山东省微山县第二中学数列的概念单元测试题含答案doc

一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．2252．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n nS a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1555．已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）A ．13i =，33j =B ．19i =，32j =C ．32i =，14j =D ．33i =，14j =6．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n8．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207511．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．613．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．1614．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．85233n⨯- B ．185233n -⨯- C ．85433n⨯-D ．185433n -⨯- 15．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个17．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348B ．1358C ．1347D ．135718．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．619．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17220．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=23．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 24．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 25．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦26．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小 B ．130S =C ．49S S =D ．70a =27．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1229．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列30．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =-D ．24n S n n =-31．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 32．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列33．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．D 解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．2．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.3．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.6．C解析：C 【分析】由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.【详解】因为*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤-故选：C 【点睛】本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.8．C解析：C 【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】设所求数列为{}n a ，可得出()111111a+-=+，()212121a+-=+，()313131a+-=+，()414141a+-=+，因此，该数列的一个通项公式为()111n na n +-=+.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.11．A解析：A【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

山东省微山县第二中学2019-2020学年高二数学上学期第二学段质量检测试题考试时间：100分钟；满分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本题共10道小题，每题5分，共计50分）1．（5分）不等式的解集是223x x +< A. B.{}|13x x -<<C. D.{}|31x x x -或{}|13x x x -或2．（5分）设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∀x ∈R， |x |＋x 2≥0”的否定是( )A.∀x ∈R，|x |＋x 2<0B.∀x ∈R，|x |＋x 2≤0C.∃x 0∈R，|x 0|＋<0D.∃x 0∈R，|x 0|＋≥020x 20x 4．（5分）若设、为实数，且，则的最小值是（ ）a b 3a b +=22a b +A. B. C. D.685．（5分）下列说法正确的个数为( )①若，则； ②，，则；a b >22a b >a b >c d >a c b d ->-③若，，则； ④若，，则.a b >c d >ac bd >0a b >>0c <c c a b >A.1 B.2 C.3 D.46．（5分）若，且，则下列不等式中，恒成立的是,a b ∈R 0ab >A. B.C.D.222a b ab +>a b +≥11a b +>2b a a b +≥7．（5分）设，则函数的最小值为（ ）0x >23212y x x =+-+A.0 B. C.1D.12328．（5分）若，则的最小值为（ ）1x >-22441x x x +++A.1 B.2 C. 3 D.49．（5分）若，则“”是“”的（ ）R b ∈()0a a b -<1b a >A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件10．（5分）已知向量，且为正实数，若满足，则(),2ax = ()1,b y =,x y 2a b xy⋅= 的最小值为（ ）34x y +A. B. C. D.5+5+第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共计20分）11．（5分）若全称命题：“，成立”是真命题，则实数的取值x R ∀∈2304kx kx +-<k 范围是______．12．（5分）设：，都是偶数，：是偶数，则是的______条件．αa b β+a b αβ13．（5分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），b a ()0b a >>n ()0n >糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________．14．（5分）若函数，在处取最小值，则=1()(2)2f x x x x =+>-x a =a三、解答题（本题共3道小题，每题10分，共计30分）15．（10分）比较与的大小.()()51x x +-2(2)x +16．（10分）已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．17．（10分）已知不等式的解集是．2520ax x +->M （1）若，求的取值范围；2M ∈a （2）若，求不等式的解集．1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭22510ax x a -+->高二数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D 9．C 10．A二、解答题11． 12．充分非必要 13． 14．3(3,0]-a a n b b n +<+三、解答题15．解：∵，()()()2224445(2)5910x x x x x x x -=+++-+-+-=>∴2(5)(1)(2)x x x +-<+16．解（1）由 得 ，当时，，即为真时，实数的取值范围是.由，得，即为真时，实数的取值范围是.因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；（2）由得，所以，为真时实数的取值范围是.因为是的必要不充分条件，所以且所以实数的取值范围为：.17．（1）；（2）。

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．22．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+4．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞5．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+6．数列{}n a 满足 112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．37．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=8．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．649．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ）A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．1211．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．612．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504B ．294C ．294-D ．504-13．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．4514．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．16016．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1217．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．618．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ）A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100919．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+20．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．2075二、多选题21．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．322．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>023．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值27．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为828．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．829．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项30．定义11222n nn a a a H n -+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列31．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S32．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 33．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.34．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===， 故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.2．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.3．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N*-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.4．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.6．B解析：B 【分析】先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】n=1时，234511121,1(1)2,1,121,22a a a a =-=-=--==-==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.8．D解析：D 【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，求得22a =，推出112n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题. 12．C解析：C【分析】根据递推公式，算出数列前4项，确定数列周期，即可求出结果．【详解】∵12a =，111n n n a a a +-=+，∴213a =，311131213a -==-+，41123112a --==--+， 又121111111111n n n n n n n n a a a a a a a a +++---+===--+++，所以421n n n a a a ++=-=， ∴数列{}n a 的周期为4，且123476a a a a +++=-， ∵10084252÷=，∴100872522946S ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】 本题主要考查数列周期性的应用，属于常考题型.13．B解析：B【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】 ∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选B ．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．14．C解析：C【分析】 由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小.【详解】 由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=，∴34300b b ==，故选：C【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.15．B解析：B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a .【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+. 所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B【点睛】 本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.16．A解析：A【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A17．A解析：A【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

山东省济宁市微山县第二中学2021-2022高一数学下学期第一学段教学质量监测试题（含解析）一、单选题（本题共10道小题，每题5分，共计50分） 1.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】221()(2)22312a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. 故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.2.若,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，则λ=（ ） A. 3 B. 3-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()(3)a b a b λ+⊥+，可得()(3)a b a b λ+⋅+0=，再求解即可. 【详解】解：由,a b 是互相垂直的单位向量， 则0a b ⋅=且1a b ==， 又()(3)a b a b λ+⊥+，则()(3)a b a b λ+⋅+223(13)300a b a b λλλ=+++⋅=++=， ∴3λ=-， 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题.3.已知点(2,1)A -，(4,2)B ，点P 在x 轴上，当PA PB ⋅取最小值时，P 点的坐标是（ ） A. (2,0) B. (4,0)C. 10(,0)3D. (3,0)【答案】D 【解析】 试题分析：设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以P 点的坐标是(3,0)．考点：1．向量的运算；2．二次函数． 4.已知向量,a b 满足1a =，2b =，||6a b +=，则a b ⋅=（ ）A.12B. 13 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 将||6a b +=两边平方，化简求解即可得到结果.【详解】由||6a b +=，2()6a b +=，即2226a ab b ++=，又1a =，2b =，则12a b ⋅=. 所以本题答案为A.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和模的基本知识，熟记模的计算公式是关键，属基础题.5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=-,所以与AB 同方向的单位向量为134(3,4)(,)555ABe AB ==-=-，故选A.考点：向量运算及相关概念.6.已知12,e e 是单位向量，若12413e e -=，则1e 与2e的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B 【解析】 【分析】 由121212cos ,e e e e e e ⋅=⋅，结合向量的数量积运算即可得解.【详解】解：因为12413e e -=，所以()212413e e -=，则22112281613e e e e -⋅+=．由12,e e是单位向量，可得2211221,1e e e e ====，所以1212e e ⋅=．所以1212121cos ,2e e e e e e ⋅==⋅．所以12,60e e ︒=． 故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题. 7.下列命题中正确的是( ) A. 若||a b |=|，则a b =B. 若a b ≠，则a b ≠C. 若||a b |=|，则a 与b 可能共线D. 若a b ≠，则a 一定不与b 共线【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出.【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C 正确，D 错误. 故选：C【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．8.已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A. 77(,)93B. 77(,)39--C. 77(,)39D.77(,)93-- 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设(),c x y =,则()1,2c a x y +=++,()3,1a b +=-,由已知可知()()22310{30y x x y +++=-=,解得79{73x y =-=-,故77,93c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.选D. 考点：共线向量与垂直向量的性质.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分 9.（多选）下列叙述中错误的是( ) A. 若a b =，则32a b >B. 若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C. 若//a b ，//b c ，则//a cD. 对任一向量a ，a a是一个单位向量【答案】ABCD 【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A ，向量不能比较大小，A 错误；对于B ，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B 错误； 对于C ，若b 为零向量，a 与c 可能不是共线向量，故C 错误； 对于D ，当0a =时，a a无意义，故D 错误.故选：ABCD【点睛】本题考查向量的相关定义，考查了概念的理解，属于简单题.10.（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A. ()()11i i -+ B.11ii-+ C.11ii+- D. ()21i -【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】根据题意，{},nM m m i n N ==∈中，()4n k k N =∈时，1n i =； ()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-， {}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i ii i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉. 故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 三、填空题（本题共4道小题，每题5分，共计20分）11.已知向量(,a t t =-与()3,2b t =+共线且方向相同，则t =_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据向量平行，得到2230t t --=，计算出t 的值 ，再检验方向是否相同．【详解】因为向量(,a t t =-与()3,2b t =+共线且方向相同 所以得2230t t --=．解得1t =-或3t =． 当1t =-时，(31)b a =--，不满足条件；当3t =时，333b a +=，a 与b 方向相同，故3t =． 【点睛】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题.12.已知3a b +与75a b -垂直，且4a b -与72a b -垂直，则,a b = _______ 【答案】60︒ 【解析】 【分析】 利用()()375=0a b a b +-及()()472=0a b a b --可得cos,a b 的值，从而得到所求的角的大小.【详解】因为3a b +与75a b -垂直，所以()()375=0a ba b +-，所以227+1615=0a a b b -，同理，22730+8=0a a b b -，所以22b a b =，22a a b =，故1cos ,222a b a b a b a b a b ===，而[],0,a b π∈，所以,=60a b ︒.【点睛】本题考查数量积的应用（求角），属于基本题.13.已知2a =，||1b =，a 与b 的夹角为45°，则使向量(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围为______． 【答案】16λ<<且6λ≠【解析】 【分析】由(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角，则有(2)a b λ-(3)0a b λ⋅->，且λ≠用向量的数量积运算即可得解.【详解】解：∵2a ||=，1b ||=，a 与b 的夹角为45°， ∴||||cos 45112a b a b ︒⋅==⨯=， 当(2)a b λ-与(3)a b λ-同向共线时，满足2(3),0a b ma b m λλ-=->，则2,3,m m λλ=⎧⎨-=-⎩得λ=若向量(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角， 则(2)a b λ-(3)0a b λ⋅->，且λ≠即222(2360)a b a b λλλ+-+⋅>， 即()24360λλλ+-+>，即2760λλ-+<，得16λ<<，且λ≠故答案为：16λ<<且λ≠【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了共线向量的运算，属中档题. 14.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .【答案】【解析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．四、解答题（本题共3道小题，每题10分，共计30分） 15.已知(1,2),(3,2)a b ==-，,当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？ 【答案】19k = 【解析】 【分析】算出ka b +与3a b -的坐标，利用它们的数量积为0可得19k =.【详解】因为(1,2),(3,2)a b ==-，所以()3,22ka b k k +=-+，()310,4a b -=-， 因为ka b +与3a b -垂直，所以1030880k k ---=， 解得19k =.【点睛】本题考查数量积的坐标运算及向量垂直的坐标形式，属于基础题. 16.已知向量a 、b 夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值. 【答案】（1）1-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a ba +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a ba +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题．17.在平面直角坐标系xoy 中，己知向量2,m ⎛= ⎝⎭，向量()sin ,cos n x x =，()0,x π∈.（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若//m n ，求x 的值. 【答案】（1）1；（2）34π. 【解析】 【分析】（1）由已知向量的坐标，结合向量垂直的坐标运算可求tan x 的值；（2）由向量平行的坐标运算得，∴2sin x +2cos x ＝0，解出tan x ，结合x 的范围再求出x ；【详解】（1）己知向量2,22m ⎛=- ⎝⎭，向量()sin ,cos n x x =，若m n ⊥，则2(sin ,cos )0m n x x x x ⎛⋅=⋅== ⎝⎭，x x=，得sin x＝cos x，∴tan x＝1；（2）∵//m n，∴2sin x+2cos x＝0，即sin x+cos x＝0，∴tan x＝﹣1，∴()0,xπ∈，∴x＝34π．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系，属于基础题．。

2022-2023学年山东省济宁市微山县第二中学高一上学期第一学段质量检测数学试题一、单选题1．若命题“对任意的,()0x ∈+∞，10x m x+->恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】A【分析】根据原命题为真可得min 12m x x ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，即可得出命题为假命题时m 的取值范围．【详解】当原命题为真时，1m x x <+恒成立，即min 12m x x ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，由命题为假命题，则2m ≥． 故选：A.2．已知0a b <<，则（ ） A ．2a ab < B ．2ab b < C ．22a b < D ．22a b >【答案】D【分析】取特殊值2,1a b =-=-，排除ABC ；对于D ，利用不等式的性质进行证明. 【详解】由0a b <<，不妨取2,1a b =-=-. 对于A ：24,2a ab ==，故2a ab <不成立； 对于B ：21,2b ab ==，故2ab b <不成立； 对于C ：224,1a b ==，故22a b <不成立；对于D ：因为0a b <<，所以0a b ->->，所以()()220a b ->->，即22a b >. 故选：D3．已知集合{|3}A x x =∈<N ，则（ ） A ．A ∅∈ B ．{}A ∅⊆C ．0A ∉D ．{0}A ⊆【答案】D【分析】首先用列举法表示集合A ，再根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】解：因为{}{|3}0,1,2A x x =∈<=N ， 所以0A ∈，∅ A ，{0}A ⊆； 故选：D4．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -≤≤ C ．22a -<≤ D ．2a <-【答案】C【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案. 【详解】当2a =时，原式化为40-<，显然恒成立；当2a ≠时，不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立， 则有20a -<且∆<0，()()220421620a a a -<⎧⎪⎨-+-<⎪⎩解得22a -<<. 综上可得，22a -<≤. 故选：C5．若实数a ，b 满足11a b+=，则a b +的最小值为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【分析】由基本不等式求最小值即可．【详解】因为11a b+0,0a b >>，11a b +=≥2ab ≥，当且仅当a b ==a b +≥a b =时取等号，两个等号能同时取得，综上，a b ==a b +取得最小值故选：C ．6．已知22221,22P a b c Q a b c =+++=+，则（ ） A ．P Q B ．P Q =C ．P QD ．,P Q 的大小无法确定 【答案】C【分析】由题意，采用作差法，可得答案.【详解】()()()22222221122110P Q a b c a b a b c c c ⎛⎫⎛⎫-=+++-+=-+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0P Q -≥，所以P Q ≥. 故选：C.7．已知{}1,0,1,3,5A =-，{}230B x x =-<，则RAB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}3,5【答案】D【分析】由题意求出B ，R B ，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}230B x x =-<32x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以R B =32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，所以A RB ={}3,5.故选：D.8．“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既不是充分条件，也不是必要条件 D ．既是充分条件，也是必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由(21)0x x -=，解得0x =或12x =， 由(21)0x x -=推不出0x =，故充分性不成立， 由0x =推得出(21)0x x -=，故必要性成立，故“(21)0x x -=”是“0x =”的必要条件但不是充分条件； 故选：B9．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A ．R x ∃∈，2104x x -+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．200x x ∀<≥， D ．至少有一个实数x ，使310x +=【答案】A【分析】写出命题的否定形式并判断真假即可.【详解】A 中，命题的否定是：R x ∀∈，2104x x -+≥，是真命题，也是全称量词命题，A 正确；B 中，命题的否定是：有的正方形不是矩形，假命题，也是特称量词命题，B 错误；C 中，命题的否定是：20,0x x ∃<<，假命题，是特称量词命题，C 错误；D 中，命题的否定是：R x ∀∈，310x +≠，是假命题，D 错误. 故选：A10．已知a ，R b ∈，且220a b --=，则193a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案 【详解】解：因为220a b --=，所以22a b -= 因为2,330,0a b ->>所以2619333aa b b -+≥=+=， 当且仅当23322a b a b -⎧=⎨-=⎩即121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩时，取等号，故193ab+的最小值为6， 故选：C11．已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（ ）A ．0B ．1C ．14D ．32【答案】C【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案.【详解】因为A B =，所以22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又集合中的元素需满足互异性，所以1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=． 故选：C.12．集合{1A x x =<-或}1x ≥，{}20B x ax =+≤，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,2- B ．[]22-, C ．()[),22,-∞-⋃+∞ D ．[)()2,00,2-【答案】A【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，再分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；【详解】∵A B A ⋃=，故B A ⊆，∴①当B =∅时，即20ax +≤无解，此时0a =，满足题意. ②当B ≠∅时，即20ax +≤有解，当0a >时，可得2x a≤-，要使B A ⊆，则需要021a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得02a <<.当0a <时，可得2x a ≥-，要使B A ⊆，则需要021a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得20a -≤<，综上，实数a 的取值范围是[)2,2-. 故选：A二、填空题13．若正实数a 、b 满足431a b+=，则a b +的最小值是______．【答案】7+7【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】因为a 、b 均为正实数，且431a b+=，所以()()43437b aa b a b a b a b+=++=++77≥+=+当且仅当26b ==+ 所以a b +的最小值是7+故答案为：7+14．若1x >，则621x x +-的最小值为___________.【答案】2【分析】由于1x >，可将原式整理为62221x x -++-，然后利用基本不等式求解即可.【详解】6622222262211x x x x +=-++⨯+=--， 当且仅当1x =时，取得最小值. 故答案为：2.15．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的,a b ∈R ，有,a b ab a a b ab b ⊕=+⊗=-.若(){2,13A x x a b a b a b ==⊕+⊗-<<<∣且,}a b ∈∈Z Z ，则用列举法表示的A =___________. 【答案】{}2,1,6--【分析】由题意可得0a =，1b =，或0a =，2b =，或1a =，2b =，然后根据新运算求解即可.【详解】当0,1a b ==时，()21a b a b ⊕+⊗=-； 当0,2a b ==时，()22a b a b ⊕+⊗=-； 当1a =，2b =时，()26a b a b ⊕+⊗=， 所以{}2,1,6A =--. 故答案为：{}2,1,6--16．设集合{}2|1,15,M a x a x x Z =-=<<∈，则集合M 的非空真子集个数为___________. 【答案】6【分析】先求出集合M ，即可求出集合M 的非空真子集个数.【详解】因为{}{}2|1,15,3,8,15M a x a x x Z =-=<<∈=有3个元素，所以集合M 的非空真子集个数为3226-=个. 故答案为：6.三、解答题17．已知函数()()2222f x ax a x a =-++.(1)当1a =时，求不等式()0f x ≤的解集；(2)若不等式()60f x x +≤的解集是][(),21,∞∞--⋃-+，求a 的值.【答案】(1){}12xx ≤≤∣ (2)4a =-【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）判断出1,2--是对应一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系列出方程组求解即可.【详解】(1)当1a =时，()0f x ≤即2320x x -+≤，即()()120x x --≤，∴原不等式的解集为{}12xx ≤≤∣； (2)不等式()60f x x +≤的解集是][(),21,∞∞--⋃-+，即()222260ax a x a x -+++≤的解集是][(),21,∞∞--⋃-+，1∴-和2-是()22420ax a x a --+=的两个实数根，且0a <，则()2222Δ48004322a a a a a a a⎧=-->⎪⎪<⎪⎪-⎨=-⎪⎪⎪=⎪⎩，解得4a =-.18．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠.(1)若不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-，求k 的值. (2)关于x 的不等式2260kx x k -+<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)25k =-；(2)k <.【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）二次项系数为负，且判别式小于0即可.【详解】(1)若不等式2260kx x k -+<的解集为{3xx <-∣或2}x >-， 则13x =-和22x =-是方程2260kx x k -+=的两个实数根； 由韦达定理可知：2(3)(2)k-+-=， 解得25k =-.(2)关于x 的不等式2260kx x k -+<恒成立, 则有0k <且2(2)460k k ∆=--⨯⨯<，解得：k <. 19．（1）求函数234(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. （2）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，求2+a b 的最小值.【答案】（1）1；（2）9【分析】（1）利用配凑法再分离常数得到()2111y x x =++++，利用基本不等式即可； （2）对条件变形得到211ba+=，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】（1）解：()()()()22213112342111111x x x x x x y x x x x x +++++++++====+++++++ ，1,10x x >-∴+>，()21111y x x =+++≥+，当且仅当211x x +=+时，即1x 时，函数有最小值1； （2）由题意2ab a b =+， 211b a∴+=，又0a >，0b >，()212222559a ba b a b b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即a b =是等号成立， 结合2ab a b =+，知3a b ==时，2+a b 有最小值为9. 20．已知集合{}37A x x =≤<，{}211B x x =<<. (1)求()RA B ⋂；(2)已知{}=121C x a x a -<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值集合. 【答案】(1)()R{|3A B x x ⋂=<或7}x ≥(2){|2a a ≤-或35}a ≤≤【分析】（1）根据交集、补集的定义计算可得；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】(1)解：因为{}37A x x =≤<，{}211B x x =<<， 所以{}37A B x x ⋂=≤<， 所以()R{|3A B x x ⋂=<或7}x ≥；(2)解：因为{}211B x x =<<，{}=121C x a x a -<<+且C B ⊆， ①当C =∅时，即121a a -≥+，解得2a ≤-时，符合题意；②当C ≠∅时，则121122111a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得35a ≤≤，综上，所求a 的集合是{|2a a ≤-或35}a ≤≤.21．已知命题p ： ∀x ∈R ，x 2-2mx-3m >0成立；命题q ： ∃x ∈R ，x 2+4mx+1<0成立． (1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】（1）由条件可得24120m m ∆=+<，解出即可；（2）首先求出命题p 与命题q 均为真命题时实数m 的取值范围，然后根据p ，q 一真一假求解即可.【详解】(1)若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，即()30m m +<，解得30m -<<， 所以实数m 的取值范围是()3,0-；(2)由（1）若命题p 为真命题，则30m -<<. 又若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m >或12m <-， 故若命题p ，q 中恰有一个为真命题，则p 真q 假或q 真p 假.①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，即102m -≤<； ②当q 真p 假时，0m ≥或3m ≤-，且12m >或12m <-，即3m ≤-或12m >；所以实数m 的取值范围是(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭；22．设集合{|13}A x x =-<<，集合{|22}B x a x a =-<<+． (1)若=2a ，求A B ⋃和;A B ⋂(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|14}A B x x ⋃=-<<，{|03}A B x x =<< (2) 1.a ≤【分析】（1）当=2a ，所以{|04}B x x =<<，再求A B ⋃和A B ⋂即可求出答案.（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以B ⫋A ，分类讨论B =∅和B ≠∅，即可得出答案.【详解】(1){}|13A x x =-<<，因为=2a ，所以{|04}B x x =<<， 所以{|14}A B x x ⋃=-<<，{|03}A B x x =<<． (2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以B ⫋A ， 当B =∅时，22a a -≥+，得0;a ≤ 当B ≠∅时，2<2+212+3a a a a ---⎧⎪⎨⎪⎩．解得0a <≤ 1，所以实数a 的取值范围是 1.a ≤。

山东省济宁市微山县第二中学2022年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列区间中，函数f（x）=3x﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：B【考点】二分法的定义．【分析】运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=3﹣2=1＞0，∴f（0）?f（1）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（0，1）故选：B．2. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．参考答案：C3. 函数的值域为（）A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]参考答案：C 4. 已知函数y=f（x）是偶函数，且f（2）=5，那么f（2）+f（﹣2）的值为（）A．0 B．2 C．5 D．10参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用偶函数的性质直接求解即可．【解答】解：函数y=f（x）是偶函数，且f（2）=5，则f（﹣2）=5，那么f（2）+f（﹣2）=10．故选：D．5. 直线y=x+1的倾斜角为（）A．1 B．﹣1 C．D．参考答案：C【分析】根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k，则有tanθ=1，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ，直线的方程为：y=x+1，其斜率k=1，则有tanθ=1，又由0≤θ＜π，则θ=，故选：C．6.若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）A．（0，） B．（0，1） C．（，＋∞） D．（0，＋∞）参考答案：A7. 已知，,则=（）A． B． C． D．参考答案：D8. （5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则?U A=（）A．? B．{2，4，6} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}参考答案：C考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：由全集U，以及A，求出A的补集即可．解答：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴?U A={1，3，6，7}，故选C点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．9. 如图，二面角的大小是60°，线段，，AB与所成的角为30°，则AB与平面所成的角的余弦值是（）A．B． C. D．参考答案：B过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D 连结AD，易知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角为60°又由已知，∠ABD=30°连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=，CD=1AB==4，BC=，∴cos∠ABC=．故选：B10. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的正视图，对4个选项进行分析，即可得出结论．【解答】解：根据几何体的正视图，得；当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，求圆柱的高与底面圆直径都为直方图的棱长时，俯视图是B；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球，其俯视图是C；D为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选：D．12. 函数y=log x+log2x2+2的值域是（）A、（0,+∞）B、 [1,+∞)C、（1,+∞）D、R参考答案：B略13. 下面四个函数图象，只有一个是符合y＝｜k1x＋b1｜一｜k2x＋b2｜+ ｜k3x＋b3｜（其中k1＞0，k2＞0，k3＜0，b1，b2，b3为非零实数），则根据你所判断的图象k1，k2,，k3之间一定成立的关系式是＿＿＿＿参考答案：14. 等差数列中, 则的公差为______________。

一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．122．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+3．在数列{}n a 中，10a =，1n a +，则2020a =（ ） A ．0B ．1C．D4．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 5．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1556．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．527．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+D ．3n a n =8．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+9．3……，则 ） A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项10．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30B ．20C ．40D ．5011．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnnS S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22513．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b14．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1216．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100917．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（ ） A ．2B ．4C ．10D ．1418．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．619．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23 D ．21120．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=二、多选题21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．425．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6526．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．327．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>028．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =30．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 31．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列32．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <33．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <34．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅35．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.3．A解析：A 【分析】写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】10a =，1n a +1n =时，2a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选：A.【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.4．C解析：C 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.5．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.7．B解析：B 【分析】 根据11,1,2n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.8．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅，12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅， 34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】根据数列中的项,… 由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+而=所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.10．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.11．A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =， 故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．13．C解析：C 【分析】 由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.14．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.15．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A16．C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+，12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.17．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.18．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.19．C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.20．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.二、多选题 21．BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.22．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.23．BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.24．BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．27．AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，所以C 正确，D 错误， 故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断.【详解】当时，由，得，即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，故C 正确；所以，故A 正确；，解析：ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC29．BD【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】所以．因为，，所以公差．故选：BD解析：BD【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】因为1937538a a a a +=+=+=，所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD30．AC【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；由，所以，故B 错误；解析：AC【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误.【详解】 令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222nn n na d S d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.故选：AC .【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.31．AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A 选项，，所以A 选项正确.对于C 选项，，，所以，解析：AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确.对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确.对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.32．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 33．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以 ，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.34．ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．35．AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.。

一、等差数列选择题1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200B ．100C ．90D ．803．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．04．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ）A ．11B ．12C ．23D ．247．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．98．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．859．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ） A ．10BC ．64D ．412．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．5513．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．814．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．6 15．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5916．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24019．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +二、多选题21．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >22．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．224．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1226．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥27．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <28．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2130．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 5．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D.6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 8．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解．设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 11．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D.【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 13．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 14．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 15．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =.16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.二、多选题21．BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.22．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 23．AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 24．ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD. 25．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 26．AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.27．AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 28．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 29．BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 30．ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.。

山东省微山县第二中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.3．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=-- 【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错.对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．4．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.5．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.6．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=，所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=，此时()()()22212223212n n n n n n T b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.7．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值； （3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC10．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．0AB AC AD+-=B．0DA EB FC++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A错误.对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------ 1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确. 对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||AD AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB AC AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC AD AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BDBA B BA BD BA ，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确.对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC .因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤. 令21111()2228t y t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.。

选择性必修二《4.1数列的概念》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．数列的一个通项公式是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（ ） A ．数列中不能重复出现同一个数 B ．与是同一数列 C ．不是数列D ．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝（ ） A ．8B ．15C ．24D ．355．下列说法正确的是（ ）A ．数列1，3，5，7可以表示为B ．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C ．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D ．数列的项数一定是无限的6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知数列的前项和，则的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．102,22,222,2222,()21019n -101n -()2101n-108n -1,2,3,44,3,2,11,1,1,1{}n a 21nn a =+{}1,3,5,7{}n a 4261220{}n a 42n a n =-22(1)nn a n =+-2n a n n =+1321n n a n -=+-{}n a n 2n S n n =+4a8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（ ）A ．132B ．261C ．262D ．5179．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（ ） A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C ．D ．2，0，2，010．在数列中，，，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ．以上都不对二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．数列的一个通项公式是___________12．已知数列中，…，则__________．13．已知数列的前项和，则__________.14．填适当的数：1，（________），2（________）15．在数列中，第3项是______；是它的第______项. 16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.{}n a ()111,2n na n N +*+-=∈11,0,,022{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2014a 14-5451,3,5,7,9,--{}n a 12a a ()2n a nn N *=∈9a={}n a n 231n S n n =--n a =110,,...,,...42n n -37()()2*2f x x x n n =-+∈Nna()n n b f a ={}n a {}n b =n a =n b17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.19．已知数列的前n 项和为（1）当取最小值时，求n 的值； （2）求出的通项公式. 20．已知数列中，. （1）写出数列的前5项. （2）猜想数列的通项公式.21．已知数列的通项公式为，且，，求和. 22．已知数列满足. （1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．数列的一个通项公式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】{}n a n n S 313a =()()1112n n a a +++=1a =12S ={}n a 2*,n a n n n N λ=+∈{}n a λ{}n a 2230.n S n n =-n S {}n a {}n a 111,1n n na a a n +==+{}n a {}n a {}n a 1n a cn dn -=+232a =432a =n a 10a {}n a 2(*)n n S n a n N =-∈1,a 2,a 3,a 4,a 5a {}n a 2,22,222,2222,()21019n -101n -()2101n-108n -先写出的通项是， 数列的通项公式是． 故选：A ．2．下列说法正确的是（ ） A ．数列中不能重复出现同一个数 B ．与是同一数列 C ．不是数列D ．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 【答案】D 【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如，故A 不正确； B 中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B 不正确；由数列的定义可判断，是数列，即C 不正确；由数列定义可知，D 正确， 故选：D.3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】令，解得. 故选：C4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n －2)，其中n ∈N *，则a 6＝（ ） A ．8 B ．15C ．24D ．35【答案】C 【解析】代入通项公式得，， 故选：C ．5．下列说法正确的是（ ）9,99,999,9999,101n -∴2,22,222,2222,()21019n n a =-1,2,3,44,3,2,11,1,1,11,1,1,11,1,1,1{}n a 21nn a =+25721n =+8n =66424a =⨯=A ．数列1，3，5，7可以表示为B ．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C ．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D ．数列的项数一定是无限的 【答案】C 【解析】A 中，表示集合，不是数列；B 中，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；D 中，数列的项数可以是有限的也可以是无限的． 故选：C ．6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】对于A ，，故A 错误. 对于B ，，故B 错误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误. 故选：C.7．已知数列的前项和，则的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 【解析】由已知．{}1,3,5,7{}1,3,5,7{}n a 4261220{}n a 42n a n =-22(1)nn a n =+-2n a n n =+1321n n a n -=+-31012a =≠41662220a =+=≠22221234112,226,3312,4420a a a a =+==+==+==+=3549112a =+=≠{}n a n 2n S n n =+4a 22443(44)(33)8a S S =-=+-+=故选：C ．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（ ）A ．132B ．261C ．262D ．517【答案】B 【解析】由题意知第行有个数，此行最后一个数为， ∴第八行的最后一个数为， ∴该数表中第9行的第6个数为261. 故选：B.9．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（ ） A ．1，0，1，0 B ．0，1，0，1 C ．D ．2，0，2，0【答案】A 【解析】因为，所以分别取1，2，3，4， 可得． 故选：A ．n 12n -21n -821255-={}n a ()111,2n na n N +*+-=∈11,0,,022()111,2n na n N +*+-=∈n 1231010a a a a ====4,,,10．在数列中，，，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ．以上都不对【答案】A 【解析】在数列中，，， ， ，， 数列是周期为3的周期数列，，．故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．数列的一个通项公式是___________【答案】，【解析】 因为数列，所以通项公式可以为，故答案为：，12．已知数列中，…，则__________．【答案】【解析】{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2014a 14-545{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->∴211514a =-=-314155a =-=4111445a =-=-∴{}n a 201467131=⨯+2014114a a ∴==-1,3,5,7,9,--1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N 1,3,5,7,9,--1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N 1(1)(21)n n a n +=--()n *∈N {}n a 12a a ()2n a n n N *=∈9a=8164当时，有 ① 当时，有 ② 由①÷②，可得 故答案为：13．已知数列的前项和，则__________.【答案】【解析】当时，，当时，，当 时，， 所以，故答案为：14．填适当的数：1，（________），2（________）【解析】，. 15．在数列中，第3项是______；是它的第______项. 【答案】8n =128...64a a a ⋅⋅⋅=9n =129...81a a a ⋅⋅⋅=98164a =8164{}n a n 231n S n n =--n a =31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，1n =111313a S ==--=-2n ≥22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-1n =1242a -=-≠31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，110,,...,,...42n n -37137【解析】 令，则，所以第3项是；令，解得，所以是它的第项.故答案为：；.16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.【答案】 【解析】当时，，即；将代入得，， 故答案为，17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．【答案】5 【解析】依题意，设，则，，故， ，故； 因为，，，故以此类推，n 是奇数，，故， 3n =13112233n n --==⨯131327n n -=7n =377137()()2*2f x x x n n =-+∈Nna()n n b f a ={}n a {}n b =n a =n b 1n -233n n -+1x =()min (1)121f x f n n ==-+=-1n a n =-1x n =-()f x 22(1)(1)2(1)33n b f n n n n n n =-=---+=-+1n a n =-233n b n n =-+{}n a n n S 313a =()()1112n n a a +++=1a =12S =131n n b a =+33431a b =+=12n n b b +=23232b b ==12243b b ==1a =1113b -=12n n b b +=143b =232b =43n b =13n a =n 是偶数，，故，所以.故答案为：；5. 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.【答案】 【解析】解析由是递增数列得，，即，整理得，恒成立，解得. ∴的取值范围是.19．已知数列的前n 项和为（1）当取最小值时，求n 的值； （2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2） 【解析】（1），因为，所以当或时，取最小值， （2）当时，，当时，，当时，满足上式， 所以32n b =12n a =()12121166532S a a ⎛⎫=+=⨯+= ⎪⎝⎭13{}n a 2*,n a n n n N λ=+∈{}n a λ(3,)-+∞{}n a 1n n a a +<22(1)(1)n n n n λλ+<+++(21)n λ>-+*n N ∈3λ>-λ(3,)-+∞{}n a 2230.n S n n =-n S {}n a 7n =8n =432n a n =-222152252302(15)222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭n ∈+N 7n =8n =n S 1n =1123028a S ==-=-2n ≥221230[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-1n =128a =-432n a n =-20．已知数列中，. （1）写出数列的前5项. （2）猜想数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由，可得： ，， ， . （2）猜想： 21．已知数列的通项公式为，且，，求和.【答案】,. 【解析】∵，，代入通项公式中得，解得，,∴,∴. 22．已知数列满足. （1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.{}n a 111,1n n na a a n +==+{}n a {}n a 1234511111,,,,2345a a a a a =====1n a n=111,1n n na a a n +==+2111111122a a ==⨯=+32221121323a a ==⨯=+43331131434a a ==⨯=+54441141545a a ==⨯=+1n a n={}n a 1n a cn dn -=+232a =432a =n a 10a 24n n a n =+102710a =232a =432a =n a 32223424d c dc ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩14c =2d =24n n a n =+101022741010a =+={}n a 2(*)n n S n a n N =-∈1,a 2,a 3,a 4,a 5a {}n a【答案】（1）.，，，.（2），详见解析【解析】解：（1）当时，，. 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，. （2），，，，， 由此猜想.《4.1数列的概念》同步练习11a =232a =374a =4158a =53116a =121,2n n n a --=*n ∈N 1n ＝1112a S a ==-11a ∴=2n =122222a a S a +==⨯-232a ∴=3n =1233323a a a S a ++==⨯-374a ∴=4n =12344424a a a a S a +++==⨯-4158a ∴=5n =12345525a a a a a a ++++=⨯-53116a ∴=11112112a --==222132122a --==333172142a --==4441152182a --==55513121162a --==121,2n n n a --=*n ∈N（提高练）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．若数列的通项公式为，则（ ） A ．27 B ．21 C ．15 D ．13 2．在数列中，，（，），则A ．B ．C ．2D ．6 3.数列的通项公式，其前项和为，则 A ． B ． C ． D ．4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（ ）{}n a ()*232,103,9n n n n a n N n --≥⎧=∈⎨≤⎩5a ={}n a 11a =1221n n a a -=-2n ≥*n N ∈4a =21123{}n a cos2n n a n π=n n S 2015S =100820151008-504-t t 2tt 31t +0a *n N ∈()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n a 01a =5a 0a n ()n a n N ∈71a =0a ln 2cos3ln 5cos6ln8cos9A ．230B ．20C ．D ．7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项10．已知数列满足，，，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知数列的前项和为，，，则________.12.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为______．13．观察下列数表：ln 20cos20{}n a 6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈{}n a 9(,3)49[,3)4(1,3)(2,3){}n a 2n a n n λ=-R λ∈{}n a λ(),3-∞(),2-∞(),1-∞(),0-∞{}n a n n S 2(1)n n S a n -=-22na nn b S ={}n b {}n a ()101a a a =<<212019nn n a a a +=+*n N ∈23a =20201a <12a =20201a >13a =20201a <14a =20201a >{}n a n n S cos()n a n π=()*n N∈2020S={}n a 22a =21n n n a a a ++=+834a ={}n a设1025是该表第m 行的第n 个数，则______.14．已知数列对任意的满足，且，则_______，_______.15．设数列的前n 项和为，满足，则_________；_________.16．已知在数列中，且，设，，则________，数列前n 项和________．17．已知数列{}对任意的n ∈N *，都有∈N *，且=①当=8时，_______②若存在m ∈N *，当n>m 且为奇数时，恒为常数P ，则P=_______三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由. 19．数列满足：，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数. m n +={}n a *,p q N ∈p q p q a a a +=+24a =-6a =n a ={}n a n S 1(1)2nnn n S a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()*n N ∈1a=3S ={}n a 611a =()111n n na n a +--=11n n n b a a +=*n N ∈n a ={}n b n T =n a n a 1n a +312n n n n a a a a +⎧⎪⎨⎪⎩，为奇数，为偶数1a 2019a =n a n a {}n a ()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭{}n a {}n a 212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++*n ∈N {}n a 1n n b a ={}n b n n S 920n S >n20．数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示. （1）求的值；（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示； （3）求的通项公式.21．数列中，，. （1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．22．已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0. （1）若，求的值；（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围； （3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列. 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）{}n a 1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a a n N +≠∈11a =22a ={}n a ()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭3a {}n a k ω{}n a {}n a 12a =1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++2a 3a {}n a 1n a n =+21n a n =+2n a n n =+1{}na n n S 1{}n n a a +-n n T 360n n T S >n {}n a 1a t =111n na a +=+{}n a 1t =325312t =-12-1-50a =t 12n a <<2n ≥*n N ∈t {}n b 11b =-()*111n n b n N b +=-∈t {}n b {}n a1．若数列的通项公式为，则（ ） A ．27 B ．21 C ．15 D ．13 【答案】A 【解析】因为，所以， 故选：A.2．在数列中，，（，），则A ．B ．C ．2D ．6 【答案】D 【解析】，（，），，，则. 3.数列的通项公式，其前项和为，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】根据三角函数的周期性可，同理得，可知周期为4，．4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，{}n a ()*232,103,9n n n n a n N n --≥⎧=∈⎨≤⎩5a =()*232,103,9n n n n a n N n --≥⎧=∈⎨≤⎩52353327a -==={}n a 11a =1221n n a a -=-2n ≥*n N ∈4a =2112311a =1221n n a a -=-2n ≥*n N ∈∴212221a a ==-∴3222213a a ==-432621a a ==-{}n a cos2n n a n π=n n S 2015S =100820151008-504-t t就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为，，所以， ， ， ，， 故选：B5．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】D 【解析】2t t 31t +0a *n N ∈()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n a 01a =5a 01a =()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数13114a =⨯+=2422a ==3212a ==43114a =⨯+=5422a ==0a n ()n a n N ∈71a =0a由题意知，，由，得，，或．①当时，，，或，或． ②若，则，或， 当时，，此时，或， 当时，，此时，或， 综上，满足条件的的值共有6个． 故选：D ．6．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（ ）A ．230B ．20C ．D ．【答案】C 【解析】观察数列得出规律，数列中的项中， 指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列， 且指数、对数、余弦值以3为循环，，可得第20项为. 故选：C.7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】*n N ∀∈111131,,2n n n n n a a a a a ----+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数71a =62a =54a ∴=41a ∴=48a =41a =32a =24a ∴=11a ∴=18a =02a ∴=016a =48a =316a =25a ∴=232a =25a =110a =03a =020a =232a =164a =021a =0128a =0a ln 2cos3ln 5cos6ln8cos9ln 20cos2020632ln 20{}n a 6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈{}n a 9(,3)49[,3)4(1,3)(2,3)根据题意，a n ＝f(n)＝，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3. 本题选择D 选项.8．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立， 所以，所以只需，即， 所以， 故选：A.9．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项 【答案】A 【解析】∵,∴,则,即,∴.易知,()633,7,7n a n x a n -⎧--≤⎨>⎩()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或{}n a 2n a n n λ=-R λ∈{}n a λ(),3-∞(),2-∞(),1-∞(),0-∞221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-{}n a 10n n a a +->210n λ+->21n λ<+()min 21n λ<+2113λ<⨯+=3λ<{}n a n n S 2(1)n n S a n -=-22na nn b S ={}n b 1(1)n n n a S S n -=->1n n n S a S --=21(1)n S n -=-2*(N )n S n n =∈22(1)21n a n n n =--=-0n b >∵, 当时, , ∴当时, , 当时,, 又, ∴当时, 有最小值. 故选：A10．已知数列满足，，，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，【答案】C 【解析】因为，所以递增，从而，当时，， 所以，排除A.当时，因为， 212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（）244142()(1)1n n b n b n n +∴==++11n >+1n >13n ≤<1n n b b +>3n ≥1n n b b +<23132,281b b ==3n =n b {}n a ()101a a a =<<212019nn n a a a +=+*n N ∈23a =20201a <12a =20201a >13a =20201a <14a =20201a >2102019nn n a a a +-=>{}n a n a a ≥23a =212019n n n a a a +-=>2232019⎛⎫ ⎪⎝⎭20201424920191201939a a >+⋅=+>102a <≤2120192019n n n a a a +=+=()2019n n a a +所以，所以， 所以， 从而，故有. 故选：C.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知数列的前项和为，，，则________.【答案】 【解析】由得， 所以数列以为周期，又，， 所以. 故答案为：.12.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为_____． 【答案】32 【解析】∵数列中，，，， ∴，，，，()1111112019201920192019n n n n n a a a a a +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭11112019n n na a a +=-+1111120192019n n n a a a +-=->-+202011111201912112019a a a>-⋅=-≥-=20201a <{}n a n n S cos()n a n π=()*n N ∈2020S=0cos()n a n π=()()2cos 2cos n n a n n a πππ+=+=={}n a 21cos 1a π==-2cos 21a π==()20201210100S a a =⨯+=0{}n a 22a =21n n n a a a ++=+834a ={}n a {}n a 22a =21n n n a a a ++=+834a =32112a a a a =+=+43211224a a a a a =+=++=+543162a a a a =+=+6541103a a a a =+=+，，解得，∴数列的前6项和为：，故答案为：32. 13．观察下列数表：设1025是该表第m 行的第n 个数，则______. 【答案】12 【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数， 第一行1个数；第二行 个数，且第一个数是；第三行 个数，且第一个数是； 第四行 个数，且第一个数是； …第10行有个数，且第一个数是，第二个数是1025， 所以1025是该表第10行的第2个数，所以，，则 故答案为：12.14．已知数列对任意的满足，且，则_______，_______. 【答案】7651165a a a a =+=+876126834a a a a =+=+=11a ={}n a ()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=m n +=122=23=21-242=37=21-382=415=21-921021=1023-10m =2n =12m n +={}n a *,p q N ∈p q p q a a a +=+24a =-6a =n a =12-2n -【解析】由题意，根据条件得，则，而，所以，…，由此可知，从而问题可得解. 15．设数列的前n 项和为，满足，则_________；_________. 【答案】 ； 【解析】（1）当时，，解得.（2）当时， 令可得，，即，令可得，, 解得：，则. 16．已知在数列中，且，设，，则________，数列前n 项和________．【答案】 【解析】， 2114a a a =+=-12a =-3216a a a =+=-63312a a a =+=-2n a n =-{}n a n S 1(1)2nnn n S a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()*n N ∈1a=3S =14-116-()*1(1)2=-∈-n n n n S a n N 1n =1112=--a a 114a =-2n ≥111111(1)(1)22----=-=----+n n n n n n n n n a S S a a 3n =3321184=---+a a a 32128=-a a 4n =()44311168=---+a a a 3116=-a 214a =31231111441616=++=-+-=-S a a a {}n a 611a =()111nn na n a +--=11n n n b a a +=*n N ∈n a ={}n b n T =21n -21nn +()111n n na n a +--=()1111111n n a a n n n n n n+∴-==----()111211n n a a n n n n n +∴-=-≥--为常数列， ，，适合上式．∴，，， ∴． 故答案为：；． 17．已知数列{}对任意的n ∈N *，都有∈N *，且=①当=8时，_______②若存在m ∈N *，当n>m 且为奇数时，恒为常数P ，则P=_______ 【答案】 【解析】，则故从第二项开始形成周期为的数列，故 当为奇数时，为偶数，故 若为奇数，则，故，不满足； 若为偶数，则，直到为奇数，即 故，当时满足条件，此时，即 111n a n n ⎧⎫∴-⎨⎬--⎩⎭()611221155n a a n n n -=-=≥--()212n a n n ∴=-≥1n =11a =21na n =-*n N ∈111111(21)(21)22121n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n -21nn +n a n a 1n a +312n n n n a a a a +⎧⎪⎨⎪⎩，为奇数，为偶数1a 2019a =n a n a 211312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数1234568,4,2,1,4,2,...a a a a a a ======320192a =n a 131n n a a +=+123122n n n a a a +++==2n a +312n n a a +=1n a =-2n a +2323122n n n a a a +++==*31,2n n k a a k N +=∈*123n ka N =∈-2k =1n a =1p =故答案为：①；②三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.【答案】最大项为【解析】设是该数列的最大项，则∴ 解得 ∵， ∴，∴最大项为点睛：求数列最大项或最小项的方法 （1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项． （2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．19．数列满足：，. （1）求的通项公式；21{}n a ()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭{}n a 1091091011a a ==n a 11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩()()()111010121111101011111n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩910n ≤≤*n N ∈910n n 或==1091091011a a ==11(2)n nnn a a n a a -+≤⎧≥⎨≥⎩11(2)n nn n a a n a a -+≥⎧≥⎨≤⎩{}n a 212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++*n ∈N {}n a（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数. 【答案】（1）；（2）10.【解析】 （1）∵． n=1时，可得a 1＝4，n≥2时，． 与． 两式相减可得＝（2n ﹣1）+1=2n ，∴．n=1时，也满足，∴.（2）= ∴S n ，又，可得n>9， 可得最小正整数n 为10． 20．数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.（1）求的值； （2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；（3）求的通项公式.【答案】（1）（2）证明见解析；.（3） 【解析】（1）当a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2a 3＝a 1+a 2+a 3，解得a 3＝3；1n n b a ={}n b n n S 920n S >n ()21n a n n =+212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++21121123n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=-+-212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++1n an +()21na n n =+()21n a n n =+()1121n nb a n n ==+11121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭11111111112223121n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭920n S >{}n a 1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a an N +≠∈11a =22a ={}n a ()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭3a {}n a k ω{}n a 33a =()*2N 3k k πω=∈2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）当n ＝2时，6a 4＝2+3+a 4，解得a 4＝1， 当n ＝3时，3a 5＝1+3+a 5，解得a 5＝2， …，可得a n+3＝a n ，当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3； 故3为数列{a n }的一个周期，则＝3，k ∈N*，则；（3）由（2）可得a n ＝Asin （n+φ）+c ，则1＝Asin （+φ）+c ，2＝﹣Asin （+φ）+c ，3＝Asin φ+c ，即1＝Aφ﹣A •sin φ+c ，①2＝﹣A •cos φ﹣A •sin φ+c，②由①+②，可得3＝﹣Asin φ+2c ， ∴c ＝2，Asin φ＝1，①﹣②，可得﹣1＝Aφ， 则tan ∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A ＝﹣， 故． 21．数列中，，. （1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围． 2k πω()*2N 3k k πω=∈23π23π3π122122π3π32sin 2333n a n ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭{}n a 12a =1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++2a 3a {}n a 1n a n =+21na n =+2n a n n =+1{}na n n S 1{}n n a a +-n n T 360n n T S >n【答案】（1），（2），且是正整数【解析】 （1）∵，∴ ∴（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是由可得∴ ∴ ∵， ∴即由，得，解得或 ∵是正整数，∴所求的取值范围为，且是正整数 22．已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0. （1）若，求的值；26a =312a=17n >n()()()1121n n n n a a a n ++-=++1321n n n a a n ++=++21132611a a +=+=+322321221a a +=+=+{}n a 1nan =+21nan =+2n a n n =+26a ={}n a ()21n a n n n n =+=+()1na n n =+()111111n a n n n n ==-++121111111111122311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n S n =-+()()()2132111n n n a a a a a a a a ++-+-++-=-()1n a n n =+()()()2213213n n a a a a a a n n +-+-++-=+23n T n n =+360nnT S >243570n n +->17n >21n <-n n 17n >n {}n a 1a t =111n na a +=+{}n a 1t =325312t =-12-1-50a =t（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 （1）由得，∴，，，； （2）若，则，，即，故只要即可，因为，所以，∴，解得； （3）由得，设，，则 ，，， 故有项，为有穷数列.即取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.《4.1数列的概念》同步检测试卷一、单选题1．数列 的第6项是（ ）12n a <<2n ≥*n N ∈t {}n b 11b =-()*111n n b n N b +=-∈t {}n b {}n a 35t =-1t >111n na a +=+111n n a a +=-41101a ==--311112a ==---2121312a ==---1132513t a ===---()*122,n a n n N <<≥∈1112n a<<131122n na a +<=+<112n a +<<212a<<1a t =21t a t +=112t t+<<1t >111n n b b +=-111n n b b +=+1k a t b ==()*k N ∈2111k ka b b -=+=32111k k a b b --=+=12111k a b b =+==-11101k a +=+=-{}n a 1k +t {}n b {}n a 353,1,,,442⋯A ．1B ．2C ．3D ．42.在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17 D ．20 3．已知数列）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 4．在数列{}中，若，，则= A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 5．若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 7．在数列中，，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．以上都不对 8．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知数列满足，，则的值为（ ）A ．2B ．-3C ．D ．10．下列叙述正确的是（ ）A ．数列，，，与，，，是相同的数列B ．数列，，，，…可以表示为,21,n -11n a 11a =132n n a a +=+3a 412-1314-15()11nn -+()1nn-()111n n +-+()11n n--{}n a 31n na n =+{}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2019a 4514-522n n -212n -212n (-)22n 135775310123{}nC ．数列，，，，…是常数列D ．数列是递增数列 11．数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知数列的前项和，第项满足，则（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 二、填空题 13．数列,,,，,…的一个通项公式为_______． 14．若数列满足，则_____. 15．在数列中，第3项是______；是它的第______项. 16．已知数列中,,（）,则___________ 三、解答题17．已知数列满足，且，求. 18．已知数列满足. （1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.19．在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.20．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n+1 +2a n a n+1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；0101{}21n +1-35-79-21n a n =-(1)(12)nn a n =--(1)(21)n n a n =--1(1)(21)n n a n +=--{}n a n 26n S n n =-k 58k a <<k =1223344556n a ={}n a 12,111,1n n n a n a-=⎧⎪=⎨->⎪⎩3a =110,,...,,...42n n -37{}n a 12a =111n n a a +=-+n *∈N 2020S ={}n a 212n n n a a a ++=+10123411365a a ==，1113a a ，{}n a 2(*)n n S n a n N =-∈1,a 2,a 3,a 4,a 5a {}n a {}n a 2293n a n n =-++（3）实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 21.已知数列的前项和，（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前多少项和最大．22．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由. 答案解析 一、单选题1．数列 的第6项是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】易得该数列为后项与前项的差都为,故前6项是.故第6项为2.故选：B2.在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17 D ．20 【答案】A 【解析】当时，，当时，，当时，上式也满足，故. 所以. 故选：A199{}n a n 2321n S n n =-+{}n a {}n a {}n a ()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭{}n a 353,1,,,442⋯143537,1,,,,244241n =111a S ==-2n ≥()()221232131n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦45n =-1n =45n a n =-444511a =⨯-=3．已知数列）A．第5项 B．第6项 C ．第7项 D ．第8项 【答案】B 【解析】 数列通项公式为解得， 故选：B.4．在数列{}中，若，，则= A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 【答案】B 【解析】因为，，所以，所以.选B. 5．若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：A.6．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 【答案】A,21,n -11,21,n -n a ==6n =n a 11a =132n n a a +=+3a 11a =132n n a a +=+21325a a =+=323217a a =+=412-1314-15()11nn -+()1nn-()111n n +-+()11n n--{}n a ()11111a-=+()22121a-=+()33131a-=+()44141a-=+()11nna n -=+{}n a 31n na n =+【解析】，， ，因此，数列是递增数列.故选：A.7．在数列中，，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．以上都不对 【答案】A 【解析】 依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A. 8．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意，排除D ，，排除A ，C ．同时B 也满足，，，故选：B ． 9．已知数列满足，，则的值为（ ）31n na n =+()()()()()()()131134110343131343134n n n n n n n n a a n n n n n n +++-++∴-=-==>++++++1n n a a +∴>{}n a {}n a 114a =-111(1)n n a n a -=->2019a 4514-523411231141115,1,154a a a a a a a =-==-==-=-=32019345a a ==22n n -212n -212n (-)22n 10a =34a =512a =724a =940a =A ．2B ．-3C ．D ．【答案】D 【解析】 由题得，所以数列的周期为4， 所以.故选：D10．下列叙述正确的是（ ）A ．数列，，，与，，，是相同的数列B ．数列，，，，…可以表示为C ．数列，，，，…是常数列D ．数列是递增数列 【答案】D 【解析】对于A ，数列，，，与，，，不是相同的数列，故A 错误； 对于B ，数列，，，，…可以表示为，故B 错误； 对于C ，数列，，，，…是摆动数列，故C 错误； 对于D ，数列是递增数列，故D 正确. 故选：D.11．数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵数列{a n }各项值为，，，，，，135775310123{}n 0101{}21n +135775310123{}1n -0101{}21n +1-35-79-21n a n =-(1)(12)nn a n =--(1)(21)n n a n =--1(1)(21)n n a n +=--1-35-79-∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴|a n |＝2n ﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）． 故选：C ．12．已知数列的前项和，第项满足，则（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 【答案】C 【解析】当时，；当时，，也符合.所以的通项公式，为， 所以，由解得，由于为正整数，所以. 故选：C 二、填空题 13．数列,,,，,…的一个通项公式为_______． 【答案】【解析】数列,,,,…，观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1， 由此得出该数列的一个通项公式为． 故答案为：． {}n a n 26n S n n =-k 58k a <<k =1n =115a S ==-2n ≥()()22116187n S n n n n -=---=-+127n n n a S S n -=-=-1n ={}n a 27n a n =-27k a k =-5278k <-<67.5k <<k 7k =1223344556n a =1n n +12233445561n na n =+1nn +14．若数列满足，则_____. 【答案】 【解析】. 故答案为： 15．在数列中，第3项是______；是它的第______项. 【答案】【解析】 令，则，所以第3项是；令，解得，所以是它的第项.故答案为：；. 16．已知数列中,,（）,则___________ 【答案】【解析】已知数列中,,（）, 所以, , {}n a 12,111,1n n n a n a-=⎧⎪=⎨->⎪⎩3a =1-123121112,1,112a a a a a ==-==-=-1-110,,...,,...42n n -371373n =13112233n n --==⨯131327n n -=7n =377137{}n a 12a =111n n a a +=-+n *∈N 2020S =6856{}n a 12a =111n n a a +=-+n *∈N 211111213a a =-=-=-++3211311213a a =-=-=-+-+431123112a a =-=-=+-+所以数列是周期为的数列,.故答案为:三、解答题17．已知数列满足，且，求. 【答案】 【解析】当时，，即，解得，当时，，即，解得 综上：18．已知数列满足. （1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 【答案】（1）.，，，.（2），详见解析【解析】（1）当时，，.当时，，， 当时，，，{}n a 3()20201231673S a a a a =++⨯+1326732326856⎛⎫=--⨯+= ⎪⎝⎭6856{}n a 212n n n a a a ++=+10123411365a a ==，1113a a ，1113683,2731a a ==21,2n n n a a a +++∴=10n =1211102a a a =+1113652341a =+⨯11683a =11n =1312112a a a =+1313652683a =+⨯132731a =1113683,2731a a =={}n a 2(*)n n S n a n N =-∈1,a 2,a 3,a 4,a 5a {}n a 11a =232a =374a =4158a =53116a =121,2n n n a --=*n ∈N 1n ＝1112a S a ==-11a ∴=2n =122222a a S a +==⨯-232a ∴=3n =1233323a a a S a ++==⨯-374a ∴=。

山东省济宁市微山县第二中学2021-2022高一数学下学期第一学段教学质量监测试题（含解析）一、单选题（本题共10道小题，每题5分，共计50分） 1.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】221()(2)22312a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. 故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.2.若,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，则λ=（ ） A. 3 B. 3-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()(3)a b a b λ+⊥+，可得()(3)a b a b λ+⋅+0=，再求解即可. 【详解】解：由,a b 是互相垂直的单位向量， 则0a b ⋅=且1a b ==， 又()(3)a b a b λ+⊥+，则()(3)a b a b λ+⋅+223(13)300a b a b λλλ=+++⋅=++=， ∴3λ=-， 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题.3.已知点(2,1)A -，(4,2)B ，点P 在x 轴上，当PA PB ⋅取最小值时，P 点的坐标是（ ） A. (2,0) B. (4,0)C. 10(,0)3D. (3,0)【答案】D 【解析】 试题分析：设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以P 点的坐标是(3,0)．考点：1．向量的运算；2．二次函数． 4.已知向量,a b 满足1a =，2b =，||6a b +=，则a b ⋅=（ ）A.12B. 13 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 将||6a b +=两边平方，化简求解即可得到结果.【详解】由||6a b +=，2()6a b +=，即2226a ab b ++=，又1a =，2b =，则12a b ⋅=. 所以本题答案为A.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和模的基本知识，熟记模的计算公式是关键，属基础题.5.已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=-,所以与AB 同方向的单位向量为134(3,4)(,)555ABe AB ==-=-，故选A.考点：向量运算及相关概念.6.已知12,e e 是单位向量，若12413e e -=，则1e 与2e的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B 【解析】 【分析】 由121212cos ,e e e e e e ⋅=⋅，结合向量的数量积运算即可得解.【详解】解：因为12413e e -=，所以()212413e e -=，则22112281613e e e e -⋅+=．由12,e e是单位向量，可得2211221,1e e e e ====，所以1212e e ⋅=．所以1212121cos ,2e e e e e e ⋅==⋅．所以12,60e e ︒=． 故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题. 7.下列命题中正确的是( ) A. 若||a b |=|，则a b =B. 若a b ≠，则a b ≠C. 若||a b |=|，则a 与b 可能共线D. 若a b ≠，则a 一定不与b 共线【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出.【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C 正确，D 错误. 故选：C【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．8.已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A. 77(,)93B. 77(,)39--C. 77(,)39D.77(,)93-- 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设(),c x y =,则()1,2c a x y +=++,()3,1a b +=-,由已知可知()()22310{30y x x y +++=-=,解得79{73x y =-=-,故77,93c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.选D. 考点：共线向量与垂直向量的性质.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分 9.（多选）下列叙述中错误的是( ) A. 若a b =，则32a b >B. 若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C. 若//a b ，//b c ，则//a cD. 对任一向量a ，a a是一个单位向量【答案】ABCD 【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A ，向量不能比较大小，A 错误；对于B ，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B 错误； 对于C ，若b 为零向量，a 与c 可能不是共线向量，故C 错误； 对于D ，当0a =时，a a无意义，故D 错误.故选：ABCD【点睛】本题考查向量的相关定义，考查了概念的理解，属于简单题.10.（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A. ()()11i i -+ B.11ii-+ C.11ii+- D. ()21i -【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项. 【详解】根据题意，{},nM m m i n N ==∈中，()4n k k N =∈时，1n i =； ()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-， {}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i ii i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉. 故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 三、填空题（本题共4道小题，每题5分，共计20分）11.已知向量(,a t t =-与()3,2b t =+共线且方向相同，则t =_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据向量平行，得到2230t t --=，计算出t 的值 ，再检验方向是否相同．【详解】因为向量(,a t t =-与()3,2b t =+共线且方向相同 所以得2230t t --=．解得1t =-或3t =． 当1t =-时，(31)b a =--，不满足条件；当3t =时，333b a +=，a 与b 方向相同，故3t =． 【点睛】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题.12.已知3a b +与75a b -垂直，且4a b -与72a b -垂直，则,a b = _______ 【答案】60︒ 【解析】 【分析】 利用()()375=0a b a b +-及()()472=0a b a b --可得cos,a b 的值，从而得到所求的角的大小.【详解】因为3a b +与75a b -垂直，所以()()375=0a ba b +-，所以227+1615=0a a b b -，同理，22730+8=0a a b b -，所以22b a b =，22a a b =，故1cos ,222a b a b a b a b a b ===，而[],0,a b π∈，所以,=60a b ︒.【点睛】本题考查数量积的应用（求角），属于基本题.13.已知2a =，||1b =，a 与b 的夹角为45°，则使向量(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围为______． 【答案】16λ<<且6λ≠【解析】 【分析】由(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角，则有(2)a b λ-(3)0a b λ⋅->，且λ≠用向量的数量积运算即可得解.【详解】解：∵2a ||=，1b ||=，a 与b 的夹角为45°， ∴||||cos 45112a b a b ︒⋅==⨯=， 当(2)a b λ-与(3)a b λ-同向共线时，满足2(3),0a b ma b m λλ-=->，则2,3,m m λλ=⎧⎨-=-⎩得λ=若向量(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角， 则(2)a b λ-(3)0a b λ⋅->，且λ≠即222(2360)a b a b λλλ+-+⋅>， 即()24360λλλ+-+>，即2760λλ-+<，得16λ<<，且λ≠故答案为：16λ<<且λ≠【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了共线向量的运算，属中档题. 14.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .【答案】【解析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．四、解答题（本题共3道小题，每题10分，共计30分） 15.已知(1,2),(3,2)a b ==-，,当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？ 【答案】19k = 【解析】 【分析】算出ka b +与3a b -的坐标，利用它们的数量积为0可得19k =.【详解】因为(1,2),(3,2)a b ==-，所以()3,22ka b k k +=-+，()310,4a b -=-， 因为ka b +与3a b -垂直，所以1030880k k ---=， 解得19k =.【点睛】本题考查数量积的坐标运算及向量垂直的坐标形式，属于基础题. 16.已知向量a 、b 夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值. 【答案】（1）1-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a ba +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a ba +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题．17.在平面直角坐标系xoy 中，己知向量2,m ⎛= ⎝⎭，向量()sin ,cos n x x =，()0,x π∈.（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若//m n ，求x 的值. 【答案】（1）1；（2）34π. 【解析】 【分析】（1）由已知向量的坐标，结合向量垂直的坐标运算可求tan x 的值；（2）由向量平行的坐标运算得，∴2sin x +2cos x ＝0，解出tan x ，结合x 的范围再求出x ；【详解】（1）己知向量2,22m ⎛=- ⎝⎭，向量()sin ,cos n x x =，若m n ⊥，则2(sin ,cos )0m n x x x x ⎛⋅=⋅== ⎝⎭，x x=，得sin x＝cos x，∴tan x＝1；（2）∵//m n，∴2sin x+2cos x＝0，即sin x+cos x＝0，∴tan x＝﹣1，∴()0,xπ∈，∴x＝34π．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系，属于基础题．。

山东省微山县第二中学2022高二数学10月教学质量监测试题考试时间：90分钟；满分：100分 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本题共计10道小题，每题5分，满分50分)1．（5分）已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-2．（5分）等差数列{a n }(n ∈N ∗)的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 1>0,d <0,S 3=S 9，则当S n 取得最大值时，n ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．（5分）数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．(1)(21)nn a n =--C ．(1)(12)nn a n =--D ．(1)(21)nn a n =-+4．（5分）已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+an1−a n，则a 2020的值为（ ）A.2B.-3C.−12D.135．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=1，a 5=13，则数列{a n }的前5项和为（ ） A.13B.16C.32D.356．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14254,8a a a a +=+=，则20192019S = ( ) A ．202XB ．2022C ．2022D ．20227．（5分）若{a n }是等差数列，公差d ≠0，a 2,a 3,a 6成等比数列，则公比为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．（5分）在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A.1B.±1C.2D.±29．（5分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2614,4a a ==，则6S =（ ） A ．634-B ．634C ．634±D ．63810．（5分）如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，则这个数列的通项公式是( ) A ．()221n a n n =++B ．23nn a =⋅ C ．32nn a =⋅ D ．31n a n =+第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共计4道小题，每题5分，满分20)11．（5分）在数列{}n a 中，12a =，13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 12．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.13．（5分）等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若312n n S n T n +=，则1111a b =_______. 14．（5分）在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=_____．三、解答题（本题共计30分，每小题10，满分30分)15．（10分）已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；16．（10分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->17．（10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T .高二数学参考答案1．B 【详解】因为成等比数列，所以有，又因为是公差为2的等差数列，所以有，故本题选B.2．C 【详解】根据题意，等差数列中，，则，又由为等差数列，则，又由，则，则当时，取得最大值；故选：C．3．C 【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，由数值1，3，5， 7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式为，选C. 4．D 【详解】由题得，所以数列的周期为4，所以.故选：D5． D 【详解】数列的前5项和为.故选：D6．B 【详解】设等差数列公差为则：，解得：本题正确选项：7．C解：∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2a6，即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），整理得d2+2a1d=0∴d=-2a1，∴===3故答案为3．8．A解：∵数列{a n}是等比数列∴∴a3＝2，a7＝a3q4＝2q4＝8∴q2＝2，故选A.9．B 【详解】设等比数列的公比为，为正项数列本题正确选项：10．B 【详解】数列的前项和为,取解得是首项为6公比为3的等比数列，验证，成立故答案选B二、填空题11．；【详解】因为，所以数列是公差为3的等差数列，所以.所以数列的通项公式为.故答案为：12．7【详解】由题得.故答案为：713．【详解】∵，∴，∴．故答案为．14．9【详解】因为，，所以，或，．先考虑，可得所以同理，时也可得，故正确答案为9．三、解答题15．解（1）设等比数列的公比为，由已知，，所以，即数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，，设等差数列的公差为，则，，设数列前10项的和为，则，所以数列的通项公式，数列前10项的和.16．解：(1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知，从而，，有，所以.17．解（1）因为，所以（，且），则（，且）.即（，且）.因为，所以，即.所以是以为首项，为公比的等比数列.故.（2），所以.所以，故.。

微山县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2，则的值为（ ）A ．﹣2或﹣1B ．1或2C ．±2或﹣1D ．±1或22． 函数y=2|x|的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 4． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8} B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}5． （+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）A ．120B ．210C ．252D ．456． 设集合,,则( )A BCD7． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣28． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．89． 已知等差数列的公差且成等比数列，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f （x ）＝kx ＋bx ＋1，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．411．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对2．3……，则 ） A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+4．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞5．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-6．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．47．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n8．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ）A ．1(1)n n a a n n --=>B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 11．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207513．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+14．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22515．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88217．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．918．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a19．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．620．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．13D ．13-二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54 C ．S 2020＝a 2022－1 D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．224．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．225．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =27．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 28．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．829．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值30．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 31．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 32．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列33．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >34．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列35．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知21115a a =-=321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题2．D解析：D 【解析】 【分析】根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】根据数列中的项,…由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+而=所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.3．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.4．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.6．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.7．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.8．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.13．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．14．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．15．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<， 综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C17．C解析：C 【分析】先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则()()12112451232312n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- 依题意有()()12362n n ++>整理得()()23707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C18．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A19．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---， 故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.二、多选题 21．BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.22．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC23．AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.24．ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.25．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确；由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.26．ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确； ∵，，故有，故B 正确； 该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.27．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.28．BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n +-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.29．ABD【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确；由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.故选：ABD.30．BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++， 由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.31．AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 32．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.33．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．34．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.35．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属。

绝密★启用前2019-2020学年度第一学期第二学段教学质量监测 高一数学试卷考试时间：90分钟；满分：100分第I 卷（选择题)一、单选题（本题10个小题，每题5分，共50分。

每题所给的四个选项中，只有一项符合题意)1．已知集合{1,3,5,7,9},{1,5,7}U A ==，则U C A =( )A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,92．命题“x R ，x 2－2x ＋2≤0”的否定是 ( )A ．x R ，x 2－2x ＋2≥0B ．x R ，x 2－2x ＋2＞0C ． x R ，x 2－2x ＋2＞0D ．x R ，x 2－2x ＋2≤03．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．01,y y x ==B ．y y x ==C ．33,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==5．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1，2) D ．[1，2)∪(2，＋∞)6．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是 ( )7．函数f (x )＝|x －1|的图象是 ( )8．等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y 等于 ( )A.20－2x (0<x ≤10) B ． 20－2x (0<x <10)C ．20－2x (5≤x ≤10)D ．20－2x (5<x <10)9．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则 ( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ． f (－1)<f (－32)<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f (－32) D ．f (2)<f (－32)<f (－1)10．函数y ＝x 2＋2x ＋3(x ≥0)的值域为 ( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共计4个小题，每题5分，共20分。

山东省微山县第二中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：1212a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.2．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.5．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则3 2m=-或38m=-，如图直线4l、5l，故D错误故选：AC【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立6．已知21,1,()ln,1,x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，下列正确的是（）A．存在实数k，使得方程恰有1个不同的实数解；B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实数解；C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实数解；D．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD【分析】令()0f x t=≥，根据判别式确定方程2210t t k-+-=根的个数，作出()f x的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解.【详解】令()0f x t=≥，则关于x的方程2[()]()210f x f x k-+-=，可得2210t t k-+-=，当58k=时，()14210k∆=--=，此时方程仅有一个根12t=；当58k<时，()14210k∆=-->，此时方程有两个根12,t t，且121t t+=，此时至少有一个正根；当58k>时，()14210k∆=--<，此时方程无根；作出()f x的大致图象，如下：当58k =时，此时12t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.8．已知函数1()x x f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()xx f x e '=-， 故当0x <时，0fx，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．二、导数及其应用多选题9．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得15x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．11512x ⎛⎫-∈- ⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x xy e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x xx x x e---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--， 从而()11112,1x x --∈--，解得1151x ⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD 正确，选项C 错误， 又121310x x x x -=<<. 故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

17－18学年度上学期高二班级其次学段考试数学试卷留意：本试卷共8页，17题，满分100分，时间90分钟第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x>0B ．假如x<2，那么x<1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠02．设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.设a ＜b ＜0,下列不等式肯定成立的是（ ）A.a 2＜ab ＜b 2B.a 2＜b 2＜abC.ab ＜b 2＜a 2D. b 2＜ab ＜a 2 4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A ．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B ．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C ．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D ．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[Z,5.不等式32+-x x ≤2的解集是（ ）A.{}38->-<x x x 或B.{}23≤≤-x xC.{}38->-≤x x x 或D.{}23≤<-x x6.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数z=ax+by(a ＞0,b ＞0)的最大值为12，则b a 32+的最小值为（ ）A.625B. 38C. 311D.47．与命题“能被6整除的整数，肯定能被3整除”等价的命题是( )A ．能被3整除的整数，肯定能被6整除B ．不能被3整除的整数，肯定不能被6整除C ．不能被6整除的整数，肯定不能被3整除D ．不能被6整除的整数，不肯定能被3整除 8．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( )A ．32－3B ．62－3C ．－3D ．6 29．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4) 10．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b=b a ab ++（a , b 为正实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围为 （ ）A ．11k -<<B ．01k <<C ．10k -<<D ．02k <<第II 卷（共50分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．设α表示平面，a ，b 表示直线，给定下面四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α； ②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b. 其中正确命题的个数有________个．12.已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,02y x y x 则目标函数y x z -=2的最大值是 .13．命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．14．已知21m n +=,其中0mn >,则12m n +的最小值为_______. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.15(10分)若082=-+xy y x .其中x ＞0,y ＞0, 求： （1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值.16．(10分)已知命题p ：对于m ∈[－1,2]，不等式a 2－5a －3≥52+m 恒成立；命题q ：不等式x 2＋ax ＋2<0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围．17．（10分）已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}． (1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．高二数学二段答案 一、选择题1．D 2.A 3.D 4．B 5.C 6.A 7．B 8.B 9．D 10．A 二、填空题11、 2 12、6 13、－3≤a ≤0 14、8. 三解答15.解：（1）由082=-+xy y x ,得128=+y x,又x ＞0, y ＞0，则xyy x y x 8282281=⋅≥+=,得xy ≥64.当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,128yx yx 即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.此时（xy ）min =64.(2)由082=-+xy y x ,得128=+y x ,则()1882210821028=⋅+≥++=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x yy x x y y x y x y x y x .当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x y yx y x 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.此时(x+y)min =18.16解 ∵m ∈[－1,2]，∴52+m ∈[6，3]．∵对m ∈[－1,2]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，可得a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6，或a ≤－1.故命题p 为真时，a ≥6，或a ≤－1. 命题p 为假时，－1＜a ＜6. 又命题q ：x 2＋ax ＋2<0有解， ∴Δ＝a 2－8>0. ∴a>22，或a<－2 2.从而命题q 为真时a>22，或a<－22， q 为假时－22≤a ≤2 2. 依题意p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 必有一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是－22≤a ≤－1； 当p 假q 真时，a 的取值范围是22<a<6.综上，a 的取值范围是[－22，－1]∪[22，6)． 17.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x|－2≤x ≤10}，由于x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在． (2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．。