三角形的三线及面积讲义及答案

三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。

在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。

在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。

正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。

它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。

2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。

每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。

高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。

3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。

中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。

4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。

一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。

5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。

常见的辅助线有角平分线、中垂线等。

二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。

2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。

3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。

4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。

5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。

常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。

总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。

这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。

通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。

三角形三线一、情景创设，引入新课二、自主学习（阅读课本） 活动1 预备知识1．在△ABC 中，请指出与顶点A 相对的边．2．请作P 点到直线l 的距离．活动2 三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线（angular bisector of a triangle ）．如图，△ABC 的平分线交AC 于D ，线段BD 是三角形的角平分线．我们可以用折叠的方法折出角平分线．请同学们按照课本P136图11-11所示的步骤，折出三角形的角平分线．一个三角形，可以折出几条角平分线？请你折出一个三角形的所有的角平分线．你发现三角形的角平分线相交于一点吗？和其他同学交流，你们有什么发现？三角形的三条角平分线相交于一点．三角形三条角平分线的交点在三角形 部．活动3 三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点与它对边的 点的线段，叫做三角形的中线（median of triangle ）．如右图，D 是BC 的中点，线段AD 就是三角形的中线．分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出每个三角形的三条中线． 你发现什么规律？PlA B C D A B C D三角形的三条中线相交于一点．这个交点叫做三角形的 .三角形三条中线的交点在三角形 部．活动4 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（height oftriangle ），简称三角形的高．如右图，AD 就是三角形的一条高．请在下图中的三个三角形中分别画出三角形的高．三条高线还相交于一点吗？．三角形的三条高所在的直线相交于一点．锐角三角形的三条高线的交点在三角形的 部；直角三角形的三条高线的交点是 角顶点；钝角三角形三条高线所在的直线的交点在三角形的 部．三、知识运用 把握三线特征1．三角形的高具有以下特征：如图6，△ABC 中，AD 是△ABC 的BC 边上的高，则有 （1） ⊥ .（2） = =90°；（3）S △ABC=.图6 图7 图82．三角形的中线具有以下特征：如图7，△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，则有 （1） = ；（2） = =21S △ABC .3．三角形的角平分线具有的特征：如图8，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，则有：A B CD（1） = =21∠BAC.随堂练习1如图，△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，BF 是中线， 则 ＝ ＝90°； ＝ ＝21∠BAC ；＝ ＝21AC2．如图：在锐角三角形ABC 中，C D 、BE 、分别是AB 、AC 边上的高，且CD,BE 交于一点P ，∠A ＝50°，则∠BPC ＝3．三角形的中线是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．射线或线段4．△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数（ ）A ．36°B ．40°C ．60°D ．70°5．如果一个三角形的两条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能6．△ABC 中∠ACB=90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180度，使B 点落在D 点位置，则在△ABD 中，线段AC 具有的性质（ ） A ．是BD 的中线 B ．是BD 的高C ．是∠BAD 的角平分线 D ．以上答案均正确四、体会联想，总结反思1．三角形的角平分线是射线吗？ 2．三角形的中线是直线吗？ 3．三角形的高线是直线吗？4．直角三角形的两条直角边也是三角形的高吗？5．三角形的角平分线、中线、高线的交点一定在三角形的内部吗？课后反思AFCE D B第1题第2题CA EDBP。

引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。

其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。

通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。

本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。

正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。

1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。

1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。

首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。

连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。

2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。

2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。

2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。

首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。

通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。

3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。

3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。

3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。

首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。

然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。

4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。

4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。

三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。

三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。

用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。

三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。

三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。

三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。

定理：三角形的三条角平分线交于一点。

已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。

定理：三角形的三条中线交于一点。

已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。

证明：连接DF,与CE 交于点G 。

,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。

三角形的“三线”（一）引言概述:在几何学中，三角形是一种常见的图形，由三条边和三个角所确定。

而在三角形的研究中，有三条特别重要的线段，它们被称为三角形的“三线”。

这三条线分别是：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高线。

本文将对这三条线段进行详细的阐述和解释。

正文:第一节: 三角形的中线1. 中线的定义: 三角形的中线是连接三角形一个顶点与该顶点对边中点的线段。

2. 中线的性质:a. 中线互相平分: 三角形的三条中线互相平分。

b. 中线长度关系: 三角形的中线长度满足中线长度的关系公式。

c. 重心: 三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。

d. 重心的性质: 重心到各顶点的距离与中线的长度成正比。

第二节: 三角形的角平分线1. 角平分线的定义: 三角形的角平分线是从三角形一个顶点出发，将该顶点的相邻两个角平分的线段。

2. 角平分线的性质:a. 角平分线相交于内切圆心: 三角形的三条角平分线交于一点，该点是三角形内切圆的圆心。

b. 角平分线长度关系: 三角形的角平分线长度满足角平分线长度的关系公式。

c. 角平分线与边的关系: 角平分线将相对顶点的边等分为两段。

第三节: 三角形的高线1. 高线的定义: 三角形的高线是从三角形一个顶点出发，垂直于该顶点所对边的线段。

2. 高线的性质:a. 高线相交于垂心: 三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。

b. 高线长度关系: 三角形的高线长度满足高线长度的关系公式。

c. 垂心与外心关系: 三角形的垂心和外心在同一条直线上。

第四节: 三角形三线的关系1. 三角形三线的共点性: 三角形的三条中线、角平分线和高线交于一点，该点被称为三角形的费马点或第一等心点。

2. 三线长度比较: 三角形三线的长度具有特定的大小关系。

3. 三线与特殊点的关系: 三角形的三线与其它特殊点（如垂心、内心、外心）之间存在一定的关联。

第五节: 应用举例1. 实际应用中的三线: 三角形的三线在几何学和实际问题中有广泛的应用。

第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

中考数学典型题解析——三角形的有关三线典型题
三角形的三线
1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段．
2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段；
3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
典型例题
三角形的中线
如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则
图中阴影部分的面积是。

解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
【总结】根据三角形的面积公式，易得三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个部分．如图所示，AD是△ABC的中线，则S1=S2
练习
设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、
AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，
BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
典型例题
三角形的角平分线和高线
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是
【方法一】等积法
解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
【方法三】相似
【总结】求线段的长度，可以使用等积法、相似、勾股定理或三角函数．
练习
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为。

专题4.5 认识三角形-三角形的三条重要线段（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【知识点梳理】知识点一、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图一，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.图一 图二注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：如图二（1）三角形的高是线段；分别为AD 、BE 、CF 。

（2）三角形有三条高，且相交于一点H ，这一点H 叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.(4),AD BC AC BE AB CF == 三角形具有等积性，即通过此等式常常用于求线段的长。

(5)===EHC BAC DHC ABC BHD ACB ∠∠∠∠∠∠角的等量关系：；；；⇔知识点二、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD＝BC.图三图四特别说明：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：ADB ADC BEC BEA CFB CFAS S S S S S D D D D D D =====知识点三、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.图五 图六注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：21⇔21（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；图七知识点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的高线（1）、三角形高线的画法1（2019·辽宁大连市·七年级期末）如图，已知ABC D ，画出ABC D 的高AD 和CE．解：如图，AD 、CE 为所作．【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。

解三角形中的“三线”问题在解三角形的过程中，我们常常会遇到“三线”问题，即中线、角平分线和高线。

这些线段在三角形中具有特殊的意义和作用，了解它们的性质和特点是解决三角形问题的关键。

一、中线中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。

中线的性质主要有：1、三角形中线的三条中线线段相等，且相互平行。

2、三角形中线的交点称为三角形的重心，重心分每条中线线段为两段，且这两段长度相等。

3、三角形三边中线的长度分别等于对应边长的一半。

在解三角形时，可以利用中线的性质进行证明和计算。

例如，可以利用中线的平行性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用中线的长度性质解决一些等量关系的问题。

二、角平分线角平分线是指将三角形的两个相等的角平分的线段。

角平分线的性质主要有：1、三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段称为三角形的角平分线。

2、三角形任意两角平分线的夹角为90度，这个夹角的平分线称为三角形的内切线。

3、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

4、三角形三条角平分线交于一点，这个交点称为三角形的内心，内心到三角形的三边的距离相等。

在解三角形时，可以利用角平分线的性质进行证明和计算。

例如，可以利用角平分线的性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用角平分线的长度性质解决一些等量关系的问题。

三、高线高线是指从三角形的顶点向底边垂下的线段。

高线的性质主要有：1、三角形的高线所在的直线是三角形的对称轴。

2、三角形的高线与对应边的夹角为90度。

3、三角形任意两高线的夹角为钝角。

4、三角形三条高线交于一点，这个交点称为三角形的垂心，垂心到三角形的三边的距离相等。

在解三角形时，可以利用高线的性质进行证明和计算。

例如，可以利用高线的对称性质证明某个图形是轴对称的；利用高线的长度性质解决一些等量关系的问题。

“三线”问题在解三角形中具有重要的意义和作用。

掌握它们的性质和特点是解决三角形问题的关键之一。

三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。

在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。

本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。

二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。

2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。

（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。

3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。

（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。

三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。

每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。

2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。

（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。

3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。

（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。

四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。

每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。

2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。

（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。

3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。

（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。

五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。

与三角形相关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形叫做三角形．(2)构成：以下图，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个极点．①边：构成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所构成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③极点：相邻两边的公共端点是三角形的极点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：极点 A 所对的边 BC 用 a 表示，极点 B 所对的边 AC 用 b 表示，极点 C 所对的边 AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类以下：直角三角形三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类以下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特别的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例 1】以下图，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．剖析：依据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ ABD，△ ADC.△ABC 的三边是： AB，BC， AC，三个内角分别是：∠ BAC，∠ B，∠ C；△ABD 的三边是： AB， BD， AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠ B，∠ ADB；△ADC 的三边是： AD ， DC，AC ，三个内角分别是：∠ ADC ，∠ DAC ，∠ C.2．三角形的三边关系(1) 三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋ b＞ c， c＋ b＞ a， a＋ c＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－ b<a，b－ a<c， c－a<b.(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中能够确立第三边的取值范围；②依据所给三条线段长度判断这三条线段可否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依照.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中随意两边之和都大于第三边，即a＋b＞ c， c＋ b＞ a， a＋ c＞ b 三个不等式同时建立．【例 2】以下长度的三条线段(单位：厘米 )能构成三角形的是()．A ．B ． 4,5,9C．5,8,15 D ．6,8, 9分析：选择最短的两条线段，计算它们的和能否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，不然构不可三角形，只有6＋ 8＝ 14＞ 9，所以 D 能构成三角形．答案： D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个极点向它的对边所在的直线作垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描绘方法：高的描绘方法有三种，这三种方法都能得出AD 是 BC 边上的高．如图所示．①AD 是△ ABC 的高；② AD⊥ BC，垂足为 D；③ D 在 BC 上，且∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°.(3)性质特色：①因为高是经过作垂线得出的，因此有高必定有垂直和直角．常用关系式为：因为 AD 是 BC 边上的高，所以∠ ADB ＝∠ ADC＝ 90°.②“三角形的三条高(所在直线 )交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角极点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外面．以下图．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的极点，另一个端点在这个极点的对边或对边所在的直线上．【例 3】三角形的三条高在()．A ．三角形的内部B ．三角形的外面C．三角形的边上 D ．三角形的内部、外面或边上分析：三角形的三条高交于一点，但有三种状况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角极点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外面，所以只有 D 正确．答案： D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连结一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描绘方法：三角形中线的描绘方法有两种方式，如图．①直接描绘： AD 是 BC 边上的中线； ②间接描绘： D 是 BC 边上的中点．(3)性质特色：AD 是 BC 边上的①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为中线，所以 BD ＝ CD (或 BD ＝ 1BC ，DC ＝ 1 B C)．2 2②以以下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．无论是锐角三角形 、直角三角形，仍是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个极点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的极点，另一个端点是这个极点的对边中点．【例 4】 如图， AE 是△ ABC 的中线， EC ＝ 6，DE ＝ 2，则 BD 的长为 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．6分析： 因为 AE 是 △ ABC 的中线， 所以 BE ＝ EC ＝6.又因为 DE ＝2， 所以 BD ＝BE －DE ＝ 6－ 2＝4. 答案： C5． 三角形的角均分线(1)定义：三角形中，一个内角的均分线与它的对边订交，这个角的极点与交点之间的线段叫做三角形的角均分线．(2)描绘方法：角均分线的描绘有三种，如图．①直接描绘： AD 是△ ABC 的角均分线； ②在△ ABC 中，∠ 1=∠ 2，且 D 在 BC 上； ③ AD 均分∠ BAC ，交 BC 于点 D.(3)性质特色：①由三角形角均分线的定义可知，有角均分线就有相等的角，如上图中，因为 AD 是 △ABC 的角均分线，所以∠ 1= ∠ 2(或∠ 1=∠ 2= ∠ BAC ，或∠ BAC=2 ∠1=2 ∠ 2)． ②一个三角形有三条角均分线，三角形的三条角均分线交于一点，无论是锐角三角形、 直角三角形，仍是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧 三角形的角均分线的理解 三角形的角均分线也是一条线段，角的极点是一 个 端点，另一个端点在对边上．【例 5】 以下说法正确的选项是 ( )．①均分三角形内角的射线叫做三角形的角均分线； ②三角形的中线、角均分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角均分线；④三角形的中线是经过极点和对边中点的直线．A ．③④B．③C．②③D．①④分析：任何一个三角形都有三条高、中线和角均分线，而且它们都是线段，不是射线或直线，所以只有③正确，应选 B.答案： B6．三角形的稳固性(1)定义：三角形的三边确立后，这个三角形的大小、形状就确立不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳固性．(2)理解：三角形的稳固性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确立后它的隶属性质也不变，这不一样于四边形，因此在本质生活中，都是用三角形做支架的．【例 6】在建筑工地我们常可看见以下图，用木条EF固定矩形门框ABCD 的情况．这种做法依据 ()．A ．两点之间线段最短B．两点确立一条直线C．三角形的稳固性D．矩形的四个角都是直角分析：这是三角形稳固性在平时生活中的应用， C 正确．答案： C解技巧三角形的稳固性的理解三角形稳固性的问题都是以本质生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边 (两边之差小于第三边 )”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“随意两边的和”，知足这一关系是三条线段可否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有双方面，一是在已知两边的状况下确立第三边的取值范围；二是依据所给三条线段的长度判断这三条线段可否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段 a， b，c 知足最短的两条线段之和大于最长的线段时便可构成三角形；② 已知两条线段，可依据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确立第三条线段的取值范围．【例 7－ 1】以以下长度的三条线段为边，能构成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm ；(2)三条线段长之比为4∶ 5∶ 6；(3)a＋ 1， a＋ 2， a＋ 3(a＞0)．剖析：依据三角形的三边关系来判断已知的三条线段可否构成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和能否大于第三条线段，即可判断可否构成三角形．解： (1)因为 6＋ 8＞ 10，所以长为 6 cm,8 cm,10 cm 的三条线段能构成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞ 0)，因为 4x＋5x 大于 6x，所以三条线段长之比为 4∶ 5∶ 6 时，能构成三角形；(3)因为 a＋ 1＋a＋ 2＝ 2a＋ 3，当 a＞ 0 时， 2a＋ 3＞ a＋3，所以a＋ 1， a＋2， a＋ 3(a＞0)长的线段能构成三角形．【例 7－ 2】已知三角形的两边长分别为 5 cm 和 8 cm，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是 __________ ．分析：依据三角形三边关系可知，第三条边的长x 应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以 3 cm<x<13 cm.答案： 3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角均分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，所以画出它们高、中线、角均分线常常用到，是一定掌握的基本技术．(1)高的画法：近似于垂线的画法，用三角板过某一极点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所获得的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连结这点和这边相对的极点的线段，就是所求中线．(3)角均分线的画法：近似于画角均分线，作三角形一个角的均分线，交对边于一点，这点和角的极点之间的线段就是所求的角均分线．9．三角形高的应用从三角形的一个极点向它的对边所在的直线作垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是经过作垂线获得的，既有直角，又有垂线段，所以它的应用方向主要有双方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所一定知道的长度；二是直角，高是垂线段，因此必定有直角，依据全部直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，常常用“ 同角(或等角)的余角相等” 来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例 8】如图 (1)，已知△ ABC，画出△ ABC 中， BC 边上的高、中线和∠BAC 的均分线．图 (1) 图 (2)剖析：因为三角形的高、中线、角均分线都是描绘性定义，它们的定义就包含了它们的画法，依据总结的画法画出图形即可，如图(2) ．解：画法以下：(1)过 A 作 BC 的垂线，垂足为D， AD 即为 BC 边上的高；(2)取 BC 的中点 E，连结 AE ，AE 即为 BC 边上的中线；(3)作∠ BAC 的均分线，交 BC 于点 F，连结 AF，AF 即为△ ABC 中∠BAC 的均分线．【例9】如图，在△ ABC 中，AD ，BE 分别是边 BC，AC 上的高，试说明∠ DAC 与∠ EBC的关系．剖析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ ADC，∠ BEC 都是直角．依据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC ＋∠ C＝ 90°，∠ EBC ＋∠ C＝ 90°，依据同角的余角相等，即可得出∠ DAC ＝∠ EBC .解：∠ DAC＝∠ EBC.因为 AD ，BE 分别是边 BC ，AC 上的高，所以∠ADC ＝90°，∠BEC ＝ 90°.所以∠DAC ＋∠C＝ 90°，∠ EBC ＋∠C＝ 90°.所以∠DAC ＝∠EBC.10． 三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特色是已知三角形的中线，图中必定含有相等线段，由此延长出中线的应用： (1)面积问题： 三角形的中线将三角形分红面积相等的两个三角形，如图，在△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则 S ＝ S ＝12S .△ABD△ACD△ABC因为 BD ＝CD ，△ ABD 和△ ADC 等底同高，所以面积相等，所以经过作三角形的中线可将三角形分红面积相等的两部分．(2)周长问题：以下图， AD 是 BC 边上的中线，△ ABD 和△ ACD 的周长之差本质上就是 AB 与 AC 的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例 10】 有一块三角形优秀品种试验基地， 以下图， 因为引进四个优秀品种进行对比试验，需将这块土地分红面积相等的四块，请你拟订出两种以上的区分方案供选择 (绘图 说明 )．剖析： 依据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特色，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，而后再挨次均分．解：答案不独一，如方案 1：如图 (1)，在 BC 上取点 D ，E ，F ，使 BD ＝ DE ＝EF ＝FC ，连结 AD ， AE ， AF.方案 2：如图 (2)，分别取 AB ， BC ， CA 的中点 D ，E ， F ，连结 DE ，EF ，DF .方案 3：如图 (3) ，分别取 BC 的中点 D 、CD 的中点 E、 AB 的中点 F，连结 AD ， AE，DF .方案 4：如图 (4) ，分别取 BC 的中点 D 、AB 的中点 E、 AC 的中点 F，连结 AD ， DE，DF .11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特别的三角形，它最大的特色是两条边相等，所以反应在三边关系中，就是底与腰的关系：①只需两腰之和大于底就必定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0 且小于两腰之和．因为等腰三角形的特别性，所以在波及等腰三角形问题时，只需不明确哪是底，哪是腰，就一定分状况议论，而且要考证能否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是 2 cm 和 5 cm，它的周长是多少？状况一：当腰是 2 cm 底是 5 cm 时，因为 2＋ 2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；状况二：当腰是 5 cm 底是 2 cm 时， 5＋ 2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长依据两边之和大于第三边，联合底和腰的关系先判断等腰三角形能否存在是求解的前提．【例 11－1】等腰三角形的两边长分别为 6 cm 和 9 cm，则腰长为 __________．分析：两种状况，一是腰长为 6 cm 时，底边就是9 cm，此时 6＋ 6＞ 9，此三角形存在，所以腰长能够是 6 cm；二是腰长为9 cm，此时 9＋ 6＞ 9，此三角形也存在，所以腰长也可以是 9 cm，故腰长为 6 cm 或 9 cm.答案： 9 cm 或 6 cm【例 11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的 2 倍，求腰长；(2)若此中一边长为 6 cm，求其余两边长．剖析： (1)能够经过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，经过求方程的解从而求出答案； (2)因为题目中没有说明这条边终究是腰仍是底边，要分两种状况考虑，并且计算结果还要注意检查能否切合两边之和都大于第三边．解： (1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，依据题意，得x＋2x＋ 2x＝24，解得 x＝，所以腰长为2x＝2×＝ 9.6(cm) ．(2)当长为 6 cm 的边为腰时，则底边为24－ 6×2＝ 12(cm)．因为 6＋ 6＝ 12，两边之和等于第三边，所以 6 cm长为腰不可以构成三角形，故腰长不可以为 6 cm.当长为 6 cm 的边为底边时，则腰长为(24－6) ÷2＝ 9(cm) ，因为 6 cm,9 cm,9 cm 能够构成三角形，所以等腰三角形其余两边长均为9 cm.12.与三角形相关的线段易错点剖析在本节内容中，易错点主要表此刻以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角均分线都是线段，它们都有长度，这与前方所学的垂线是直线、角均分线是射线简单混杂．(2)画钝角三角形的高时易犯错，以以下图三种画法都是错误的．三种状况错误的原由都是对三角形的高的定义理解不透辟．图 1 中 BE 不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误以为高的垂足必落在对边上；图 2 错在没有过点 B 画 AC 的垂线段；图 3 错在把三角形的高与 AC 边上的垂线混杂，把线段画成了射线．正确的作法是过在 CA 的延长线上，以以下图所示：(3)运用三角形三边关系时犯错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其余运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易犯错，必定要分类议论，且一定考虑“不一样状况下能否能构成三角形”．【例 12－ 1】以下说法正确的选项是()．A．三角形的角均分线是射线B．三角形的高是一条垂线C．三角形的三条中线订交于一点D．三角形的中线、角均分线和高都在三角形内部分析： A ，B，D 都是错误的， A 选项一个角的均分线与三角形的角均分线有本质差别：角的均分线是射线，三角形的角均分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个极点向它的对边所在的直线画垂线，极点和垂足之间的线段；三角形的中线、角均分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外面，所以 D 也是错误的．只有 C 正确．答案： C【例 12－ 2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分红为12 cm 和 15 cm 两部分，求三角形的底边长．剖析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB＋ AD＝ 15 cm， BC＋CD＝ 12 cm；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时 AB＋ AD ＝12 cm， BC＋ CD＝15 cm.图(1) 图 (2)解： (1)当三角形是锐角三角形时，因为 D 是 AC 的中点，所以1 1AB，所以AD ＝ AC＝12 2AB＋ AD＝AB ＋2AB＝ 15，解得 AB＝ 10(cm)．所以 AC＝ 10 cm，所以底边 BC＝ 15＋ 12－ 10× 2 ＝7(cm) ，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.1(2)当三角形是钝角三角形时，AB＋ AD ＝ AB＋2AB＝ 12，解得 AB ＝8(cm) ，所以 AC＝ 8 cm，所以BC＝ 15＋ 12－ 8× 2＝ 11(cm) ．因为8＋8＞ 11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或 11 cm.。

人教版八年级数学上册第11章三角形的三线及面积（讲义）➢ 课前预习1. 三角形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示． 性质：边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边； 角：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________； （2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________； （3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA➢ 知识点睛1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．CA________即为所求．2.面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例①利用平行转移面积21如图，满足S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．➢精讲精练1.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACH 边CH 上的高；⑤AH 是△ACF 的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．15. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】➢课前预习1.不在同一条直线上，首尾顺次相接，△大于，小于180°互余和它不相邻的两个内角的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b➢知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．➢精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三角形的三线及面积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的位置如图所示，点E 在线段AB 上，已知正方形ABCD 的面积为50cm 2，则△AFC 的面积是___________．3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是______．【参考答案】1. D2. 25cm²3. 64. 2 cm²三角形的三线及面积（习题）➢ 例题示范例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：①先在AB 的一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线； ②再在AB 的另一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线． 如图所示：F E CBA共6个．➢巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高3.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的面积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的面积是____________，△AED 的面积是___________．11. 如图所示，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的面积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm²8.309.1810.6 211.112.6 cm²。

F E D C B A E DC B AB 'C BA 专题四〔第九讲〕：三角形三线性质金牌数学专题系列 导入知识要点知识点1 ：三角形的 重要线段意义 图形表示法三角形 的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D CB A1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D CB A1.AE 是△ABC 的BC 上的中线.2.BE=EC=12BC. 三角形的 角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段21D CB A1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.双基练习一、选择题：1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,那么线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一(1) (2)(3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,那么以下说法正确的选项是( )A.DE 是△BCD 的中线B.BD 是△ABC 的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C 的对边是DE3.如图3所示,在△ABC 中,点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,那么S 阴影等于( ) 小学时上课爱睡觉。

一次语文课教师布置作业写一篇作文，题目是?假设我是蜘蛛?。

下课了问了同学 ，晚上在家绞尽脑汁，写了一篇轰动全校 的?假设我是只猪?F E DC A 654321F E CB A 140︒80︒1 A.2cm 2B.1cm 2C122 D 1424.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH ≤AD ≤AED.AH ≤AE ≤AD5.在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.246.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,那么它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形 7.以下说法正确的选项是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 8.三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,那么这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°9.△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),那么∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 10.三角形两个内角的差等于第三个内角,那么它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形 11.设α,β,γ是某三角形的三个内角,那么α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角 12.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,那么此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形13.假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定14.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°15.三角形的三个外角的度数比为2:3:4,那么它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 16.等腰三角形的一个外角是120°,那么它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 17.如图1所示,假设∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,那么∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°(1) (2) (3) 18.如图2所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,AC 上,那么以下各式不能成立的是( )A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 那么∠DAE 的度数为_________. 5.三角形中,假设最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,那么此三角形的最小内角的度数是________.E D A21C 'EC A6.在△ABC 中, 假设∠A+∠B ＞∠C,那么此三角形为_______三角形，假设∠A+∠B=∠C,那么此三角形为_______三角形;假设∠A+∠B ＜∠C,那么此三角形是_____三角形.7.等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 那么这个等腰三角形的顶角为_______. 8.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,假设∠BOC=132°,那么∠A=_______度. 9.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 10.如图3所示,∠1=_______. 11.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,那么与这个外角相邻的内角是____度.12.等腰三角形的一个外角为150°,那么它的底角为_____. 13.∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 那么∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.14.如下图,∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,那么∠BDC 的度数为________三、根底训练:1.如下图,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.3.如下图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321DCBA4.如下图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B), 试说明∠EAD=12(∠C-∠B).5.如下图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.四、提高训练:1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE,CF 所在的直线交于点O,求∠BOC 的度数.2.如下图,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系. 21D A CA 43P21DCBA3.如下图,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 求∠EDF 的度数.4.如图，，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． 〔1〕假设∠BAC=30°，求证：AD=BD ；〔2〕假设AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．五、探索发现:1. 如图5所示的是由假设干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s 与n 有什么关系,并求出当n=13时,s 的值.2. 如下图,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求以下各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.(1)PC BA (2)PCBA(3)CBAF E D C B An=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9。

三角形的三线在数学的广袤世界里，三角形是一个基础而重要的存在。

而三角形的三线——高线、中线和角平分线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键要素。

咱们先来说说三角形的高线。

高线，简单来讲，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

每个三角形都有三条高线，而且这三条高线所在的直线会相交于一点。

锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条高线在三角形的内部。

为什么要研究三角形的高线呢？这可太有用啦！通过高线，我们能够计算三角形的面积。

三角形的面积就等于底乘以这条底上的高再除以 2。

比如一个底为 5 厘米，对应的高为 4 厘米的三角形，它的面积就是 5×4÷2 ＝ 10 平方厘米。

再讲讲三角形的中线。

中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。

每个三角形同样有三条中线，而且这三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。

重心有一个很有趣的特点，就是如果我们把三角形看成一块质地均匀的薄板，那么用一个点支起薄板，使其平衡，这个点就是重心。

中线在解决一些几何问题时也发挥着重要作用。

比如，如果知道了三角形一边的中线长度，以及这条边的长度，就可以利用中线定理来计算其他相关的边长或者角度。

接下来是三角形的角平分线。

角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

三角形的三条角平分线也相交于一点，这个点叫做内心。

内心到三角形三边的距离相等。

角平分线在很多几何证明和计算中都能派上用场。

比如说，如果知道了一个角的大小以及它的角平分线，就能求出被平分后的两个角的大小。

在实际生活中，三角形的三线也有不少应用呢。

比如在建筑设计中，工程师们需要考虑三角形结构的稳定性，就会用到三角形三线的知识。

在地图绘制中，为了准确表示地形的高低起伏，也会用到三角形的高线。