5.3三角形的面积(1)练习题及答案

三角形面积练习题1．填空〔1〕270平方厘米＝〔〕平方分米 1.4公顷＝〔〕平方米〔2〕一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是〔〕平方分米。

〔3〕一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是〔〕平方分米。

〔4〕一个三角形的面积是4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是〔〕〔5〕一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，平行四边形的面积是〔〕平方分米，三角形的面积是〔〕平方分米。

〔6〕一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10米，那么平行四边形的高是〔〕米；如果平行四边形的高是10米，那么三角形的高是〔〕米。

〔7〕4.5平方米〔〕平方分米2400平方厘米〔〕平方分米〔8〕一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是〔〕平方分米。

〔9〕一个平行四边形的底是12厘米，面积是156平方厘米，高是〔〕厘米。

〔10〕一块平行四边形钢板，底是1.5米，高是1.2米，如果每平方米钢板重23.5千克，这块钢板重〔〕千克。

2．判断题。

〔1〕两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。

〔〕〔2〕等底等高的两个三角形，面积一定相等。

〔〕〔3〕三角形面积等于平行四边形面积的一半。

〔〕〔4〕三角形的底越长，面积就越大。

〔〕〔5〕三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。

〔〕〔6〕平行四边形的面积等于长方形面积。

〔〕〔7〕一个平行四边形的底是5分米，高是20厘米，面积是100平方分米。

〔〕〔8〕一个平行四边形面积是42平方米，高是6米，底是7米。

〔〕3．根据三角形的条件和问题填表。

面积〔平方厘米〕612.64．应用题。

〔1〕一块三角形地，底长38米，高是27米，如果每平方米收小麦0.7千克，这块地可以收小麦多少千克？〔2〕人民医院用一块长60米，宽0.8米的白布做成底和高都是0.4米的包扎三角巾，一共可做多少块？〔3〕如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米。

四年级下册数学⼀课⼀练-5.3三⾓形的内⾓和⼈教版（含答案）四年级下册数学⼀课⼀练- 5.3三⾓形的内⾓和⼀、单选题1.明明把⼀个三⾓形剪成两个⼩三⾓形(如图)，剪出的每个三⾓形的内⾓和是（）A. 90°B. 180°C. 360°2.⼀个直⾓三⾓形的⼀个锐⾓是35度，另⼀个锐⾓是（）度．A. 145B. 55C. 903.⼀个三⾓形中有两个锐⾓，那么第三个⾓（）A. 也是锐⾓B. ⼀定是直⾓C. ⼀定是钝⾓D. ⽆法确定4.∠1和∠2是⼀个直⾓三⾓形中的两个锐⾓，已知∠1=52°，∠2=（）A. 38°B. 28°C. 不能求出5.下⾯三⾓形中未知⾓的度数是（）A. 35B. 45°C. 55D. 65°⼆、判断题6.把⼀个⼤三⾓形剪成两个⼩三⾓形，每个⼩三⾓形的内⾓和⼩于180°。

7.三⾓形任意两个内⾓的和都⼤于第三个内⾓．8.⽤两个完全⼀样的三⾓形拼成⼀个⼤三⾓形，这个⼤三⾓形的内⾓和360．9.⼀个三⾓形中最多有两个直⾓，这种说法是正确的。

10.在同⼀个三⾓形中，只能有⼀个⾓是钝⾓。

三、填空题11.直⾓三⾓形的⼀个锐⾓是25°，另⼀个锐⾓是________．12.等腰三⾓形的顶⾓是80°．这个三⾓形的两个底⾓都是________．13.算出下⾯三⾓形中未知⾓的度数．________度14.在直⾓三⾓形中，已知⼀个锐⾓是55°，另⼀个锐⾓是________。

15.将⼀个⼤三⾓形分成两个⼩三⾓形，其中⼀个⼩三⾓形的内⾓和是________°四、解答题16.如图AB=AC，求∠1、∠C的度数？五、综合题17.（1）在⼀个三⾓形中，1=42°，2=50°，则3=________°。

（2）等腰三⾓形中的⼀个底⾓是30°，则它的顶⾓是________°。

新人教版数学四年级下册5.3三角形的内角和课时练习B卷（新版）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）一个三角形中，当两个内角的和正好等于第三个角时，这个三角形一定是（）三角形。

A . 钝角B . 直角C . 锐角D . 等边2. （2分）(2019·龙华) 下列说法中，正确的是（）。

A . 直角三角形的两条直角边互相垂直B . 三角形三个内角中可以有一个钝角，一个直角C . 两个锐角的和一定比直角大D . 周角的大小是平角的4倍3. （2分） (2021四下·新会月考) 下面每组三个角度不可能在同一个三角形内的是（）。

A . 15°、87°、78°B . 120°、55°、5°C . 90°、16°、84°4. （2分） (2020四下·金安期中) 一个等腰三角形，一个底角是40°，顶角是（）A . 100°B . 40°C . 50°D . 140°5. （2分）已知∠1和∠2是直角三角形中的两个锐角，∠2=63°，∠1=（）A . ∠1=117°B . ∠1=100°C . ∠1=27°D . ∠1=127°6. （2分）等腰三角形的一个底角是nº，它的顶角是（）。

A . nºB . 90ºC . 180º-2nºD . 90º+2nº7. （2分）一个直角三角形三个内角度数的比不可能是（）。

A . 1：2：3B . 2：3：5C . 2：3：48. （2分）一个等腰三角形的一个底角是35°，这个三角形是（）三角形．A . 锐角B . 直角C . 钝角9. （2分） (2020六上·邹城期末) 一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，按角分它是一个（）。

第3课时三角形的面积(1)不夯实基础，难建成高楼。

1. 填一填。

(1)两个完全一样的( )可以拼成一个平行四边形，因此一个( )的面积是所拼平行四边形面积的( )，平行四边形的底与所拼三角形的底( )，平行四边形的高与所拼三角形的高( )，所以三角形的面积＝( )。

(2)平行四边形的面积是和它等底等高的三角形面积的( )倍。

(3)一个三角形底是6厘米，高1.5厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。

2. 计算下面各三角形的面积。

(单位：cm)3. 判一判。

(对的在括号内打，错的打。

)(1)一个三角形的底和高都是5厘米，它的面积是25平方厘米。

( )(2)两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。

( )(3)两个面积相等的三角形，它们的底和高一定相等。

( )(4)两个同底等高的三角形，形状相同，面积相等。

( )(5)三角形的面积的大小与它的底和高有关，与它的形状和位置无关。

( )(6)一个三角形的底扩大5倍，高不变，面积也扩大5倍。

( )4. 比一比，谁的面积大？我认为________________ ___5. 计算三角形的面积。

重点难点，一网打尽。

6. 填一填。

(1)三角形面积是23平方分米，高是4分米，底长是( )分米。

(2)一个三角形和一个平行四边形的面积相等，高也相等，已知平行四边形的底边长10厘米，三角形的底边长( )厘米。

7. 求图中阴影部分的面积。

(单位：cm)8. 一块三角形木板，底是26分米，比高少14分米。

这块三角形木板的面积是多少平方分米？举一反三，应用创新，方能一显身手！9. 将一块长为2.64米，宽为1.2米的三夹板(长方形)，裁成直角边分别是4.4分米和3.2分米的直角三角形，最多可以裁多少块？(不能拼凑。

)10. 一个三角形的底长6米，如果底边延长2米，那么面积就增加3平方米。

原来三角形的面积是多少平方米？第3课时1. (1)三角形三角形一半相等相等底×高÷2(2)2 (3)4.5 92. 40.5 cm287 cm242.5 cm24. 一样大5. 96 225 133 7046. (1)11.5 (2)207. 8 cm27.5 cm28. 520 平方分米9. 45块10. 3×2÷2×6÷2＝9(平方米)。

五年级5.3试卷答案数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数字是质数？A. 21B. 23C. 25D. 272. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的面积是？A. 32平方厘米B. 24平方厘米C. 16平方厘米D. 8平方厘米3. 下列哪个数是4的倍数？A. 11B. 12C. 13D. 144. 1千克等于多少克？A. 100克B. 1000克C. 10克D. 10000克5. 一个等边三角形的每个角都是？A. 30度B. 45度C. 60度D. 90度二、判断题（每题1分，共5分）1. 1米等于100厘米。

（）2. 0是最小的自然数。

（）3. 任何数乘以0都等于0。

（）4. 长方形的对边相等。

（）5. 圆的周长等于直径乘以π。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 2的3次方等于______。

2. 一个正方形的边长是5厘米，它的面积是______平方厘米。

3. 1小时等于______分钟。

4. 6的因数有______、______、______和______。

5. 1千克+500克等于______克。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请写出5以内的质数。

2. 请解释什么是平行四边形。

3. 请列举出3种常见的三角形。

4. 请解释什么是圆的直径。

5. 请解释什么是乘法口诀。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，请计算它的面积。

2. 请计算12乘以34等于多少。

3. 一个等边三角形的边长是6厘米，请计算它的周长。

4. 请计算一个半径为4厘米的圆的面积。

5. 请将下列分数化简：4/8。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析并解释为什么0不能作为除数。

2. 请分析并解释为什么平行四边形的对边相等。

七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请画出一个边长为5厘米的正方形，并计算出它的面积。

2. 请画出一个半径为3厘米的圆，并计算出它的周长。

人教版小学四年级数学下册《第五章三角形 5.3 三角形的内角和》同步测试题一．选择题（共6小题）1．美美同学做了一个直角三角板，其中一个锐角是另一个锐角的3倍。

较大的锐角是（）A．30°B．60°C．22.5°D．67.5°2．下列判断中，正确的有（）①把一个小数末尾的零去掉，小数的大小不变，表示的意义也不变．②一个三角形中最多有三个角是锐角．③比1.5大，比1.6小的小数只有9个．④一个大于1的数乘上一个小数，所得的积一定比原来的数小．A．0个B．1个C．2个D．3个3．下面各组中的三个角，不可能在同一个三角形中的是（）A．14°，86°，80°B．90°，16°，104°C．120°，54°，6°4．用一个放大10倍的放大镜观察一个三角形，放大后的三角形的内角和是（）A．1800°B．180°C．360°5．从一个三角形上剪下一个60°的角，剩下图形的内角和是（）A．180°B．240°C．360°D．180°或360°6．三角形一个内角的度数等于另外两个内角的度数之和，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定二．填空题（共6小题）7．三角形的内角和是，四边形的内角和是．8．一个三角形的两个角分别是44o和38o，第三个角是o，它是一个三角形．9．在一个直角三角形中，一个锐角是30°，另一个锐角是°；一个等腰三角形的顶角是50°，它的一个底角是°．10．一个三角形中，有两个角的度数分别是32°和46°，第三个内角为°，这个三角形是三角形．（按角分类）11．在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是度．12．（1）在三角形ABC中，一个锐角是30°，截去这个角后（如图），剩下图形的内角和是°．（2）在一个直角三角形中，其中一个锐角是65°，另一个锐角是°．三．判断题（共5小题）13．钝角三角形的内角和要比锐角三角形的内角和大．（判断对错）14．三角形的三个内角中最多有一个是钝角．（判断对错）15．三角形的最大内角可能小于60°．（判断对错）16．比的内角和大．（判断对错）17．任何一个三角形的内角和都是180°．．（判断对错）四．计算题（共1小题）18．如图，其中∠2＝∠3，求∠2的度数．五．应用题（共5小题）19．妈妈有一条等腰三角形的丝巾，已知一个底角是40°，这条丝巾的顶角是多少度？20．红红家有一块三角形的小菜园，菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，这块三角形菜地其他角的度数是多少？这块地的形状是一个什么三角形？21．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3为三角形的三个角，已知∠1＝45°，∠2比∠1大15°，求∠2和∠3的度数分别是多少．22．李爷爷家有一块三角形的菜地，菜地的最大内角是120°，是最小角的四倍，这块三角形菜地其它两个角各是多少度？按边分，这是一个什么三角形菜地？23．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠6．图中的等腰三角形按角分，是什么三角形？六．解答题（共2小题）24．如图1，有一个正方形．（1）∠1的度数是．（2）经过O点作一条射线（如图2），使得∠2＝∠3，求∠2、∠3的度数？（3）你还能求∠4的度数吗？25．一个三角形中有3个内角∠1、∠2和∠3，它们的和是180°，其中∠1＝35°，∠2的度数是∠1的2倍．∠3是多少度？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．解：（180°﹣90°）÷（3+1）×3＝90°÷4×3＝22.5°×3＝67.5°答：较大的锐角是67.5°。

三年级下册数数学一课一练-5.3长方形的面积一、单选题1.一块长方形菜地，长7米，宽9米，面积是（）平方米．A. 63B. 16C. 322.如图，正方形ABCD和长方形BDFE哪个面积更大（）A. 长方形B. 正方形C. 一样大D. 无法比较3.将一个长12cm、宽4cm、高5cm 的长方体切成两个大小相等的小长方体，表面积最少增加（）cm2．A. 48B. 20C. 60D. 40二、判断题4.面积是4平方厘米的正方形，它的边长是16厘米5.边长是1厘米的正方形，面积是4平方厘米6.长为8分米，宽为6厘米的长方形的面积为48 cm2。

7.边长是100分米的正方形的面积是1平方米。

三、填空题8.长方形的面积＝________×________.9.用6个边长为1厘米的正方形拼成一个长方形,拼成的长方形可能长是________厘米,宽是________厘米,面积是________平方厘米;也可能长是________厘米,宽是________厘米,面积是________平方厘米。

10.从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是________．11.一块正方形草坪，将它的边长增加2米，正方形草坪的面积就比原来增加40平方米，原来草坪的面积是________平方米。

12.一个正方形的边长是米，则这个正方形的周长是________米，面积是________平方米．四、解答题13.如图，一个长方形纸条从正方形的右边向左边水平移动，每秒运行3厘米．（1）行3秒钟后，重叠部分的面积是多少平方厘米？（2）经过几秒钟后，重叠部分的面积最大？此时重叠部分的面积是多少？14.有一块长3.2米、宽1.8米的长方形布料（如下图），要用它剪2块同样大小的正方形桌布。

（1）如果要求剪成的正方形桌布尽可能大，你会怎么剪？请在下图中画出你的想法，并标出有关数据。

三年级下册数学一课一练-5.3面积单位的进率一、单选题1.1平方分米=（）平方厘米A. 10B. 100C. 10002.300平方分米=（）平方米．A. 30B. 3C. 300003.8平方分米+4平方厘米=（）A. 84平方分米B. 804平方厘米4.“6平方分米”与“600平方厘米”比较，( )。

A. 大小相同，意义相同B. 大小相同，意义不相同C. 大小不相同，意义相同二、判断题5.常用的面积单位相邻单位间的进率是100.6.判断。

(对的画“√”，错的画“×")（1）三位数除以1位数，商一定是三位数。

（2）两位数乘两位数积一定是三位数。

（3）一个边长为4分米的正方形，它的面积和周长相等。

（4）420平方米=840平方分米（5）三角形都是轴对称图形。

（6）分子相同的两个分数，分母大的分数反而小。

7.一块玻璃长25分米，宽8分米。

每平方米要8元钱，买这块玻璃需要1600元。

三、填空题8. 3.5平方分米=________平方厘米9.0.4米＝________厘米 2.8升＝________毫升 2.3m3＝________m3________dm3340平方厘米＝________平方分米10.1500平方分米=________平方米3.25小时=________时________分4.8吨=________千克1米2厘米=________米．11.（1）3.08平方米=________平方分米（2）0.52立方米=________立方分米=________升12.20.003平方米能铺________个1平方米大方砖和________1平方厘米的小方砖四、综合题13.在横线上填上合适的单位或数．厨房的面积约9________ 课桌的长是12________橡皮擦的面积约3________ 48时＝________日9.5元＝________元________角 500平方厘米＝________平方分米五、解答题14.陈俊家的厨房地面长3米，宽2米，用面积是4平方分米的正方形地砖铺厨房地面，需要多少块？15.一块三角形的玻璃，它的底是12dm，高是6.6dm，每平方米玻璃的价钱是65元。

§5.3 解三角形考点一 正弦、余弦定理17.(2021湖南,3,5分)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若2asin B=√3b,则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D 由正弦定理可知:2sin A ·sin B=√3sin B,由于B 为三角形的内角,所以sin B ≠0,故sin A=√32,又由于△ABC 为锐角三角形,所以A ∈(0,π2),故A=π3,选D.评析 本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值,考查同学运算求解力量,本题同学简洁记错特殊角的三角函数值导致选错失分.18.(2021辽宁,6,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B=( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B,即sin Bsin(A+C)=12sin B,由于sin B ≠0,所以sin B=12,所以∠B=π6或56π,又由于a>b,故∠B=π6,选A.19.(2021陕西,7,5分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的外形为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,得sin(B+C)=sin 2A,∴sin A=1,即A=π2.故选B.20.(2021福建,12,4分)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 答案 7解析 设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsin A=10√3得sin A=√32,由于A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=25+64-2×40×12=49,故a=7,即BC=7. 评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A 是求解关键.21.(2021浙江,16,4分)在△ABC 中,∠C=90°,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM=13,则sin ∠BAC= . 答案√63解析 令∠BAM=β,∠BAC=α, 故|CM|=|AM|sin(α-β),∵M 为BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β). 在△AMB 中,由正弦定理知:|AM|sinB =|BM|sinβ, 即|AM|sin (π2-α)=|AM|·sin(α-β)sinβ, ∵sin β=13,∴cos β=2√23, ∴1=cos α·(2√2sinα-1cosα) =2√2sin αcos α-1cos 2α, 整理得1=2√2sin αcos α-cos 2α, 解得tan α=√2,故sin α=√63.评析 本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查同学的图形观看力量和数据处理力量.如何利用M 是BC 中点是解答本题的关键.22.(2022湖北,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= . 答案2π3解析 由已知得a 2+b 2-c 2=-ab,∴cos C=a 2+b 2-c 2=-1, ∴C=2π3.评析 本题考查余弦定理,考查同学的运算求解力量.23.(2022重庆,13,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=513,b=3,则c= . 答案145解析 ∵A,B,C 为三角形内角且cos A=35,cos B=513, ∴sin A=45,sin B=1213.sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B=45×513+35×1213=5665. 由正弦定理c sinC =bsinB ,得c=b×sinC sinB =3×56651213=145.评析 本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(2021北京,15,13分)在△ABC 中,a=3,b=2√6,∠B=2∠A. (1)求cos A 的值; (2)求c 的值.解析 (1)由于a=3,b=2√6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A .所以2sinAcosA sinA =2√63.故cos A=√63.(2)由(1)知cos A=√63,所以sin A=√1-cos 2A =√33. 又由于∠B=2∠A, 所以cos B=2cos 2A-1=13.所以sin B=√1-cos 2B =2√23.在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5√39.所以c=asinCsinA =5.评析 本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查同学运算技巧和运算求解力量,二倍角公式和诱导公式的娴熟应用是解决本题的关键.考点二 解三角形及其综合应用16.(2022重庆,10,5分)已知△ABC 的内角A,B,C 满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a,b,c 分别为A,B,C 所对的边,则下列不等式肯定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16√2 C.6≤abc ≤12 D.12≤abc ≤24答案 A 设△ABC 的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12⇒sin 2A+sin 2B=-sin 2C+12⇒sin 2A+sin 2B+sin 2C=12⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=12⇒2sin C ·[cos(A-B)-cos(A+B)]=12⇒4sin Asin Bsin C=12⇒sin Asin Bsin C=18.则S=12absin C=2R 2·sin Asin Bsin C=14R 2∈[1,2],∴R ∈[2,2√2],∴abc=8R 3sin Asin Bsin C=R 3∈[8,16 √2],知C 、D 均不正确.bc(b+c)>bc ·a=R 3≥8,∴A 正确.事实上,留意到a 、b 、c 的无序性,并且16√2>8,若B 成立,则A 必定成立,排解B.故选A.17.(2021浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.解析 (1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2.(2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√5,cos C=√5. 又由于sin B=sin(A+C)=sin (π4+C),所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b, 又由于A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础学问,同时考查运算求解力量.18.(2021陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m =(a,√3b)与n =(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.解析 (1)由于m ∥n ,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B ≠0,从而tan A=√3, 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由a 2=b 2+c 2-2bccos A 及a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0,由于c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32. 解法二:由正弦定理,得√7sin π3=2sinB , 从而sin B=√217,又由a>b,知A>B,所以cos B=2√77. 故sin C=sin(A+B)=sin (B +π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3=3√2114. 所以△ABC 的面积为12absin C=3√32. 19.(2021四川,19,12分)如图,A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)证明:tan A 2=1-cosAsinA;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.解析(1)tan A 2=sin A2cos A 2=2sin 2A22sin A 2cosA 2=1-cosA sinA .(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan A2+tan B 2+tan C 2+tan D 2=1-cosA sinA +1-cosB sinB +1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B) =2sinA +2sinB . 连结BD.在△ABD 中,有BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A,在△BCD 中,有BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CDcos C,所以AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A=BC 2+CD 2+2BC ·CDcos A.则cos A=AB 2+AD 2-BC 2-CD 2=62+52-32-42=3. 于是sin A=√1-cos 2A =√1-(37)2=2√107.连结AC.同理可得cos B=AB 2+BC 2-AD 2-CD 22(AB ·BC+AD ·CD)=62+32-52-422×(6×3+5×4)=119,于是sin B=√1-cos 2B =√1-(119)2=6√1019. 所以,tan A2+tan B2+tan C2+tan D2 =2+2=2√10+6√10=4√10. 评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简洁的三角恒等变换等基础学问,考查运算求解力量、推理论证力量,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(2022北京,15,13分)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD;(2)求BD,AC 的长.解析 (1)在△ADC 中,由于cos ∠ADC=17, 所以sin ∠ADC=4√37.所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B=4√37×12-17×√32=3√314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得BD=AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB=8×3√314437=3.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.评析 本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解力量. 21.(2022陕西,16,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 解析 (1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b 2=ac.由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a=c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.评析 本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等学问;考查运算求解力量. 22.(2022安徽,16,12分)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a 的值;(2)求sin (A +π4)的值.解析 (1)由于A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b ·a 2+c 2-b 22ac .由于b=3,c=1,所以a 2=12,a=2√3. (2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.由于0<A<π,所以sin A=√1-cos 2A =√1-1=2√2. 故sin (A +π4)=sin Acos π4+cos Asin π4=2√23×√22+(-13)×√22=4-√26. 评析 本题考查正、余弦定理,三角变换等学问,属简洁题.23.(2022浙江,18,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a ≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sin Acos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积. 解析 (1)由题意得1+cos2A 2-1+cos2B 2=√32sin 2A-√32sin 2B, 即√32sin 2A-12cos 2A=√32sin 2B-12cos 2B,sin (2A -π6)=sin (2B -π6).由a ≠b,得A ≠B,又A+B ∈(0,π),得 2A-π+2B-π=π, 即A+B=2π3, 所以C=π3.(2)由c=√3,sin A=45,asinA =csinC ,得a=85, 由a<c,得A<C.从而cos A=35,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4+3√310, 所以,△ABC 的面积为S=12acsin B=8√3+1825. 评析 本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础学问,同时考查运算求解力量. 24.(2021四川,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B2cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35. (1)求cos A 的值;(2)若a=4√2,b=5,求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影. 解析 (1)由2cos2A -B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35. 则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35. (2)由cos A=-35,0<A<π,得sin A=45, 由正弦定理,有a sinA =bsinB ,所以sin B=bsinA a =√22. 由题意知a>b,则A>B,故B=π4.依据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c×(-35), 解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=√22. 评析 本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础学问,考查运算求解力量,考查化归与转化等数学思想.25.(2021安徽,16,12分)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.解析 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=bsin ∠BAC a =33√10=√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin(π-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB =√10.26.(2021湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.解析 (1)由a=btan A 及正弦定理,得sinA =a =sinA ,所以sin B=cos A,即sin B=sin (π+A). 又B 为钝角,因此π2+A ∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2-2A>0,所以A ∈(0,π4).于是sin A+sin C=sin A+sin (π2-2A) =sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1=-2(sinA -14)2+98.由于0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sinA -14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].评析 本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(2021江西,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-√3sin A)cos B=0. (1)求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围. 解析 (1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-√3sin Acos B=0, 即有sin Asin B-√3sin Acos B=0, 由于sin A ≠0,所以sin B-√3cos B=0, 又cos B ≠0,所以tan B=√3, 又0<B<π,所以B=π3.(2)由余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B. 由于a+c=1,cos B=12,所以b 2=3(a -12)2+14.又0<a<1,于是有1≤b 2<1,即有1≤b<1.28.(2021课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.解析 (1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=3+14-2×√3×12cos 30°=74.故PA=√72.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得√3sin150°=sinαsin(30°-α), 化简得√3cos α=4sin α. 所以tan α=√34,即tan ∠PBA=√34.评析 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解力量和分析、解决问题的力量.题目新颖且有肯定的难度,通过PB 把△PBC 和△PAB 联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(2022江西,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知A=π4,bsin (π4+C)-csin (π4+B)=a. (1)求证:B-C=π2;(2)若a=√2,求△ABC 的面积.解析 (1)证明:由bsin (π4+C)-csin (π4+B)=a,应用正弦定理,得sin Bsin (π4+C)-sin Csin (π4+B)=sin A, sinB (√22sinC +√22cosC)-sin C√22sin B+√22cos B =√22,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1, 由于0<B,C<34π,从而B-C=π2. (2)B+C=π-A=3π4,因此B=5π8,C=π8.由a=√2,A=π4,得b=asinBsinA =2sin 5π8,c=asinCsinA =2sin π8,所以△ABC 的面积S=12bcsin A=√2sin 5π8·sin π8=√2cos π8·sin π8=12. 评析 本题主要考查解三角形的基本学问,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算力量及应用意识.。

5 三角形第3课时三角形的分类基础巩固篇1.填空（1）三角形按角分有（）、（）、（）。

（2）（）叫做锐角三角形，它有（）个锐角；（）叫做直角三角形，它有（）个直角，（）个锐角；（）叫做钝角三角形，它有（）个钝角，（）个锐角。

（3）（）叫做等腰三角形，它的两条腰（），两个底角（）；（）叫做等边三角形，它的三条边（），三个角（），且三个角都是（）度。

（4）（）是特殊的等腰三角形。

（5）等腰三角形可能是（）三角形、（）三角形、（）三角形；等边三角形只能是（）三角形。

（6）一个三角形中最多有（）个锐角，最少有（）个锐角。

（7）在直角三角形中，最长的是（）边。

（8）一根长45厘米的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（）。

（9）三角形的一个角是108o，这个三角形是（）三角形。

2. 连一连。

3.选择题。

（1）所有的等边三角形都是( )。

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形（2）有一个角是直角，有两条边相等的三角形是（ ）。

A. 等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 （3）钝角三角形中只有（ ）个钝角。

A. 1 B.2 C.3（4）一个等腰三角形，两条边长分别是5厘米和6厘米，那么第三条边长是（ ）厘米。

A.5B.6C.5或6能力提升篇4.下面哪些算式是正确的？（正确的画“√”，错误的画“×”) （1）等腰三角形是特殊的等边三角形。

（ ） （2）有两个锐角的三角形是锐角三角形。

（ ）（3）等腰三角形一定是钝角三角形。

（）（4）等边三角形可能是钝角三角形。

（）5.分一分，把三角形的序号填在相应的圈里。

6.画一画。

（1）画出一个锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。

（2）画出一个等腰三角形、等边三角形。

7.王奶奶用长篱笆围住了一块等腰三角形菜地。

其中两条边的长度是6米和8米，那么篱笆的长度是多少米？思维训练篇8.用纸盖住三角形的一部分，猜一猜它们可能是哪种三角形。

（1）（2）9.下面的图形中各有多少个三角形？有什么规律？5 三角形第3课时三角形的分类基础巩固篇1.填空（1）三角形按角分有（锐角三角形）、（直角三角形）、（钝角三角形）。