高三上学期期末数学试卷(理科)第20套真题

2020届高三上学期期末教学质量检测卷理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设z=i（2+i），则z=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i2．已知集合M={x|x2+x–2<0}，N={x|log2x<1}，则M∩N=A．（–2，1）B．（–1，2）C．（0，1）D．（1，2）3．二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是A．5 B．–20 C．20 D．–54．已知变量x，y满足240260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，则k13yx+=-的取值范围是A．k12>或k≤–5 B．–5≤k12<C．–5≤k12≤D．k12≥或k≤–55．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师6．若ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin 5α=，()sin 10αβ-=-，则sin β=A ．10 B ．2C ．12D ．1107．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为A ．310B ．35 C ．710D ．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A ．BC ．2D ．49．函数()sin 2f x x x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和是A ．π3- B ．π6- C ．π6 D ．π310．已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1，则异面直线A 1D 与B 1D 1所成角为A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π211．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 1与C 交于M ，N 两点，则M ，N 两点到直线l 2：x –y +1=0的距离之和的最小值为A B ．2C ．34D ．12．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB =AC =AD BC =BD CD =8．若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 的夹角为2π3，=c 2+a b ，|c |等于__________． 14．已知O 是椭圆E 的对称中心，F 1，F 2是E 的焦点．以O 为圆心，OF 1为半径的圆与E 的一个交点为A ．若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，则E 的离心率等于__________．15．设函数f （x ）=ln x +ax 232x -，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则函数f （x ）的极小值为__________．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +b cos A =2，sin sin A B C ⋅=，则△ABC周长的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1=1，a n +a n +1=λn +1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求λ的值；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =1，AD =2，CD = （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若M 是棱PC 上的一点，且满足3PM MC =，求二面角M –BQ –C 的大小．19．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 20．（本小题满分12分）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，，点G 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点，当1|2k >时，求△OPQ （O 为坐标原点）面积的取值范围． 21．（本小题满分12分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++，其中0a ≠．（1）若4a =-，求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n N ≥时，不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在，求出N ，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l及曲线C1的直角坐标方程，并判断曲线C1的形状；（2）已知点P（1，1），直线l交曲线C1于A，B两点，求11PA PB的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x–1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）>4的解集；（2）若关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷03理科数学·全解全析1．【答案】D【解析】∵z=i（2+i）=–1+2i，∴z=-1–2i，故选D．2．【答案】C【解析】集合M={x|x2+x–2<0}=（–2，1），N={x|log2x<1}=（0，2），则M∩N=（0，1），故选C．3．【答案】A【解析】二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2是从5个式子中取3个12x和2个–2y相乘，∴二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是：332252110C()C(2)428-=⨯=5．故选A．4．【答案】A【解析】由变量x，y满足240 260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，作出可行域如图，由260xx y=⎧⎨+-=⎩解得A（2，4），k13yx+=-的几何意义为可行域内动点与定点D（3，–1）连线的斜率．∵k DA4123+==--5，x–2y+4=0的斜率为12，∴k13yx+=-的取值范围是k12>或k≤–5．故选A．5．【答案】C【解析】“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英语老师，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比语文老师大”，可知甲是语文老师，故乙是数学老师．故选C．【解析】ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin α=可得cos α==()sin αβ-=，可得sin αcos β–cos αsin β10=-5cos β5+sin β10=-，即2cos β+sin β=sin 2β+cos 2β=1，解得sin β=B ． 7．【答案】C【解析】5选2共有n 25C ==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有1123C C =6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有22C =1种结果，∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为：P 6171010+==．故选C ． 8．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD =DC =BD =2，∠ADC =120°，BD ⊥平面ADC ，其直观图如图所示：AB =BC ，AC底面△BCD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ABD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ADC 的面积为：12⨯2×22=ACB 是腰长为，底长=12⨯=B ．【解析】令函数()sin 2f x x x ==2sin （2x π3-）=0，可得2x π3-=k π，求得x ππ26k =+，k ∈Z ．根据x ∈区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得x π3=-，π6， 故函数在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和为πππ366-+=-，故选B ．10．【答案】C【解析】连接BD ，BA 1，因为B 1D 1∥DB ，所以∠A 1DB （或其补角）为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角， 在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =DB =A 1B =A 1DB π3=，故选C ．11．【答案】A【解析】由于抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），直线l 1的斜率不为0，所以可设直线l 1的方程为ty =x –1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，y 2–4ty –4=0，∴y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=2+4t 2， ∴线段MN 的中点Q 的坐标为（2t 2+1，2t ）．设点M 到直线l 的距离为d M ，点N 到直线l 的距离为d N ，点Q 到直线l 的距离为d ， 则d M +d N =2d，∴当t 12=时，可使M 、N 两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为2．故选A ．12．【答案】D【解析】如图三棱锥A –BCD ，底面为等腰直角三角形，斜边为CD ，底面圆心为CD 中点F ，由AB =AC =AD ，可得AF ⊥平面BCD ，球心O 1在直线AF 上，AF ==2，设球O 1的半径为r 1，可得r 12=（r 1–2）2+16，解得r 1=5，由球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切， 则球心O 2在直线AE 上，球O 2直径的最大值为10–2=8．故选D ．13．【答案】2【解析】由题意可得 a •=b 1×2×cos 2π3=-1，2=c 42+a 4a •2+=b b 4×1+4×（–1）+4=4，∴|c |=2．故答案为：2．14 1【解析】设椭圆方程为2222x y a b+=1（a >b >0），圆的圆心为原点，半径为c ，若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，可得∠AOF 1=120°，∠AOF 2=60°，即有|AF 2|=c ，|AF 1|=，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=+c =2a ，则ec a ===11．15．【答案】ln2–2【解析】函数f （x ）=ln x +ax 232x -，函数定义域为：（0，+∞），f ′（x ）1x =+2ax 32-，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则f ′（1）=0，解得a 14=，所以f （x ）=ln x 14+x 232x -，f ′（x ）112x =+x ()()2312332222x x x x x x ---+-==，当f ′（x ）>0时，0<x <1或x >2，函数在（0，1）和（2，+∞）上单调递增， 当f ′（x ）<0时，1<x <2，函数在（1，2）上单调递减，所以函数在x =1时有极大值；函数在x =2时有极小值为：f （2）=ln2–2，故答案为：ln2–2． 16．【答案】6【解析】由a cos B +b cos A =2得，c =2，设△ABC 的外接圆的直径为2R ，AB 边上的高为h ，∵12ab sin C 12=ch ，即12⨯2R sin A ×2R sin B sin C 12=⨯2h ，即12（2R ）22⨯（sin C ）2=h ，2=h ，∴h =4=C 作AB 的平行线l ，设A 关于l 的对称点为A 1，则AC =A 1C ，∴AC +BC =A 1C +BC ≥A 1B ==4，（当且仅当A 1，C ，B 三点共线时取等号．） 故三角形周长的最小值为2+4=6．故答案为：6．17．【解析】（1）易得a 2=λ，a 3=λ+1，a 4=2λ，（2分）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴2214a a a =⋅，∴λ2=1•2λ，∴λ=2或λ=0，（舍去） ∴λ=2．（4分）（2）方法一：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1，（5分）n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n –1+a n ）=3+7+11+…+（2n –1）()2321222nn n n+-+==，（8分） n 为奇数时，S n =a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a n –1+a n ）=1+5+9+13+…+（2n –1）()21121222n n n n++-+==，（11分） 综上，{a n }的前n 项和22n n nS +=．（12分）方法二：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， 由1122123n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，得a n +2–a n =2，（6分）n 为奇数时，11122n n a a n +⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭，（8分） n 为偶数时，2122n n a a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，（10分） ∴a n =n ，（11分）∴22n n nS +=．（12分）方法三：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， ∴a n +1–（n +1）+a n –n =0，（7分） 设b n =a n –n ，∴b n +1+b n =0，∴b n +1=–b n ， ∵b 1=a 1–1=0，∴b n =0，∴a n =n ，（10分）∴22n n nS +=．（12分）18．【解析】（1）∵AD ∥BC ，BC 12AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，∴QB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，如图，以Q 为原点，分别以QA ，QC ，QP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 平面BQC 的法向量为=n （0，0，1），Q （0，0，0），P （0，0B （00），C （–1，0），设M （x ，y ，z ）， 则PM =（x ，y ，z ），MC =（–1–xy ，–z ），（9分）∵PM =3MC ，∴())()3133x x y y z z ⎧=--⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得34x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴M （34-，4，4），设平面MBQ 的法向量=m （x ，y ，z），则30304QB y QM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ， 取x =1，得=m （1，0M –BQ –C 的大小为θ，则cos θ=|cos ，m n |⋅===⋅m n m nθπ6=， ∴二面角M –BQ –C 的大小为π6．（12分）19．【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100–5–30–25=40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率P40100==0.4．（4分）（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X=0）18101806 302575025 =⨯==，P（X=1）1815121039013 3025302575025 =⨯+⨯==，P（X=2）12151806 302575025 =⨯==，∴X的分布列为：数学期望E（X）012252525=⨯+⨯+⨯=1．（8分）（3）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p 33330C 1C 4060==，虽然概率较小，但发生的可能性为14060． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．（12分） 20．【解析】（1）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，， B 为AN 的中点，且GB ⊥AN ，得GB 是线段AN 的中垂线， ∴|AG |=|GN |，又|GM |+|GN |=|GM |+|GA |=|AM=|MN |， ∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圓方程为2222x y a b +=1（a >b >0），则a =4，cb ==2∴曲线C 的方程为：22164x y +=1．（4分） （2）直线1：y =kx +m （k ≠12±），则由题意y =kx +m ， 与22164x y +=1联立方程组，消去y ， 可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2–16=0； 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以∆=64k 2m 2–4（1+4k 2）（4m 2–16）=0，即m 2=16k 2+4．① 又由y =kx +m 与x –2y =0，可得P （212m k -，12mk-）， 同理可得Q （–212m k +，12mk+），（8分） 由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|PQ|=x P –x Q |，S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|，②将①代入②可得：S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|=8|224141k k +-|， 当k 214>时，S △OPQ =8|224141k k +-|=8（224141k k +-）=8（12241k +-）>8， 综上，△OPQ 面积的取值范围是（8，+∞）．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知()f x 的定义域为． 当4a =-时，23()4ln(1)f x x x x =--+，（1分） 则(0)0f =，即切点为(0,0)A ． 又因为24()231f x x x x '=--+，所以切线的斜率(0)4k f '==-，（3分） 故曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为4y x =-．（4分） （2）22335()()ln(1)22g x f x x x x a x =+=-++，定义域为，所以2()53g x x x '=-2325311a x x x ax x +-++=++． 所以由题意知方程()0g x '=在上有3个不同实数根， 即方程32325a x x x =--在上有3个不同实数根．令32()325(1)h x x x x x =-->-，则y a =与()y h x =的图象有3个不同交点． 而2()945(95)(1)h x x x x x '=--=+-，（7分）易证()h x 在5(1,)9--和(1,)+∞上单调递增，在5(,1)9-上单调递减，且5400(1)0,()9243h h -=-=，(1)4h =-．结合y a =与()y h x =的图象，两者有3个不同交点时，需满足4000243a <<． 故符合题意的实数a 的取值范围为400(0,)243． （3）当1a =-时，函数23()ln(1)(1)f x x x x x =--+>-，21()231f x x x x '=--=+323(1)1x x x ---+，（9分） 则当[0,)x ∈+∞时，()0f x '<恒成立，故函数()f x 在上单调递减；),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),0[+∞又(0)0,f =则当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0f x f <=， 即23ln(1)x x x -<+对(0,)x ∈+∞恒成立． 只需取，则有恒成立． 故存在最小正整数1N =，使得n N ≥时，不等式311lnn n n n+->恒成立．（12分） 22．【解析】（1）∵直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．∴直线l的直角坐标方程为)11y x -=-，1y =+-∵曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为（x –2）2+（y –2）2=8，是以（2，2）为圆心，5分） （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程得)2160t t --=．记该方程的两根为t 1，t 2，由直线参数方程的几何意义可得|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，121t t +=，t 1t 2=–6，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．（10分） 23．【解析】（1）由题意可得|x –1|+|2x +3|>4，当x ≥1时，x –1+2x +3>4，解得x ≥1；当32-<x <1时，1–x +2x +3>4，解得0<x <1； 当x 32≤-时，1–x –2x –3>4，解得x <–2．可得原不等式的解集为（–∞，–2）∪（0，+∞）．（5分）（2）由（1）可得|t –1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，，，， ),0(1+∞∈=n x 3211)11ln(nn n ->+可得t32=-时，|t–1|+|2t+3|取得最小值52，关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为52≤|x+1|–|x–m|的最大值，由|x+1|–|x–m|≤|m+1|，可得|m+1|52≥，解得m32≥或m72≤-．（12分）。

山东省2020版高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A . 1B . -1C .D . -2. （2分）(2017·昆明模拟) （x2+xy+2y）5的展开式中x6y2的系数为（）A . 20B . 40C . 60D . 803. （2分） (2015高三上·东莞期末) 执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）A . n＞6？B . n＞7？C . n＞8？D . n＞9？4. （2分）(2012·北京) 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A . CE•CB=AD•DBB . CE•CB=AD•ABC . AD•AB=CD2D . CE•EB=CD25. （2分）(2017·渝中模拟) 设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2018·银川模拟) 设满足则（）A . 有最小值，最大值B . 有最大值，无最小值C . 有最小值，无最大值D . 有最小值，无最大值7. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高二下·南昌期末) 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2 ，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1 ，其中h0=a0⊕a1 ，h1=h0⊕a2 ．⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A . 10111B . 01100C . 11010D . 00011二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二上·长泰期末) 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程________．10. （1分）(2018·河北模拟) 已知在中，为边上的点，，若，则 ________．11. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为________．12. （1分） (2020高三上·洮南月考) 在中，角､､所对的边分别为､､，已知，，，则的面积为________.13. （1分）(2017·西宁模拟) 已知f（x）= ，且g（x）=f（x）+ 有三个零点，则实数a的取值范围为________．14. （1分） (2018高二下·辽源月考) 已知集合A＝{1,a ， 5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________三、解答题 (共6题；共55分)15. （5分）(2020·北京) 在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．16. （15分） (2015高三上·上海期中) 对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．17. （5分）将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上面的点数（Ⅰ）点数之和是5的概率；（Ⅱ）设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数，求式子2a﹣b=1成立的概率．18. （10分） (2016高二下·南昌期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）面BDC1∥面AB1D1 ．19. （10分） (2018高二下·聊城期中) 已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为 .（1）求函数的解析式；（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.20. （10分）(2017·镇江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题 1—12. DDAAB ABBCD CC二、填空题 13. 0.22 14.3215. 2 16. 1a ≥17. 解：（Ⅰ）因为()12sin cos 222f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2sin 2sin 22223x x x -π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭g 所以551sin 12632f πππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………5分 （2）()f x 的最小正周期2ππ2T ==. …………………………7分 令ππ2π22π+232k x k π-≤+≤，解得5ππππ+1212k x k -≤≤ 所以()f x 的单调增区间为5ππ[π,π+]()1212k k k Z -∈ ………………………10分 18.（1）141,1,2,3n n a a n n ++=-=⋅⋅⋅Q ①14(1)1,2,3,4n n a a n n -∴+=--=⋅⋅⋅ ② ………………2分 ①－ ②得114,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭, 当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以 21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数………………6分 （2）21343522121()()()n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-()()22462242(4)()482n n n a a a a n +-=-+++⋅⋅⋅+=-=- ………………12分19. 解析：（1）当0k =，2a =时，()sin 22sin f x x x =-+'()2cos22cos f x x x =-+24cos 2cos 2x x =-++2(2cos 1)(1cos )x x =+-'()f x + 0 - ()f x 增函数 极大值 减函数2()()f x f π∴=最大值33=. ………………6分 （2）()f x 在R 上单调递增，则'22()42(cos sin )cos 0f x x x a x =--+≥对x R ∀∈恒成立.得24cos cos 60x a x --≤，设cos t x =[]1,1∈-，2()46g t t at =--，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，由二次函数图象(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩， 得22a -≤≤. ………12分 20.解：（1）由已知条件得()22221212182c a b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得4,23a b ==所以椭圆Γ的方程为22:11612x y +=. ………………4分 （2）设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()()1122,|,B x y C x y 、，则直线AB 、AC 的方程分别为()1144y y x x =++和()2244y y x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为 1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、， ………………6分 联立()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k -+==++， ………………7分 于是()()()()22222212122212122216481636243622343466916481644444163434M N k k k k x x k k y y y y k k x x x x k k ⎛⎫--+ ⎪--++⎝⎭====--++++++++g g ，………………10分假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，则()220M N t y y -+=，所以15t =-或，所以当点P 为()1,0-或()5,0时，有PM PN ⊥. ………………12分 21.解：(1)设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=， 解得=45x ，所得样本中位数为45（百元）. …………2分（2）45μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()2P x μσ≥+1(22)2P x μσμσ--<<+= 10.95440.02282-==， 0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上. …………6分 （3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35, X 可能取值为3，4，5，6 ()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2133236455125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2233254555125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332765125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故其分布列为()83654272434561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 22. （1）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2'xx a a x e f x xe x x-=-=因此①当0a <时，20xa x e -< ，从而()'0f x <，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减，无极值点…………2分②当0a >时，令()2x g x a x e =-，则由于()g x 在[)0+∞，上单调递减，()g 0=0a >，(g 10a a =-=-<，所以存在唯一的()00+x ∈∞，,使得()0g 0x =， 所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,+x x ∈∞时，()0g x <，即()'0f x < 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点. …………5分（2）证明：（i ）由（1）知()2'xa x e f x x -=.令()2x g x a x e =- ，由a e >得()10g a e =->，所以()g 0x =在()1+∞，内有唯一解，从而()0f x '=在()0+∞，内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,+x ∞上单调递减, 所以0x 是()f x 的唯一极值点. 令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <= ，所以1lnx x <-. 从而当a e >时，ln 1a >，且 ()()()()()ln ln ln ln ln 1ln 1ln 10a f a a a a e a a a a =--<---=又因为()1=0f ，故()f x 在()1+∞，内有唯一的零点. ………………9分（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()0120110ln 10x x a x e a x x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()012011e ln 1x x x x x e =-，即1011201ln x x x x e x --=.因为当11x >时，11ln 1x x <- ，又101x x >>，故 10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数， 得1020ln ln x x e x -<，于是1002ln x x x -<，整理得0012ln x x x +>. …………12分。

贵阳市普通高中2020届高三年级第一学期期末监测考试高三数学（理科）参考答案与评分建议一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．725−14．280− 15．1[1,]2− 16三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分） 解:（1）当1n =时，111233, 3a a a =−=当2n ≥时,233n n S a =−............(1) 11233n n S a −−=− (2)（2）-（1）得：1233nn n a a a −=−∴13nn a a −= ∴数列{}n a 是13,3a q ==的等比数列3n n a =…………………………6分（2）33log log 3n nn b a n ===，则12211=2()(1)1n n n c b b n n n n +==−++ 1231111111112()1223341n n n T c c c c c n n −=+++⋯+=−+−+−⋯⋯+−+1122()22111n T n n =−=−<++…………………………12分18.（本题满分12分）解：（1）的取值情况有，,.基本事件总数为10. 设“25302530m n ⎧⎨⎩≤≤≤≤”为事件，则事件包含的基本事件为所以，故事件“25302530m n ⎧⎨⎩≤≤≤≤”的概率为………………………4分 （2）将甲、乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为222221(2223)(24.225)(28.630)(26.426)(19.816)18.2S =−+−+−+−+−=用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为222222(2223)(24.525)(29.530)(2726)(19.516)14.75S =−+−+−+−+−=由于，故用直线的拟合效果好…………………………8分 （3）由列表得:11x =，24y =；521615ii x==∑；511351i ii x y==∑，设回归方程为a bx y+=ˆ, 则122211351511243.1615511ni ii ni i x y nx yb x nx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑，24 3.11110.1a y bx =−=−⨯=−， 故所求方程为ˆ 3.110.1yx =−…………………………12分,m n (23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16)(30,26)(30,16),(26,16)A A (25,30),(25,26),(30,26)3()10P A =310y 2.2y x =y y 2.53y x =−y y 12S S > 2.53y x =−解: （1）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，因为底面ABCD 是菱形， ∴//AQ BC ，∴ANQ BCN ∆∆∽，12AQ AN BC NC ==, ∴3AC =,1AN =， (0,0,0)Q (1,0,0)A B 由(2,0,0)AC AD AB =+=−所以点(2,3,0)C −，设平面PQC 的一个法向量为00QP QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=n n ，即0x ⎧+⎪⎨23,z =(3,23,0),|=设平面BMQ 的法向量为00QB MN ⋅=⋅=m m ，注意到PA ，00QB PA ⋅=⋅=m ，解得BMQ 的一个法向量，设二面角B MQ −θ⋅==m n m n解：（1）由题意知可设过点(1,0)−的直线方程为1x ty =−，由 ⎩⎨⎧=−=xy ty x 412消去x 整理得0442=+−ty y ， 又因为直线与抛物线相切，所以016162=−=∆t ，解得1±=t ．当1=t 时，直线方程为1+=x y ，可得点P 坐标为12（，）， 又因为焦点(1,0)F ，所以点P 在x 轴上的射影为焦点F ．……………………6分 （2）设直线l 的方程为2x my =+，由⎩⎨⎧=+=xy my x 422消去x 整理得0842=−−my y ， 其中032162>+=∆m 恒成立. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则m y y y y 4,82121=+−=所以2212121212()4,()44416y y x x x x m y y m ==+=++=+ 由于圆M 是以线段AB 为直径的圆过点P ，则0PA PB ⋅=， 所以04)(21)(21212121=++−+++−y y y y x x x x 所以03842=++m m 解得21−=m 或23−=m 当21−=m 时，直线l 的方程为24y x =−+，圆M 的方程为 445)1()25(22=++−y x ；当23−=m 时，直线l 的方程为3432+−=x y ，圆M 的方程4221)3()213(22=++−y x .……………………12分证明：（1）∵1()()2x xf x e e −=−， ∴1()()02x xf x e e −'=+>， ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数，又∵001(0)()02f e e =⨯−=∴当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=； 又∵0,0xx ee −>>，∴由均值不等式得11()()122x x f x e e −'=+⨯=≥……………………………6分 （2）设()()()(1)g x f x mxf x m x '=−−−11()()(1)22x x x xe e mx e e m x −−=−−+−−则1111()(()())(1)2222x x x x x xg x e e m e e mx e e m −−−'=+−++−−−111()()()(1)222x x x x x x e e m e e mx e e m −−−=+−+−−−− 11(1)()(1)()22x x x x m e e m mx e e −−=−⨯+−−−−11(1)(()1)()22x x x x m e e mx e e −−=−+−−−(1)(()1)()m f x mxf x '=−−−∵1m ≥且0x >，由（Ⅰ）知()10f x '−>，()0f x >， ∴()(1)(()1)()0g x m f x mxf x ''=−−−<， ∴()g x 在(0,)+∞上是单调减函数，又∵(0)0g = ∴()(0)0g x g <=，即()()(1)0f x mxf x m x '−−−<∴当1m ≥，0x >时，()()(1)f x mxf x m x '<+−．……………………………12分解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==，222xy ρ+=代入212cos 110ρρθ++=得2212110x y x +++=，即22(6)25x y ++=，所以圆C 的圆心坐标为(6,0)−；……………………………5分 （2）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是121212cos ,11ρραρρ+=−=.12||||AB ρρ=−==由||AB =23cos ,tan 83αα==±，所以l的斜率为3或3−. ……………………………10分 23.（本题满分12分）解：（1）由已知2, 4(),2442, 4x x f x x x x ⎧−<−⎪=−<−⎪⎪⎪⎪⎩≤≥，由()f x <解得x <<，即{|Mx x =<<；……………………………5分（2）由（1）知，当,a b M ∈时，a b <<<<，从而222222)||2|22444a b ab a b ab a b ab +−+=++−−−222222242(2)(2)0a a b b a b =−−+=−−<所以|)||2|a b ab +<+……………………………10分。

2020届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =I （ ） A ．[)(]4,13,4-⋃ B ．[)(]4,31,4--⋃- C ．()()4,13,4-⋃ D ．()()4,31,4--⋃-【答案】A求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或， 结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足122z z ⋅=-，则2||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】A由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，代入1z •z 2＝﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，则答案可求． 解：由已知可得z 1＝﹣1﹣i ， 则11z i =-+， 又1z •z 2＝﹣2，∴()()()22121111i z i i i i ----===+-+-+--，∴|z 2|=故选A ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）【答案】C由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S . 【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132， 则小正方形的边长为3122-，小正方形的面积231312S ⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.1345006711-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B.本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A根据题意，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,AH BH u u u r u u u r 与AM u u u u r，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r 11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ， 又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，11(1),22x x λμ∴=-=，111(1)222x x λμ∴+=-+=，故选：A.本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.6．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 7．将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6π=ϕ”是()f x 是偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必婴不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条仲 【答案】A【详解】把函数()sin 3y x ϕ=+的图像向左平移9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x πϕ=++（） ，该函数是偶函数的充要条件是 32k k Z ππϕπ+=+∈，，所以则“6πϕ=”是“()f x 是偶函数”的充分不必要条件．故选A ．本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．8．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果. 【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B．2)C．D．【答案】A双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a ＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f xx x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题二、填空题13．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.由题意可得8n=，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)nx-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-g g g g，令843r-=，求得2r=，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．设数列{}n a为等差数列，其前n项和为n S，已知14799a a a++=，25893a a a++=.若对任意n*∈N都有n kS S≤，成立，则k的值为__________. 【答案】20设出等差数列的公差为d，由14799a a a++=，25893a a a++=，利用等差数列的性质求出4a和5a的值，两者相减即可得到d的值，根据4a和公差d写出等差数列的通项公式n a，令n a大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意k的值.【详解】解：设等差数列{}n a的公差为d，由14799a a a++=，得4399a=，即433a=.由25893a a a++=，得5393a=，即531a=.所以42,(4)241nd a a n d n=-=+-=-+.由0na>，得20.5n<，所以n S的最大值为20S，所以20k=，故答案为：20.本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题.15．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，过焦点F且斜率为13的直线与抛物线【答案】313-求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =， 可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，()()()()22222211221122||||22OA OB x y x y x px x px ⋅=++=++u u u r u u u r ()()2222221212121342438444p p x x x x p p x x p p p ⎛⎫=+++=++= ⎪⎝⎭， 则22334cos 1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， 故答案为：313-.本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.16．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[，]先求导得f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，解不等式得解.函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o ，22sin BAC ∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC【答案】（13（2）63. ()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长． ()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值． 【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，22cos BAD ∠∴=在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅， 即222BD 18923233=+-⨯=，得BD 3.= ()2由22cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=，在ABD V 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．1AB sin BADsin ADB BD∠∠⋅∴===πADB DAC C C 2∠∠=+=+Q，cosC ∴= 本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.） 19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断. 【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.22222421k m MN k +-=+⨯， 点O 到直线MN 的距离是21m d k=+.由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，得2412D km x k -=+，2212D my k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=. 由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDNm k m S MN d k k k +-==+⨯++ 222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6. 本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，椭圆方程求解一般是采用待定系数法；直线和椭圆的关系问题一般是求出目标表达式，根据表达式的特征选择合适的方法. 20．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】 （1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,Nμσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+， 问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根， 令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭； 所以Q 2P =本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析（1）分段讨论当x ＜－3时，当－3≤x ≤1时，当x ＞1时，求解不等式即可； （2）利用分析法，要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |，再两边平方证明即可. 【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|≥8. 当x ＜－3时，则－2x －2≥8，解得x ≤－5. 当－3≤x ≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅. 当x ＞1时，则2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≥3或x ≤－5}． （2）证明：要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.∵|a |＜1，|b |＜1，知a 2＜1，b 2＜1，∴(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)＞0. 故(ab －1)2＞(b －a )2成立． 从而原不等式成立．本题考查了解绝对值不等式，重点考查了利用分析法证明不等式，属中档题.。

2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；详解】解：所以或，即或故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题.3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选B．【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．5.设是椭圆上一点，分别是的左、右焦点.若，则（）A. 4B.C. 5D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得椭圆的焦点在轴，且，，即可计算出、，再由椭圆的定义计算可得；【详解】解：依题意可得椭圆焦点在轴，且，，由，可得，即，又，所以故选：【点睛】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，属于基础题.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切化弦后通分得，利用辅助角公式化简即可得结果.【详解】，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，利用切化弦思想和辅助角公式是解题的关键，属于中档题.7.若函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得出在区间上恒成立，分析函数的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】，.由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.【详解】解：，，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.9.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，根据线面平行的判定，得出平面，再由线面平行的性质得出，继而有，根据线段的比例关系可确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面角的定义找出为与底面所成角，解三角形，可得选项.【详解】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，又∵平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，所以，.因为，所以.取的中点，连接，则.因为，所以，又侧面底面，所以底面，所以为与底面所成的角.因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查线面角的计算，关键在于根据线面的关系，找出线面角的平面角，属于中档题.10.的展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.【详解】∵，∴的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设分别为内角的对边.已知，，，则_____.【答案】（或150°）【解析】【分析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为，，所以，故答案为：（或）.【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.14.现有下列三个结论，其中所有正确结论的编号是________.①若，则的最大值为；②“”的一个必要不充分条件是“”；③若且，则.【答案】①③【解析】【分析】利用基本不等式判断①；根据充要条件判断②；由简单的线性规划判断③；即可推出结果．【详解】解：若，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以①正确；因为，所以②不正确；作出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最小值6，故．所以③也正确．故所有正确结论的编号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．15.已知正四棱柱每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得，设正四棱柱的底面边长，高为，，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体对角线为球的直径，则有，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故该正四棱柱的侧面积为，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题16.函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由特殊值法分析可得和，进而分析可得在上单调递增，据此可得原不等式等价于，解可得的范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，因为当时，，且，所以．又，所以，．因为在，上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增．所以，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等比数列中，，且.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列的前n项和.【详解】解：（1）因为等比数列中，，且.所以公比，所以，即，故.（2）因为所以，所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.18.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0720.150【答案】(1)见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】（1）完善列联表，计算得到答案.（2）先计算，分别计算，，，，得到分布列，计算得到答案.【详解】（1）列联表如下：，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，，，，所以的分布列为65.【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点.（1）证明：；（2）已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，求【答案】（1）详见解析；（2）11.【解析】【分析】（1）设V在底面的射影为O，连接OE，找出二面角的平面角，再证明，从而得到；（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，根据异面直线与所成角为，求出的值，从而得到的值.【详解】（1）设V在底面的射影为O.则O为正方形ABCD 的中心如图，连接OE，因为E为BC的中点，所以.在正四棱锥中，，则，所以为二面角的平面角，则.在中，，又，所以.（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，.设，则，从而，整理得，解得（舍去），故.【点睛】本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量确定点的位置，是求解问题的关键.20.在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点符合题意.【解析】【分析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.【详解】（1）设，，则，，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，，则，.因，所以，即，所以.故存在点，使得.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值和的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.【解析】【分析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论，两种情况，变换得到，设，求函数的最小值得到答案.【详解】（1），由切线方程，知，，解得，.故，，由，得；由，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）①当时，恒成立，则.②当时，恒成立等价于对恒成立.令，，.令，，则对恒成立，所以在上单调递增.又，，所以，.当时，；当时，.所以，又，则，故，整数的最大值为3.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，得出关于的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得，则；当时，，解得，则.综上，不等式的解集为；（2），若对任意，不等式恒成立，则，解得或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；详解】解：所以或，即或故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题.3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选B．【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．5.设是椭圆上一点，分别是的左、右焦点.若，则（）A. 4B.C. 5D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得椭圆的焦点在轴，且，，即可计算出、，再由椭圆的定义计算可得；【详解】解：依题意可得椭圆焦点在轴，且，，由，可得，即，又，所以故选：【点睛】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，属于基础题.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切化弦后通分得，利用辅助角公式化简即可得结果.【详解】，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，利用切化弦思想和辅助角公式是解题的关键，属于中档题.7.若函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得出在区间上恒成立，分析函数的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】，.由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.【详解】解：，，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.9.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，根据线面平行的判定，得出平面，再由线面平行的性质得出，继而有，根据线段的比例关系可确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面角的定义找出为与底面所成角，解三角形，可得选项.【详解】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，又∵平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，所以，.因为，所以.取的中点，连接，则.因为，所以，又侧面底面，所以底面，所以为与底面所成的角.因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查线面角的计算，关键在于根据线面的关系，找出线面角的平面角，属于中档题.10.的展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.【详解】∵，∴的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设分别为内角的对边.已知，，，则_____.【答案】（或150°）【解析】【分析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为，，所以，故答案为：（或）.【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.14.现有下列三个结论，其中所有正确结论的编号是________.①若，则的最大值为；②“”的一个必要不充分条件是“”；③若且，则.【答案】①③【解析】【分析】利用基本不等式判断①；根据充要条件判断②；由简单的线性规划判断③；即可推出结果．【详解】解：若，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以①正确；因为，所以②不正确；作出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最小值6，故．所以③也正确．故所有正确结论的编号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．15.已知正四棱柱每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得，设正四棱柱的底面边长，高为，，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体对角线为球的直径，则有，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故该正四棱柱的侧面积为，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题16.函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由特殊值法分析可得和，进而分析可得在上单调递增，据此可得原不等式等价于，解可得的范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，因为当时，，且，所以．又，所以，．因为在，上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增．所以，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等比数列中，，且.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列的前n项和.【详解】解：（1）因为等比数列中，，且.所以公比，所以，即，故.（2）因为所以，所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.18.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.。

2020届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试题及答案一、单选题1．已知集合3|1,A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{|0}B x x =≥，则A B =（ ）A ．{|03}x x <≤B ．{|03}x x ≤≤C ．{|13}x x <≤D ．{|13}x x << 【答案】A【解析】化简集合A ，根据交集运算即可. 【详解】3|1(0,3],A x x ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭{|03}A B x x ∴=<≤,故选：A 【点睛】本题主要考查了分式不等式，交集的运算，属于容易题.2．设复数2(1)12i z i+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．45-B ．23-C ．25 D ．43【答案】C【解析】根据复数的乘除法运算法则，化简复数z ，即可写出虚部. 【详解】2(1)22(12)421212555i i i i z i i i ++====-+--, ∴复数z 的虚部为25. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，复数的概念，属于中档题.3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（ ）A ．25B ．35C ．715D ．815【答案】B【解析】取出2个球共有取法26C 种，至少有1个红球的对立事件为没有一个红球，共有24C 种，根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】设一次随机取出2个球，至少有1个红球为事件A ，则242663()1()=11155C P A P A C =--=-=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，对立事件，属于中档题. 4．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 【答案】B 【解析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k ∈Z ） 经考查C ，D 选项不对． 由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫-⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．5．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数21.99δ=【答案】D【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2= 1.99，故D 不正确．故选D ．6．函数ln ()|1|x f x x e =-+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由解析式ln ()|1|x f x x e =-+可知，在定义域(0,)+∞上()0f x >恒成立，即可选出答案.【详解】因为ln ()|1|x f x x e =-+的定义域为(0,)+∞，|1|0x -≥，ln 0x e >，所以ln ()|1|0x f x x e =+>-，结合图象，只有D 选项符合要求， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，值域，图象，属于容易题.7．已知10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭log (2),a x a =1log ,a y a +=12log (2)a z a +=，则（ ）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．x z y <<D ．z y x <<【答案】B【解析】根据10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭利用对数函数的增减性，判定,,x y z 与0,1的大小关系即可求解. 【详解】10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21a a ∴<<,0log 1log (2)log 1,a a a a a x =<==<11,1a a +><,11log log 10a a y a ++∴<==,1122a a >+>, ∴11221log(2)log ()12a a z a a ++=>+=, 综上y x z <<， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.8．在如图算法框图中，若6a =，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3k <B ．3k >C ．4k <D ．4k >【答案】C【解析】根据二项式（2+x ）5展开式的通项公式，求出x 3的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】∵二项式5(2)x +展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅, 令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅，332356(4)21408x x C x∴⨯⋅⋅=，∴程序运行的结果S 为120， 模拟程序的运行，由题意可得 k=6，S=1不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6，k=5 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=30，k=4 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120，k=3 此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为120．故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k ＜4？ 故选：C 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7108S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列{}n b 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D【解析】由7108S S S <<可分析数列89,a a ，10a 的符号，结合等差数列的性质，求出12n n n n b a a a ++=的最大值时n 的值. 【详解】 由7108S S S <<可得：88910910000a a a a a a <⎧⎪<++⎨⎪+<⎩ 即90a <，100a <，0d ∴<，∴等差数列{}n a 是789100,0,0,0a a a a >>><的递减数列， ∴1278910110,00,0,0,0,0,b b b b b b b >>><><<又98910118()0b b a a a a -=->，所以123789n T b b b b b b =++++++最大，故9n =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的增减性，判断数列项的符号，数列和的最值，属于中档题.10．十八世纪，函数[]y x =（[]x 表示不超过x 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程22019[]20200x x --=的所有实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020x x =+，若||2x ≥时，方程显然不成立，故22x -<<，此时[]1,0,1x =-，分别分析即可.【详解】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020x x =+, 因为||2x ≥时，2[]20220109x x >+，方程无解， 当22x -<<时，[]x 的可能取值为1,0,1-， 当[]1x =-时，方程有解1x =-， 当[]0x =时，方程无解， 当[]1x =时，220192021x =，解得20212019x =或20212019x =-， 因为2021[]12019=，符合题意，2021[]12019-=-不符合题意，舍去， 综上，方程的根为1x =-，20212019x =，故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，取整函数，分类讨论的思想，属于中档题.11．某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．234π C ．64π D ．643π【答案】D【解析】先在长方体中还原该三棱锥为P -ABC ，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R ，列出方程即可求出结果． 【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P -ABC ，且长方体的长为2，宽为43取AB 中点为D ，上底面中心为E ，连接DE ，EP ，则DE 32EP =因为三角形ABC 为直角三角形，所以D 点为三角形ABC 的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE 上，记球心为O ， 设球的半径为R ，则OB =OP =R ， 所以22222222,5OE OP EP R OD OB BD R =-=-=-=-，22342R R DE --== 解得：2163R =所以该三棱锥的外接球表面积为26443R ππ=,故选：D 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，属于中档题． 12．已知函数234()1234x x x f x x =+-+-+ (20182019)20182019x x -+，若函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈内，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】利用导数判断函数f （x ）单调性，再利用f （-1）＜0，f （0）=1，函数零点的判定定理判断函数是否存在零点零点 【详解】234()1234x x x f x x =+-+-+ (2018201920182019)x x -+， 2320172018()1f x x x x x x '∴=-+-++⋯-，当0x ≠且1x ≠-时，201920191()1()011x x f x x x'--+==>++，又(0)10,(1)0f f ''=>->，()f x ∴在R 上是增函数，且(1)0(0)10f f -<=>，，由函数零点的存在性定理知，函数()f x 的唯一零点0(1,0)x ∈-，又函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈， 所以b a -的最小值为0(1)1--=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量(1,1),a =(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为________. 【答案】85【解析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+, ()()0a b a b λ∴-⋅+=,23(1)50λλ+--=,解得85λ=，故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14．学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1 名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）. 【答案】150【解析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都是2人，②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案． 【详解】将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，有2种情况：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215c c c A =种分组方法， 再将3组分到3个项目，共有331590A ⋅=种不同的分配方案； ②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，有3115212210C C C A =种分组方法，再将3组分到3个项目，共有3310A 60⋅=种不同的分配方案，共有90+60=150种不同的分配方案， 故答案为：150 【点睛】本题主要考查了排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公式，属于中档题.15．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右两个焦点分别为1,F 2F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30AMB ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.【解析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到a ，b 的关系，再由离心率公式即可得到所求值. 【详解】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±， 以F 1F 2为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线by xa =代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y=b ，即有(,),M a b 又(,0),(,0)A a B a -， 由于30AMB ︒∠=，BM ⊥x 轴，则2tan 30a b ︒==b =，则离心率c e a ===16．已知函数()22()x f x x ax e ax a =--+（e 为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】1,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】函数有三个不同零点，转化为方程有3个根，进而当y a =与()xg x xe =有两个不同交点问题，画简图可得a 的范围． 【详解】()0f x =时，22()0x x ax e ax a --+=，()()0()()0x x x x a e a x a x a xe a ---=⇒--=，得x a =或x a xe =，函数()f x 有三个不同零点， 则y a =与()xg x xe =有两个不同的交点，而()(1)xx x g x exe e x '=+=+，令()0g x '=，1x =-，(,1)x ∈-∞-，()0g x '<，(1,)x ∈-+∞，()0g x '>， 所以11()(1)g x g e e--=-=-，函数()g x 大致图象如下：y a =与()g x 的图象有两个交点的范围1(e-，0)．故答案为：1,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性得函数最值，进而求两个交点时a 的范围，属于中档题．三、解答题17．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.(1)求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值. 【答案】(1)4Cπ（2）524+【解析】(1)由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为() sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解. 【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin acA C =， 所以()sin sin sin cos A CB B =+ 在ABC ∆中，()sin sin A B C =+ 所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+ 所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+ 所以sin cos sin sin B C C B = 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠ 所以cos sin C C = 因为C 是ABC ∆的内角 所以4C π=.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅ 54cos D =-因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===- 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅= 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+ BCD S ∆5cos sin 4D D =-+ 52sin 44D π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值524+【点睛】本题主考查解三角形，属于基础题型.18．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC=22,PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC 。

2020届河南省南阳市高三（上）期末试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，B={x|x≥0}，则A∩B=（）A. {x|0＜x≤3}B. {x|0≤x≤3}C. {x|1＜x≤3}D. {x|1＜x＜3}2.设复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则下列选项正确的是（）A. 函数f（x）的图象关于点（，0）对称B. 函数f（x）的图象关于点（-，0）对称C. 函数f（x）的图象关于直线x=对称D. 函数f（x）的图象关于直线x=-对称5.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.996.函数f（x）=|x-1|+e|ln x|的大致图象为（）1/ 11A. B.C. D.7.已知，x=log a（2a），y=log a+1a，（2a），则（）A. x＜y＜zB. y＜x＜zC. x＜z＜yD. z＜y＜x8.在如图算法框图中，若a=6，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A. k＜3B. k＞3C. k＜4D. k＞49.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＜S10＜S8，设b n=a n a n+1a n+2，则数列{b n}的前n项和T n取最大值时n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.十八世纪，函数y=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程2019x2-[x]-2020=0的所有实数根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 311.某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 23πB.C. 64πD.12.已知函数f（x）=1+x -，若函数f（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则实数λ的值为______．14.学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．15.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为______．16.已知函数f（x）=（x2-ax）e x-ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC=∠ACB，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD ，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．3/ 1119.设直线l与抛物线x2=2y交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB．（1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足k1+k2=λ（k3+k4）？并说明理由．20.已知函数f（x）=．（1）若函数y=f（x）-k有2个零点，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=m-有两个不等实根x1，x2，证明：①x1+x2＞2；②+＞2．21.一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束．（1）求P1，P2，P3；（2）求证：数列{P n+1-P n}（n=1，2，3，…，98）为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B 满足，求△AOB面积的最大值．23.若关于x的不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，记实数t的最大值为T．（1）求T的值；（2）若正数a，b，c满足a+2b+c=T ，求的最小值．5/ 11答案1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】14.【答案】15015.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a=c（sin B+cos B），∴sin A=sin C（sin B+cos B），…（1分）∴sin（π-B-C）=sin C（sin B+cos B），∴sin（B+C）=sin C（sin B+cos B），…（2分）∴sin B cos C+cos B sin C=sin B sin C+sin C cos B，…（3分）∴cos C sin B=sin B sin C，又∵B∈（0，π），故sin B≠0，…（4分）∴cos C=sin C，即tan C=1．…（5分）又∵C∈（0，π），∴C=．…（6分）（2）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D．…（7分）又∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ACB=，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴S△ABC=×BC××BC=BC2=-cos D，…（9分）又∵S△BDC=×BD×DC×sin D=sin D，…（10分）∴S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin（D-）．…（11分）∴当D=时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分）（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos C sin B=sin B sin C，【解析】结合sin C≠0，可求tan ACB=1，结合范围∠ACB∈（0，π），即可求得∠ACB的值．（2）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D，由已知及（1）可知∠ACB =，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，设D （，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E （，0，），B （，-b，0）∴=（2，0，-2），=（，b ，），=（，-b ，）∴•=-=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II ）=（0，0，2），=（，-b，0）设平面PAB 的法向量为=（x，y，z ），则取=（b ，，0）设平面PBC 的法向量为=（p，q，r ），则取=（1，-，）∵平面PAB⊥平面PBC ，∴•=b -=0．故b =∴=（1，-1，），=（-，-，2）∴cos ＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D （，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角7/ 11本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19.【答案】解：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点，故设y=kx+b（b≠0），A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0，∴x+x'=2k，xx'=-2b，∴yy'==b2，∵OA⊥OB．∴=0，∴b2-2b=0，解得b=2，所以直线l的方程为：y=kx+2故直线恒过定点（0，2）．（2）由（1）知x+x'=2k．xx'=-4∴k1+k2===2k+=k；设C（m，n），D（a，t），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0，∴m+a=，ma=，∴k3+k4===2k+=-2k，∴k1+k2=（k3+k4），即存在常数λ=满足条件．【解析】（1）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由OA⊥OB，求出过定点，（2）由（1）得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出k1+k2，同理联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出k3+k4，从而得出存在常数满足条件．考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题知，y=f（x）与y=k有两个交点，，由f′（x）＞0得0＜x＜e；由f′（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，又，且当x＞e时，f（x）＞0，故；（2）证明：①方程可化为，令，所以g（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，又，不妨设x1＜x2．则，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2-x1，∵x2，2-x1∈（1，+∞）且g（x）在（1，+∞）上单减，所以证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），令，则=，当时，ln x＜0，ln[1-（x-1）2]＜0，∴h′（x）＞0，即h（x ）在单增，又h（1）=0，∴g（x）＜g（2-x ）对恒成立，即g（x1）=g（x2）＜g（2-x1）成立，即x1+x2＞2成立；②由①得，即，命题得证．【解析】（1）依题意，y=f（x）与y=k有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况即可得解；（2）①问题转化为证明x2＞2-x1，即证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），构造函数即可得证；②利用①的结论容易得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻辑推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）棋子开始在第1站是必然事件，P1=1；棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为，∴P2=；棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为=，∴P3==；（2）证明：棋子跳到第n+2 站（1≤n≤97），有两种情况：①棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为P n；②棋子先跳到第n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为P n+1．故P n+2=P n+1+P n；∴P n +2=-（P n+1-P n）；又P2-P1=-，数列是以-为首项，-为公比的等比数列，（3）由（2）得P n+1-P n=（-）n；∴P99=（P99-P98）+…+（P2-P1）+P1=（-）98+（-）97+…+（-）+1==+，所以获胜的概率为1-P99=-．9/ 11【解析】（1）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果．（2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列．（3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率．本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（Ⅰ）消参可得C2的直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系可得C1的直角坐标方程，即可得极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.【答案】解：（1）∵|x-1|-|x+4|≤|（x-1）-（x+4）|=5，∴（|x-1|-|x+4|）max=5．∵不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，∴|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max=5，∴-6≤x≤4，∴实数t的最大值T=4．（2）由（1）知a+2b+c=T=4，∴（a+b）+（b+c）=4，∴==≥，当且仅当，时取等号，∴的最小值为．【解析】（1）先求出|x-1|-|x+4|的最大值，再根据|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，得到|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max，然后解关于t的不等式即可得到解集；（2）由（1）可得a+2b+c=T=4，再由=利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了绝对值三角不等式，不等式有解问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．11/ 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2019-2020学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i2020=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A. （1，4）B. （2，4）C. （1，2）D. （1，+∞）3.若a=ln2，，的大小关系为（）A. b＜c＜aB. b＜a＜cC. a＜b＜cD. c＜b＜a4.当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A. x3＜3x＜log3xB. 3x＜x3＜log3xC. log3x＜x3＜3xD. log3x＜3x＜x35.已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -16.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 98.若数列{a n}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A. 10B. 20C. 30D. 409.设函数f（x）=x2+2cos x，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f（2x）的解集为（）A. （-1，）B. [0，）C. （]D. [0，]10.设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A. B. C. D.11.已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.12.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A. eB.C.D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a1=1，前n项和未s n，且s n=2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n=______．14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．16.如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求P99，P100的值．19.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1-AE-O的余弦值．20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数f（x）=e x cos x-x sinx，g（x）=sin x-e x，其中e为自然对数的底数．（1）∀x1∈[-，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围．答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】14.【答案】16π15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc=12，又a2=b2+c2-2b cos A，∴9=（b+c）2-3bc，∴，即△ABC的周长为．18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)=()3=．X3456P∴．（2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}(n≥1)，，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.（3）数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值．19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）•=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分）∵AO∩EO=O，AO，EO⊂平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），，则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分）【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2=a2-c2=1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ=|x1|•|y1|=1，又，解得，||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4=2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22）===-3+8=5，综上可得||2+||2为定值5．【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）=1；，设h（x）=g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）=；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）=；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）=e x-（x+1），则F′（x）=e x-1；∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立；；∴①，x=0时取“=”；∴；==；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）-g（x）＞0．【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围；（2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明e x≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cos x+）-sin x（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0．考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值．本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．。