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定量分析中的误差和数据处理

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第二章 定量分析中的误差及结果处理

第二章 定量分析中的误差及结果处理
常量组分：化学分析法 —— 操作方便，准确度高 微量组分：仪器分析法 —— 灵敏度高 二、减少随机误差（偶然误差）
增加平行测定次数
三、消除系统误差 （一）对照试验 —— 检验有无方法误差
（二）空白试验 —— 检验有无试剂误差
试样 + 试剂 试剂 则 样品含量
同一条件 同一条件
测定结果 X1
测定结果 X0 ( X0—空白值
二、偏差与精密度
思考题:
甲乙两位同学对同一样品进行了五次重复测定, 测定结果分别如下: 甲： 0.3，0.2，0.3，0.3，0.4， x = 0.3 乙: = 0.3 0.1, 0.6, 0.2, 0.1, 0.5,
x
(1)甲同学测定的几个结果中哪个结果更好?乙同 学的呢? (2)两位同学的测定水平哪个更好?如何评价?
5 前面是偶数 —— 舍
5 后面全为 0 或无数字 尾数= 5时 5 后面有任一不为 0 的数 —— 入 5 前面是奇数 —— 入
例：将下列数字修约为三位有效数字
0. 3216 解: 0.322 21. 2499 21.2 10. 2500 10.2 10. 3500 10.4 3.42 3.415 10. 25001
36.50 37.00
平均值
37.50
38.00
真值
(三）准确度和精密度的关系
1、精密度高，准确度一定高。（ ） 2、精密度高，准确度一定低 （ ） 3、精密度的高低不会影响准确度（ ） 4、要有高的准确度，必须要有高的精密度（ ）
精密度是保证准确度的先决条件.精密度差, 所测结果不可靠,就失去了衡量准确度的前提, 高的精密度,不一定能保证高的准确度.
主要来源有
仪器误差:
试剂误差： 操作误差 ：

定量分析的误差和数据处理

定量分析的误差和数据处理

查表：P 0.95, f 6 1 5时，t表 2.57
t计算 t表说明 x与差异异著，有系统误差
1.4.2 两组数据平均值的比较
为了比较两组数据 x1、s1、n1与 x2、s2、n2间是
否存在显著性差异，需首先用F检验法检验两 组测定结果的精密度s1、s2之间是否差异显著。
定量分析的误差和数据处理
测定结果的两个特征
准确度：即人、仪器、方法 所得结果也不可能绝对准确。
结论：定量分析中误差是不可避免的，定量分析的结 果只能是真值的近似值。误差是客观存在的。真值是 测不出的。
测定结果的第二个特征
精确度：同一个人、同一样品、相同条件下、多次平 行测定，所得结果也不可能完全相同 这是一个自然规律
标准偏差s也影响置信区间。“做多次平行测定 取平均值以减少随机误差对准确度的影响” 的前提是必须保证测定的精密度。
1.3.3 可疑值的取舍
（1）由过失引起必须舍弃； （2）非过失引起，必须根据统计学原理决定其
取舍。
取舍的意义：
无限次平行测定，随机误差遵从态分布规律， 可大可小，且绝对值相等的正负差出现机会相 同，故任一测定结果，不论偏差小都不应舍 弃；
相对标准偏差。
解： x 10.43%
d di 0.18% 0.036%
n
5
d 100% 0.036% 100% 0.35%
x
10.43%
s
d
2 i

8.610 7 4.610 4 0.046%
n 1
4
s 100% 0.046% 100% 0.44%
英国化学家W.Gosset(戈赛特)根据统计学原理，提出 t—分布，描述有限数据分布规律

定量分析中的误差及数据处理

定量分析中的误差及数据处理
（2）仪器误差：仪器不符合要求 例： 天平两臂不等 砝码未校正 滴定管、容量瓶未校正
（3）试剂误差 所用试剂纯度差，有杂质。
例：去离子水不合格 试剂级别不合适
（4）主观误差 操作人员主观因素造成。
例：指示剂颜色辨别偏深或偏浅 滴定管读数位置不正确
2. 偶然误差产生的原因 （1）偶然因素 (2）滴定管读数
平均偏差：
d
1 n
n
| xi
i 1
x
|
相对平均偏差： d 100 % x
特点：简单
缺点：大偏差得不到应有反映
2. 标准偏差 标准偏差的计算分两种情况：
(1) 当测定次数趋于无穷大时：
总体标准偏差 ： X 2 / n
μ 为无限多次测定 的平均值（总体平均值）, 即
lim
n
1 n
n i 1
3. 过失误差产生的原因
(三) 误差减免方法 1. 系统误差的减免 方法误差—— 采用标准方法,对比实验 仪器误差—— 校正仪器 试剂误差—— 作空白实验 2. 偶然误差的减免 增加平行测定的次数
思考题：
1．下列叙述错误的是：
A．方法误差属于系统误差 B．系统误差包括操作误差 C．系统误差又称可测误差 D．系统误差呈正态分布 E. 系统误差具有单向性
定量分析中的误差和数据处理
分析测试的误差与偏差 误差产生的原因及其减免方法 分析结果的数据处理 分析测试结果准确度的的评价 有效数字及其运算规则
一、分析测试的误差与偏差
误差和准确度 偏差和精密度 准确度和精密度的关系
1.误差和准确度
准确度: 测定值与真实值的接近程度。 准确度的高低用误差来衡量。
C 20.6，20.9，21.1，21.0 D 20.8，20.6

定量分析中的误差及数据处理

定量分析中的误差及数据处理
进行预测和控制。
多元线性回归
总结词
多元线性回归是定量分析中常用的方法，用于探索多个自变量与一个因变量之 间的线性关系。
详细描述
多元线性回归通过最小二乘法拟合一个平面或一个超平面，使得因变量的观测 值与预测值之间的残差平方和最小。这种方法可以帮助我们了解多个自变量对 因变量的影响程度和方向，并可进行预测和控制。
对各种不确定度进行量化评估，计算其对最终测量结 果的影响。
不确定度报告
将不确定度评估结果整合到测量报告中，为用户提供 完整的数据分析结果。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是定量分析中常用的方法，用于探索一个因变量与一个自变量之间的线性 关系。
详细描述
一元线性回归通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与预测值之间的残差 平方和最小。这种方法可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关联程度和方向，并可
Box-Cox变换
离散化
是一种通用的数据变换方法，通过选择适当 的λ值，使数据达到最合适的形式。
将连续变量转换为离散变量，便于分类或 决策树算法的使用。
数据插值与外推
线性插值
基于已知的数据点，通过线性函数进行插值， 得到未知点的值。
样条插值
通过样条函数进行插值，可以更好地处理数 据的弯曲程度。
多项式插值
05
数据分析与可视化
描述性统计
总结词
描述性统计是定量分析的基础，用于 概括和描述数据的特征。
详细描述
通过均值、中位数、众数、标准差等 统计量，描述数据的集中趋势和离散 程度。此外，还包括数据的频数分布 、偏度、峰度等描述性统计指标。
推断性统计
总结词
推断性统计基于样本数据推断总体特征 ，通过样本信息对总体进行估计和预测 。

第二章 定量分析中的误差与数据处理

第二章 定量分析中的误差与数据处理
x x
平均偏差（ 平均偏差（average deviation）又称算术平均偏差： ）又称算术平均偏差：
d=
∑d
i=1
n
i
n
=
∑x
i =1
n
i
−x
n
相对平均偏差： 相对平均偏差：
d ×100% x
例：测定合金中铜含量的两组结果如下
d dr 测定数据/ 测定数据/％ X 第一 10.3，9.8，9.4，10.2，10.1， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 10.4，10.0，9.7，10.2，9.7 第二 10.0，10.1，9.3*，10.2，9.9， 10.0 0.24％ 2.4％ 组 9.8，10.5*，9.8，10.3，9.9
特点 单向性。 ① 单向性。对分析结果的影响 比较固定， 比较固定，即误差的正或负固 定。 重现性。平行测定时， ② 重现性。平行测定时，重复 出现。 出现。 可测性。可以被检测出来， ③ 可测性。可以被检测出来， 因而也是可以被校正的。 因而也是可以被校正的。
偶然误差（随机误差）—由偶然因素引起的误差
10kg
±1 Ea % = ×100% = 10% 10
±1 Ea % = × 100% = ±0.1% 1000
1000kg
1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 1.相对误差衡量分析结果的准确度更加客观； 相对误差衡量分析结果的准确度更加客观 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大， 2.当绝对误差相同时，被测定的量越大，相对误 当绝对误差相同时 差越小，测定的准确程度越高。 差越小，测定的准确程度越高。
*
1.64 1.65 1.62 1.70 1.60 1.61 1.66 1.61 1.59

定量分析中误差及数据处理

定量分析中误差及数据处理
第3章 定量分析中的误差及数据处理
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学习目的
原始测量数据如：m、V……
有效数字
测量误差 客观存在
测量结果:x1、x2、x3……
应记录几位数字？
计算公式
应保留几位数字？
误差的分类、特点及消除或减小
如何用测量值x1、x2、x3科学的表达样品真值
置信区间
可疑数值判断
=真值
和分别决定了正态曲线的位置与形状
描述了测量值x出现在某一位置的概率密度或出现在某一区域内的概率（如：出现在+内的概率为1）
反映数据集中趋势
反映数据分散趋势
3-4 随机误差的分布规律（2）
测量平均值 的分布规律
即一系列测定的平均值 （m）的分布规律（其中任一平均值均是n（有限）次测定平均结果）
01
系统误差（Systematic Error）
02
具有单向性、重现性、为可测误差，理论上可消除
03
随机误差（Random Error），亦称偶然误差
04
由不确定因素引起—服从统计规律（见3-4）
05
过失误差（mistake）
06
由粗心大意引起，可以避免，通常不算入误差范畴
误差的分类
3-1 误差的基本概念（4）
0.01 mL
0.02 mL
解：
常量滴定分析时，通常要求由滴定管读数引起的误差在0.1%以内，同时要求节约试剂，因此滴定体积一般应控制在2030 mL范围内（25 mL）
例5：滴定分析中称样质量的控制 万分之一分析天平的精度？ 称取一份试样的绝对误差？ 计算称样质量分别为20.0和200.0 mg时相对误差。
0.1 mg

1定量分析的误差和数据处理

常量滴定分析时，通常要求由滴定管读数引起 的误差在0.1%以内，同时要求节约试剂，因此滴 定体积一般应控制在2030 mL范围内（25 mL）
例：滴定分析中称样质量的控制
万分之一分析天平的精度？ 0.1 mg
称取一份试样的绝对误差？ 0.2 mg
计算称样质量分别为20.0和200.0 mg时相对误差。
相对误差 RE
由于真值T永不能准确得知，实际工作中常用所谓标准值代替( )：标准值系 由经验丰富的多名分析人员，在不同实验室采用多种可靠方法对试样反复分 析，并对全部个别测定结果进行统计处理后得出的较准确的结果。纯物质中 元素的理论含量也可作真值使用。
E T
(1.2)
误差E越小，表示测定结果越接近真值，准确度越高；反之，误 差E越大，准确度越低。误差有正负之分，正误差表示测定结果偏 高，负误差表示测定结果偏低。
1.3 随机误差分布规律和有限数据的统计处理
• 1.3.1随机误差的分布规律
随机误差产生的具体原因很难找出，对个别一 次测定，随机误差或正或负，或大或小，纯属 偶然；当对同一试样进行无限多次平行测定时， 各次结果的随机误差分布遵从正态分布规律： (1)由于随机误差的影响，测定值大小不一，有 离散趋势，但绝对值相等的正、负随机误差出 现的机会相等； (2)小误差出现的机会多，大误差出现的机会少， 特大误差出现的机会极少，即测定值又有集中 趋势。 由此可知，无限次平行测定各结果随机误差的 代数和趋于0，即：不存在系统误差的条件下， 无限次平行测定结果的平均值(总体平均值 ) 趋于真值。
Ⅰ定量分析的误差和数据处理
• • • • • • 1.1 准确度和精密度 1.2 误差的来源和分类 1.3 随机误差分布规律和有限数据的统计处理 1.4 系统误差的检验 1.5 提高测定准确度的措施 1.6 有效数字及运算规则

第二章 定量分析的误差和数据处理


σ↑，y↓, 数据分散，曲线平坦 σ↓，y↑, 数据集中，曲线尖锐 测量值都落在－∞～＋∞，总概率为1
标准正态分布曲线—— x ～ N(0 ,1 )曲线 为便于计算，正改标正。方法是横坐标改为u
令u x
1
u2 e 2

y f ( x)
2
又dx du f ( x)dx
正态分布曲线—— x ～ N(μ ,σ2 )曲线
1 y f ( x) e 2
( x )2 2 2
x y f ( x)
1
特点
2
以x-μ～y作图
x =μ时，y 最大→大部分测量值集中 在算术平均值附近 曲线以x =μ的直线为对称→正负误差 出现的概率相等 当x →﹣∞或﹢∞时，曲线渐进x 轴， 小误差出现的几率大，大误差出现的 几率小，极大误差出现的几率极小
准确度与精密度的关系：
准确度高必然要求精密度好，
但精密度好不一定准确都高。 消除系统误差后，高精密度才能保证高准确度
准确 度和精 密度都 ▲ 好 ▲ ▲▲
●
★
准确度 不好但精 密度好
▲
▲
1 2 3 4 56 7 8
★ ● ●● ● 9 10 ●
★
★
★
准确度 和精密度 都不好
★
为了说明一组平行测定数据的精密度，要用平均偏 n n 差或标准偏差来表示。 平均偏差:
1 2
u2 e 2
1 2
u2 e 2 du
(u )du
即y (u )
注：u 是以σ为单位来表示随机误差 x -μ
标准正态分布
u 1, x 1
区间概率%

定量分析的误差和数据处理.




练 习

准确度的高低用（误差）来衡量，它是测 定结果与（真实值）之间的差异；精密度 的高低用（偏差）来衡量，它是测定结果 与（平均值）之间的差异。
准确度和精密度的正确关系是（准确度高， 要求精密度也高）

第二部分.误差来源及消除方法

一.系统误差

二.偶然误差 三.提高系统准确度的方法

练 习
第二章
定量分析的误差和数据处理

第一部分 准确度与精密度 第二部分 误差的来源及消除方法 第三部分 有效数字及其运算规则



第四部分 分析结果的表示及数据处理
第一部分.准确度和精密度

一.准确度与误差 二.精密度与偏差


三.准确度与精密度的关系
教学要求
掌握误差及偏差的概念、种类和计算方法。
误差越小，准确度越高：
误差越大，准确度越低； 相对误差更能反映出测定结果的准确度。
二.精密度与偏差
1.偏差

绝对偏差：单次测量值与平均值之差 。
di xi x

相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比。
di Rd i 100% x
3.标准偏差与相对标准偏差
精密度和准确度的关系

分析实验中由于水不纯而引起的误差叫（试剂误 差）。 滴定时，不慎从锥形瓶中溅失少许试液，是属于 （过失误差）。 增加测定次数可以减少（偶然误差）。



要求滴定分析时的相对误差为0.1%，50ml滴定管 的读数误差约为0.02ml,滴定时所用液体体积至少 要（20）ml.
明确准确度、精密度的概念及两者在实际应 用中的关系。
不同人员分析同一试样的结果

分析化学 第二章 定量分中误差和数据处理


例
用沉淀滴定法测定纯NaCl（0.6066）中氯的质量
分数，得到下列结果：0.5982，0.6006，
0.6046，0.5986，0.6024。
则平均结果为_______ 0.6009 ____；
平均结果的绝对误差为_____-_0__._0057 ____；
相对误差为___ -0.94%_____；
(1)系统误差产生的主要原因(或分类) ：
a. 方法误差 b. 仪器误差 c. 试剂误差 d. 操作误差
e. 主观误差
a.方法误差
这种误差是由于分析方法本身所造成的。例如： 在重量分析中，沉淀的溶解损失或吸附某些杂质而产 生的误差；在滴定分析中，反应进行不完全，干扰离 子的影响，滴定终点和化学计量点的不符合，以及其 他副反应的发生等，都会系统地影响测定结果。
0.0,+0.1, -0.7,+0.2,-0.1,-0.2, +0.5,-0.2,+0.3,+0.1 两组数据平均偏差均为0.24
（二）标准偏差和相对标准偏差
近年来，在分析化学的教学中，愈来愈广泛地采用数理统 计方法来处理各种测定数据。在数理统计中，我们常把所 研究对象的全体称为总体（或母体）；自总体中随机抽出 的一部分样品称为样本（或子样）；样本中所含测量值的 数目称为样本大小（或容量）。例如，我们对某一批煤中 硫的含量进行分析，首先是按照有关部门的规定进行取 样、粉碎、缩分，最后制备成一定数量的分析试样，这就 是供分析用的总体。如果我们从中称取10份煤样进行平 行测定，得到10个测定值，则这一组测定结果就是该试 样总体的一个随机样本，样本容量为10。
0.0,+0.1, -0.7,+0.2,-0.1,-0.2, +0.5,-0.2,+0.3,+0.1 S2=0.33
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第四章 定量分析中的误差和数据处理
思考题
1．准确度和精密度有什么区别？
答：准确度是指测定值与真值（如试样中待测组分的真实含量）相符合的程度，用误差和相对误差表示。

精密度是在相同条件下多次重复测定结果之间相符合的程度，用偏差表示。

2．下列情况引起的误差是系统误差还是随机误差？
（1） 使用有缺损的砝码；（系）
（2） 称量试样时吸收了空气中的水分；(系）
（3） 称量时天平的停点稍有变动；（随）
（4） 读取滴定管读数时，最后一位数字几次读不一致；（随）
（5） 标定NaOH 用的H 2C 2O 4•2H 2O 部分风化；（系）
（6） 标定HCI 用的NaOH 标准溶液吸收了CO 2 。

（系）
3．实验中有四种天平，其性能见下表达
台称 普通天平 分析天平 半微量天平
最大载重 100g 200g 200g 20g
感量（分度值） 0.1g 1mg 0.1mg 0.01mg
为下列天平选择合适天平：
（1）称取基准确邻苯二甲酸氢钾约0.5g,以标定NaOH 溶液的浓度；（分析天
平）
（2）取10g 工业用K 2Cr 2O 7，配取铬酸洗液；（台称）
（3）称取甲基橙，配制0.1%甲基橙溶液100ml ；（普通天平）
（4）称一块约4g 重的铂片，要准确到小数点后第五位。

（半微量天平）
4．如何表示总体数据的集中趋势和分散性？如何表示样本数据的集中趋势和分散
性？
答：总体数据的集中趋势用总体平均值μ表示；分散性用标准偏差σ表示。

样本数据的集中趋势用算术平均x 表示；分散性用标准偏差S 表示。

5．如何报告分析结果？
答：在报告分析结果时,要反映数据的集中趋势和分散性,一般用三项值:x (表示集中趋势),标准差s(表示分散性),和测定次数n 。

6．某试样分析结果为x =16.94%,n=4，若该分析方法的σ=0.04%，则当置信度为95%
时，μ=(16.74±1.964
04.0)%=(16.74±0.04)% 试就此计算说明置信度和置信区间的含义。

答：置信度是分析结果在某一区间内出现的概率，相应的区间为置信区间。

计算结果说明，95％置信度时，以16.94为中心，包含μ值的置信区(16.740.04)%。

7．何谓对照分析？何谓空白分析？他们在提高分析结果准确度各起什么作用？
答：对照分析是：取已知准确组成的试样(例如标准试样或纯物质，已知试样的组成最好与未知试样的组成相似，含量相近。

用测定试样的方法，在相同条件下平行测定，得到的平均值标
x
空白分析是：在不加待测组分的情况下，用分析试样完全相同的方法及条件进行平行测定。

所得结果称为空白值。

对照分析用于校正方法误差，即消除测定中的系统误差。

空白分析用于消除水、试剂和器皿带进杂质所造成的系统误差。

8．请指出下列实验记录中的错误：
(1) 测天平零点 1
.01.00.01.009.013.002.012.00000=+++==+++=e e e e 答：： (2) (2)用HCl 标准溶液滴定25.00mlNaOH 溶液
V HCl : 24.1 24.2 24.1 V HCl =24.13
13.24,10.24,20.24,10.24==H CI H CI V V ：滴定管读数记录不准确答：
(3) 称取0.4328g Na 2B 4O 7，用量筒加入约20.00ml 水；
答：用量筒加入约20.0ml 水
(4)由滴定管放出20ml NaOH 溶液，以甲基橙作指示剂，用HCI 标准溶液滴定。

答：由滴定管放出20.00mlNaOH 溶液。

习题
1． 测定某试样的含铁量，六次测定的结果（以%计）20.48,20.55,20.58,20.60,20.53和20.50。

计算这个数据集的平均值、中位数、平均偏差、标准偏差和全距。

应如何报告分析结果？计算95%的置信度的置信区间。

)%05.054.20()%6
05.0447.254.20(n s t x 6
n %,05.0s %,54.20x %
12.048.2060.20x x R %05.01
n d s %
04.0)54.2050.2054.2053.2054.2060.2054.2058.2054.2055.2054.2048.20(6
1x x n 1%54.2055.2053.202
1%54.2050.2053.2060.2058.2055.2048.20(6
1x min max n
1i 2i n 1i i ±=⨯±=±=====-=-==-==-+-+-+-+-+-=-==+==+++++=∑∑==μ分析结果报告：全距标准差平均偏差）（中位数）解： 2.某化验室例行化验铁矿，其标准差σ=0.15%。

今测得某铁矿中Fe 2O 3的含量为58.25%，
若此分析结果分别是根据四次、九次测得的，计算95%置信度时各次结果平均值的置信区间。

)%10.025.58()%615.096.125.58(n u x 6
n )%15.025.58()%415.096.125.58(n u x 4
n ±=⨯±=±==±=⨯±=±==σμσ
μ解：
3．面种方法测定某矿样锰的百分含量，结果如下：
方法1
11n %10.0s %,
56.10x 111=== 方法2 11n %12.0s %,64.10x 222=== 问（1）标准差之间是否有显著性差异（95%置信度）？ （2）平均值之间是否有显著性差异（95%置信度）？ 086.2876.11111111110.064.1056.10n n n n s x x t 9.244.110.012.0S S F 212121计算222小2大
计算〈=+⨯-=+-=〈===
4.
标定一溶液的浓度，得到下列结果：0.1141,0.1140,0.1148,0.1142(mol/L)。

问第三个结果是否可以舍去（95%置信度）。

解:0.11430.036%X S ==
46.139.1%
036.01143.01148.0s X X T n 〈=-=-=计算 0.1148不能舍去 5.测定某试样含氯百分率，得到下列结果：30.44,30.52,30.60和30.12(%)
问 (1)30.12%是否应舍去?
(2)试样中含氯百分率最好用什么数值表示?
(3)计算平均值的置信区间(95%置信度)？ 解：%21.0s %,42.30x ==
(1) 46.143.121
.012.3042.30s X X T 1〈=-=-=计算 30.12%不能舍去 (2) 试样中含氯百分率最好用中位数表示：M=2
1(30.44+30.52)%=30.48% (3))%33.042.30()%4
21.0182.342.30(n s t x ±=⨯±=±=μ 6某分析人员提出一个测定氯的新方法，并以此方法分析了一个标准试样（标准值
x =16.62％）
，得结果为x =16.72%,S=0.08%,n=4 问95％置信度时，所得结果是否存在系统误差？ 解：.182.35.24%
08.062.1672.16n s x t 计算〈=-=-=μ 所得结果不存在系统误差。

7．下列各数的有效数字是几位？
（1）0.00058（两位）
（2）3.6×10-5（两位）
（3）0.0014%（两位）
（4）0.00987（三位）
（5）35000（不确定）
（6）35000±10（四位）
（7）3.5×104（两位）
（8）3.500×104（四位）
（9）999（三位）
（10）0.002000（四位）
8．计算下列算式的结果（确定有效数字的位数）：
（1）K 2Cr 2O 7的摩尔质量：
39.0983×2+51.996×2+15.9996×7=294.19
（2）28.40ml0.0977mol/LHCl 溶液中HCl 含量： 1000
)453.350079.1(0977.040.28+⨯=0.1012g (3)返滴定法结果计算： x%=1000
000.147.246)52.100.25(1000.0⨯⨯-×100%=57.87% (4)pH=5.03,求[H +]
[H +]=9.3×10-6mol/L (5)002034
.0152.31003.40.314
⨯⨯⨯-+5.8=7.7。