人教版八年级数学下册 18.2.2.1菱形的性质 同步练习(包含答案)

18.2.2菱形同步习题一．选择题1．菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（）A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm2．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 3．菱形不具备的性质是（）A．对角线一定相等B．对角线互相垂直C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．165．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°6．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°7．如图，菱形ABCD中，在边AD、BC上分别截取DM＝BN，连接MN交AC于点O，连接DO，若∠BAC＝20°，则∠ODC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，过BD的中点O作AD的垂线，交AD 于点E，交BC于点F，连接DF，则DF的长度为（）A．B．C．D．9．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°10．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B 到AE的距离是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，则再添加一个条件：可判定四边形AFCE是菱形．（只添加一个条件）12．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD 的面积是cm2．13．如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC＝25°，则∠OED的度数是．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6．过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为．15．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝80°，则∠ACB＝°．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝2，求BD的长．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．参考答案一．选择题1．解：菱形ABCD如右图所示，∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；∵对角线BD＝10cm，∴BO＝DO＝5cm；在Rt△ADO中，AO＝＝＝．∴AD＝2AO＝．故选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：B．3．解：根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．进行的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等．故选：A．4．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，故选：B．6．解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠CBF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠OAM＝∠OCN，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OA＝OC，∵四边形ABCD是菱形，∴点O为BD与AC的交点，∵∠ACD＝∠BAC＝20°，∴∠ODC＝90°﹣∠ACD＝70°．故选：D．8．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，O是BD的中点，∴OD＝OB＝BD＝4，AD＝AB＝5，AC⊥BD，∴OA＝＝3，∵OE⊥AD，∴△AOD的面积＝AD×OE＝OA×OD，∴OE＝＝＝，同理：OF＝，∴EF＝OE+OF＝，∵DE＝＝＝，∵EF⊥AD，∴DF＝＝＝；故选：D．9．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．10．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二．填空题11．解：添加AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，又∵DE＝BF，∴AE＝FC．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AE＝AF，∴四边形AFCE是菱形．故答案为：AE＝AF．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝25°，∴∠ABC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．∵DE⊥BC，在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°．∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．14．解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6．∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，AC⊥BD，OA＝OC＝3，∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵，∴＝5DE，解得，DE＝，故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠FBC＝80°，∠DAC＝∠ACB，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠F AB＝∠FBA＝（180°﹣∠AFB）＝50°，∴∠DAC＝∠BAC＝25°，∴∠ACB＝25°，故答案为：25．三．解答题16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点∴BE＝CE＝BC，AF＝AD，∴CE＝AF，CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：则∠ABG＝90°﹣∠ABC＝30°，∴AG＝AB＝1，BG＝AG＝，∵AD＝BC＝2AB＝4，∴DG＝AG+AD＝5，∴BD＝＝＝2．17．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝．18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．。

2021年人教版数学八年级下册18.2.2 《菱形》同步练习一、选择题1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形8.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m12.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（）A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）A.CF＞GBB.GB=CFC.CF＜GBD.无法确定15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（）A、36°B、72°C、120°D、44°二、填空题1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）．2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．三、解答题1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE 是菱形．5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形答案：B知识点：坐标与图形性质；菱形的判定解析：解答：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．分析：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形答案：B知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③答案：A知识点：菱形的判定；平行四边形的性质解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．分析：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形答案：B知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．分析：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形答案：D知识点：等边三角形的性质；菱形的判定解析：解答：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选C．分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．8.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分答案：D知识点：菱形的判定解析：解答：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．分析：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形答案：C知识点：菱形的判定；平方的非负性解析：解答：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，∴四边形一定是菱形．解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，∴a=b=c=d，∴四边形一定是菱形，故选C．分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A、是正方形B、是长方形C、是菱形D、以上答案都不对答案：C知识点：垂径定理；菱形的判定解析：解答：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．由垂径定理知，OC 垂直平分AB ，即OC 与AB 互相垂直平分，所以四边形OACB 是菱形．故选C ．分析：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．11.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12mB ．20mC ．22mD ．24m答案：C知识点：菱形的性质；等边三角形的性质解析：解答：连接AC ，已知∠A=120°，ABCD 为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC 为正三角形，以△ABC 的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC 边长的31，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为31×6×10＝20m ，故选B ．分析：本题综合考查了菱形的性质和等边三角形的性质．12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线互相垂直且对角相等D ．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 答案：C知识点：菱形的判定解析：解答：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A 、B 、D 都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C 正确．故选C ．分析：本题综合考查了菱形的判定．13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）A ．有一组对边平行且相等，有一个角是直角B ．两组对边分别相等，且有一组邻角相等C ．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D ．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角答案：D知识点：菱形的判定解析：解答：A ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B ．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D．分析：本题综合考查了菱形的判定．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）A.CF＞GBB.GB=CFC.CF＜GBD.无法确定答案：B知识点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质解析：解答：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，在△ACF与△AHF中∵AF平分∠CAB交CD于E，又∵AF=AF，∴△ACF≌△AHF，∴AC=AH，同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，又∵∠CAD与∠CAB为同一角，∴∠ACD=∠B，∴∠AHE=∠B，∴EH∥BC，∵CD⊥AB，FH⊥AB，∴CD∥FH，∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，∴CF=EH=，EH=GB，∴CF=GB．故选B．分析：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（）A、36°B、72°C、120°D、44°答案：C知识点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质解析：解答：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．解：如图，连接AD，BD，∵AB=AC，AC=CD，∴AB=CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABDC是菱形，∵DE垂直平分腰AB，∴AD=BD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠A=2∠DAB=120°，∴∠A的度数为120°．故选C．分析：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．二、填空题（共5小题）1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________ （只填一个你认为正确的即可）．答案：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD知识点：菱形的判定解析：解答：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）分析：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．答案：AB=AD或AC⊥BD知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．分析：本题考查菱形的判定，答案不唯一．3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）答案：AC⊥EF或AF=CF等知识点：菱形的判定；平行四边形的性质；角平分线的性质解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．证明：∵AD∥BC，∴∠FAD=∠AFB，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=FAD，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，同理ED=CD，∵AD=BC，AB=CD，∴AE=CF，又∵AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形，∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．分析：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．答案：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．（3）（4）（5）⇒ABCD是菱形．由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．由（3）（4）得出四边形是平行四边形，再由（6）得出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，所以平行四边形是菱形．分析：本题考查菱形的判定．5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．答案：AB=BC或者AC⊥BD知识点：菱形的判定解析：解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．分析：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．三、解答题（共5小题）1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；菱形的判定解析：解答：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE，又∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABEC为菱形．分析：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定解析：解答：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∴四边形BFDE是菱形．分析：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定解析：解答：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF 实菱形．证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．分析：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE 是菱形．答案：见解析知识点：菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）分析：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．答案：见解析知识点：全等三角形的判定；菱形的判定解析：解答：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB；（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：∵CN∥BD，BN∥AC，∴四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴BM=CM（等角对等边），∴四边形BMCN是菱形，∴BN=CN．分析：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．。

人教版八年级数学下册《18.2.2菱形》同步提升训练(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．矩形和菱形都具有的性质是（ ）A ．邻边相等B ．对边相等C ．对角线互相垂直D ．对角线相等 2．在菱形ABCD 中140ADC ∠=︒，连接BD ，则BDA ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．40︒D ．20︒3．若四边形ABCD 是菱形，且4cm AB =，则四边形ABCD 的周长是（ ）A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．不确定 4．如图，在菱形ABCD 中5,8AB BD ==，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．25C ．40D ．48 5．如图，在ABCD 中，AC 平分DAB ∠，60DAB ∠=︒，4=AD ，则AC 的长为（ ）A ．5B ．23C ．2D ．436．如图，四边形ABCD 中AB BC CD DA ===，80B ∠=︒连接AC ，那么ACD ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒7．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ）A ．四边形ABCD 由矩形变为菱形B ．对角线AC 的长度不变 C ．四边形ABCD 的面积不变 D ．四边形ABCD 的周长不变8．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝4，AD ＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．6C ．24D ．39．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形则OH 的长为（ ）10．如图，在平行四边形ABCD 中（AD AB >），以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AD 于点F ，连结BF ，分别以点B 和点F 为圆心、以适当长为半径作圆弧交于点G ，连接AG 并延长交BC 于点E ． 若12BF =，10AB =则AE 的长为（ ）A ．18B ．16C ．12D ．20二、填空题 11．已知在菱形ABCD 中20B ∠=︒，则D ∠的大小是 °． 12．如图，菱形ABCD 的周长是8cm ，AB 的长是 cm ．13．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若6AC =,24ABCD S =菱形则AB 的长为 .14．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30︒的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD 的面积为15．如图，在菱形ABCD 中60ABC ∠=︒，83AB =点E 为AD 边上一点，且AE 23=，在BC 边上存在一点F ，CD 边上存在一点G ，线段EF 平分菱形ABCD 的周长．则EFG 周长的最小值为 .三、解答题16．如图，C 是直线l 上的点，AC l ⊥，点B 是直线l 上的一个动点，且在C 点右侧，以AB的上方作ABDE，若参考答案：1．B2．B3．C4．A5．D6．B7．D8．A9．A10．B11．2012．213．514．815．6712+16．(1)4CB=；(2)315CB=．17．AG的长为53．3 18．(1)四边形ABCD是菱形(2)2(3)3或1。

人教版八年级下册18.2.2 菱形 同步课时练习一、选择题1．萎形不一定具备的性质是（ ） A ．对边平行且相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分D ．对角线相等2．矩形和菱形都一定具有的性质是（ ） A ．对角线互相垂直 B ．对角线互相平分 C ．对角线长度相等D ．对角线平分一组对角3．如图,下列条件中,能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A ．AB CD = B ．AD BC = C ．AB BC =D ．AC BD =4．在平行四边形ABCD 中,添加下列条件能够判定平行四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．AC ⊥BDB ．AB ＝CDC ．AB ⊥BCD ．AC ＝BD5．下列命题中,假命题是（ ） A ．对角线垂直的平行四边形是菱形 B ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相平分且平分一组内角的四边形是菱形 D ．对角线相等且垂直的四边形是菱形6．如图,在菱形ABCD 中,点E 、F 分别是AB 、AC 的中点,如果4EF =,那么菱形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．24C ．28D ．327．若菱形ABCD 的边长为2,其中∠ABC ＝60°,则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．238．如图,已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8,M 、N 分别是边BC 、CD 的中点,P 是对角线BD 上一点,则PM +PN 的最小值是（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8二、填空题9．在菱形ABCD 中,AB ＝2,则菱形的周长是___．10．菱形两条对角线长为8cm 和6cm,则菱形面积为_______cm 2．11．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”,这是个______命题．（填“真”、“假”）12．如图,在ABC 中,已知E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点,且//DE AC ,//DF AB ,请你添加一个________条件,使四边形AEDF 是菱形．13．如图,在菱形ABCD 中,∠BAD =45°,DE 是AB 边上的高,BE =2,则AB 的长是____．14．如图,在菱形ABCD 中,6BC =,点E 是AD 的中点,连接OE,则OE=_____________．15．如图,在矩形ABCD 中,边AB 的长为3,点E ,F 分别在AD ,BC 上,连接BE ,DF ,EF ,BD ．若四边形BEDF 是菱形,且=+EF AE FC ,则边BC 的长为______．16．如图,菱形ABCD 中,E 、F 分别在BC CD 、边上,AB AE =,且AEF 是等边三角形,则C ∠=_______．三、解答题17．如图,平行四边形ABCD 中,对角线BD 平分ABC ∠．求证：平行四边形ABCD 是菱形．18．如图,在▱ABCD 中,点O 是对角线BD 的中点,过点O 作EF ⊥BD ,垂足为点O ,且交AD ,BC 分别于点E ,F ． 求证：四边形BEDF 是菱形．19．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,CE ∥BD ,DE ∥AC ,AD =23,DE =2,求四边形OCED 的面积．20．如图,在四边形ABCD 中,AB DC ∥,AB AD =,对角线AC 、BD 交于点O ,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若8AC =,6BD =,求CE 的长．21．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,//BE AC ,//AE BD ,OE 与AB 交于点F ．(1)试判断四边形AEBO 的形状,并说明理由； (2)若5OE =,8AC =,求菱形ABCD 的面积．22．如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ．(1)如图1,若∠BAE＝30°,AE＝3,求菱形ABCD的周长及面积；(2)如图2,作AF⊥CD于点F,连接EF,BD,求证：EF∥BD；(3)如图3,设AE与对角线BD相交于点G,若CE＝4,BE＝8,四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2,求S1﹣S2的值．参考答案1．D【解析】【分析】本题考查菱形的性质,菱形两组对边平行,四条边相等,两组对角相等,对角线互相垂直平分,以此可以求解．【详解】解：A、菱形的对边平行且四边相等,此选项说法正确,不符合题意；B、菱形的两组对角相等,此选项说法正确,不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分,此选项说法正确,不符合题意；D、菱形的对角线不相等,此选项说法错误,符合题意．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质,熟悉菱形的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形和矩形的性质对各选项分别进行判断．【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分,而矩形的对角线互相平分且相等,所以A选项错误；B、菱形和矩形的对角线都互相平分,所以B选项正确；C、菱形的对角线互相垂直平分,而矩形的对角线互相平分且相等,所以C选项错误；D、菱形的对角线互相垂直平分且平分每组对角,而矩形的对角线互相平分且相等,所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.也考查了矩形的性质．解题关键是掌握菱形的性质及矩形的性质．3．C【解析】【分析】根据菱形的性质逐个进行证明,再进行判断即可．【详解】解：A、▱ABCD中,本来就有AB=CD,故本选项错误；B、▱ABCD中本来就有AD=BC,故本选项错误；C、▱ABCD中,AB=BC,可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形,故本选项正确；D、▱ABCD中,AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形,即可判定▱ABCD是矩形,而不能判定▱ABCD是菱形,故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定的应用,注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．A【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定,即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形,故选：A．．【点睛】本题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．D【解析】【分析】利用菱形的判定定理分别对每个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【详解】解：A、正确,是真命题；B、正确,是真命题；C、正确,是真命题；D、对角线相等且垂直的四边形也可能是等腰梯形,故错误,是假命题,故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解菱形的判定定理,属于基础题,比较简单．6．D根据三角形的中位线定理易得BC=2EF,那么菱形的周长等于4BC【详解】解：点E、F分别是AB、AC的中点,4EF=,∴==,BC EF28四边形ABCD是菱形,∴菱形ABCD的周长是：4832⨯=．故选：D．【点睛】本题考查三角形的中位线定理和菱形周长,掌握这两个知识点是关键．7．D【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于E,由含30°角的直角三角形的性质得BE＝1,再求出AE的长,然后由菱形的面积公式即可得解．【详解】解：如图,过点A作AE⊥BC于E,则∠AEB＝90°,∵菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,AB＝1,∴BE＝12∴AE33∴菱形的面积＝BC×AE＝2×33故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质,解直角三角形,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．8．A作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,此时MP +NP 的值最小,连接AC ,求出CP 、BP ,根据勾股定理求出BC 长,证出MP +NP =QN =BC ,即可得出答案． 【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,此时MP +NP 的值最小,连接AC ,则P 是AC 中点,∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,∠QBP =∠MBP , 即Q 在AB 上, ∵MQ ⊥BD , ∴AC ∥MQ , ∵M 为BC 中点, ∴Q 为AB 中点,∵N 为CD 中点,四边形ABCD 是菱形, ∴BQ ∥CD ,BQ =CN ,∴四边形BQNC 是平行四边形, ∴PQ ∥AD ,而点Q 是AB 的中点,故PQ 是△ABD 的中位线,即点P 是BD 的中点, 同理可得,PM 是△ABC 的中位线, 故点P 是AC 的中点,即点P 是菱形ABCD 对角线的交点, ∵四边形ABCD 是菱形, 则△BPC 为直角三角形, 113,422CP AC BP BD ====, 在Rt △BPC 中,由勾股定理得：BC =5, 即NQ =5,∴MP +NP =QP +NP =QN =5, 故选：A ．本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9．8cm【解析】【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm,故答案为：8cm．【点睛】本题主要考查菱形的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．24【解析】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可．【详解】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；故答案为24．【点睛】本题考查的是菱形的面积的计算,掌握“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解本题的关键.11．假．【解析】【分析】利用菱形的判定定理判断后即可确定正确的答案．【详解】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故错误,是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解菱形的判定方法,难度不大．12．AE AF（不唯一）【解析】先根据平行四边形的判定可得四边形AEDF是平行四边形,再根据菱形的判定即可得．【详解】DE AC DF AB,解：//,//∴四边形AEDF是平行四边形,则当AE AF=时,平行四边形AEDF是菱形,故答案为：AE AF=（不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的判定,熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．13．4+【解析】【分析】设AB=x,根据勾股定理列方程为：AD2=AE2+DE2,则x2=(x−2)2+(x−2)2,解方程可解答．【详解】解：设AB=x．∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=x．∵DE是AB边上的高,∴∠AED=90°．∵∠BAD=45°,∴∠BAD=∠ADE=45°,∴AE=ED=x﹣2,由勾股定理得：AD=AE2+DE2,∴x2=(x﹣2)2+(x﹣2)2,解得：x1,x2=4﹣∵BE=2,∴AB＞2,∴AB=x故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质,等腰直角三角形的性质和勾股定理,熟练掌握菱形的性质是解题的关键．14．3【分析】由菱形的性质可得出AC ⊥BD,AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC ⊥BD,AB=BC=CD=DA=6, ∴△AOD 为直角三角形． ∵点E 为线段AD 的中点,AD=6, ∴OE=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质,本题属于基础题,难度不大．15．【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质可利用“HL ”间接证明ABE CDF ≅,即得出AE =CF ．由=+EF AE FC ,即可证明AE =OE ,继而可再次利用“HL ”证明ABE OBE ≅,即得出ABE OBE ∠=∠,从而可求出1303ABE DBE DBC ABC ∠=∠=∠=∠=︒,最后由含30角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =CD ,90A C ∠=∠=︒． ∵四边形BEDF 是菱形,∴BE =DF ,OE =OF ,DBE DBC ∠=∠∴在ABE △和CDF 中AB CDBE DF=⎧⎨=⎩ ,∴()ABE CDF HL ≅, ∴AE =CF ．∵=+EF AE FC ,即OE OF AE FC +=+ ∴AE =OE ,∴在ABE △和OBE △中AE OEBE BF =⎧⎨=⎩,∴()ABE OBE HL ≅,∴ABE OBE ∠=∠∴1303ABE DBE DBC ABC ∠=∠=∠=∠=︒．∴26BD CD ==,∴BC ===故答案为： 【点睛】本题考查矩形、菱形的性质,全等三角形的判定和性质,含30角的直角三角形的性质以及勾股定理,综合性强．掌握各知识点,利用数形结合的思想是解答本题的关键． 16．100︒ 【解析】 【分析】根据菱形性质可得AB =AD =BC =CD ,∠C =∠BAD ,∠B +∠BAD =180°,由AEF 是等边三角形,可得∠EAF =60°,AE =AF ,由AB =AE ,可得∠B =∠BEA =∠AFD =∠D ,可求∠BAE =∠DAF ,设∠BAE =∠DAF =m °,根据两直线平行同旁内角互补可列方程()11802m ︒-︒+60°+2m °=180°求解即可． 【详解】解：在菱形ABCD 中,AB =AD =BC =CD ,∠C =∠BAD ,∠B +∠BAD =180°, ∵AEF 是等边三角形, ∴∠EAF =60°,AE =AF , ∵AB =AE , ∴AD =AF =AB =AE ,∴∠B =∠BEA =∠AFD =∠D ,∴∠BAE =180°-∠B -∠AEB =180°-∠AFD -∠D =∠DAF , 设∠BAE =∠DAF =m °, ∴∠B =()11802m ︒-︒,∠BAD =60°+2m °, ∴()11802m ︒-︒+60°+2m °=180°, 解得m =20°, ∴∠C =∠BAD =60°+40°=100°． 故答案为100°． 【点睛】本题考查菱形性质,等边三角形性质,等腰三角形性质,平行线性质,利用同旁内角互补建构方程是解题关键．17．证明见解析 【解析】 【分析】根据题意可得：13∠=∠,从而AB AD =,即可解答． 【详解】 证明：如图,∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴//AD BC , ∴23∠∠=． 又∵BD 平分ABC ∠, ∴12∠=∠, ∴13∠=∠, ∴AB AD =,∴平行四边形ABCD 是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定,平行四边形的性质,解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理,平行四边形的性质定理,并能灵活运用相关知识进行证明． 18．证明见解析 【解析】 【分析】证△DOE ≌△BOF （ASA ）,得OE =OF ,再证四边形EBFD 是平行四边形,然后由EF ⊥BD 即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,O 为对角线BD 的中点, ∴BO =DO ,AD ∥BC , ∴∠EDB =∠FBO ,在△EOD 和△FOB 中,EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；又∵OB =OD ,∴四边形BEDF 是平行四边形, ∵EF ⊥BD ,∴平行四边形BEDF 为菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定,平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识,证明△DOE ≌△BOF 是解题的关键． 19．23 【解析】 【分析】连接OE ,与DC 交于点F ,只要证明四边形ODEC 是菱形,四边形ADEO 是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：∵CE //BD ,DE //AC , ∴四边形OCED 是平行四边形. ∴OD =EC ,OC =DE .∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O , ∴OD =OC .∴平行四边形OCED 是菱形. 连接OE , ∵DE =2,∴AC =2OC =2DE =4, ∵AD =23,∴DC =22224(23)2AC AD -=-=, ∵DE ∥AC ,AO =OC =DE , ∴四边形AOED 是平行四边形. ∴OE =AD =23.∴四边形OCED 的面积为2 3.2DC OE⨯=本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,利用菱形的性质解决问题． 20．(1)见解析； (2)245【解析】 【分析】（1）先判断出OAB DCA ∠=∠,进而判断出DAC DCA ∠=∠,得出CD AD AB ==,此题得证； （2）根据菱形的性质得到OA OC =,BD AC ⊥,132OB OD BD ===,由勾股定理可以求出AB 的长,然后通过菱形的面积公式可以求出CE 的长． (1)证明：∵//AB DC , ∴OAB DCA ∠=∠, ∵AC 平分∠BAD , ∴OAB DAC ∠=∠, ∴DAC DCA ∠=∠, ∴CD AD =, ∵AB=AD , ∴AB CD =, ∵//AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形, 又∵AB AD =,∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵四边形ABCD 是菱形,BD ＝6,AC =8,∴118422OA OC AC ===⨯=,BD AC ⊥,116322OB OD BD ===⨯=, ∴90AOB ∠=︒,在Rt AOB △中,根据勾股定理可知,5AB =,∴菱形的面积11862422S AC BD ==⨯⨯=, ∵CE AB ⊥,∴菱形面积524S AB CE CE ===, ∴245CE =． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)四边形AEBO 是矩形,理由见解析； (2)24． 【解析】 【分析】（1）根据//BE AC ,//AE BD 可先证明四边形AEBO 是平行四边形,再利用菱形对角线互相垂直平分可得90AOB ∠=︒,即可证明四边形AEBO 是矩形；（2）利用菱形对角线互相平分的性质可知4OA =,利用勾股定理可求出3AE =,进一步得6BD =,利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． (1)解：四边形AEBO 是矩形,理由如下： ∵//BE AC ,//AE BD ,∴四边形AEBO 是平行四边形, ∵ABCD 是菱形, ∴BD AC ⊥, ∴90AOB ∠=︒,∴四边形AEBO 是矩形． (2)解：∵8AC =, ∴4OA =,∵5OE =且90OAE ∠=︒, ∴3AE OB ==, ∴6BD =,∴菱形ABCD 的面积1=242BD AC =． 【点睛】本题考查菱形的性质和面积,矩形的判定定理,勾股定理解三角形,掌握矩形的判定定理：有一个角等于90︒的平行四边形是矩形,是解本题的关键之一,另一个关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．22．(1)周长为,面积为(2)见解析【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得2AB BE = ,再由勾股定理可得BE =,从而得到BC AB == ,即可求解； （2）根据菱形的性质和AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,可得△ABE ≌△ADF ,从而得到BE =DF ,进而得到CE =CF ,则有∠CBF =∠CBD =12（180°-∠C ）,即可求证；（3）连接CG ,可先证明△ADG ≌△CDG ,可得到AG =CG ,△ADG 和△CDG 的面积相等,从而得到S 1﹣S 2=S △CEG ,再由勾股定理可得AE =,然后设EG x = ,则CG AG x == ,根据勾股定理可得EG =,即可求解． (1)解：∵AE ⊥BC ,∠BAE ＝30°, ∴2AB BE = , ∵AE ＝3,∴()222222233AB BE BE BE BE -=-== ,∴BE =, ∴AB =,∵四边形ABCD 是菱形,∴BC AB ==,∴菱形ABCD 的周长为4=,面积为3AE BC ⨯=⨯； (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABE =∠ADF ,AB =AD =BC =CD , ∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD , ∴∠AEB =∠AFD =90°, 在△ABE 和△ADF 中,∵∠ABE =∠ADF ,∠AEB =∠AFD ,AB =AD , ∴△ABE ≌△ADF （AAS ）, ∴BE =DF ,∵BC =CD , ∴CE =CF ,∴∠CBF =∠CBD =12（180°-∠C ）,∴EF ∥BD ； (3)解：连接CG ,∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ADG =∠CDG ,AD =CD , 在△ADG 和△CDG 中,∵AD =CD ,∠ADG =∠CDG , DG =DG , ∴△ADG ≌△CDG ,∴AG =CG ,△ADG 和△CDG 的面积相等, ∴S 1﹣S 2=S △CEG , ∵CE ＝4,BE ＝8, ∴AB =BC =CE +BE =12, ∵AE ⊥BC ,∴222212845AE AB BE -=-=, 设EG x = ,则45CG AG x == , ∵222EG CE CG += , ∴()22245x x += , 解得：855x,即85EG =, ∴121185165422CEGS S S CE EG -==⨯=⨯=． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握菱形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理是解题的关键．。

18.2.2菱形 同步习题一．选择题1．下列关系中,是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）A ．对角线垂直B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等 2．如图,菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ,点E 是边AB 的中点,若3OE =,则BC 的长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,6AC =,8BD =,EF 为过点O 的一条直线,则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．124．如图,在MON ∠的两边上分别截取OA ,OB ,使OA OB =；再分别以点A ,B 为圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点C ；再连接AC ,BC ,AB ,OC ．若2AB =,4OC =,则四边形AOBC 的面积是（ ）A ．45B ．8C ．4D ．525．如图,四边形ABCD 为菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,DH ⊥AB 于点H ,连接OH ,∠CAD ＝25°,则∠DHO 的度数是（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图,在菱形ABCD中,AB＝5cm,∠ADC＝120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）,点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF 为等边三角形,则t的值为（）A．B．C．D．7．如图,菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF．当∠BAD＝100°时,则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°8．如图,菱形ABCD中,点M、N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB．若NF＝4,NM＝8,ME＝8,则AN 等于（）A．6B．8C．10D．129．如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC＝8cm,BD＝6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则BH＝（）A．B．C．D．10．如图所示,在菱形ABCD中,AB＝4,∠BAD＝120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC 、CD 上滑动,且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时,△CEF 的面积最大值是（ ）A ．B ．2C ．D ．二．填空题11．如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 边上的点,且∠ADE ＝∠CBF ,连接BD ,EF ．补充一个条件,可使四边形EBFD 是菱形,这个条件是 ．12．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,且24cm AC =,10cm BD =,则菱形ABCD 一边上的高DH 长为______cm ．13．如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D ',分别连接A 'C ,A 'D ,B 'C ,则A 'C +B 'C 的最小值为_____．14．如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,且OA=OC,OB=OD ．请你添加一个适当的条件：______________,使四边形ABCD 成为菱形．15．如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝60°,E ,H 分别为AB ,BC 的中点,G ,F 分别为线段HD ,CE 的中点．若线段FG 的长为2,则AB 的长为 ．三．解答题16．如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE＝DE,连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2,CE＝1时,求菱形的边长．17．如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点,连接BF交AC于E,且AE＝AF,若AF＝3,AB＝5,求AO的长．18．在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC垂直平分BD,BD平分∠ADC．（1）如图1,求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．19.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点.（1）求证：ABE ADF ≌；（2）若3,60BE C =∠=︒,求菱形ABCD 的面积.20.如图,已知在菱形ABCD 中,F 为边BC 的中点,DF 与对角线AC 交于点M,过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC 的长;(2)求证:AM=DF+ME.参考答案一．选择题1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A11．：BD ⊥EF ．12．1201313314．AB=AD.15. 616．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE＝∠CBE,AB＝CB,在△ABE和△CBE中,,∴△ABE≌△CBE（SAS）,∴AE＝CE,∵AE＝DE,∴CE＝DE；（2）解：如图,连接AC交BD于H,∵四边形ABCD是菱形,∴AH⊥BD,BH＝DH,AH＝CH,∵CE＝DE＝AE＝1,∴BD＝BE+DE＝2+1＝3,∴BH＝BD＝,EH＝BE﹣BH＝2﹣＝,在Rt△AHE中,由勾股定理得：AH＝＝＝,在Rt△AHB中,由勾股定理得：AB＝＝＝, ∴菱形的边长为．17．（1）证明：∵AB∥CD,∴∠OAB＝∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB＝∠DAC,∴∠DCA＝∠DAC,∴CD＝AD,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD＝AB,∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC,BD⊥AC,OB＝OD＝BD＝3,∴OA＝＝＝4,∴AC＝2OA＝8,∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24,∵CE⊥AB,∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24,∴CE＝．18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC＝AC,∵2DE＝AC,∴DE＝OA,又∵DE∥AC,∴四边形OADE是平行四边形,∴AF＝EF；（2）解：连接CE,∵DE∥OC,DE＝OC,∴四边形OCED是平行四边形,又∵菱形ABCD,∴AC⊥BD,∴四边形OCED是矩形,∴∠OCE＝90°,又∵AB＝2DE＝AC,∴△ABC为等边三角形,∵在菱形ABCD中,∠ABC＝60°,∴AC＝AB＝2,AO＝AC＝1,∴在矩形OCED中,CE＝OD＝＝,∴在Rt△ACE中,AE＝＝．19答案：（1）证明：由图可知,BD 垂直平分AC ,且5AB BC CD AD ====.所以,四边形ABCD 为菱形.（2）8AC =,BD AC ⊥且BD 平分AC .4OA OC ∴==.∴在Rt AOB △中,2222543OB AB OA =-=-=.2236BD OB ∴==⨯=.∴BD 的长为6.20. (1)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴CB=CD,AB ∥CD,∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠2=∠ACD,∴MC=MD.∵ME ⊥CD,∴CD=2CE=2,∴BC=CD=2.(2)证明:如图,延长DF 交AB 的延长线于点G.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠BCA=∠DCA,BC=CD.∵BC=2CF,CD=2CE,∴CE=CF.∵CM=CM,∴△CEM ≌△CFM,∴ME=MF.∵AB ∥CD,∴∠2=∠G,∠BCD=∠GBF.∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF.∵∠1=∠2,∠G=∠2, ∴∠1=∠G,∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.。

人教版数学八年级下册18.2.2《菱形》同步练习一、选择题1.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )A. B. C. D.2.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角5.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A.①③B.②③C.③④D.①②③6.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°7.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠B:∠BCD=1:2,则对角线AC的长等于( )A.5B.10C.15D.208.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC9.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A.6米B.6米C.3米D.3米10.如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题11.在菱形ABCD 中，AC=3，BD=6，则菱形ABCD的面积为．12.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）.13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.15.在图中所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为________.三、解答题16.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．17.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．18.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF．19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．20.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．参考答案1.C.2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.B9.A.10.B11.答案为：9．12.答案为：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD;13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：16.15.答案为：12；16.解：(1)如图所示，直线EF即为所求；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．17.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴BE=1．18.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BOA=∠DAE，∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE，∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，∴∠ABF=∠DAE，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)；(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF，∵AF=AE+EF=BF+EF，∴DE=BF+EF．19.（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．20.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，∴菱形BFDE的面积为：×2=。

菱形的性质一、单选题1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.两组对角分别相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【答案】D【解析】【分析】根据菱形和矩形的性质即可做出判断．【详解】菱形和矩形的两组对角都相等A不符合；菱形的对角线有可能相等而矩形的对角线相等，B不符合；菱形的对角线相互平分，矩形的对角线也相互平分，C不符合；菱形的对角线相互垂直，矩形的对角线不一定相互垂直，D符合．【点睛】本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．2.若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（）A.20cmB.18cmC.16cmD.12cm【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长.【详解】∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长＝4×5＝20cm．故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键.3.如图，已知菱形AAAA，∠A=80°，则∠AAA角度是（）A.60°B.50°C.40°D.70°【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对边平行，得到AA∥AA，进而得出∠AAA=100°，再根据菱形对角线平分一组对角，得出∠AAA角度. 【详解】解：∵AA∥AA∴∠AAA=100°，又∵菱形对角线平分一组对角，∴∠AAA=50°.故选：B.【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：对边平行，对角线平分一组对角，是解题的关键.4.如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6cm，则对角线AC的长度是（）A.8cmB.4cmC.3cmD.6cm【答案】A【解析】【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝6cm，∴BO＝3cm，∵AB＝5cm，∴AO＝√52−32＝4（cm），∴AC＝2AO=8cm．故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，要注意菱形的对角线互相垂直，有直角即可用勾股定理求某些边的长.5.如图，四边形AAAA为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形AAAA的面积等于（）A.4B.6C.4√3D.4√5【答案】A【解析】【分析】根据菱形的对角线互相平分求算出AC、BD的长度，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算．【详解】解：∵四边形AAAA为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)∴AA=AA=2,AA=AA=1∴AA=4,AA=2∴菱形AAAA的面积=12×2×4=4故答案选：A【点睛】本题考查菱形的性质以及面积求算，掌握菱形的对角线互相平分以及菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．6.如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )A.4B.125C.245D.5【答案】C【解析】【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=12AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=12AC•BD可得答案．【详解】解：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=12AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=√52−32=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是12×AC•DB=12×6×8=24，∴BC•AE=24，AE=245，故选C.【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．二、填空题7.如图所示，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=120°，则△ABC的周长___________【答案】30【解析】【分析】根据题意证明AB=BC，∠BAC=60°，得到△ABC为等边三角形，进行分析即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BAC= 12∠BAD=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=BC=AB=10，∴△ABC的周长为30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查菱形的性质及其应用问题；熟练掌握菱形的性质是解题的基础和关键．8.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝________°【答案】25【解析】【分析】根据菱形的性质得到∠AAA=12∠AAA=65°，再根据垂直的定义即可得到∠BDE．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠AAA=12∠AAA=65°∵DE∠AB∴∠BDE＝90°-∠AAA=25°故答案为：25．【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每组内角．9.菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于_____．【答案】1【解析】【分析】AA,由此即可解决问题．如图作BH⊥AD，首先求出∠A=30°，在Rt△ABH中，可得AA=12【详解】解：如图，作BH⊥AD，∵菱形的周长为8，∴AB=2，BC∥AD，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A：∠ABC＝1：5，∴∠A=30°，AA=1.在Rt△ABH中，AA=12故答案是：1．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2015厘米后停下，则这只蜜蜂停在_____点．【答案】G点【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等可知，蜜蜂飞行一周的路程为8，用2015除以8，再根据余数确定停靠的点即可．【详解】解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，∴蜜蜂沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1=8cm，∵2015÷8=251…7，∴飞行2015厘米后停下的点与飞行7cm后停下的点相同，由图可知，飞行7cm后停在点G，所以，这只蜜蜂停在G点．故答案为：G【点睛】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四条边都相等确定飞行一周的路程为8cm是解题的关键．三、解答题11.如图，AA是菱形AAAA的对角线，点A，A分别在边AA，AA上，且AA=AA.求证：AA=AA.【答案】证明见解析.【解析】【分析】由四边形AAAA是菱形，可得：AA=AA，∠A=∠A，然后根据SAS即可证明AAAA≅AAAA，进而得到结论. 【详解】∵四边形AAAA是菱形，∴AA=AA，∠A=∠A，在△AAA和AAAA中，∵{AA=AA ∠A=∠A AA=AA，∴AAAA≅AAAA(AAA)，∴AA=AA.【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，是解题的关键.12.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．∠E=50°，求∠BAO的大小．【答案】∠AAA=40°【解析】【分析】先证明四边形AAAA是平行四边形，得到∠AAA=∠A=50°，再根据菱形性质得到AA⊥AA，根据直角三角形两锐角互余得到∠AAA=40°．【详解】证明：∵四边形AAAA是菱形，∴AA=AA，AA//AA，又∵AA=AA，∴AA=AA，AA//AA，∴四边形AAAA是平行四边形，∴AA//AA，∴∠AAA=∠A=50°，又∵四边形AAAA是菱形，∴AA⊥AA，∴∠AAA=90°−∠AAA=40°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．13.如图，在菱形AAAA中，对角线AA与AA交于点A．过点A作AA的平行线，过点A作AA的平行线，两直线相交于点A．（1）求证：四边形AAAA是矩形；（2）若AA=1，AA=2，则菱形AAAA的面积是．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×4×2=4．故答案是：4．【点睛】此题考查矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，解题关键在于首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，（1）求证：∠DHO=∠DCO．（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．【答案】（1）见解析；（2）20，24【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，从而得出DH⊥CD，∠DHB=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OD=OB，然后根据等边对等角可得解图中∠1=∠DHO，然后根据同角的余角相等和等量代换即可得出∠DHO=∠DCO；（2）根据菱形的性质可得OD=OB=12BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，然后根据勾股定理即可求出CD，从而求出菱形的周长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB=90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH=OD=OB，∴∠1=∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO=90°，∴∠1=∠DCO，∴∠DHO=∠DCO（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB=12BD=3，AC=2OC=8，BD⊥AC，在Rt△OCD中，CD= √AA2+AA2=5菱形的周长=4CD=20，菱形ABCD的面积=12BD·AC=24．【点睛】此题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和菱形的面积公式，掌握菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角、勾股定理和菱形的面积等于对角线乘积的一半是解决此题的关键．。

18．2.2菱形第1课时菱形的性质1．菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是( )A．2.5 B．3 C．4 D．5 4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是( )A．5 B．20 C．24 D．32 5．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF的度数是( )A．75°B．60°C．50°D．45°6．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.7．菱形ABCD 的对角线分别为18 cm 与12 cm ，则此菱形的面积为 ． 8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AO ＝3，∠ABC ＝60°，则菱形ABCD 的面积是( )A ．18B ．18 3C ．36D ．363 9．四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上．若OE ＝3，则CE 的长为 ．10．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．32 11．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为( )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为( )A.125B.185 C ．4 D.245 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(3，3)14．如图，在菱形ABCD 中，作BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，分别交AD ，AB 的延长线于点E ，F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD 上一动点，则EP＋AP的最小值为．第2课时菱形的判定1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．3．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A．矩形B．平行四边形C．菱形D．任意四边形5．如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)求BD的长．6．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是．(填序号)7．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD8．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )A．40 B．24 C．20 D．159．如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.(1)求证：△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)求证：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．参考答案：18．2.2菱形第1课时菱形的性质1．菱形不具备的性质是( B )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( D )A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是( A )A．2.5 B．3 C．4 D．5 4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是( B )A．5 B．20 C．24 D．32 5．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF的度数是( B )A．75°B．60°C．50°D．45°6．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D. ∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)． ∴AE ＝AF.7．菱形ABCD 的对角线分别为18 cm 与12 cm ，则此菱形的面积为108_cm 2．8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AO ＝3，∠ABC ＝60°，则菱形ABCD 的面积是( B )A ．18B ．18 3C ．36D ．363 9．四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上．若OE ＝3，则CE10．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( C ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．32 11．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为( C )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72° 12．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为( D )A.125B.185 C ．4 D.24513．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，3) 14．如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为第2课时菱形的判定1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是( C )A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF.∴四边形DEBF是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形DEBF是菱形．3．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD 綊BC.∵DE ＝BF ，∴AD －DE ＝BC －BF.∴AE ＝FC.∵AE ∥FC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( C )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形5．如图，AC ＝8，分别以A ，C 为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D.依次连接A ，B ，C ，D ，连接BD 交AC 于点O.(1)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；(2)求BD 的长．解：(1)四边形ABCD 为菱形，理由如下：由作法得AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝5，∴四边形ABCD 为菱形．(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝4，OB ＝OD ，AC ⊥BD. 在Rt △AOB 中，OB ＝52－42＝3，∴BD ＝2OB ＝6.6．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是①③⑤．(填序号)7．如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD 为菱形的是( C )A ．AC ⊥BDB ．AB ＝ADC ．AC ＝BD D ．∠ABD ＝∠CBD8．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点．若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为( B )A ．40B ．24C ．20D ．159．如图，过▱ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点P ，M ，Q ，N.(1)求证：△PBE ≌△QDE.(2)顺次连接点P ，M ，Q ，N ，求证：四边形PMQN 是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EB ＝ED ，AB ∥CD.∴∠EBP ＝∠EDQ.在△PBE 和△QDE 中，⎩⎨⎧∠EBP ＝∠EDQ ，EB ＝ED ，∠BEP ＝∠DEQ ，∴△PBE ≌△QDE(ASA)．(2)∵△PBE ≌△QDE ，∴EP ＝EQ.同理：△BME ≌△DNE(ASA)，∴EM ＝EN.∴四边形PMQN 是平行四边形．又∵PQ ⊥MN ，∴四边形PMQN 是菱形．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是BC ，AB 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝2DE ，连接CE ，AF.(1)求证：AF ＝CE ；(2)当∠B ＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．解：(1)证明：∵点D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，∴DE ∥AC ，AC ＝2DE.∵EF ＝2DE ，∴EF ∥AC ，EF ＝AC.∴四边形ACEF 是平行四边形．∴AF ＝CE.(2)当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB. 在Rt △ACB 中，E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AC. 又∵四边形ACEF 是平行四边形，∴四边形ACEF 是菱形．11．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF.(1)求证：AF ＝DC ；(2)若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝ED.∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∠FAE ＝∠BDE.∴△AFE ≌△DBE(AAS)．∴AF ＝DB.∵AD 是BC 边上的中线，∴DB ＝DC.∴AF ＝DC.(2)四边形ADCF 是菱形．证明：由(1)知，AF ＝DC ，∵AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形． 又∵AB ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝12BC ＝DC. ∴四边形ADCF 是菱形．。

18.2 .2 菱形同步练习题基础训练1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即可).2.下列命题中正确的是()A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD4.在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是()A.AC=BDB.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是矩形D.AB=CD5.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是__________.(只填写序号)6.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC7.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积()A.2B.4C.4D.88.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是()A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°9.如图,△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4 cm,那么四边形AEDF的周长为()A.12 cmB.16 cmC.20 cmD.22 cm10.如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是()A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE11.下列命题:①四边都相等的四边形是菱形;②两组邻边分别相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④对角线相等的四边形是菱形;⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是.(填序号)提升训练12.图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD 交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.13.如图所示,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.探究培优14.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD 相交于点O,与BC相交于点N,连接BM,DN.(1)求证:四边形BMDN是菱形;(2)若AB=8,AD=16,求MD的长.15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.参考答案1.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】③6.【答案】C解：根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形,故A正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得,当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形,故B正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,故C不正确;当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.故D正确.7.【答案】A解：如图,连接OE,与DC交于点F,易得四边形OCED为菱形,得到对角线互相平分且垂直,然后求出OE,DC的长,即可求出菱形OCED的面积.8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.错解:①②③⑤诊断:②是最容易出错的,两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形,如图,AB=AD,BC=CD,但四边形ABCD不是菱形.判定菱形时,要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的,要注意两者的区别与联系.正解:①③⑤12.证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE.∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△AFE和△CDE中,∴△AFE≌△CDE(AAS).∴AF=CD.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵∠B=90°,AC=2AB,∴∠ACB=30°,∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD.∴DA=DC.∴四边形ADCF是菱形.13.(1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.∵点O是AC的中点,∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF.(2)解:当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.理由如下:由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AFCE是平行四边形.∴当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.14.(1)证明:∵MN是BD的垂直平分线,∴MB=MD,NB=ND,MN⊥BD.∴∠BMN=∠DMN.又∵AD∥BC,∴∠DMN=∠BNM.∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN.∴BM=BN=ND=MD.∴四边形BMDN是菱形.(2)解:∵MB=MD,设MD的长为x,则MB=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(16-x)2+82,解得x=10.∴MD的长为10.15.(1)证明:在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.在△ABF和△ADF中,∴△ABF≌△ADF(SAS).∴∠AFB=∠AFD.∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE.(2)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.又∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)解:当BE⊥CD,即E为过B且和CD垂直的垂线与CD的交点时,∠EFD=∠BCD. 理由:∵四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF.在△BCF和△DCF中,∴△BCF≌△DCF(SAS). ∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°. ∴∠EFD=∠BCD.。

§18.2.2.1菱形的性质一、知识导航1.菱形的定义：有一组邻边相等的四边形叫做菱形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可；（2）菱形的定义既是它的性质，也是它的判定方法；（3）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.2.菱形的性质类别性质符号语言图形边菱形的四条边都相等 四边形ABCD是菱形AB BC CD DA ∴===对角线菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角四边形ABCD是菱形,,,AC BD OA OC OB OD∴⊥==,ABD CBD ADB CDB∠=∠=∠=∠BACDAC BCA DCA∠=∠=∠=∠对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（即对角线所在的直线）3.菱形面积计算（1）平行四边形的面积公式：底×高（2）两条对角线长的积的一半二、重难点突破重点1利用菱形的性质求线段长度例1.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24变式1-1如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE 的长等于（）A．2B．3.5C．7D．14变式1-2如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）重点点拨：当菱形的一个内角为120°或60°时，菱形被其对角线分为4个含30°角的直角三角形；菱形较短的一条对角线将其分成两个等边三角形，因此可利用其性质进行计算.A ．125B ．185C ．4D ．245变式1-3如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485重点2利用菱形的性质求角度例2.如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒变式2-1如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°变式2-2如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF∠的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°变式2-3如图，菱形ABCD 的边AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接DF ．当100BAD ∠=︒时，则CDF ∠=（）A ．15︒B ．30°C ．40︒D ．50︒重点3利用菱形的性质计算面积及其应用例3.已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A ．12cm 2B ．24cm 2C ．48cm 2D ．96cm 2变式3-1已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A ．3B ．8C ．3D ．3变式3-2如图，在菱形ABCD 中，对角线BD ＝4，AC ＝3BD ，则菱形ABCD 的面积为（）重点点拨：在菱形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度A ．96B ．48C ．24D ．6重点4利用菱形的性质证明线段相等例4.如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ．DF ⊥BC 于点F ．求证：BF ＝DE；变式4如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．求证：AF EF =；重点点拨：菱形的对角线容易作为一个直角三角形的斜边，这样两条对角线的交点也是斜边的中点；菱形的面积等于对角线乘积的一半重点点拨：利用菱形的性质证明边的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合重点5利用菱形的性质证明角相等例5.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD＝∠CBE．变式5如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．难点6菱形中的图形变换问题例6.如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）AB ．2C．D ．4变式6-1如图，在菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 长分别为16、12，折叠纸片使点A 落在DB 上，折痕交AC 于点P ，则DP 的长为（）A ．BC ．D ．变式6-2如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 中点．折叠该纸片使点C 落在点C ′处且点P 在DC ′上，折痕为DE ，则∠CDE 的大小为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°重点点拨：利用菱形的性质证明角的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合难点7菱形中的最值问题例7.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）A ．12B ．1CD ．2变式7如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE =1，AF =2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +FP 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4难点点拨：解决菱形问题的思考方向：①边；②对角线.有60°的特殊角，就可以由菱形的性质构造等边三角形解决问题；有等边三角形，有中点，会出现“三线合一”三、提升训练1.下列结论中，不正确的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形D ．菱形的面积等于对角线乘积的一半2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒3.如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AC ∥交AB 于点E ，DF AB ∥交AC 于点F ，难点点拨：解决线段之和最小问题，一般转化为解决“两点之间，线段最短”问题.“两点一线”型：()minPA PB +“一点两线”型：()min ''''''ABC C AB AC BC A B A C BC A A ∆=++=++=若8AF ，则四边形AEDF的周长是（）A．24B．28C．32D．364.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20B．24C．40D．485.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°6.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245B．125C．5D．47.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD 于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A ．2B 2C ．22D ．28.如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠= ,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．1329.如图，平行四边形ABCD 中，2AB BC =．AE 平分BAD ∠，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与BFN ∆全等的三角形有5个；③7FMN BCEN S S ∆=四边形；④当FM FN =时，60BAD ∠=︒．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10.已知某菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形的面积为A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 11.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，DB =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为12.如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数为________．13.如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．14.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．。

18.2.2 菱形的定义、性质（练习）知识点1：菱形的性质1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对边平行B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．是轴对称图形2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是( )A ．AB ∥DC B ．AC ＝BDC ．AC ⊥BD D ．OA ＝OC3．(2015·青岛)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC边上的中点，连接EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．284．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E为垂足，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°5．(2015·广东)如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝60°，则对角线AC 的长是__ __．（第4题） （第5 题）6．(2015·晋江)如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，点E ，F 分别在边CD ，DA 上，且CE＝AF.求证：BE ＝BF.知识点2：菱形的面积7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使点D 与点A 重合，点B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AEBD 的面积等于( )A ．24B ．48C ．72D ．968．(2015·白银)如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为__ __．9．已知菱形ABCD 的周长为16 cm ，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．10．(2015·郑州)如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，8，AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE 的长是( )A ．5 3B ．2 5C .485D .245。

菱形一、选择题1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形2.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（）A. AB=CDB.AD=BCC. AB=BCD.AC=BD3.如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O, 若AC=6，BD=4,则菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 16C.D.4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）A.4B.12 5C.24 5D.55．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．A.4B.8C.12D.166.将一长方形纸片，按如图所示的步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）7.（西安铁一中模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF 相交于点G，连接BD，CG. 给出以下结论，其中正确的有（）①∠BGD=120°；② BG+DG=CG；③ΔBDF≌ΔCGB；④SΔADE AB2.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题8．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．9．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形．10．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．11.已知一菱形的周长为40cm，两条对角线长度之比为3：4，则菱形的面积为__________.12.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠CDO=__________o.三、解答题13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．14.（一题多法）如图所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF AD于点F，求证：AE=AF.15.（河南南阳实验中学月考）如图所示，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC和BD相交于点O，求这个菱形的面积.16.（吉林实验中学月考）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起可得到如图所示的四边形ABCD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若两张纸片的长都是8，宽都是2，判断何时菱形ABCD的周长最大，并求出菱形ABCD周长的最大值.17.如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D.（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点为O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形.18．如图，在□AB CD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．(1)求证：△ADE≌△CBF．(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．19．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．20．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)．参考答案1．C．2. C 解析因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以由选项知可添加的条件是AB=BC.故选C.3. C 解析在菱形ABCD中，OA=OC，OD=OB，AC⊥BD.∵AC=6，BD=4，∴OA=3，OD=2.在RtΔAOD中，∴菱形ABCD的周长是4. C 解析此题利用面积法求解，连接BD交AC于O，根据菱形的性质及勾股定理求BO长，再利用12AC·BO=12BC·AE求出AE的长为245.5．D．6. B 解析方法1：通过实际动手操作可知剪掉后的四边形为对角线不等的菱形，且长对角线垂直平分原正方形的下底边，故选择B.方法2：逆向思维法，即先根据折纸的顺序，再逆向画出图形，如图D-18-18所示，即可得到展开铺平后的图形，故选择B.7. B 解析∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BA.又∵∠A=60°，∴ΔABD为等边三角形.又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴DE⊥AB，BF⊥AD，∴∠GFA=∠GEA=90°，∴∠BGD=∠FGE=360°－∠A－∠GFA－∠GEA=120°，∴①正确.∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDG=∠CBG=90°.在Rt△CDG和Rt△CBG中，CD=CB, CG=CG,ìíïîï∴Rt△CDG≌Rt△CBG(HL)，∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=12∠DCB=30°，∴DG=BG=12CG，∴BG＋D G=CG，∴②正确.∵在Rt△BDF中，BD为斜体，在Rt△CGB中，CG为斜边，且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG>BC，即CG>BD，∴△BDF和△CGB不可能全等，∴③不正确∵△ABD为等边三角形，∴S△ABD=4AB2，∴S△ADE=12S△ABD=8AB2，∴④不正确.综上可知，正确的只有2个，故选B.8．一组邻边相等．9．平行四边形；相等，互相垂直．10．20，24．11.96cm2解析由周长为40cm得菱形的边长为10cm，设菱形的两条对角线长分别为6x cm，8xcm，则有（3x）2＋（4x）2=102，解得x=2.故菱形的面积为12·6x·8x=12×12×16=96（cm2）.12.35 解析∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB=CD. ∴∠BOC=90°，∠CBO=∠CDO.∵∠BC0=55°，∴∠CBO=90°－55°=35°，∴∠CDO=35°. 13．120°；(2)83．14.证法1：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC.在ΔACE 和ΔACF 中，∠AEC=∠AFC=90°，∠BAC=∠DAC ，AC=AC ， ∴ΔACE ≌ΔACF(AAS)，∴AE=AF. 证法2：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC=DC=AD=AB ，∠B=∠D.又∵在ΔBCE 和ΔDCF 中，∠BEC=∠DFC=90°， ∴ΔBCE ≌ΔDCF(AAS)，∴BE=DF ， 又∵AE=AB －BE ，AF=AD －DF ，∴AE=AF.点拨：证法1中运用了菱形的对角线平分每一组对角的性质，证法2中运用了菱形的四边相等、对角相等的性质.15.解法1：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO= 12AC ，B O= 12BD ，∠BAO= 12∠BAD= 12×120°=60°,在Rt △AOB 中，∠ABO=90°－∠BAO=30°，所以AO= 12AB=12×2=1（cm ），所以cm ）,因为AO= 12AC ，BO= 12BD ，所以AC=2AO=2cm ，BD=2BO= ，所以S 菱形ABCD = 12AC·BD= 2,解法2：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，如图所示.由题意知∠BAD=120°，四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，所以∠HAD=∠AHB=90°，从而可得∠BAH=120°－90°=30°，所以BH= 12AB=12×2=1（cm ），所以cm），所以S菱形ABCD=BC·AH=2.点拨：利用菱形的对角线求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉公式中的12.16.（1）证明：如图所示.因为AD∥BC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形.分别过点B，D作AD，AB的垂线，垂足分别为点F，E，则BF=DE，∠AFB=∠AED=90°，又因为∠DAE=∠BAF，所以△DAE≌△BAF，所以AD=AB，所以四边形ABCD是菱形.（2）解：如图所示，当菱形ABCD的对角线AC为矩形的对角线时，其周长最大. 设此时的菱形的边长为x，则BG=8－x.在Rt△BCG中，x2=（8－x）2＋22，解得x=174，所以菱形ABCD周长的最大值为17.17.（1）解：如图所示，射线AP既为所求.（2）证明：连接CD，如图,∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠DBF.∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠BOC=90°，∴∠ABD＋∠BAO=∠DBF＋∠BCO=90°，∴∠BAO=∠BCO，∴AB=BC，同理AB=AD.∵AB=BC，AC⊥BD，∴AO=CO，∴AD=CD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形.18．(1)略；(2)四边形BFDE是菱形，证明略．19．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF是菱形，证明略．20．略．。

菱形的性质1．菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是( ) A．24 B．20 C．10 D．52．如图所示，菱形ABCD中，对角线相AC、BD交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于( ) A．4.5 B．5 C．6 D．93．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )A．4 B．125C．245D．54．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( ) A．2 B．23C．4 D．23+25．如图，两个全等的菱形的边长为1cm，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在______点．6．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为．7．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC=．8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80º，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于．9．已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG //DB 交CB 的延长线于G ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．10．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ．(1)求证：BD =EC ；(2)若∠E =50°，求∠BAO 的大小．1．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为( )A ．3：1B ．4：1C ．5：1D ．6：12．如图，在菱形ABCD 中，AC =6cm ，BD =8cm ，则菱形AB 边上的高CE 的长是( )A ．524cmB ．548cm C ．5cm D ．10cm 3．如图，菱形ABCD 中，∠ADC =110°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CFD =( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°4．从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．100°5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是 ．6．某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC＝cm．7．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________．家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

18.2.2 菱形（第1课时）菱形的性质 同步练习一、选择题1．关于菱形,下列说法错误的是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．四条边相等D ．对角线相等2．下列关系中,是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是( ) A ．对角线垂直 B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等3．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 为AB 的中点且4CD =,则OE 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若菱形的两条对角线分别长8、6,则菱形的面积为( ) A ．48B ．24C ．14D ．125．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图1所示菱形,并测得60B ∠=︒,对角线20AC cm =,接着活动学具成为图2所示正方形,则图2中对角线AC 的长为( )A ．20cmB ．30cmC ．40cmD ．6．已知,如图,在菱形ABCD 中．（1）分别以C ,D 为圆心,大于12CD 长为半径作弧,两弧分别交于点E ,F ；（2）作直线EF ,且直线EF 恰好经过点A ,且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是( )A ．60ABC ∠=︒B ．如果2AB =,那么4BM =C ．2BC CM =D ．2ABM ADM S S ∆∆=7．如图,菱形ABCD 的边AB 的垂直平分线交AB 于点E ,交AC 于点F ,连接DF ．当100BAD ∠=︒时,则(CDF ∠= )A ．15︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒8．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,且6AC = ,8BD = ,过A 点作AE 垂直BC ,交BC 于点E ,则BECE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．524二、填空题9．已知菱形的两条对角线长为8cm 和6cm ,那么这个菱形的周长是 ．10．如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,P 是AC 上的一个动点,过点P 分别作AB 和BC 的垂线,垂足分别是点F 和E ,若菱形的周长是12cm ,面积是26cm ,则PE PF +的值是cm ．11．如图,在菱形ABCD 中,60B ∠=︒,E ,H 分别为AB ,BC 的中点,G ,F 分别为线段HD ,CE的中点．若线段FG 的长为则AB 的长为 ．12．如图,在菱形ABCD 中,45B ∠=︒ ,BC = ,E ,F 分别是边CD ,BC 上的动点,连接AE ,EF ,G ,H 分别为AE ,EF 的中点,连接GH ,则GH 的最小值为 ．三、解答题13．如图,在菱形ABCD 中,过点D 分别作DE AB ⊥于点E ,作DF BC ⊥于点F ．求证：AE CF =．14．如图,菱形ABCD 的边长为2,2BD = ,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF ∆≅∆； （2）判断BEF ∆的形状,并说明理由．15．如图,菱形ABCD ,60BAD ∠=︒,在ABC ∠内作射线BM ,作点C 关于BM 的对称点E ,连接AE 并延长交BM 于点F ,连接CE ,BE ．（1）求证：CEF ∆是等边三角形． （2）若45BAF ∠=︒,5AE =,求BF 的长．16．菱形ABCD 中,60B ∠=︒,点E 在边BC 上,点F 在边CD 上．（1）如图1,若E 是BC 的中点,60AEF ∠=︒,求证：F 是CD 的中点． （2）如图2,若60EAF ∠=︒,20BAE ∠=︒,求FEC ∠的度数．18.2.2 菱形（第1课时）菱形的性质 同步练习参考答案与试题解析一、选择题1．关于菱形,下列说法错误的是( )A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．四条边相等D ．对角线相等【解析】解：菱形的性质有四边相等,对角线互相垂直平分,∴对角线相等不是菱形的性质,故选：D ．2．下列关系中,是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是( ) A ．对角线垂直 B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等【解析】解：A 、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分,符合题意；B 、菱形、平行四边形的对边平行且相等,不符合题意；C 、菱形、平行四边形的对角线互相平分,不符合题意；D 、菱形、平行四边形的两组对角分别相等,不符合题意；故选：A ．3．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 为AB 的中点且4CD =,则OE 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：四边形ABCD 是菱形,4AB BC CD AD ∴====,AO CO ⊥,又点E 是边AB 的中点,122EO CB ∴==．故选：B ．4．若菱形的两条对角线分别长8、6,则菱形的面积为( ) A ．48B ．24C ．14D ．12【解析】解：菱形的两条对角线分别长8、6,186242S ∴=⨯⨯=故选：B ．5．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图1所示菱形,并测得60B ∠=︒,对角线20AC cm =,接着活动学具成为图2所示正方形,则图2中对角线AC 的长为( )A ．20cmB ．30cmC ．40cmD ．【解析】解：如图1,图2中,连接AC ．图1中,四边形ABCD 是菱形,AB BC ∴=, 60B ∠=︒,ABC ∴∆是等边三角形, 20AB BC AC cm ∴===,在图2中,四边形ABCD 是正方形,AB BC ∴=,90B ∠=︒, ABC ∴∆是等腰直角三角形,AC ∴=；故选：D ．6．已知,如图,在菱形ABCD 中．（1）分别以C ,D 为圆心,大于12CD 长为半径作弧,两弧分别交于点E ,F ；（2）作直线EF ,且直线EF 恰好经过点A ,且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是( )A ．60ABC ∠=︒B ．如果2AB =,那么4BM =C ．2BC CM =D ．2ABM ADM S S ∆∆=【解析】解：A ．连接AC ,由作图知,AF 是CD 的垂直平分线,则AC AD =, 四边形ABCD 是菱形,AD CD AB BC ∴===,ABC ADC ∠=∠, AC AD CD ∴==, 60ADC ∴∠=︒, 60ABC ∴∠=︒,故A 选项正确；B ．2AB =,2AD ∴=,AM 垂直平分CD ,112DM CD ∴==,90AMD ∠=︒,AM ∴=//AB CD ,90BAM AMD ∴∠=∠=︒,BM ∴==故B 选项错误；C ．BC CD =,2CD CM =, 2BC CM ∴=,故C 选项正确；D．12ABM S AB AM ∆=⋅,11112224ADM S DM AM CD AM AB AM ∆=⋅=⨯⋅=⋅,2ABM ADM S S ∆∆∴=,故D 选项正确． 故选：B ．7．如图,菱形ABCD 的边AB 的垂直平分线交AB 于点E ,交AC 于点F ,连接DF ．当100BAD ∠=︒时,则(CDF ∠= )A ．15︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒【解析】解：如图,连接BF ,四边形ABCD 是菱形,CD BC ∴=,DCF BCF ∠=∠,在BCF ∆和DCF ∆中,CD BC DCF BCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()BCF DCF SAS ∴∆≅∆CBF CDF ∴∠=∠FE 垂直平分AB ,1100502BAF ∠=⨯︒=︒50ABF BAF ∴∠=∠=︒18010080ABC ∠=︒-︒=︒,805030CBF ∠=︒-︒=︒30CDF ∴∠=︒．故选：B ．8．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,且6AC =,8BD =,过A 点作AE 垂直BC ,交BC 于点E ,则BECE的值为( )A ．512B ．725C ．718D ．524【解析】解：四边形ABCD 是菱形,132CO AC ∴==,142BO BD ==,AO BO ⊥,5BC ∴=,12ABCD S AC BD BC AE =⋅=⨯菱形, 16824255AE ⨯⨯∴==．在Rt ABE ∆中,75BE ==,718555CE BC BE ∴=-=-=, ∴BE CE 的值为718, 故选：C ．二、填空题9．已知菱形的两条对角线长为8cm 和6cm ,那么这个菱形的周长是 20cm ． 【解析】解：菱形的两条对角线长为8cm 和6cm ,∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm 和3cm ,根据勾股定理,边长5()cm ==,所以,这个菱形的周长是5420()cm ⨯=, 故答案为：20cm ．10．如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,P 是AC 上的一个动点,过点P 分别作AB 和BC 的垂线,垂足分别是点F 和E ,若菱形的周长是12cm ,面积是26cm ,则PE PF +的值是 2cm ．【解析】解：连接BP ,()2132ABC ABP BPC ABCD S S S S cm ∆∆∆=+==菱形,1123()4AB BC cm ∴==⨯=,∴2113()22ABP BPC S S AB PE BC PE cm ∆∆+=⋅+⋅=,∴1133322PE PF ⨯⨯+⨯⨯=, ∴232()3PE PF cm +=⨯=,故答案为：2．11．如图,在菱形ABCD 中,60B ∠=︒,E ,H 分别为AB ,BC 的中点,G ,F 分别为线段HD ,CE的中点．若线段FG 的长为则AB 的长为 8 ．【解析】解：如图,连接CG 并延长,交AD 于点M ,连接EM ,四边形ABCD 为菱形,60B ∠=︒,//AD BC ∴,120A ∴∠=︒,MGD CGH ∠=∠,点G 为HD 的中点,HG DG ∴=,MGD CGH ∠=∠,()MGD CGH ASA ∴∆≅∆,MG CG ∴=,1122MD CH BC AD ===,∴点G 为MC 的中点,点M 为AD 的中点, F ,G 分别为CE 和CM 的中点,FG ∴是CEM ∆的中位线,12FG EM ∴=,2EM FG ∴==, E ,M 分别为AB 和AD 的中点,AE AM ∴=,120A ∠=︒,EM ∴=,4AE ∴=,28AB AE ∴==．故答案为：8．12．如图,在菱形ABCD 中,45B ∠=︒,BC =,E ,F 分别是边CD ,BC 上的动点,连接AE ,EF ,G ,H 分别为AE ,EF 的中点,连接GH ,则GH 的最小值为．【解析】解：连接AF ,如图所示：四边形ABCD 是菱形,AB BC ∴==, G ,H 分别为AE ,EF 的中点,GH ∴是AEF ∆的中位线,12GH AF ∴=, 当AF BC ⊥时,AF 最小,GH 得到最小值,则90AFB ∠=︒,45B ∠=︒,ABF ∴∆是等腰直角三角形,AF AB ∴,GH ∴=,即GH ,． 三、解答题 13．如图,在菱形ABCD 中,过点D 分别作DE AB ⊥于点E ,作DF BC ⊥于点F ．求证：AE CF =．【解析】证明：四边形ABCD 是菱形,AD CD ∴=,A C ∠=∠,DE AB ⊥,DF BC ⊥,90AED CFD ∴∠=∠=︒,在ADE ∆和CDF ∆中,AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆,AE CF ∴=．14．如图,菱形ABCD 的边长为2,2BD =,E 、F 分别是边AD ,CD 上的两个动点,且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF ∆≅∆；（2）判断BEF ∆的形状,并说明理由．【解析】（1）证明：菱形ABCD 的边长为2,2BD =,2BC BD CD AD ∴====,60C CDB ∴∠=∠=︒,BDE BDC ∠=∠,BDE C ∴∠=∠,2AE DE AD +==,2AE CF +=,DE CF ∴=,在BDE ∆和BCF ∆中,BD BC BDE C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()BDE BCF SAS ∴∆≅∆；（2）解：等边三角形．理由：BDE BCF ∆≅∆,BE BF ∴=,CBF DBE ∠=∠,60CBF DBF ∠+∠=︒,60EBF EBD DBF CBF DBF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,BEF ∴∆是等边三角形．15．如图,菱形ABCD ,60BAD ∠=︒,在ABC ∠内作射线BM ,作点C 关于BM 的对称点E ,连接AE 并延长交BM 于点F ,连接CE ,BE ．（1）求证：CEF ∆是等边三角形．（2）若45BAF ∠=︒,5AE =,求BF 的长．【解析】（1）证明：如图,作BG AE ⊥于G ,连接CF ．E 、C 关于BM 对称,BC BE ∴=,FE FC =,BM ∴垂直平分CE ,90BNE ∴∠=︒,34∠=∠,在菱形ABCD 中,AB BC =,60BAD ∠=︒,AB BE ∴=,120ABC ∠=︒,又BG AE ⊥,12∴∠=∠,90BGE ∠=︒,123602ABC ∴∠+∠=∠=︒, ∴四边形BNEG 中,360909060120CEG ∠=︒-︒-︒-︒=︒,60CEF ∴∠=︒,又FE FC =,EFC ∴∆是等边三角形；（2）当45BAE ∠=︒时,45AEB ∠=︒,90ABE ∠=︒,ABE ∴∆是等腰直角三角形,又BG AE ⊥,1522AG EG BG AE ∴====, 由（1）可得,30BFG ∠=︒,Rt BFG ∆中,25BF BG ==．16．菱形ABCD 中,60B ∠=︒,点E 在边BC 上,点F 在边CD 上．（1）如图1,若E 是BC 的中点,60AEF ∠=︒,求证：F 是CD 的中点．（2）如图2,若60EAF ∠=︒,20BAE ∠=︒,求FEC ∠的度数．【解析】证明：（1）如图1所示：连接AC ．在菱形ABCD 中,60B ∠=︒,AB BC CD ∴==,180120C B ∠=︒-∠=︒．ABC ∴∆等边三角形．E∴是BC的中点,AE BC∴⊥．60AEF∠=︒,9030FEC AEF∴∠=︒-∠=︒．1801803012030 CFE FEC ECF∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．FEC CFE∴∠=∠．EC CF∴=．12CE BC=,∴12CF CD=,F∴是CD的中点；（2）如图2所示：连接AC．ABC∆是等边三角形,AB AC∴=,60ACB∠=︒．60B ACF∴∠=∠=︒．//AD BC,60AEB EAD EAF FAD FAD∴∠=∠=∠+∠=︒+∠,60AFC D FAD FAD∠=∠+∠=︒+∠．AEB AFC∴∠=∠．在ABE∆和ACF∆中,B ACFAEB AFCAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ABE ACF AAS∴∆≅∆．AE AF∴=．60EAF∠=︒,AEF∴∆是等边三角形．60∴∠==︒,AEF∠+∠=∠+∠,AEF FEC B BAE ∴∠=︒．FEC20。

2019年八年级数学下册菱形同步练习一、选择题1.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点.若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A. B. C. D.2.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于( )A.2B.1.6C.1.8D.2.44.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为( )A.78°B.75°C.60°D.45°5.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=18°，则∠2=( )A.98°B.102°C.108°D.118°6.用一条直线将一个菱形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N值不可能是（）A.360°B.540°C.630°D.720°7.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为（）A.4B.8C.10D.128.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=2,BD=2,则菱形ABCD的面积为( )9.如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为( )A.12B.14C.16D.1810.如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )A.8B.C.D.二、填空题11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= ．12.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2．13.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．14.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 .15.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为cm2．16.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是_________.三、解答题17.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．18.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.19.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．20.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．答案1.B.2.D3.D.4.B.5.C.6.C.7.B.8.A；9.B.10.C.11.答案为：60°．12.答案为：2413.答案为：4.8；14.答案为：3；15.答案为：120．16.答案为：17.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．18.证明：∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴四边形AODE是矩形.19.证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．20.（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．。

18.2.2 菱形第一课时一、选择题1. 下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ).A. 对角相等B. 对边相等C. 邻边相等D. 对角线相等2. 菱形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, 给出下列结论: ①∠ABC=∠ACB, ②∠ABC=2∠DBC ,③OA²+OB²= AB².其中正确的有 ( ).A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是AB、AC的中点,若EF=2, 则菱形ABCD的周长是 ( ).A. 4B. 8C. 12D. 164. 菱形ABCD中, ∠A:∠B=1:5, 若周长为8, 则此菱形的高为( ).A. 0.5B. 1C. 2D. 45. 菱形的两条对角线分别为2m和2n，则它的高为 ( ).A.mnm+n B.√m2+n2√m2+n2√m2+n2二、填空题6. 菱形是的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边；对角线，并且每条对角线.7. 菱形的两条对角线长度分别为6和8，则它的周长是，面积是 .8. 菱形的周长为 40，两个相邻角度数之比为1：2；则它的较长对角线的长为 .9. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形OACB的顶点C在x轴正半轴上，OC=4，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 .10. 如图, 菱形AB₁C₁D₁的边长为1,∠B₁=60°;作B₁C₁边上的高AD₂，以AD₂为边作菱形AB₂C₂D₂,使∠B₂=60°;作B₂C₂边上的高AD₃, 以AD₃为边作菱形.AB₃C₃D₃,使∠B₃=60°;……以此类推，这样作的第n个菱形.ABₙCₙDₙ的边 ADn的长是 .三、解答题11. 如图, 四边形ABCD 中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E.(1)求证: 四边形 AECD 是菱形;(2)若点 E 是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由.12. 如图, 菱形ABCD中, E为AB边上一点, F为BC延长线上一点,且DE=DF.求证: ∠BED +∠F=180°.13. 如图, 菱形ABCD的边长为25, 对角线BD长为40, 点P、Q分别为BD、BC上一动点，求CP+PQ的最小值.第二课时一、选择题1. 对角线互相垂直平分的四边形是( ).A. 任意四边形B. 筝形C. 矩形D. 菱形2. 顺次连结矩形各边的中点，所得四边形是 ( ).A. 筝形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3. 下列命题中, 正确的是 ( ).A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 有三条边相等的平行四边形是菱形C. 一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形D. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形4. 给出下列命题：①对角线垂直的四边形是菱形，②有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，③两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形. 其中正确的有( ).A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 如图,菱形ABCD的边长为1, BD=1, E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF= 1, 设△BEF的面积为S, 则S的取值范围是( ).A.14≤s≤1B.3√34≤s≤√3C.3√38≤s≤√32D.3√316≤s≤√34二、填空题6. 菱形的判定定理包括：(1) 的平行四边形是菱形；(2) 的平行四边形是菱形； (3) 的四边形是菱形.7. △ABC中,延长BA至D使得AB=AD,延长CA至E使得AC=AE, 当△ABC满足条件时, 四边形 BCDE 是菱形.8. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O为坐标原点, 点A坐标为(2,0), ∠AO C=45°, 则点B的坐标是 .9. 菱形ABCD的边长为6, ∠BAD=60°,如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=2√3,那么 AP的长为 .10. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 .三、解答题11. 如图,矩形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O,DE‖AC,CE‖BD.求证：OE与CD互相垂直平分.12 如图, ▱ABCD中, 对角线AC、BD交于O, AH⊥BC于H, ∠1=∠2.(1) 求证: □ABCD是菱形;(2) 若AC=2√5,AH=4,求菱形ABCD的面积.13. 在▱ABCD 中, ∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E, 交直线DC 于点 F。