线性代数复习题(选择填空题)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。

2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。

3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。

4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。

一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设10243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而=R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=(c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为( AB )(a)1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

线性代数选择填空试题及答案填空题(每⼩题3分，共15分)5 x1231.设X X124D =,则X的系数12X3X12 2 X"1 0 2]2.设A是4X3矩阵，且A的秩R(A) = 2,⽽B = 0 2 0「0 3_则R(AB) = ______3.已知三阶矩阵A的特征值为1,2, -1, B ⼆A3_5 A2,贝V B =288X1 X 2X 3=04.齐次线性⽅程组X1 . ，X2X，则，满⾜-⼊=0或23=0,只有零解X i X 2 ■ x 3=05.当n元⼆次型正定时，⼆次型的秩为_n_______________选择题(每⼩题3分，共15分)1. 设A为n阶⽅阵，则A = 0的必要条件是(B)(a) A的两⾏(或列)元素对应成⽐例(b) A中必有⼀⾏为其余⾏的线性组合(c) A中有⼀⾏元素全为零(d) 任⼀⾏为其余⾏的线性组合2. 设n 维⾏向量⼆=(1,0川|,0,12),矩阵A = E - I , B = E 2 I , 其中E为n阶单位矩阵，则AB =(B )(a) 0 (b) E (c) -E (d) E+ :- T-：^3. 设A,B为n阶⽅阵，满⾜等式AB⼆0,则必有(C )(a) A = 0或B = 0 (b) A ■ B ⼆0(c) A = 0或B = 0 (d) A +|B| = 04. s维向量组 r ,：? 2 ,lll,〉n(3乞n^s)线性⽆关的充分必要条件是(C )(a)存在⼀组不全为零的数k ,k2 ,|||,k n，使得灯1 k 2〉2 V k n：n = 024?设A 为m n 矩阵，则有((A )若m：：： n ,_则Ax=b 有⽆穷多解；(B)若m ：：： n ,则Ax =0有⾮零解，且基础解系含有n - m 个线性⽆关解向量;(C) 若A 有n 阶⼦式不为零，则 Ax = b 有唯⼀解； (D) 若A 有n 阶⼦式不为零，则 Ax ⼆0仅有零解。

1一． 填空题1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设1243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B 则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例(b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C ) (a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠2(b) 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+ 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

一．填空题(每小题3分，共15分）1.设2.设23.= 2884.齐次线性方程组λ=0或25.当元二次型正定时, 二次型的秩为 n二．选择题(每小题3分，共15分）1。

设( B ）（a) A的两行（或列）元素对应成比例（b) A中必有一行为其余行的线性组合(c）A中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n维行向量（ B )（a） 0 （b） E (c) –E (d） E+3. 设( C ）（a) （b）（c) （d)4.s维向量组（)线性无关的充分必要条件是( C ）（a）存在一组不全为零的数, 使得（b) 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出(c）中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（d）中任意两个向量都线性无关5。

设A为n阶方阵, 且秩两个不同的解,则的通解为（ AB ）（a) （b) （c) （d)1．下列矩阵中，（ )不是初等矩阵.(A） (B) （C）（D)2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是( ）。

(A）（B）（C) （D）3．设A为n阶方阵,且。

则（）（A) （B) (C) （D)4．设为矩阵，则有（）。

（A）若，则有无穷多解；(B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D)若有阶子式不为零,则仅有零解.5．若n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量,则（）（A）A与B相似(B)，但｜A—B|=0(C）A=B（D)A与B不一定相似,但｜A｜=｜B|三、填空题(每小题4分,共20分）1． .2．为3阶矩阵，且满足3，则=______，。

3．向量组,，，是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 . 4．已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，,，则方程组的通解为。

5．设，且秩(A）=2，则a=。

1．选B。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B。

A中的三个向量之和为零，显然A线性相关; B中的向量组与,，等价，其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合,C、D中的向量组线性相关。

一．单项选择题1、若B A ,为同阶矩阵，且3,2==B A ，则（ ）是正确的。

(A) B A B A +=+ (B) 6=AB (C) ()**-=B A AB 611(D) 3121⋅=-AB 2、已知B A ,均为n 阶矩阵，且O AB =，则（ ）是正确的。

(A) O BA = (B) A 与B 中至少有一个是零矩阵 (C) A 与B 中至少有一个是奇异矩阵 (D) 秩()0=A 或秩()0=B3、若A 是n m ⨯的矩阵，X 是1⨯n 的列向量，O AX =是非齐次线性方程组b AX =的导出组，则（ ）是正确的。

(A) 当O AX =仅有零解时，b AX =的解唯一。

(B) 当A 的秩()n A r <时，b AX =的解有无穷多个。

(C) 当b AX =有无穷多个解时，O AX =有非零解。

(D) 当b AX =无解时，O AX =也无解。

4、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要的条件是（ ）(A) 矩阵A 有n 个不同的特征值 (B) 矩阵A 有n 个不同的特征向量(C) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的行列式与一个对角矩阵的行列式相等5、设A 是一个实对称矩阵，如果（ ），则A 不一定是正定矩阵。

(A) A 的秩()n A r = (B) A 的正惯性指数等于n (C) A 的n 个顺序主子式均为正数 (D) A 合同于n 阶单位阵6、行列式300706001001003-的值=（ ）(A) 12- (B) 96 (C) 12 (D) 96- 7、设C B A ,,分别为33,23,32⨯⨯⨯的矩阵，则下列各式中有意义的是（ ） (A) CA (B) CBA (C) BC (D) CB AB -8、若A 是43⨯的矩阵，X 是14⨯的列向量，A 的秩为r ，则非齐次线性方程组b AX =满足（ ）条件时一定有解。

(A) 1=r (B) 2=r (C) 3=r (D) 增广矩阵的秩.3)(=b A r9、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211110101A 与下面的对角矩阵（ ）相似。

《线性代数》习题集（含答案）线性代数习题集第一章【1】填空题（1）二阶行列式a2babb=___________。

cos?（2）二阶行列式sin?（3）二阶行列式?sin?=___________。

cos?a?bib=___________。

2aa?bixyxzzy=___________。

xcb?cbca=___________。

c?a2（4）三阶行列式zya?b（5）三阶行列式ab答案：1.ab(a-b)；2.1；3.?a?b?；4.x?y?z?3xyz；5.4abc。

333【2】选择题12（1）若行列式153?2=0，则x=（）。

25xA-3； B-2； C2； D3。

x11（2）若行列式1x1?0，则x=（）。

11xA -1，?2； B 0，?2； C 1，?2； D 2，?2。

第1页共35页线性代数习题集?2（3）三阶行列式503315202198=（）。

23A -70； B -63； C 70； D 82。

a0（4）行列式0b440ab020ba022b0=()。

0a；Cb?a；Dab。

44Aa?b；Ba?b??44010002（5）n阶行列式00=（）。

000n00A0；Bn！；C（-1）・n！；D??1?n?1n?10?n!。

答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。

【3】证明by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）?（134782695）=10，此排列为偶排列。

（2）?（217986354）=18，此排列为偶排列。

（3）?（987654321）=36，此排列为偶排列。

《线性代数》考试复习题一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型.二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆； (C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=)，所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T=，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ，即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a .5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件.解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A . 解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数；1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,，即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+，而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T， 0≥)()(Ax Ax T，从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ，即矩阵B 为正定矩阵.。

一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设1243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+L 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=(c)00A B ==或 (d) 0A B +=维向量组12,,,n αααL(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k L , 使得11220n n k k k ααα+++≠L(b) 12,,,n αααL 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n αααL中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(d) 12,,,n αααL 中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+1．下列矩阵中，（????? ）不是初等矩阵。

一． 填空题（每小题3分，共15分）1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设10243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而=R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B )(a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+L 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B +=(c)00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n αααL(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k L, 使得11220n n k k k ααα+++≠L(b) 12,,,n αααL 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n αααL 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n αααL中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

一． 填空题每小题3分,共15分1. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数2. 设10243 2 02013,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而=R(AB)则 23. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2884. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或25. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题每小题3分,共15分1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是 Ba A 的两行或列元素对应成比例b A 中必有一行为其余行的线性组合c A 中有一行元素全为零d 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则 Ba 0b Ec –Ed E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有 Ca 00A B ==或b 0A B +=c00A B ==或 d 0A B +=维向量组12,,,n ααα3n s ≤≤线性无关的充分必要条件是 Ca 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠b 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出c 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出d 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为 ABa 1k αb 2k αc 12()k αα-d 12()k αα+1．下列矩阵中, 不是初等矩阵;A 001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B 100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ;A 122331,,αααααα---B 1231,,αααα+ C1212,,23αααα- D 2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵,且250A A E +-=;则1(2)A E -+=A A E -B E A +C 1()3A E -D 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵,则有 ;A 若n m <,则b Ax =有无穷多解；B 若n m <,则0=Ax 有非零解,且基础解系含有m n -个线性无关解向量；C 若A 有n 阶子式不为零,则b Ax =有唯一解；D 若A 有n 阶子式不为零,则0=Ax 仅有零解;5．若n 阶矩阵A ,B 有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则 A A 与B 相似 B A B ≠,但|A-B |=0C A=BD A 与B 不一定相似,但|A|=|B|三、填空题每小题4分,共20分1．01210n n-2．A 为3阶矩阵,且满足=A 3,则1-A =______,*3A =;3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,4120α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是线性 填相关或无关的,它的一个极大线性无关组是 ;4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解,其中A 的秩()R A =3,11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,234444ηη⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则方程组Ax b =的通解为 ;5．设23111503A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩A =2,则a = ;1．选B;初等矩阵一定是可逆的;2．选B;A 中的三个向量之和为零,显然A 线性相关； B 中的向量组与1α,2α,3α等价, 其秩为3,B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合,C 、D 中的向量组线性相关;3．选C ;由052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E+-=⇒+-=,()112()3A E A E -⇒+=-;4．选D;A 错误,因为n m <,不能保证()(|)R A R A b =；B 错误,0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量；C 错误,因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+,b Ax =无解；D 正确,因为()R A n =;5．选A;A 正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,P Q ,使得1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--==,因此,A B 都相似于同一个对角矩阵;三、1．()!11n n +-按第一列展开2．31；53*A 3=233A3． 相关因为向量个数大于向量维数;124,,ααα;因为3122ααα=+,124| |0A ααα=≠;4．()()TTk 42024321--+;因为()3=A R ,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为1322ηηη-+,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得;5．6=a())02=⇒=A A R×××大学线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题2分,共10分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 ; 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;三、单项选择题 每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内;每小题2分,共10分1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ;① n2 ② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21 3 ≤ s ≤ n 线性无关的充要条件是 ; ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是 ;① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是 ;① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆③ 若B A +可逆,则 B A -可逆④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解④ A 的行向量四、计算题 每小题9分,共63分1. 计算行列式x ab c d a x b c d a b x c d abcx d++++;一、填空题 1. 5 2. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯，4. 相关5. E A 3-三、单项选择题 1. ③ 2. ③3. ③4. ②5. ①四、计算题 1.(000000001)(1111)(c b a x xx x dc bd c b a x d x cb dc x bd c b x dc bd c b a x d x cbd c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x cbad c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题2分,共10分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 ; 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;三、单项选择题 每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内;每小题2分,共10分1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ;① n2 ② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21 3 ≤ s ≤ n 线性无关的充要条件是 ; ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是 ;① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是 ;① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆③ 若B A +可逆,则 B A -可逆④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解④ A 的行向量一、1. 5 2. 1≠λ3. n n s s ⨯⨯，4. 相关5.E A 3-1. ③2. ③3. ③4. ②5. ①一．填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分请将合适的答案填在每题的空中1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式,该式中x 的系数为____________．应填：1．2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ,且A 的秩()3=A r ,则=k ___________． 应填：3-． 3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解,则=a___________．应填：1-4．设A 是n 阶矩阵,0≠A ,*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ,则()1*2-A 必有一个特征值是_________________． 应填：A2λ．5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值范围是______________．应填：22<<-a二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内 1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ,则必有 ．()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．2．设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中 ．()A . 必有一列元素全为0；()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵,而且A 的行向量线性无关,则 ． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关； ()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关；()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设矩阵A 是三阶方阵,0λ是A 的二重特征值,则下面各向量组中： ⑴ ()T2,3,1-,()T3,1,4-,()T0,0,0；⑵ ()T1,1,1,()T0,1,1,()T1,0,0；⑶ ()T2,1,1-,()T4,2,2-,()T6,3,3-；⑷()T0,0,1,()T0,1,0,()T1,0,0；肯定不属于0λ的特征向量共有 ．()A . 1组； ()B . 2组； ()C . 3组； ()D . 4组．应选：()B ．5．设A 是n 阶对称矩阵,B 是n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中,可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为 ．()A . BAB ； ()B . ABA ； ()C . ()2AB ； ()D . 2AB ．三． 填空题每小题3分,共15分6. 设4512312123122,x x x D x x xx==则的系数7. 设10243 2 020103,,,A R(A)=B ⎡⎤⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 28. 321 2, -1, 5,,A B A A =-已知三阶矩阵的特征值为 B则= 2889. 齐次线性方程组12312312300 , 0,x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解则满足 λ=0或210. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n四． 选择题每小题3分,共15分1. 设0,A n A =为阶方阵则的必要条件是 Ba A 的两行或列元素对应成比例b A 中必有一行为其余行的线性组合c A 中有一行元素全为零d 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量112200 2(,,,,),,,T TA EB E ααααα==-=+矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则 Ba 0b Ec –Ed E+Tαα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有 Ca00A B ==或 b 0A B += c 00A B ==或 d 0A B +=维向量组12,,,n ααα3n s ≤≤线性无关的充分必要条件是 Ca 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠b 12,,,n ααα中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出c 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出d 12,,,n ααα中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,则0Ax =的通解为 ABa 1k αb 2k αc 12()k αα- d 12()k αα+一．填空题本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分请将合适的答案填在每题的空中1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式,该式中x 的系数为____________．应填：1．2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ,且A 的秩()3=A r ,则=k ___________． 应填：3-． 3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解,则=a___________．应填：1-4．设A 是n 阶矩阵,0≠A ,*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ,则()1*2-A 必有一个特征值是_________________． 应填：A2λ．5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值范围是______________． 应填：22<<-a ．二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内 1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ,则必有 ．()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12．应选：()C ．2．设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中 ．()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合；()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．应选：()C ．3．设A 是65⨯矩阵,而且A 的行向量线性无关,则 ． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关；()D . 线性方程组B AX =有唯一解．应选：()B ．4．设矩阵A 是三阶方阵,0λ是A 的二重特征值,则下面各向量组中： ⑴ ()T2,3,1-,()T3,1,4-,()T0,0,0；⑵ ()T1,1,1,()T0,1,1,()T1,0,0；⑶ ()T2,1,1-,()T4,2,2-,()T6,3,3-；⑷()T0,0,1,()T0,1,0,()T1,0,0；肯定不属于λ的特征向量共有．()A. 1组；()B. 2组；()C. 3组；()D. 4组．应选：()B．5．设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,则下列矩阵中,可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为．()A. BAB；()B. ABA；()C. ()2AB；()D. 2AB．应选：()A．一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= .18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= .19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为.20.设A是m×n矩阵,A的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为.24.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分15. 616.337 137 --⎛⎝⎫⎭⎪17. 418. –1019. η1+cη2-η1或η2+cη2-η1,c为任意常数20. n-r21. –522. –223. 124. z z z z 12223242++-。