B ；由于：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，故丙所在方向是D 方向． 【考点】合情推理与演绎推理．【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性.三、解答题17．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}nS 的前n 项和n T . 【答案】（I ）5nn a =；（II ）21n nn T =+ 【解析】试题分析：（I ）利用基本元的思想，将已知条件化为1,a q ，列方程组求得15a q ==，故5n n a =；（II ）化简5l o g n n b a n ==，故(1)2n n n S +=，12112()(1)1n S n n n n ==-++，利用裂项求和法求得21n n T n =+.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，∴2111211154,.a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ，解得15a q ==，故5n n a =. （Ⅱ）由（Ⅰ），得5log n nb a n ==，所以(1)2n n n S +=. ∴12112()(1)1n S n n n n ==-++，故数列1{}nS 的前n项和为111112[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+ 122(1)11n n n =-=++. 【考点】数列的基本概念，裂项求和法．18．某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.【答案】（I ）0.05；（II ）14；（III ）710【解析】试题分析：（I ）利用频率分布直方图小长方形面积等于1，列式计算得0.05a =；（II ）女生的频率为0.35，抽取0.35207⋅=人，男生频率也是0.35，抽取0.35207⋅=人，共14人；（III ）上网超过20次的男生有3人，女生有2人，用列举法列举出可能性一共有10种，其中符合题意要求的有7种，故概率为710. 试题解析： （Ⅰ）1(20.020.030.08)50.055a -⨯++⨯==.（Ⅱ）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人. 故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A ，在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，记这2名女生为1A ，2A ，这3名男生为1B ，2B ，3B ，则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，而事件A 包含的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，所以7()10P A =. 【考点】频率分布直方图，古典概型．19．如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB .（Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ；（Ⅱ）设BF MN G = ，求三棱锥'A BGN -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II ）98【解析】试题分析：（I ）依题意可知'A EF ∆是等边三角形，且//EF BC 且'A M EF ⊥,所以'A M ⊥平面EFCB ,所以'A M BF ⊥，而BF MN ⊥，所以BF ⊥平面'A MN ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF ；（II ）由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，所以'A M 为三棱锥'A B G N -底面上的高. 3342GN CF ==，334BN BC ==，2BG ==，128BGN S BG NG ∆=⋅=，所以'19'38A BGN BGN V S A M -∆== .试题解析：（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC ∆的AB ，AC 边的中点，所以'A EF ∆是等边三角形，且//EF BC .因为M 是EF 的中点，所以'A M EF ⊥.又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面EFCB . 又BF ⊂平面EFCB ，所以'A M BF ⊥.因为14CN BC =，所以//MF CN ，所以//MN CF . 在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥.而'A M MN M = ，所以BF ⊥平面'A MN .又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF .（Ⅱ）由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，所以'A M 为三棱锥'A BGN -底面上的高.根据正三角形的边长为4，知'AE F ∆是边长为2的等边三角形，所以'A M = 易知3342GN CF ==，334BN BC ==.又由（Ⅰ）知BF MN ⊥，所以BG ==所以113222BGN S BG NG ∆=== ，所以'119'338A BGN BGN V S A M -∆=== . 【考点】立体几何证明面面垂直与求体积．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点）【答案】（I ）22143x y +=；（II ）2【解析】试题分析：（I ）依题意24a =，2a =.根据等边三角形，求得1c =，222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；（II ）设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，由此求得1226||||34k S S k-=+，利用基本. 试题解析： （Ⅰ）由题意得12c a =，又24a =，则2a =，所以1c =. 又222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=. 显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k+=-+. 此时121||2k S S k-=+）））.因为0k ≠，所以上式64||||k k =≤==+（k =时等号成立）.所以12||S S -解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.∴1226'3'4k y y k +=+，∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+，当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠时，126||423|'||'|S S k k -==≤=+（当且仅当'k =时等号成立）.所以12||S S -【考点】直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是2a ，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为6π，并且2ac =，第一问就可以求出来了.第二问要先讨论斜率是否存在.21．设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，0b =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.【答案】（I ）10x y +-=；（II ）(,1)-∞【解析】试题分析：（I ）当1a =，0b =时，2()(2)ln f x x x x =-，所以(1)0f =，'()(2)ln 2f x x x x x =-+-，所以'(1)1f =-，由此求得切线方程为10x y +-=；（II ）当2b =时，22()(2)ln 2f x x ax x x =-+，要证明的不等式等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->，利用导数求得左边函数的最小值为10,1a a -><.试题解析：（Ⅰ）当1a =，0b =时，2()(2)ln f x x x x =-，则(1)0f =，'()(2)ln 2f x x x x x =-+-，∴(1)1f =-．∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=． （Ⅱ）当2b =时，22()(2)ln 2f x x ax x x =-+，a R ∈． 所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->. 方法一：令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞， 则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时，'()0p x ≥，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1p x p a ==-， 所以根据题意，知有10a ->，∴1a <.当1a >时，由'()0p x <，知函数()p x 在[1,)a 上单调增减； 由'()0p x >，知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增. 所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.由条件知，2(12ln )0a a a -->，即(12ln )10a a -->.设()(12ln )1q a a a =--，1a >，则'()12ln 0q a a =--<，1a >， 所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾. 综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.方法二：令22()(24)ln +p x x ax x x a =--，[1,)x ∈+∞，则22()(24)ln +0p x x ax x x a =-->在[1,)+∞上恒成立，所以(1)10p a =->， 所以1a <.又'()(44)ln +(24)+24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =--=-+≥， 显然当1a <时，'()p x >，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)10p x p a ==->，所以1a <.综上可知a 的取值范围为(,1)-∞.【考点】函数导数与不等式．【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22．如图所示，PQ 为O 的切线，切点为Q ，割线PEF 过圆心O ，且QM QN =.（Ⅰ）求证：PF QN PQ NF =；（Ⅱ）若QP QF =，求PF 的长.【答案】（I ）证明见解析；（II ）3【解析】试题分析：（I ）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；只需证明PNF PMQ ∆∆ ，即有PF NF NFPQ MQ NQ==，即PF QN PQ NF ⋅=⋅；（II ）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.先求得30PFQ QPF ∠=∠= ，120PQF ∠= ，有余弦定理可求得3PF =.试题解析：（Ⅰ）因为PQ 为圆O 的切线，所以PFQ PQE ∠=∠. 又因为QM QN =，所以QNM QMN ∠=∠. 所以PNF PMQ ∠=∠， 所以PNF PMQ ∆∆ ，所以PF NF NFPQ MQ NQ==，即PF QN PQ NF = .（Ⅱ）因为QP QF =PFQ QPF ∠=∠.又180PFQ QPF PQE EQF ∠+∠+∠+∠= ，90EQF ∠= ， 所以30PFQ QPF ∠=∠= ，120PQF ∠= ，由余弦定理，得3PF ==. 【考点】几何证明选讲．23．已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q . （Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22(2)(1)5x y -++=；（II ）0k =或34k =【解析】试题分析：（I ）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=来完成．代入可得22420x y x y +-+=，配方得22(2)(1)5x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为（II ）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决. 由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，直线l 的方程为(5)y k x =-.利用弦长等于4可求得斜率0k =或34k =. 试题解析：（Ⅰ）由4cos 2sin ρθθ=-，得24cos 2sin ρρθρθ=-.将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得22420x y x y +-+= 配方，得22(2)(1)5x y -++=，所以圆心为(2,1)-（Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存在，因此不妨设直线l 的方程为(5)y k x =-. 因为||4PQ =，所以254-=，解得0k =或34k =. 【考点】坐标系与参数方程． 24．设()|||10|f x x x =++. （Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.【答案】（I ）55x -≤≤；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；利用零点分段法去掉绝对值，可求解不等式的解为55x -≤≤；（II ）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.要证5|||25|a b ab +≤+，即证2225()(25)a b ab +≤+利用差比较法，可证得222225()(25)(25)(25)0a b ab a b +-+=--≤. 试题解析：（Ⅰ）由()15f x x ≤+得：150,10,1015.x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或150,100,1015.x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或150,0,1015.x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪++≤+⎩解得55x -≤≤，所以()15f x x ≤+的解集为[5,5]M =-.（Ⅱ）当,a b M ∈，即55a -≤≤，55b -≤≤时， 要证5|||25|a b ab +≤+，即证2225()(25)a b ab +≤+.∵22222225()(25)25(2)(50625)a b ab a ab b a b ab +-+=++-++2222222525625(25)(25)0a b a b a b =+--=--≤∴2225()(25)a b ab +≤+，即5|||25|a b ab +≤+. 【考点】不等式选讲．。