2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科) word解析版

（第7题）ACBD2013年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（新课标I 文科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、已知集合{1,2,3,4}A =，2{,}B x x n n A ==∈，则A B =（ ） A 、{1,4} B 、{2,3} C 、{9,16} D 、{1,2}2、212(1)ii +=-（ ） A 、112i -- B 、112i -+ C 、112i + D 、112i -3、从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A 、12B 、13C 、14D 、164、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的渐近线方程为（ ）A 、14y x =±B 、13y x =±C 、12y x =± D 、y x =±5、已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、p q ∧B 、p q ⌝∧C 、p q ∧⌝D 、p q ⌝∧⌝6、设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A 、21n n S a =-B 、32n n S a =-C 、43n n S a =-D 、32n n S a =- 7、执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的s 属于（ ） A 、[3,4]- B 、[5,2]- C 、[4,3]- D 、[2,5]- 8、O 为坐标原点，F 为抛物线C：2y =的焦点，P 为C 上一点，若PF =POF ∆的面积为（ ）A 、2 B、 C、 D 、49、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图象大致为（ ）10、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）A 、10B 、9C 、8D 、511、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A 、168π+B 、88π+C 、1616π+D 、816π+12、已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A 、(,0]-∞B 、(,1]-∞C 、[2,1]-D 、[2,0]-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13、已知两个单位向量,a b 的夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则t =______；14、设,x y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______；15、已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______；16、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.俯视图左视图（第11题）（第18题）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.18、（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日均增加的睡眠时间（单位：h ）.试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒. （1）证明：1AB AC ⊥； （2）若2AB CB ==，1AC 111ABC A B C - 的体积.20、（本小题满分12分）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+. （1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.21、（本小题满分12分）已知圆M ：22(1)1x y ++=，圆N ：22(1)9x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号.22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .（1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径.23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<.24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+.（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-时，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.1（第19题）（第22题）。

绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =I （ ） （A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。

若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1yxDBA OC6、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。

以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）24 （B ）12（C ）22 （D ）3 10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。

绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则AB =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。

若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）yxDBA OC（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1 6、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。

以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）2 （B ）12（C ）2 （D ）3 10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝( )．A．∅B．{2}C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}【答案】B【考点】本题主要考查集合的运算。

【解析】{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D【考点】本题主要考查简单几何体的三视图，意在考查考生数形结合的能力。

【解析】从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )．A．A B．BC．C D．D【答案】B【考点】本题主要考查复数的集合表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解。

【解析】设z＝a＋b i，则共轭复数为z＝a－b i，∴表示z与z的两点关于x轴对称．故选B．4．(2013四川，文4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )．A．⌝p：∃x∈A,2x∈BB．⌝p：∃x∉A,2x∈BC．⌝p：∃x∈A,2x∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B 【答案】C【考点】本题主要考查含有一个量词的命题否定。

【解析】原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ．5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x ＝0的距离是( )．A ．．2 C ．1 【答案】D【考点】本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质，意在考查考生数形结合的思想。

【解析】6．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，−π3B ．2，−πC ．4，−πD ．4，π3【答案】A【考点】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查考生基本方法的掌握和数形结合【解析】由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )．又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-.故选A ．7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．【答案】A【考点】本题主要考查茎叶图和频率分布直方图，意在考查考生整理、收集数据的能力。

2013年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.16.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16,A是椭圆与x 9.(5分)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1－QC1D的体积.(锥体体积公式：,其中S为底面面积,h为高)20.(13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4,点O是坐标原点.直线l：y＝kx与圆C交于M,N 两点.(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.21.(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1＜x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,证明：x2－x1≥1；(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.2013年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},∴A∩B＝{2}.故选：B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解：由三视图知,从正面和侧面看都是梯形,从上面看为圆形,下面看是圆形,并且可以想象到该几何体是圆台,则该几何体可以是圆台.故选：D.【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可.【解答】解：两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称. 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选：B.【点评】本题考查复数与共轭复数的关系,复数的几何意义,基本知识的考查.4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,∴命题p：∀x∈A,2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A,2x∉B.故选：C.【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.1【分析】由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线的距离.【解答】解：由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),∴点F(2,0)到直线的距离d＝＝1.故选：D.【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键.6.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T＝＝π,解得ω＝2.由函数当x＝时取得最大值2,得到＋φ＝＋kπ(k∈Z),取k＝0得到φ＝－.由此即可得到本题的答案.【解答】解：∵在同一周期内,函数在x＝时取得最大值,x＝时取得最小值,∴函数的周期T满足＝－＝,由此可得T＝＝π,解得ω＝2,得函数表达式为f(x)＝2sin(2x＋φ)又∵当x＝时取得最大值2,∴2sin(2•＋φ)＝2,可得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)∵,∴取k＝0,得φ＝－故选：A.【点评】本题给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性质、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图.故选：A.【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用,关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16【分析】先根据条件画出可行域,设z＝5y－x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点B(8,0)时的最小值,过点A(4,4)时,5y－x最大,从而得到a－b的值.【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域,平移直线5y－x＝0,经过点B(8,0)时,5y－x最小,最小值为：－8,则目标函数z＝5y－x的最小值为－8.经过点A(4,4)时,5y－x最大,最大值为：16,则目标函数z＝5y－x的最大值为16.z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是：24.故选：C.【点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.9.(5分)从椭圆上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.【分析】依题意,可求得点P 的坐标P(－c,),由AB ∥OP ⇒k AB ＝k OP ⇒b ＝c,从而可得答案.【解答】解：依题意,设P(－c,y 0)(y 0＞0),则＋＝1,∴y 0＝,∴P(－c,),又A(a,0),B(0,b),AB ∥OP,∴k AB ＝k OP ,即＝＝,∴b ＝c.设该椭圆的离心率为e,则e 2＝＝＝＝,∴椭圆的离心率e ＝.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得点P的坐标(－c,)是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]【分析】根据题意,问题转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1].由y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,得到函数y＝f(x)的图象与y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1].因此,将方程化简整理得e x＝x2－x＋a,记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,由零点存在性定理建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围.【解答】解：由f(f(b))＝b,可得f(b)＝f－1(b)其中f－1(x)是函数f(x)的反函数因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立”,转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1],∵y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,∴y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象的交点必定在直线y＝x上,由此可得,y＝f(x)的图象与直线y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],根据,化简整理得e x＝x2－x＋a记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,在同一坐标系内作出它们的图象,可得,即,解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1,e]故选：A.【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数,在存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立的情况下,求参数a的取值范围.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是 1 .【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【解答】解：＝＝1.故答案为：1.【点评】本题考查对数的运算性质,基本知识的考查.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝. 【分析】依题意,＋＝,而＝2,从而可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴＋＝,又O为AC的中点,∴＝2,∴＋＝2,∵＋＝λ,∴λ＝2.故答案为：2.【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝36 .【分析】由题设函数在x＝3时取得最小值,可得f′(3)＝0,解此方程即可得出a的值.【解答】解：由题设函数在x＝3时取得最小值,∵x∈(0,＋∞),∴得x＝3必定是函数的极值点,∴f′(3)＝0,f′(x)＝4－,即4－＝0,解得a＝36.故答案为：36.【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值,解题的关键是理解“函数在x＝3时取得最小值”,将其转化为x＝3处的导数为0等量关系.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα,α∈(,π),∴cosα＝－,sinα＝＝,∴tanα＝－,则tan2α＝＝＝.故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是(2,4) .【分析】如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,从而得到四边形ABCD对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可.【解答】解：如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和为：PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC ≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1),∴AC,BD的方程分别为：,,即2x－y＝0,x＋y－6＝0.解方程组得Q(2,4).故答案为：(2,4).【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.【分析】等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4,解方程可求q,a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：设等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4联立可得,a1(q－1)＝2,q2－4q＋3＝0∴或q＝1(舍去)∴＝【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识,考查运算求解的能力17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值；(Ⅱ)利用,b＝5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小,然后求解向量在方向上的投影.【解答】解：(Ⅰ)由,可得,即,即,因为0＜A＜π,所以.(Ⅱ)由正弦定理,,所以＝,由题意可知a＞b,即A＞B,所以B＝,由余弦定理可知.解得c＝1,c＝－7(舍去).向量在方向上的投影：＝ccosB＝.【点评】本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能力转化思想.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(i＝1,2,3)；(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【分析】(I)由题意可知,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；(II)当n＝2100时,列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率的表格,再比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.【解答】解：(I)当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1＝；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2＝；当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3＝；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l,说明理由,并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,求三棱锥A 1－QC 1D 的体积.(锥体体积公式：,其中S 为底面面积,h 为高)【分析】(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平面A 1BC 平行.等腰三角形ABC 中,根据等腰三角形中线的性质可得AD ⊥BC,故l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)过点D 作DE ⊥AC,证明DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,求出AD 的值,可得 DE 的值,从而求得 ＝的值,再根据三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,由于直线l 不在平面A 1BC 内,而BC 在平面A 1BC 内,故直线l 与平面A 1BC 平行.三角形ABC 中,∵AB ＝AC ＝2AA 1＝2,∠BAC ＝120°,D,D 1分别是线段BC,B 1C 1的中点,∴AD ⊥BC,∴l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l. 而AA 1∩AD ＝A,∴直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,过点D 作DE ⊥AC, ∵侧棱AA 1⊥底面ABC,故三棱柱ABC －A 1B 1C 为直三棱柱, 故DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,∵AC ＝2,∠CAD ＝60°,∴AD ＝AC •cos60°＝1,∴DE ＝AD •sin60°＝.∵＝＝＝1,∴三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE ＝×1×＝.【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.20.(13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点.直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.【分析】(Ⅰ)将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,根据两函数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围；(Ⅱ)由M、N在直线l上,设点M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2,以及|OQ|2,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求出x1＋x2与x1x2,用k表示出m,由Q在直线y＝kx上,将Q坐标代入直线y＝kx中表示出k,代入得出的关系式中,用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式,并求出m的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中,得：(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*),根据题意得：△＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0,即k2＞3,则k的取值范围为(－∞,－)∪(,＋∞)；(Ⅱ)由M、N、Q在直线l上,可设M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),∴|OM|2＝(1＋k2)x12,|ON|2＝(1＋k2)x22,|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2,代入＝＋得：＝＋,即＝＋＝,由(*)得到x1＋x2＝,x1x2＝,代入得：＝,即m2＝,∵点Q在直线y＝kx上,∴n＝km,即k＝,代入m2＝,化简得5n2－3m2＝36,由m2＝及k2＞3,得到0＜m2＜3,即m∈(－,0)∪(0,),根据题意得点Q在圆内,即n＞0,∴n＝＝,则n与m的函数关系式为n＝(m∈(－,0)∪(0,)).【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：根的判别式,根与系数的关系,两点间的距离公式,以及函数与方程的综合运用,本题计算量较大,是一道综合性较强的中档题.21.(14分)已知函数,其中a 是实数.设A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))为该函数图象上的两点,且x 1＜x 2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2＜0,证明：x 2－x 1≥1； (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【分析】(I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函数f(x)的单调区间；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2),再利用f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,斜率之积等于－1,得出(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,最后利用基本不等式即可证得x 2－x 1≥1；(III)先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A 、B 处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a ＝lnx 2＋()2－1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a 的取值范围.【解答】解：(I)函数f(x)的单调减区间(－∞,－1),函数f(x)的单调增区间[－1,0),(0,＋∞)；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2), 函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,有f′(x 1)f′(x 2)＝－1, 当x ＜0时,(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,∵x 1＜x 2＜0,∴2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0, ∴x 2－x 1＝[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥＝1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,有x 2－x 1≥1； (III)当x 1＜x 2＜0,或0＜x 1＜x 2时,f′(x 1)≠f′(x 2),故x 1＜0＜x 2, 当x 1＜0时,函数f(x)在点A(x 1,f(x 1))处的切线方程为y －(x ＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)；当x 2＞0时,函数f(x)在点B(x 2,f(x 2))处的切线方程为y －lnx 2＝(x －x 2)；两直线重合的充要条件是,由①及x 1＜0＜x 2得0＜＜2,由①②得a ＝lnx 2＋()2－1＝－ln＋()2－1,令t ＝,则0＜t ＜2,且a ＝t 2－t －lnt,设h(t)＝t 2－t －lnt,(0＜t ＜2)则h′(t)＝t －1－＝,∴h(t)在(0,2)为减函数,则h(t)＞h(2)＝－ln2－1,∴a ＞－ln2－1,∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(－ln2－1,＋∞).【点评】本题以函数为载体,考查分段函数的解析式,考查函数的单调性,考查直线的位置关系的处理,注意利用导数求函数的最值.。

绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则AB =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。

若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ） （A ）23 （B ）2yxDBA OC（C）3（D）16、函数()2sin()(0,)22f x xππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A）2,3π-（B）2,6π-（C）4,6π-（D）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。

以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（）8、若变量,x y满足约束条件8,24,0,0,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x=-的最大值为a，最小值为b，则a b-的值是（）（A）48（B）30（C）24（D）169、从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//AB OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）（A）24（B）12（C）22（D）3210、设函数()xf x e x a=+-（a R∈，e为自然对数的底数）。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013·四川卷(文科数学)1． 设集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{－2，2}，则A ∩B ＝( ) A ． B ．{2}C ．{－2，2}D ．{－2，1，2，3}1．B [解析] 集合A 与B 中公共元素只有2.2． 一个几何体的三视图如图1－1( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．D [解析] 结合三视图原理，可知几何体为圆台．3． 如图1－2，在复平面内，点A z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D3．B [解析] 复数与其共轭复数的几何关系是两者表示的点关于x 轴对称． 4． 设x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：x ∈A ，2x ∈B B ．⌝p ：x A ，2x ∈BC ．⌝p ： x ∈A ，2x BD ．⌝p ： x A ，2x B 4．C [解析] 注意“全称命题”的否定为“特称命题”． 5．， 抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．15．D [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2，0)，该点到直线x －3y ＝0的距离为d ＝|2|12＋（－3）2＝1.6． 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x ＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈)，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3.7．， 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )7．A [解析] 首先注意，组距为5，排除C ，D ，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.8． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．168．C [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为15，可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24.9． 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.329．C [解析] 由已知，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP 得－b a ＝b 2a －c ，整理得b ＝c ，从而a ＝b 2＋c 2＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22.10．， 设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1]10．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b ∈[0，1]，如果f(b)＝c ＞b ，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c ＞b ，不可能有f(f(b))＝b ；同理，当f(b)＝d ＜b 时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d ＜b ，也不可能有f(f(b))＝b ；因此必有f(b)＝b ，即方程f(x)＝x 在[0，1]上有解，即e x ＋x －a ＝x.因为x ≥0，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，所以a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0. 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，e x ＞e ＞1，－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g ′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．11． lg 5＋lg 20的值是________．11．1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg (5·20)＝lg 100＝lg 10＝1.12． 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.12．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.13． 已知函数f(x)＝4x ＋ax(x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.3．36 [解析] 由基本不等式性质，f(x)＝4x ＋a x (x>0，a>0)在4x ＝a x ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.。

2013年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）3．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2B6．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）B7．（5分）（2013•四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）8．（5分）（2013•四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，9．（5分）（2013•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（OB10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）lg+lg的值是．12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=．13．（5分）（2013•四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a=．14．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．15．（5分）（2013•四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•四川）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）20．（13分）（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）【选择题】【1】．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则AB =（ ）．（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 【2】．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）． （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台【3】．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）．（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D【4】．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）． （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉【5】．抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）．（A）（B ）2 （C（D ）1【6】．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）．（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【7】．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）．【8】．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）．（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）16【9】．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是( )．（A ）（B ）12 （C （D【10】．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）.若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）．（A ）[1,e] （B ）[1,1e]+ （C ）[e,1e]+ （D ）[0,1] 【填空题】【11】．的值是 ．【12】．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ．【13】．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a = ． 【14】．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是 ．【15】．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是 ． 【解答题】【16】．在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.【17】．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-.（1）求sin A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影.【18】． 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【19】．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠=，1D D ，分别是线段11BC B C ，的中点，点P 是线段AD 上异于端点的点.（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，请说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积.（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）【20】．已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+,请将n 表示为m 的函数.【21】．已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，，其中a 是实数.设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <.（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥；（3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.1【参考答案】 【选择题】 【1】．B 【2】．D 【3】．B 【4】．C 【5】．D 【6】．A 【7】．A 【8】．C 【9】．C 【10】．A 【填空题】 【11】．1 【12】．2 【13】．36 【14【15】．()2,4【解答题】【16】．解：设该数列的公比为q ，由题意可知，212132,43,a a a a a -=⎧⎨=+⎩即1121112,43+,a q a a q a a q -=⎧⎨=⎩解得1=1,3,a q ⎧⎨=⎩ 所以1331132n n n S --==-．【17】．解：（1）依题意可知cos()cos sin()sin()A B B A B A C ---+3cos()cos sin()sin 5A B B A B B =---=-，则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-，又0,A π<< 所以4sin 5A =； （2）由正弦定理，得sin sin b A B a ==cos B =，又由余弦定理有2cos 2B ==，解得 1c =或7c =-（舍去）， 故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2cos 2BA BC BBA BC c B BCBC===． 【18】．解：（1）当1i =时，即输出的数为奇数，奇数有12个，则112P =; 当3i =时，即输出的数为能整除3的偶数，有4个，则316P =; 当2i =时，即输出的数为剩下的8个，则213P =， 故112P =，213P =，316P =; （2）甲： 1231027376697===210021002100P P P ，，；乙：1231051696353===210021002100P P P ，，, 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.【19】．解：（1）由题意可知，直线//l BC ，又AB AC =，D 是BC 的中点，则BC AD ⊥， 又在三棱柱11ABC A B C -中，1BC DD ⊥，且111,A DD ADD D A ⊂，则11AD B D CA ⊥，所以直线l ⊥平面11ADD A .（2）因为11//AC AC ，则AC 上任意一点到面1QC D 的距离相等， 则11111111113A QC D A CC D A CC D CC D V V V S A D ---===．又122AB AC AA ===，120BAC ∠=，则11C D =111A D =，则11332CC D S ==，所以11113A CC D V -==． 【20】．解：（1）几何法：直线与圆有两个交点，所有圆心到直线的距离小于半径，2k <⇒>或k <所以k 的取值范围为(,(3,)-∞+∞.代数法：直线与圆有两个交点，方程22(4)4y kx x y =⎧⎨+-=⎩有两解，即22(1)8120kx kx +-+=有两根，22(8)412(1)0k k k ∆=-⨯⨯+>⇒>或k <所以k 的取值范围为(,(3,)-∞+∞.（2）(,)Q m n 在直线上，所以n km =，直线方程：n y x m=， 设1122(,),(,)n n A xx B x x m m . 22222||||OQ OQ m n==+， 同理22222222221211,||()||()m m OM m n x ON m n x ==++， 1222222222212228812012(4)4mn n x x y x m n n m n x x m m m mx y x x m n ⎧+=⎧⎪=+⎪⎪+⇒-+=⇒⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎪+⎩， 222211||||||OQ OM ON =+，即2222222222122()()m m m n m n x m n x =++++，得((0,3)n m =∈． 【21】．（1）解：()22(0)f x x x '=+<， 令()0f x '>，得1x >-.又()ln ,0f x x x =>，()f x ∴的单调增区间为[1,0),(0,)-+∞；减区间为(,1)-∞-.（2）证明：由（1）'()22(0)f x x x =+<，122222A B k x k x ∴=+=+，.由题意得1212(22)(22)1(1,10)x x x x +⋅+=-<--<<，121(1)(1)4x x ∴+⋅+=-，12114(1)x x ∴+=-+.210x +>，2121221(1)(1)(1)14(1)x x x x x x ∴-=+-+=++≥=+.（3）设ln y x =上一点000(,)(0)C x y x >在切线上，且直线与抛物线切于y 轴左侧，则()00021ln 2y x x x x y x x a ⎧-=-⎪⎨⎪=++⎩只有一个负解， 2002ln 1xx x a x x ∴++=+-有唯一负根， 2001(2)1ln 0x x a x x ∴+-++-=有唯一负根， 2001(2)4(1ln )0a x x ∴∆=--+-=且0120>-x ，020011ln 4a x x x ∴=-+)21(0>x . 令)2,0(1∈=x u ，21()ln 4g u u u u =--，211112()120u u g u u u u--'--=<=在(0,2)上恒成立，()g u ∴在(0,2)上递减，故12ln )2()(--=>=g u g a .∴a 的取值范围为),12ln (+∞--.。