完整版函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+12（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

【九年级】函数过定点问题分析本文将阐述一下函数图象过定点的问题．学习了二次函数的顶点式与交点式之后，我们就可以完成下面两个题目了：⑴二次函数y＝a（x－1）²＋3的顶点坐标为____________．⑵二次函数y＝a（x－1）（x＋3）与x轴的交点坐标为____________ ．【答案】⑴（1，3）．⑵（1，0）和（－3，0）．【总结】我们发现两题中的二次函数解析式都有一个参数a的值是待定的，但是二次函数都会经过与a无关的定点．换句话说，也就是该定点与a 的取值无关．因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．【典型例题】二次函数y＝ax²－2ax＋1的图象必经过点____________．【答案】（0，1）和（2，1）．【分析】因为y＝ax²－2ax＋1＝ax（x－2）＋1，所以当x（x－2）＝0，即x＝0或2时，代数式ax（x－2）＋1的取值与a无关．当x＝0或2时，y＝1．所以二次函数y＝ax²－2ax＋1的图象必经过点（0，1）和（2，1）．【变式练习】⑴二次函数y＝ax²＋bx＋1的图象必经过点____________．⑵若a－b＋c＝0，且a≠0，则二次函数y＝ax²＋bx＋c必经过点____________．⑶某二次函数y＝ax²＋（a＋c）x＋c必过定点____________．⑷（2016年广州中考压轴题改编）证明抛物线y＝mx²＋（1－2m）x＋1－3m一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标．【参考答案】⑴（0，1）．⑵（－1，0）．⑶（－1，0）．⑷证明：∵抛物线y＝mx²＋（1－2m）x＋1－3m，∴y＝m（x²－2x＋3）＋x＋1，因为抛物线过定点，说明在这一点的y与m无关，显然当x²－2x＋3＝0时，y与m无关，解得：x＝3或x＝－1，当x＝3，定点坐标为（3，4）；当x＝－1，定点坐标为（，0），∵P不在坐标轴上，∴P（3，4）．。

函数过定点问题的求法基本概念什么是定点呢?函数过定点的含义就是：不管参数取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数f(x)=ax+1经过定点（0，1），因为无论a取什么值，函数一定经过点（0，1），因此函数f（x）经过的定点就是（0，1）；定点的概念你清晰了吗？是否所有含参数的函数都经过定点？答案是否定的，为什么呢？在下面的讲解中我们会给出说明的哦；当然，你也可以自己先回答一下，最后根据我们讲解的内容，看看你自己回答的是否正确！答题技巧定点问题到底怎么解决呢？老师给了三个解题步骤，严格按照这三个解题步骤解题的话，你的定点问题相关的考点都是满分哦，切记：严格按照这三个步骤执行和求解哦，千万不要自己瞎写哦！含有参数的函数过是否有定点的解题技巧：1 找到函数中的参数2 确定函数中的参数的系数3 令函数的参数系数为0，如果有解，则该含有参数的函数一定过定点，将这个点的坐标求出来即可；如果没有解或者求出的解不在函数的定义域范围内，则这个含义参数的函数没有定点；函数定点5大注意事项1 不是所有的函数都有定点2 只有含有参数的函数，我们才会考核其是否过定点3 如果按照解题技巧求出的值不在函数的定义域内函数也没有定点4 如果按照解题方法没有求解出相关的变量的值，则该含参函数不过定点5 定点的纵坐标求解过程：一定先求出自变量的值，然后代入函数中进行相关的值的求解习题讲解例题1：判断函数：f(x)=kx+k是否经过定点并给出说明；解：函数f(x)=kx+k经过定点：（-1，0）因为f(-1)=-k+k=0；所以f(x)=kx+k一定经过点（-1，0）；例题2：f(x)=ax^2+bx+c是否过定点？参数为a，b，c，参数的系数分别为x^2,x和1；参数的系数为0，没有解，因此f(x)=ax^2+bx+c不过定点；例题3：g(x)=k^2 x+k+4,判断g(x)是否过定点（2010年高考真题变形）解：g(x)=k^2 x+k+4=(kx+1)k+4K的系数为(kx+1)，等于0，没有得到一个常数解，因此g(x)=k^2 x+k+4不过定点；例题4：h(x)=a^2 x+4a^2+3是否经过定点？（2009年高考真题变形）解：h(x)=a^2 x+4a^2+3=（x+4)a^2+3；当x=-4时，x+4=0，函数经过定点（-4，3）作业1..f(x)=ln(kx+k)是否过定点？2.f(x)=e^ax+7 是否经过定点？3.f(x)=e^ax+ln(ax) 是否经过定点?高考中怎么考核定点？高考中不会直接让求函数经过的定点，而是将数形结合和定点联系到一起进行考核，通常我们会将含参数的函数求出一个定点，然后画图的时候可以大致确定函数的图像，通过图像进一步求解相关的问题，后续课程我们会对此块内容进行补充，此处不再赘述！。

函数过定点问题的求法函数过定点问题是数学中的一个重要问题，广泛应用于各个领域。

本文将详细介绍函数过定点问题的求解方法。

函数过定点问题是指在平面直角坐标系中，寻找函数图像上满足$f(x)=x$的点的问题。

其中，$f(x)$表示函数的表达式，$x$为自变量。

求解函数过定点问题的方法有多种，下面将逐一介绍。

一、图像法图像法是最直观的一种方法，通过绘制函数的图像，可以清楚地看出函数与$y=x$相交的点。

具体操作步骤如下：1. 根据给定的函数表达式$f(x)$，选择合适的自变量范围，在直角坐标系中绘制出函数的图像。

2. 绘制直线$y=x$，可以使用直尺或绘图软件辅助。

3. 在函数图像与直线$y=x$的交点处，即为函数过定点的解。

图像法的优点是直观易懂，适用于简单的函数。

但对于复杂函数来说，绘制图像可能会比较困难。

二、数值法数值法是一种近似求解函数过定点问题的方法，通过迭代计算，逐步逼近函数与$y=x$相交的点。

具体操作步骤如下：1. 首先，选择一个初始值$x_0$，可以根据函数的特点来选择。

2. 根据函数表达式$f(x)$，计算出$x_1=f(x_0)$。

3. 重复以上步骤，计算出$x_2=f(x_1)$，$x_3=f(x_2)$，依次类推，直到满足精度要求或达到迭代次数限制为止。

4. 最终得到的$x_n$即为函数过定点的近似解。

数值法的优点是适用于任意复杂的函数，但其精度受到迭代次数和初始值选择的影响。

为了提高精度，可以使用更高阶的数值算法，如牛顿法、二分法等。

三、解析法解析法是一种通过数学推导得到函数过定点解的方法，适用于特定类型的函数。

具体操作步骤如下：1. 根据函数表达式$f(x)$，将$f(x)=x$转化为等式$g(x)=0$的形式，其中$g(x)=f(x)-x$。

2. 根据等式$g(x)=0$，使用代数运算、方程求解等方法，求解出$g(x)$的根。

3. 根据求解得到的根，即可得到函数过定点的解。

函数图象上的定点问题函数图象上定点问题是数学和物理学中一个重要课题，它涉及到函数本身的图像图形的形状和空间的变形，以及函数的极限和求导等。

本文探讨的主要是函数图象上定点问题的概念，其特点和性质，定点问题的求解方法，以及定点问题在物理学和数学中的应用。

首先，让我们来介绍定点问题的概念。

定点问题是指一个函数的一系列参数的值，它们满足的某种条件，使得该函数的定义域内存在一个特定的定点。

这种定点问题也可以用简单的语言来表述：给定一个函数，求参数的值，使得函数的定域内存在某种特定的定点（或称定点）。

这种定点是函数图象上的一类特殊形状，它可以用函数对象中的曲线来表示，如椭圆、弓形、螺旋线等，在函数图象上它们可以形成一些很独特的图形。

其次，让我们来简要介绍函数图象上定点的特点和性质。

定点问题的特征和性质反映了函数的某种性质。

一般来说，函数的定点问题可以分为两类：一类是“系数”定点问题，即求函数各个系数（或多元函数中的多个系数）使得函数图象存在一个特定的定点；另一类是“函数值”定点问题，即求函数值使得函数图象存在一个特定的定点。

此外，函数定点问题也可以用“非定点”的方法来解决，即不求参数的值而求曲线的方程，从而求得函数的定点。

最后，我们来讨论定点问题的求解方法和定点问题在物理学和数学中的应用。

定点问题的求解方法可以分为两类：一类是基于数学方法的求解，即通过数学推理进行求解；另一类是基于计算机方法的求解，通过计算机编程语言及其标准组件来实现定点的求解。

定点问题在物理学和数学中的应用也非常广泛。

在物理学中，定点问题可以用来解决物理系统中的非线性方程，如量子力学中的Schrdinger方程、热力学的温度场方程等；在数学中，定点问题可以用于求解梯度流、拓扑排序等问题。

综上所述，函数图象上的定点问题是一个重要的数学物理学课题，它涉及函数本身的图像图形的形状和空间的变形，以及函数的极限和求导等。

本文讨论了函数图象上定点问题的概念、特点和性质以及定点问题的求解方法和定点问题在物理学和数学中的应用。

函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k － 2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A.（1，3）B. （1，0）C.（－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）2①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0 时，函数在x＜1 时， y随x 的增大而减小；④当a＜ 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．_________．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标8. 证明无论m为何值，函数9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线 y=x+ 1（1﹣m）上（其中 m、n 为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线 y＝(3 －k)x 2＋ (k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线 y＝kx ＋b(k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) ．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1＝3x2－2x－ 1－kx2＋ kx＋2k＝3x2－2x－ 1－k(x2 －x－2)(k ≠3) ，上式中令 x2－x－2＝0，得 x1＝－ 1， x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－ 1－ k(x 2－x－2) ，解得 y1＝4，y2＝7，把点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y＝3x2－2x－1－k(x 2－x－2) ，无论 k 取何值，等式总成立，即点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 上，即拋物线 y＝(3 － k)x 2＋(k －2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点 ( －1，4) 、(2 ， 7) ．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－ 1， 3）D. （－ 1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

函数图象过定点问题总结在初中我们学习过的函数中,有些函数的图象具有过定点的性质,如正比例函数y kx(k 0),无论k取不等于0的任何值,当x 0时,都有y 0,所以其图象是一条经过定点（0,0）即坐标原点的直线;对于一次函数y kx b(k 0),当b确定时,无论k取不等于 0的任何值,其图象总经过定点(0,b);对于二次函数y ax2bx c(a 0),当c确定时,无论a,b取何值,其图象总经过定点(0,c).针对这类函数,我们关心的是如何求出定点的坐标.常使用的方法有: （1）特殊值法;（2）分离参数法;（3）变换主元法.其中,有时候最简单的方法是特殊值法,最常用的方法是分离参数法.下面给出以上三种方法的具体介绍:特殊值法例1.无论m为任何实数,抛物线y x2(2m)x m总过的点是【】（A）(1,3)（B）(1,0)（C）(1,3)（D）(1,0)解:任意赋予m两个特殊值,不妨设m0和m 2则对应的两个函数解析式为:y x22x,y x22y x22x联立得到方程组yx22x1解之得:y3检验:把x1代入y x2(2m)x m中,发现无论m为任何实数,等式总成y3函数图象过定点问题总结第1页立.∴抛物线y x2(2 m)x m总经过定点(1,3),故应选【A】.归纳总结:1．这类函数有一个特点,那就是它们的解析式里面含有1个或2个的变系数,也可称为参数,如例1中的m,参数的值可以改变,不同的参数值对应不同的函数解析式.2.利用这类函数的图象过定点的性质,我们可以给参数（变系数）指定两个特殊值,继而得到两个具体的函数解析式,联立两个解析式为方程组,方程组的解就是定点的横坐标与纵坐标.另外,需要指出的是,若方程组的解不唯一,则定点也不唯一.分离参数法例2.求证:抛物线y(3 k)x2(k 2)x 2k 1(k3)过定点,并求出定点的坐标.解:整理得: y3x22x1k(x2x2)(k3)令x2x20解之得:x11,x22把x11,x22分别代入y3x22x1k(x2x2)得:y14,y27x11,x22分别代入该抛物线的解析式,无论k取不等于3的何值,等式把4y27y1总成立∴抛物线y (3 k)x2(k 2)x 2k 1(k 3)过定点,且定点有两个,定点坐标分别为(1,4)、(2,7).函数图象过定点问题总结第2页归纳总结:使用分离参数法的一般步骤是:（1）对含有参数的项集中;（2）对所有含参数的项进行因式分解,把参数用提公因式法提出来;（3）提出公因式后令剩下的因式等于0,得到一个关于自变量x的方程（这时参数如何变化,都“失效了”）;（4）解方程方程的解x x0是定点的横坐标,把解x x0代入解析式得到的函数值y y0是定点的纵坐标.经过以上步骤,求出定点的坐标为(x0,y0).若方程的解不唯一,则定点的个数也不唯一.变换主元法我们在七年级学习一元一次方程的时候,要把方程化为ax b的形式,其解分为三种情况:（1）当a0时,方程有唯一解:x b;a（2）当a b0时,方程的解为全体实数;（3）当a0,b0时,方程无解.把函数的解析式化为am b（m为参数,a,b为含有x,y的代数式）的形式,无论m取何值,既然函数的图象经过定点,那么令b0, 得到关于x,y的二．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a元方程组（注意,不一定是二元一次方程组）,方程组的解即为定点的坐标.以上处理问题时,把参数m当做主元来处理,相当于方程ax b里面的x,这或许就是这种方法名称的由来吧!函数图象过定点问题总结第3页以上所有内容供同学们作为常识知识储备.例3.无论m为任何实数,抛物线y x2(2m)x m经过定点________. 解:∵yx2(2m)xm∴y x22x mx m∴(x1)m x22x y（＊）令x10,解之得x1 x22x y0:3y∴无论m为任何实数, x1(2m)x m y恒满足等式（＊）,即抛物线yx23恒经过定点(1,3).★1. 无论m取何值,函数y mx4m3的图象过定点________.★2. 二次函数y x2bx c满足b c2,则这个函数的图象一定经过某一个定点,这个定点是________.★3.无论k为何值直线y kx3k2必经过点________.,★4. 抛物线y(3m)x2(m2)x2m1m3经过的定点是________.★5. 某数学兴趣小组研究二次函数y mx22mx3(m0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标:________________.★6. 对于二次函数y ax 2(2a1)x1(a下列说法正确的有【】0),①无论a取何值,此二次函数的图象与x轴必有两个交点;②无论a取何值,图象必过两个定点,且两个定点之间的距离为2;③当a 0时,函数在x1时,y随x的增大而减小;④当a 0时,函数图象截x轴所得线段长度必大于 2.函数图象过定点问题总结第4页（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个函数图象过定点问题总结第5页。

第17讲函数过定点常指的是一次函数和二次函数，即一个看似普通的函数，其实隐藏着经过某些特殊点的情况【例题讲解】例题1①直线y= kx— 1 一定经过点 ___________ ;②一次函数y= kx—3k+ 1经过定点 _________ ;③一次函数y=( k+ 3) x+( 2k—1)的图像经过定点P的坐标是_________________ ;③二次函数y= x2 —mx—m—1经过的定点是 ________ ;④当p取任意实数时，抛物线y= 2x2 —px+ 4p + 1都经过一个定点，则该点的坐标为____________ ;①答案：(0,1 )②答案：(3,1 )③答案：(-2 , -7 ).④答案：(-1,0 ).⑤答案：(4,33 ).例题2二次函数y= mx2 3—( m+ 2) x+ 2与x轴交于AB两点，与y轴交于点。

，若厶ABC的面积为4，求m的值.【解析】•••二次函数y= mx2—( m + 2) x+ 2与x轴交于AB两点，与y轴交于点C,2X1 = 1, x2= —, C (0, 2)m•••△ABC的面积为4,1 2丄x 1—三X 2= 4,2 m2 2m1= —, m2 = .3 5例题3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= mx2—2mx+ m —2 ( m^ 0)的顶点为A,与x轴交于B, C两点(点B 在点C左侧)，与y轴负半轴交于点D.(1)求点A的坐标；(2)连接AD并延长交x轴于E,若AD:DE = 4:5，求抛物线的解析式和B, C两点的坐标.【解析】(1) y= mx2 —2mx+ m—2= m (x2 —2x+ 1)—2= m (x—1) 2—2. ••• A点的坐标为(1,—2).(2)由(1)得，对称轴为直线x = 1 .设对称轴与x轴交于H ,作DF丄AH ,• DF // EH ,• DF // EH ,•△ ADF AEH,• AD:AE= AF:AH ,•/ AD:DE = 4:5 , • AD:AE= AF:AH = 4:9, ••• A (1,—2), D (0, m —2),• AF = m,• m:2= 4:9,8 、1610y= —x2 ——x —999B (——, 0),C (5, 0)本讲是没有配巩固练习的，是完整的讲义。

函数图像恒过定点问题（2020年10月整理）.pptx
1、对于一次函数，解析式化成y-b=k(x-a)的形式，令x=a，
y=b，无论k取何不为0的实数，等式恒成立。

函数图像恒过定点(a，b)
2、对于二次函数，解析式化成y=a(x+b)²+c的形式，令x=-b，y=c，无论a取何不为0的实数，等式恒成立。

函数图像恒过定点(-b，c)
3、对于指数函数，令x=0，得y=1，无论底数a取何大于0且不等于1的实数，等式恒成立。

指数函数图像恒过定点(0，1)
4、对于对数函数y=loga(x)，令x=1，得y=0，无论底数a取何大于0且不等于1的实数，等式恒成立。

对数函数图像恒过定点(1，0)
函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。

其定义通常分为传统定义和近代定义，前者从运动变化的观点出发，而后者从集合、映射的观点出发。

其近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

函数图象过定点问题总结.doc函数图象过定点问题是高中数学中的一个重要知识点，常常在函数图象的绘制、函数性质的分析等问题中出现。

下面是对函数图象过定点问题的总结。

一、函数图象过定点的条件函数图象过定点的条件有两个，即函数图象过点(x_0, y_0)的条件为：1. 函数过定点(x_0, y_0)，即f(x_0) = y_0。

2. 函数图象在定点(x_0, y_0)处的切线斜率等于函数的导数值，即f'(x_0) = k。

二、函数图象过定点的求解方法1. 具体过定点(x_0, y_0)，求函数的表达式。

可以利用函数过定点的条件f(x_0) = y_0，将(x_0, y_0)带入函数的表达式，求解出函数的表达式。

2. 已知函数表达式，求定点(x_0, y_0)。

通过函数图象过定点的条件f(x_0) = y_0，将函数的表达式中的x替换为x_0，求解出y_0。

3. 已知函数表达式，求切线斜率。

首先求出函数的导函数，然后将导函数的表达式中的x替换为x_0，求解出f'(x_0)，即为切线的斜率。

4. 已知函数表达式和切线斜率，求定点(x_0, y_0)。

通过函数图象在定点(x_0, y_0)处的切线斜率等于函数的导数值的条件f'(x_0) = k，将函数的导函数的表达式中的x替换为x_0，求解出x_0，然后将x_0带入函数的表达式，求解出y_0。

三、实例分析下面通过一个实例来说明函数图象过定点问题的求解方法。

已知函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。

1. 求函数过点(2, 15)的表达式。

将(2, 15)带入函数的表达式，得到2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) + 1 = 15，所以函数过点(2, 15)的表达式为f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。

2. 求函数过点(3, 13)的表达式。

将(3, 13)带入函数的表达式，得到2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) + 1 = 13，所以函数过点(3, 13)的表达式为f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。

怎么求函数经过的定点求函数过定点的关键在于找到满足该条件的函数表达式。

下面我将详细介绍两种常见的方法：解方程法和图像法。

解方程法：步骤一：设定未知数和方程首先，假设函数的表达式为y=f(x)，我们要求的定点为(a,b)。

那么，我们可以假设b为其中一常数，然后将x=a和y=b带入函数表达式中，得到一个方程f(a)=b。

步骤二：求解方程根据步骤一得到的方程，我们需要解这个方程，找到满足条件的a和b的值。

解方程的过程可能需要运用到代数运算和方程的性质，比如移项、合并同类项等。

具体的步骤可以根据方程的形式进行。

步骤三：得到函数表达式一旦我们求解得到了满足条件的a和b的值，就可以代入到函数表达式中，得到经过定点的函数。

举例说明：假设我们要求一个函数过点(2,5)，设定未知数和方程y=f(x)，我们需要满足f(2)=5首先假设 f(x) = ax + b，代入方程中得到 a*2 + b = 5、我们可以进一步求解这个方程，假设 a = 2，那么 b = 5 - 2*2 = 1所以经过定点(2,5)的函数可以表示为y=2x+1图像法：步骤一：根据条件绘制图像根据给定的定点，我们可以在坐标系上画出这个定点，作为函数的一个点。

在轴上通过定点画直线，这条直线将是经过定点的函数的图像的一部分。

步骤二：根据图像特点求取函数表达式根据经过的定点，我们可以观察图像特点，如斜率和方程的性质。

根据这些特点，我们可以找到一个满足条件的函数表达式。

举例说明：假设我们要求一个函数过点(2,5)，根据给定的定点，我们可以在坐标系上画出这个点，并通过这个点画一条直线。

观察直线的特点，我们可以看出它是递增的，且斜率为正。

根据这些特点，我们可以猜测这个函数可能是一个线性函数。

我们可以将其表示为 y = ax + b，代入定点坐标得到 5 = 2a + b。

我们可以从中解出满足条件的a和b的值，例如a=2，b=1所以经过定点(2,5)的函数可以表示为y=2x+1总结：对于求函数经过定点的问题，我们可以采用解方程法或图像法。

函数恒过定点问题1. 方程“ OX=0'的理解：若方程的解有无穷多个，贝U方程的系数均为02. 若方程mx=n有无数个解，则m= ____ ,n= ____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。

方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

一、直线过定点问题由“y-y / =k （x-x x）”求定点把含有参数的直线方程改写成“ y-y / =k （x-x x）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（X，, y/）例1:已知（k+1）x- （k-1 ）y-2k=0为直线I的方程，求证不论k取任何实数值时，直线I必过定点，并求出这个定点的坐标例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax+by=5必过定点练习题1 .直线I : kx - y+2k+1=0必过定点__________2 .直线y=mx+2m+1过定点_________3 .直线kx+3y+k - 9=0过定点 ________4 .设a+b=3,则直线ax+by=1恒过定点 __________5 .当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_________6 .直线（m- 1）x+y+2m+1=0S定点________7. 直线（2a- 1）x+2ay+3=0恒过的定点是________8. 对于任意实数m n，直线（m+n x+12my- 2n=0恒过定点的坐标是__________9. 若p，q满足条件3p- 2q=1，直线px+3y+q=0必过定点___________10 .直线（m- 1）x+ （2m+3 y -（m- 2）=0 恒过定点________二、抛物线过定点问题将解析式中除自变量和因变量之外的参数(设为 m 集中，形成(ax 2+bx+c ) m 的形式，根据题意可得ax 2+bx+c=0,解得定点的横坐标x o ，带入解析式求得纵 坐标y o ，函数图象一定过定点(x 0，y o )例1 •已知抛物线不论m 取何值，抛物线恒过某定点P ,则P 点的坐标为(A.( 2,- 5)B.( 2, 5)C. (- 2, 5)D.不能确定例2.兴趣小组研究二次函数化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,两个定点，请你写出这两个定点的坐标： 练习题1. 抛物线y=kx 2+ (2k+1) x+2恒过定点，请直接写出定点坐标 _________2. 抛物线y=x 2+mx- 2m 通过一个定点，则这个定点的坐标是 ____________ 的图象发现，m 的变 但这个二次函数的图象总经过。

函数恒过定点问题1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为02.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。

方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

一、直线过定点问题由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ）例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标例2：若实数a.b满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点练习题1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________2．直线y=mx+2m+14过定点________3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________二、抛物线过定点问题将解析式中除自变量和因变量之外的参数（设为m）集中，形成（ax2+bx+c）m 的形式，根据题意可得ax2+bx+c=0，解得定点的横坐标x，带入解析式求得纵坐标y0，函数图象一定过定点(x，y)例1．已知抛物线不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定例2.兴趣小组研究二次函数的图象发现，m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：练习题1.抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标________2.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是_________赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．)图(1)图(2)天)（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）．∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：B A D E MF信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．B 图(1)图(2)l答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

二次函数过定点题目：当我们说一个二次函数通过定点时，通常指的是函数图像上的一个特定点。

一个一般的二次函数可以写成[f(x) = ax^2 + bx + c]，其中 (a)、(b) 和 (c) 是常数，(a \neq 0)。

通过这个函数的顶点，可以找到它的顶点坐标，并用这些信息来解决问题。

下面是三个通过定点的二次函数题目，我们可以分别来解决它们：题目1:某二次函数的图象经过点 (P(3, 7))，并且在点 (Q(-1, 3)) 处的切线斜率为 4。

求这个二次函数的解析式。

解答：首先，根据条件得出函数图象经过点 (P(3, 7))，由此可知函数图象对应的二次函数过点 (P)，因此可以列出方程 (f(3) = 7)。

这样得到 (9a + 3b + c = 7)。

另外，切线的斜率为4，说明在点 (Q(-1, 3)) 处的导数值为4。

因此可以列出方程 (f'(-1) = 4)，这将得到 (-2a + b = 4)。

最后，因为函数图象对应的二次函数是一个二次函数，所以它的导数是一个一次函数。

根据函数的导数性质，可以得到函数图象对应的二次函数在顶点处的导数值为0。

由于顶点的横坐标为 (-\frac{b}{2a})，所以有 (-\frac{b}{2a} = 3)。

解出以上方程组即可得到二次函数的解析式。

题目2:已知抛物线 (y = ax^2 + bx + c) 的顶点为 (V(-2, 5))，求 (a)、(b)、(c) 的值。

解答：给出顶点，可以直接得到 (c) 的值，也就是 (c = 5)。

另外，顶点的横坐标为 (-\frac{b}{2a} = -2)。

结合这个信息可以得到一个关于 (a) 和 (b) 的方程。

最后，利用顶点的纵坐标 (5)，也就是 (f(-2) = 5)，可以得到另外一个关于 (a) 和 (b) 的方程。

解出以上方程即可得到 (a)、(b) 的值。

题目3:已知二次函数的图像包含点 ((1, 2)) 和 ((3, 8))，求该二次函数的解析式。

析函数图像恒过定点在中考或竞赛试题中，时有求解（或证明）某函数图像恒过定点的问题。

这类问题看似无处着手，难以解决，而实际上只要掌握了方法，解答起来并不困难。

下面介绍两种求解此类问题的方法，供大家参考。

题：（2001年北京市西城区中考题）无论m 为任何实数，二次函数y x m x m =+-+22()的图像总过的点是（ ）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）一、特殊值法依据：二次函数y x m x m =+-+22()的图像随着m 的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：y x x y x =+=+2222，。

联立方程组y x x y x =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2222， 解得x y ==⎧⎨⎩13 把x y y x m x m ===+-+1322，代入()中，无论m 为何值，等式总成立。

所以，抛物线群y x m x m =+-+22()中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。

故应选A 。

二、变换主元法依据：一元一次方程ax b =的解有三种情形：（1）当a ≠0时，方程有惟一解：x b a=； （2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；（3）当a=0，b ≠0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m 的值无关，相当于关于m 的一元一次方程am=b （a 、b 为含x 、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：将其二次函数整理变形为：()x m x x y -=+-122① 令x x x y x y -=+-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1020132，解得 所以，无论m 为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选A 。