2018届北京市海淀区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

专业文档珍贵文档2018届上学期北京市海淀区高三期中考试试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1．若集合{}02<-=x x A ，集合{}12>=xx B ，则A B =I （ ）A ．RB ．()2,∞-C ．()2,0D ．()+∞,22．命题“1sin ,0≤≥∀x x ”的否定是（ ） A ．0,sin 1x x ∀<> B ．0,sin 1x x ∀≥> C ．1sin ,0><∃x xD ．1sin ,0>≥∃x x3．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A ．2)(x x f -=B ．xx f -=3)(C ．x x f ln )(=D ．x x x f sin )(+=4．已知数列{}n a 满足12322(1,2,3,)n a a a a a n ++++==L L ，则（ ） A ．01<aB ．01>aC ．21a a ≠D ．02=a5．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴上．在AOC △中，若cos AOC ∠=，则点A 的横坐标为（ ）A．B．C ．3- D ．36．已知向量a ，b 是两个单位向量，则“=a b ”是“2+=a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()()()10sin f x x ωωϕ=>+，2φπ<的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别为（ ）A ．2，3π B ．2，3π-C ．1，6π D ．1，6π-8．若函数()2e ,02,0x x x f x ax x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,eB ．()e,+∞C ．(]0,eD ．[)e,+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．已知等差数列{}n a 满足12a =，246a a a +=，则公差d =_____． 10．已知向量()1,0=a ，(),m n =b ，若-b a 与a 平行，则n 的值为______． 11．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()1f x x=， 则()502f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_________．12．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米．由如下关系式确定：h t t =，[0)t ∈+∞，，则小球在开始振动即0t =时h 的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为________厘米．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号专业文档珍贵文档13．能够说明“设x 是实数．若1x >，则311>-+x x ”是假命题的一个实数x 的值为______．14．已知非空集合B A ,满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,A B A B ==∅U I ；（ii ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 那么用列举法表示集合A 为_________．三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 15．（13分）已知函数()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．16．（13分）已知等比数列{}n a 满足1238a a a =，516a =． （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设21log n n b a +=，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．专业文档珍贵文档17．（13分）如图，ABD △为正三角形，AC DB ∥，4=AC ，721cos =∠ABC ．（1）求sin ACB ∠的值； （2）求AB ，CD 的长．18．（13分）已知函数()()32,3-=-=x x g x x x f ． （1）求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 在[]2,0上的最大值；（3）求证：存在唯一的0x ，使得()()00x g x f =．专业文档珍贵文档19．（14分）已知数列{}n a 满足121==a a ，22(1)nn n a a +=+-，∈n N*．．（1）写出65,a a 的值；（2）设n n a b 2=，求{}n b 的通项公式； （3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列{}182-n S 的前n 项和n T 的最小值．20．（14分）已知函数x x x x f ln )()(2-=． （1）求证：1是函数)(x f 的极值点；（2）设)(x g 是函数)(x f 的导函数，求证：()1g x >-．专业文档珍贵文档2018届上学期北京市海淀区高三期中考试试卷文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1-4：CDCD5-8：ACBD第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．2 10．0 11．2-12413．214．{}3或{}1,2,4答对一个给3分．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）15．解：（1）22sin cos 2cos 14444f ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211=⨯-=⎝⎭； （2）()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．令222242k x k πππ-+π≤+≤+π，得388k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ； ∴函数()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 16．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ． ∵1238a a a =，且2132a a a =，∴328a =，得22a =，又∵35216a a q ==，∴38q =，得2q =，11a =．∴()12n n a n -*=∈N ，∴()111221112n nn n a q S q--===---； （2）∵12nn a +=，∴21log n n b a n +==，∴11111(1)1n n b b n n n n +==-++． ∴数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 17．解：（1）∵ABD △为正三角形，AC DB ∥，∴在ABC △中，3BAC π∠=， ∴3ACB ABC ππ⎛⎫∠=-+∠ ⎪⎝⎭．∴sin sin sin cos cos sin 333ACB ABC ABC ABC πππ⎛⎫∠=+∠=∠+∠ ⎪⎝⎭， ∵在ABC △中，cos 7ABC ∠=，()0,ABC ∠∈π，∴sin 7ABC ∠=∴1sin 72ACB ∠=+=． （2）在ABC △中，4AC =，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，∴4sin 5sin AC ACBAB ABC⋅∠===∠，专业文档珍贵文档又在正ABC △中，AB AD =，3DAB π∠=，∴在ADC △中，3DAC 2π∠=，由余弦定理得：2222cos 1625245cos 613CD AC AD AC AD DAC 2π=+-⋅∠=+-⨯⨯⋅=， ∴CD．18．解：（1）由()3f x x x =-，得()231f x x '=- ，∴()12f '=，又()10f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()021y x -=-， 即220x y --=．（2）令()0f x '=，得3x =±，()f x 与()f x '在区间[]0,2的情况如下：∵()00f =，()26f =，∴函数()f x 在区间[]0,2上的最大值为6．（3）证明：设()()()333h x f x g x x x =-=-+， 则()()()233311h x x x x '=-=-+，令()0h x '=，得1x =±．()h x 与()h x '随x 的变化情况如下：则()h x 的增区间为(),1-∞-，()1,+∞，减区间为()1,1-．又()110h =>，()()110h h ->>，∴函数()h x 在()1,-+∞没有零点， 又()3150h -=-<，∴函数()h x 在(),1-∞-上有唯一零点0x ． 综上，在(),-∞+∞上存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =． 19．解：（1）31a =-，43a =，53a =-，65a =； （2）设2n n b a =，*n ∈N ，则()21222212nn n n n b b a a ++-=-=-=，∴{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()11221n b n n =+-⋅=-． （3）()212121212n n n a a -+--=-=-，*n ∈N ，∴{}21n a -是以1为首项，2-为公差d 的等差数列， ∴数列{}n a 的前n 个奇数项之和为()21122n n na d n n -+=-， 由（2）可知221n a n =-， ∴数列{}n a 的前n 个偶数项之和为()2222n a a n n +=∴22n S n =，∴218218n S n -=-．∵()22218182n n S S ----=，且21816S -=-，∴数列{}218n S -是以16-为首项，2为公差的等差数列． 由2182180n S n -=-≤可得9n ≤， ∴当8n =或9n =时，数列{}218n S -的前n 项和n T 的最小值为89169722T T -⨯===-． 20．（1）证明：()()2ln f x x x x =-的定义域为()0,+∞，由()()2ln f x x x x =-得()()()()21'21ln 21ln 1f x x x x x x x x x=-+-=-+-， ∴()'10f =．当1x >时，()21ln 0x x ->，10x ->，专业文档珍贵文档∴()'0f x >，故()f x 在()1,+∞上单调递增； 当112x <<时，()21ln 0x x -<，10x -<， ∴()'0f x <，故()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；∴1是函数()f x 的极值点．（2）由题意可知，()()21ln 1g x x x x =-+-证明：()()21ln 12ln ln 1g x x x x x x x x =-+-=-+-，()0,x ∈+∞， 令()2ln h x x x =，()ln 1t x x x =-+-，()0,x ∈+∞，()()'2ln 1h x x =+，令()'0h x =得1ex =．()'h x ，()h x 随x 的变化情况如下：∴()min12e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 即22ln e x x ≥-，当且仅当1e x =时取到等号．()1'x t x x-=，令()'0t x =得1x =，()'t x ，()t x 随x 的变化情况如下：∴()()min 10t x t ==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号． ∴()22ln ln 11ex x x x +-+->->-．即()1g x >-．。

2018年北京中关村外国语学校高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度所得图像关于轴对称，则的一个值是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D2. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是(A)(B)(C)(D)参考答案：D3. 已知集合，则等于（）A、 B、 C、 D、参考答案：D4. 的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A略5. 设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（?R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴?R A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（?R A）∩B=（1，+∞）．故选C6. 已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）C略7. 若实数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若（）是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：8. 设直线平面，经过外一点与都成角的直线有且只有：( )（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条参考答案：【解】：当时，直线满足条件；又由图形的对称性，知当时，直线满足条件；故选B【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；9. 如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是A． B． C． D．参考答案：C略10. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则实数的值为（）A．2 B．1 C．-1 D．-2参考答案：试题分析：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得x=1,y=1, 即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x-y-a=0上，∴3-1-a=0，则a=2，故选：A．考点：简单的线性规划二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设a+b=M（a＞0，b＞0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式，ab≤（）2=可求ab的最大值，结合已知即可求解M 【解答】解：∵a+b=M（a＞0，b＞0），由基本不等式可得，ab≤（）2=，∵ab的最大值为2，∴=2，M＞0，∴M=2，故答案为：．12. 在高为100米的山顶处，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为和，则塔的高为_____米；参考答案：如图所示，设塔高为，由题知，则，在中，，则在中，由正弦定理得，解得（米）.13. 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M 处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.（1）求的值；（2）已知实数，求函数，的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：略14. （不等式选讲）不等式对于任意恒成立的实数a的集合为。

2018北京市海淀区高三数学（文科）（上）期末 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为 (A) （B ） （C ）（D ）（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A) 2a b <（B ） 2ab b <（C ）1122a b < （D ）33a b <（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5 (C) 6 （D ）7（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0 （D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B ）2（C ）23或23- （D ）26或26- （6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅BD CD 的取值范围是(A) 31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，（8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上.若=PM PQ 长度的最小值为1 （B（C1 （D）5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2018届高三上学期期末数学试题（文科）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】是虚数单位，，化简得到根据复数相等的概念得到实数的值为.故答案为：A。

2. 已知，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，若，则A：，当两个数值小于0时就不一定成立；B. ，当b=0时，不成立；C. ，当两者均小于0时，根式没有意义，故不正确；D. ，是增函数，故正确。

故答案为：D。

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A.B.C.D.【答案】B【解析】根据平均数的概念得到根据选项得到：. 故答案为：B 。

5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A.B.C.或D.或【答案】D【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径. 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D .6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件, 【答案】C【解析】两直线平行的充要条件为 且故.故是两直线平行的充分必要条件。

故答案为：C 。

7. 在中，是的中点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】根据向量的运算得到设BC=x,,代入上式得到结果为.故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。

解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

海淀区2018年高三年级期末练习数学(文科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则 A ．a b c =<B ．a b c << C ．a c b =>D ．a c b >>2.复数i(i 1)+等于A. 1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --3.已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为 A. 12- B.12C. 2D.2- 4.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为 A ．10000B ．20000 C ．25000D ．300005阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为 A.15B.14 C. 7D.66.已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是 A.(3,1)- B. (0,1)C. (2,2)- D. (0,)+∞7.在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是A ．30B >B ．2A B =C ．c b <D ．2S b ≤8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BDAC O =，1M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面 1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为ABC．1 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.双曲线2213y x -=的离心率为___.10.某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.11.已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为________.12.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11222,4a b a b ==-==，则满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是______.13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为___；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时,980小时, 1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为___小时.14.直线1x =与抛物线C :24y x =交于,M N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点， 记(,)OP aOM bON a b =+∈R ，其中O 为抛物线C 的顶点. （1）当OP 与ON 平行时，b =________； （2）给出下列命题：①,a b ∀∈R ，PMN ∆不是等边三角形； ②∃0a <且0b <，使得OP 与ON 垂直； ③无论点P 在准线上如何运动，1a b +=-总成立. 其中，所有正确命题的序号是___.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

2018--2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷2018．1一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若πα713=，则（ ） A ．sin α>0且cos α>0 B ．sin α>0且cos α<0 C ．sin α<0且cos α>0 D ．sin α<0且cos α<02．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-2 3．已知m ，l 是异面直线，那么①必存在平面α，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直； ④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等。

其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④4．（理）要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数)42sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位（文）要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S ，则圆锥的侧面积等于（ ）A ．S π21B ．πSC ．2πSD ．4πS6．已知点A （-2，0）及点B （0，2），C 是圆122=+y x 上一个动点，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．22-B ．22+C ．2D ．222- 7．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3608．设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图。

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2018.01学校 班级 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（（ （（A ） （B ） （C ） （D ）（4）已知向量1(1sin ,1),(,1sin ),2θθ=-=+a b 且//a b ，则锐角θ等于 （ ）(A) 30︒(B) 45︒(C)60︒ (D) 75︒（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（ ）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③ （6）在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项之和为( )（A ）39 （B ）52（C ）78（D ） 118（7）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB 的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ( ) （A（B ）2 （C）3 （D）4（8）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ） 5个 （D ）无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）把函数sin 2y x =的图象按向量(,0)6π-a =平移得到的函数图象的解析式为 . （11）在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 为的棱1BB 的中点，则异面直线1B D 与AM 所成角的余弦值是______________.（12）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（13）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为 ；若A ，B 为S 内的两个点，则||AB 的最大值为 .（14）平面α内有四个点，平面β内有五个点.从这九个点中，任取三点最多可确定 个平面；任取四点最多可确定 个四面体. (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（15）（本小题共13分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题共13分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求1321n a a a ++++.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ） 求证： //SB 平面ACM ； （II ）求二面角D AC M --的大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（18）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和BSNMDCBA报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率； （Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（19）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过定点.（20）（本小题共14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N .（I ）求a 的值； （II ）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）对于（II ）中的数列{}n a ，求证：1235k a a a a ++++<(1,2,3)k =.北京市海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文科） 参考答案及评分标准一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) 2 (10)sin(2)3y x π=+(12) (,1)(1,1)-∞--(13) (14) 72，120 三.解答题 （本大题共6小题,共80分） (15) （共13分）解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+-2cos2x x =+ 4分 2sin(2)6x π=+5分∴,()[2,2]T f x π=∈- 7分 ﹙Ⅱ﹚由()22Af =，有()2sin()226A f A π=+=， 8分∴sin() 1.6A π+=∵0A π<<，∴62A ππ+=,即3A π=. 10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，∴2()0bc -=. 12分 ∴,b c = ∴3B C π==.∴ABC ∆为等边三角形. 13分(16) （共13分）解：（I ）∵111==a S ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列，∴12n n S -=. 2分 又当2n ≥时，2212(21)2.n n n n n a S S ---=-=-=. 5分∴21 (1),2 (2).n n n a n -=⎧=⎨⎩≥ 7分（II ） 3521,,,n a a a + 是以2为首项，以4为公比的等比数列， 9分∴35212(14)2(41)(14)3n n n a a a +--+++==-. 11分 ∴2113212(41)211+33n n n a a a ++-++++== 13分(17) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB . 2分又∵ME ⊂平面ACM ， 3分 又SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM . 4分 （Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分 ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角. 7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE ====，∴tan aFQM ==.∴ 二面角D AC M --的大小为 9分 （III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC 11分 ∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 14分 方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分 由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==, 7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n . 8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n , ∴二面角D AC M --的大小为9分 （III ）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1,1CS =--， 10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS ∴⊥ 12分又SC AN ⊥且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分（18）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C == 4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756.（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P 8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704.（III ） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分 因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪.所以()()2224()0.30.70.2646P C C == 12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646. 注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（19）（共14分）解：(I) 设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠ 1分 由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得22200.y py p +-= 3分 由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2p y y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2pF 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p = 6分∴抛物线S 的方程为216.y x = 7分 （II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ 9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y += 10分 将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k= 从而22222,16P Q P Q y y b x x k⋅==∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-，此时动直线PQ 过定点(16,0). 12分 当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥， ∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ 亦过点(16,0). 13分 综上所述，动直线PQ 过定点(16,0)M . 14分(20)(共14分)解：（I ）由已知，可得()2f x ax b '=+， 1分∴ 22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得12a =. 3分（II ）∵1112n n n a a +=+，∴1112n n n a a +-=.由211121a a -=⨯ 321122a a -=⨯ 431123a a -=⨯()11121n n n a a --=- ，累加得2114n n n a -=- (2,3)n =. 6分∴211(1)44(21)n n n a n -==-+(2,3)n =. 当 12414(21)n a n ===-时,7分∴24(21)n a n =-(1,2,3)n =. 8分（III ）当1k =时，由已知145a =<显然成立； 9分当2k …时，1111(1)1(1)4k a k k k kk k =<=----+（2k …） 11分则1231111114[(1)()()]552231k a a a a k k k++++<+-+-++-=-<- 13分 综上，1235k a a a a ++++<(1,2,3)k =成立. 14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（文科）2018.5一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．24x y = 10．1, 11．1,23π 12． 13．35 14. ①②③ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。

三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=.因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+.所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-.所以21(1,2,3,).n a n n =-= ………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ， 所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩ 所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-= ………………6分 （Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列， 所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122nn n -+-=--221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --.………………13分 16．（本小题13分）解：（Ⅰ）1()2cos (sin )2f x x x x =2sin cos x x x =+11cos 2sin 222x x +=+sin(2)3x π=-所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==.所以曲线()y f x =的相邻两条对称轴的距离为2T ，即2π. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ()sin(2)3f x x π=-当[0,]x α∈时，2[,2]333x πππα-∈--. 因为sin y x =在[,]22ππ-上单调递增，且()f x 在[0,]α上单调递增， 所以[,2][,]3322ππππα--⊆-， 即0232αππα>⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得5012απ<≤. 故α的最大值为512π. …………………13分17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥,又,,PF CF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以//,DC AE DC AE =.又点E 为AB 的中点，所以//,DC EB DC EB =.所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE .又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF .因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， 而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件，所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 令()0f x =，得220,.x a x a +==-当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x ++-=. 令32()g x x x ax a =++-(1)x >,则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增.所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+.当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………13分20．（本小题14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ===.所以长轴长为2a =，离心率c e a == …………………4分 （Ⅱ）方法1：证明：显然直线P A 1、Q A 2、Q A 1、P A 2都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线P A 1的方程为1(y k x =，Q A 2的方程为2(y k x =，联立可得M x =同理可得N x =. 下面去证明141.2k k =-设00(,)P x y ，则220022x y +=.所以22001422001222y y k k x y ====---. 同理231.2k k =-所以121211222()1122N M k k x x k k --+===---. 所以直线MN 垂直于x 轴. …………………14分方法2：设直线l 方程为1122,(,),(,)y kx m P x y Q x y =+.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=. 当0∆>时，2121222422,1212km m x x x x k k --+==++. 直线1A P方程为y x =+，直线2A Q方程为y x =-，x x +=，得x=21121221[((((y x y x x y x y x+--=+其中，21122112((()(()(y x y x kx m x kx m x-=++-+1212()()x x m x x=++-+12212124()12())kmm x xkm x xm x x-=+-++=+-=-12211221(()(()(y x y x kx m x kx m x-+++-+++1212212()()kx x m x x x x=+++-22122212122242()12124()12)m kmk m x xk kkx xkx x--=++-++-=+-+=-所以2Mkxm-=，即点M的横坐标与,P Q两点的坐标无关，只与直线l的方程有关. 所以2N Mkx xm-==，直线MN垂直于x轴. …………………14分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科） 2019.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =（A ）6 （B ）8 （C ）16 （D ）32 （3）若lg lg a -=221，则a =（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40 （4）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则-=a b（A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)- （D ）(1,1)-- （5）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12± （C ）1± （D ）（6）已知函数()af x x，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞0上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域不同（B ）存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值 （C ）把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数（8）已知集合{1,2,3,4,5,6}I =，{(,)|,}A s t s I t I =∈∈. 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --<，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）5 （B ）6 （C ）11 （D ）13n 0,0k S == S S n =+1k k =+S M ≥ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。