巧解函数图象过定点问题

初中二次函数过定点问题一、问题的重要性在初中的数学课程中，二次函数是重要的内容之一，它不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理、经济和其他科学领域中有所涉及。

而二次函数过定点的问题，是二次函数中的一个经典问题，它能帮助我们深入理解函数的性质，提高我们的数学思维能力。

二、问题概述二次函数过定点的问题，是指在二次函数图像中，无论自变量取何值，函数值恒为定值的点的位置问题。

这种定值可以是常数，也可以是与自变量有关的表达式。

这种问题的解决需要我们对二次函数的性质有深入的理解，以及对函数图像的准确描绘。

三、解决步骤和方法1. 确定二次函数的形式：首先我们需要根据题目给出的条件，确定二次函数的形式。

通常，二次函数的形式为y=ax²+bx+c。

2. 计算定点坐标：在确定了二次函数的形式后，我们需要通过解方程来找到定点的坐标。

例如，如果定点是(m, n)，那么我们需要找到使am²+bm+c=n成立的m和n的值。

3. 描绘函数图像：根据确定的二次函数形式和定点坐标，我们可以描绘出函数的图像。

4. 验证答案：最后，我们需要验证我们的答案是否正确。

这可以通过将自变量的值代入二次函数中，看是否得到与定点相同的函数值来完成。

四、实例分析例如，若二次函数y=x²-2x-3过定点(m, n)，且无论m取何值，n总为常数，求这个定点坐标。

首先，我们可以通过整理函数的形式来找到定点的坐标：y=x²-2x-3=(x-1)²-4，这个函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1, -4)。

因此，这个二次函数过定点(1, -4)。

五、结论与展望解决二次函数过定点的问题需要我们对二次函数的性质有深入的理解和掌握，同时还需要我们具备灵活的思维能力和良好的代数运算技巧。

在解决这类问题的过程中，我们不仅可以提高我们的数学思维能力，还可以提升我们的数学素养。

在未来的学习和研究中，我们将会遇到更多与二次函数过定点类似的问题。

函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+12（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

函数过定点问题的求法函数过定点问题是数学中的一个重要问题，广泛应用于各个领域。

本文将详细介绍函数过定点问题的求解方法。

函数过定点问题是指在平面直角坐标系中，寻找函数图像上满足$f(x)=x$的点的问题。

其中，$f(x)$表示函数的表达式，$x$为自变量。

求解函数过定点问题的方法有多种，下面将逐一介绍。

一、图像法图像法是最直观的一种方法，通过绘制函数的图像，可以清楚地看出函数与$y=x$相交的点。

具体操作步骤如下：1. 根据给定的函数表达式$f(x)$，选择合适的自变量范围，在直角坐标系中绘制出函数的图像。

2. 绘制直线$y=x$，可以使用直尺或绘图软件辅助。

3. 在函数图像与直线$y=x$的交点处，即为函数过定点的解。

图像法的优点是直观易懂，适用于简单的函数。

但对于复杂函数来说，绘制图像可能会比较困难。

二、数值法数值法是一种近似求解函数过定点问题的方法，通过迭代计算，逐步逼近函数与$y=x$相交的点。

具体操作步骤如下：1. 首先，选择一个初始值$x_0$，可以根据函数的特点来选择。

2. 根据函数表达式$f(x)$，计算出$x_1=f(x_0)$。

3. 重复以上步骤，计算出$x_2=f(x_1)$，$x_3=f(x_2)$，依次类推，直到满足精度要求或达到迭代次数限制为止。

4. 最终得到的$x_n$即为函数过定点的近似解。

数值法的优点是适用于任意复杂的函数，但其精度受到迭代次数和初始值选择的影响。

为了提高精度，可以使用更高阶的数值算法，如牛顿法、二分法等。

三、解析法解析法是一种通过数学推导得到函数过定点解的方法，适用于特定类型的函数。

具体操作步骤如下：1. 根据函数表达式$f(x)$，将$f(x)=x$转化为等式$g(x)=0$的形式，其中$g(x)=f(x)-x$。

2. 根据等式$g(x)=0$，使用代数运算、方程求解等方法，求解出$g(x)$的根。

3. 根据求解得到的根，即可得到函数过定点的解。

函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的点是（）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0））0，1（－D. ）3，1（－ C.解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

函数图象上的定点问题函数图象上定点问题是数学和物理学中一个重要课题，它涉及到函数本身的图像图形的形状和空间的变形，以及函数的极限和求导等。

本文探讨的主要是函数图象上定点问题的概念，其特点和性质，定点问题的求解方法，以及定点问题在物理学和数学中的应用。

首先，让我们来介绍定点问题的概念。

定点问题是指一个函数的一系列参数的值，它们满足的某种条件，使得该函数的定义域内存在一个特定的定点。

这种定点问题也可以用简单的语言来表述：给定一个函数，求参数的值，使得函数的定域内存在某种特定的定点（或称定点）。

这种定点是函数图象上的一类特殊形状，它可以用函数对象中的曲线来表示，如椭圆、弓形、螺旋线等，在函数图象上它们可以形成一些很独特的图形。

其次，让我们来简要介绍函数图象上定点的特点和性质。

定点问题的特征和性质反映了函数的某种性质。

一般来说，函数的定点问题可以分为两类：一类是“系数”定点问题，即求函数各个系数（或多元函数中的多个系数）使得函数图象存在一个特定的定点；另一类是“函数值”定点问题，即求函数值使得函数图象存在一个特定的定点。

此外，函数定点问题也可以用“非定点”的方法来解决，即不求参数的值而求曲线的方程，从而求得函数的定点。

最后，我们来讨论定点问题的求解方法和定点问题在物理学和数学中的应用。

定点问题的求解方法可以分为两类：一类是基于数学方法的求解，即通过数学推理进行求解；另一类是基于计算机方法的求解，通过计算机编程语言及其标准组件来实现定点的求解。

定点问题在物理学和数学中的应用也非常广泛。

在物理学中，定点问题可以用来解决物理系统中的非线性方程，如量子力学中的Schrdinger方程、热力学的温度场方程等；在数学中，定点问题可以用于求解梯度流、拓扑排序等问题。

综上所述，函数图象上的定点问题是一个重要的数学物理学课题，它涉及函数本身的图像图形的形状和空间的变形，以及函数的极限和求导等。

本文讨论了函数图象上定点问题的概念、特点和性质以及定点问题的求解方法和定点问题在物理学和数学中的应用。

解析几何中的求过定点问题解题技巧一、引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A ﹑B,如图； 设直线AB 方程为mkx y += ① 曲线方程为fey dx cxy by ax +++++22=0 ②必含有xy 项，即0≠c ）将①化为mkxy -=1, ②化为22⋅+++dx cxy by ax 将mkx y -=10)(222=-⋅+-⋅+-⋅+++mkx y f m kx y ey m kx y dx cxy by ax ④显然④是一个二次齐次式，且一定可化为022=++Cx Bxy Ay即：0)()(2=++C xy B x y A ⑤⑤中x y的几何意义为A 、B 两点（即AB 直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA 、OB 的斜率，设为 21,k k 。

由韦达定理知从而，能通过最初的二次曲线和直线AB 相交，得出OA 、OB 的性质。

倒过来，我们也可以通过OA 和OB 的性质与二次曲线得出直线AB 的性质。

下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。

二、应用举例例1.抛物线px y 22=,过原点的两条垂直的直线OA ，OB 交抛物线于A 、B 。

,21A B k k -=+A Ck k =⋅21。

求证：直线AB 过x 轴上一定点。

分析：知道OA 与OB 的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB 的性质，进而得出定点。

解：设AB ：n my x +=( 显然AB 不能横着） ① 抛物线：px y 22= ②①化为n myx -=1代入②（目的化为二次齐次式）得 n my x px y -⋅=22 即022=-⋅-nmyx px y ③ ③可化为022=++Cx Bxy Ay0)()(2=++C xy B x y A 其中1=A n pC 2-=∴ npA C k k OB OA 2-==⋅ 又1-=⋅OB OA k k （因OA 与OB 垂直） ∴p n 2=， ∴ AB 恒过点（2p ．0)说明：没有必要求出B 值，因为目标与B 值无关，从而减少了运算量！ 下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。

初一数学过定点问题一、直线过定点问题直线过定点问题一般涉及一次函数和反比例函数，需要利用斜率、截距或两点式方程来求解。

解决此类问题时，首先要明确所求直线方程的形式，然后根据题目条件列出方程组，解出未知数即可。

二、一次函数图象过定点问题对于一次函数y=kx+b，当其图象过定点时，可以将点的坐标代入方程中求出k和b的值，从而确定函数的解析式。

例如，一次函数y=x+1的图象经过点(2,3)，将x=2, y=3代入方程中，可以求出k=1, b=1。

三、二次函数图象过定点问题对于二次函数y=ax^2+bx+c，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出a、b、c的值。

例如，二次函数y=x^2+2x+3的图象经过点(1,4)，将x=1, y=4代入方程中，可以求出a=1, b=2, c=0。

四、反比例函数图象过定点问题对于反比例函数y=k/x，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出k的值。

例如，反比例函数y=2/x的图象经过点(2,1)，将x=2, y=1代入方程中，可以求出k=2。

五、三角形、四边形过定点问题三角形和四边形的问题通常涉及到角度、边长等几何量，需要利用几何定理和代数方法进行求解。

对于三角形，可以借助三角形相似性质进行推导；对于四边形，可以借助对角线性质进行求解。

在解决此类问题时，需要仔细分析图形和条件，选择合适的解题方法。

六、圆过定点问题圆过定点问题需要利用圆的方程和几何性质进行求解。

对于给定的圆方程和点坐标，可以将其代入圆的方程中求解未知数。

在解决此类问题时，需要明确圆心和半径的几何意义，并选择合适的解题方法。

七、综合类过定点问题综合类过定点问题通常涉及到多个知识点和解题方法，需要综合运用所学知识进行求解。

在解决此类问题时，需要仔细分析题目条件和要求，选择合适的解题方法。

函数定点问题及解析
函数的定点问题是指寻找一个函数的输入和输出相等的点，也
就是函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点。

数学上，我们可以用
方程f(x) = x来表示函数的定点问题，其中f(x)表示函数的输出，x表示函数的输入。

要解定点问题，就是要找到方程f(x) = x的解。

这意味着我们需要找到函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点的坐
标值。

从代数的角度来看，解定点问题就是要找到方程f(x) = x的根，也就是函数f(x)与直线y = x的交点的横坐标值。

这些交点就是函
数的定点。

解定点问题的方法包括代数方法和图像分析方法。

代数
方法通常涉及对方程f(x) = x进行变形和求解，而图像分析方法则
是通过观察函数的图像来找到定点。

另外，从几何的角度来看，函数的定点可以被解释为函数图像
上的特殊点，这些点的横坐标和纵坐标相等，也就是函数图像上的
对角线上的点。

这些点在函数图像上通常具有特殊的性质，比如在
对称性和变化率方面具有特殊的性质。

总之，函数的定点问题是函数分析中一个重要的问题，它涉及
到代数、几何和图像分析等多个方面。

解定点问题的方法也多种多样，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法进行求解。

函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k － 2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A.（1，3）B. （1，0）C.（－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）2①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0 时，函数在x＜1 时， y随x 的增大而减小；④当a＜ 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．_________．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标8. 证明无论m为何值，函数9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线 y=x+ 1（1﹣m）上（其中 m、n 为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线 y＝(3 －k)x 2＋ (k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线 y＝kx ＋b(k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) ．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1＝3x2－2x－ 1－kx2＋ kx＋2k＝3x2－2x－ 1－k(x2 －x－2)(k ≠3) ，上式中令 x2－x－2＝0，得 x1＝－ 1， x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－ 1－ k(x 2－x－2) ，解得 y1＝4，y2＝7，把点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y＝3x2－2x－1－k(x 2－x－2) ，无论 k 取何值，等式总成立，即点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 上，即拋物线 y＝(3 － k)x 2＋(k －2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点 ( －1，4) 、(2 ， 7) ．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－ 1， 3）D. （－ 1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。