垂直平分线的性质判定与画法

第1讲垂直平分线、等腰三角形【知识点】一、垂直平分线1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点线与这条线段两个端点的距离相等几何语言:3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言:4、线段垂直平分线的画法：二、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∠＝______∠______，______＝______。

(2) AB＝AC；BD＝DC，∠______＝∠______，______⊥______。

(3) AB＝AC，AD平分∠BAC______⊥______，______=______.性质3：等腰三角形是轴对称图形3、等腰三角形的判定（1）定义（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）几何语言：三、等边三角形1、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．E D C B A（3）三线合一2、等边三角形的判定（1）定义（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3、含30°角直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】 1、如图2，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ．16B ．28C ．26D ．18。

角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线1.角平分线可以得到两个相等的角。

（角平分线的定义）∵AD是∠CAB的角平分线1∠CAB∴∠CAD=∠B AD=22.角平分线上的点到角两边的距离相等。

（角平分线的性质）∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB∴DC=DB3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。

（角平分线的判定）∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。

利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。

2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”6、夹角模型①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A．②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-12∠B．在∠AOB中，画角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。

聚焦教学重难点的信息化教学设计课题名称：线段的垂直平分线的性质姓名：金大文工作单位：布朗山乡九年制学校学科年级：八年级数学教材版本：人民教育出版社一、教学内容分析《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书•八年级上册》（2013版）第十三章《轴对称》第一单元第二课。

在此之前，学生学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

二、教学目标1.知识与技能目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算作用。

2.过程与方法目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。

3.情感态度与价值观目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美。

三、学习者特征分析学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但处于该阶段的学生语言表达能力较差,特别是几何语言的描述不规范，本节课几何语言理解表达问题较难，因此，教学中要加强推理证明步骤的规范化。

四、教学策略选择与设计我选择的教法是“自主探究-合作交流-归纳总结”的教学模式,引导学生动手操作,主动思考,小组讨论,归纳应用。

“线段的垂直平分线”是初中几何的重点内容,在解决问题时有其实用性和简洁性,学法上既要求学生动手操作,又要求学生主动思考,合作交流,在动手中得出知识,不能依靠教师讲解后的记忆。

五、教学重点及难点线段垂直平分线性质在以后的学习中经常要用到.让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的再发现过程，可增强学生对性质的认识和理解，培养学生多方面的能力.因此我确定本节课的重点为：探究线段垂直平分线的性质.难点为：明确线段垂直平分线的性质和判定的区别六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图1.温故知新，导入新课回顾线段的垂直平分线定义概念，探究线段的垂直平分线的性质。

九年级垂直平分线知识点垂直平分线是我们在几何学中经常遇到的一个概念。

在本文中，我们将详细讨论垂直平分线的定义、性质以及一些相关的例题和解题技巧。

1. 垂直平分线的定义在平面上，如果一条直线将一条线段分成两个相等的部分，并且与这条线段垂直相交，那么这条直线被称为垂直平分线。

2. 垂直平分线的性质(1) 垂直平分线将线段分成相等的两部分。

(2) 垂直平分线和线段之间的交点称为线段的中点。

(3) 垂直平分线和线段之间的交点距离线段的两个端点的距离相等。

3. 垂直平分线的画法(1) 根据给定的线段AB，以A为圆心，AB的长度为半径画一个圆弧。

(2) 以B为圆心，BA的长度为半径画另一个圆弧。

(3) 这两个圆弧的交点就是垂直平分线与线段AB的交点。

(4) 用尺规作图或者使用直尺和铅笔连接交点和线段两个端点，就可以画出垂直平分线。

4. 解题技巧解决与垂直平分线相关的问题时，有几个常用的技巧可以帮助我们更好地理解和解决问题。

(1) 利用垂直平分线的性质来证明一些几何定理。

例如，找到一个垂直平分线可以帮助我们证明一个线段等于另一个线段。

(2) 利用垂直平分线的定义来推导一些结论。

例如，如果两条线段等长，并且它们的垂直平分线相交于一点，那么这两条线段就是重合的。

(3) 在解决垂直平分线问题时，我们也可以使用平行线的相关知识。

例如，垂直平分线和线段的两个端点可以形成一个直角三角形，我们可以利用直角三角形的性质来解题。

5. 例题分析(1) 问题：在直角三角形ABC中，AC=12 cm，BC=16 cm。

请问垂直平分线BD的长度是多少？解析：首先，我们知道垂直平分线将对边AC分为两个相等的部分，所以AD=DC=6 cm。

由于直角三角形中，垂直平分线和斜边的交点为斜边中点，所以BD=DC=6 cm。

(2) 问题：如果ABCD是一个平行四边形，且E是垂直平分线BD的中点，那么三角形AEC的类型是什么？解析：由于垂直平分线将线段BD分为两个相等的部分，所以BE=ED。

垂直平分线与角平分线一．垂直平分线【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6练1：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2.如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．练2：如图，P 是∠MON 的平分线上的一点，PA ⊥OM,PB ⊥ON,垂足分别为A 、B．求证：PO 垂直平分AB ．类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点． 求证：BE=CE ．练3.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上的中点，CE ⊥AD 于点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．二．角平分线【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.练1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE＝CF.例2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对AB AC=ABD与△ACD的面练2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:积之比为（）A．3：2 B C．2：类型二、角的平分线的判定例3.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.练3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线.类型三.角的平分线的性质综合应用例4、如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB与点E，BD⊥OA与点D，交AE于点C，求证：AC＝BC.练4、△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。

《线段垂直平分线的性质》课堂笔记
一、知识点
1.线段垂直平分线的定义：如果一条直线与一个线段的两个端点相交，并且与这
条线段所在的直线垂直，那么这条直线就是这个线段的垂直平分线。

2.线段垂直平分线的性质：
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.线段垂直平分线的判定：
（1）如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。

（2）如果一条直线与一条线段只有一个公共点，且这个公共点到线段两个端点的距离相等，那么这条直线是这条线段的垂直平分线。

4.线段垂直平分线的画法：用直尺和圆规作一条线段的中垂线。

二、重要公式
1.线段垂直平分线的性质定理：若AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC。

2.线段垂直平分线的判定定理：若AB=AC，则AD是BC的垂直平分线。

三、解题方法
1.利用定义和性质解决实际问题时，要注意分析问题中的条件，合理地选择解题
方法。

2.在解决与线段垂直平分线有关的问题时，常常利用几何图形中的“轴对称”性质，
通过翻折、旋转等方法把复杂的问题化为简单的问题。

3.在解与三角形中垂线有关的问题时，要注意三角形中垂线的性质定理的应用，
以及与三角形中位线定理的区别和联系。

4.在解与多边形中垂线有关的问题时，要灵活运用多边形中垂线的性质定理和判
定定理，结合图形特点进行分析。

《线段的垂直平分线的性质》说课稿说课人：杜爱敏一、说教材：本节课我说的内容是人教版八年级数学上册，13.1.2《线段的垂直平分线的性质》的第一课时，这个内容是在学习了三角形全等和轴对称的基础上进行的。

它是今后证明线段相等、角相等和直线互相垂直的依据，因此，本节课在课程整体安排中具有承上启下的作用。

二、说教学目标：本节课的教学目标主要有以下三个：1.了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质，进行简单的推理、判断。

2.学生动手操作、实践、探究，发现线段的垂直平分线的性质，会进行推理论证此性质和其逆命题。

3会过直线外一点作这条直线的垂线，知道作图的理论根据。

三、说重点与难点：重点：线段的垂直平分线性质的引入证明及运用。

因为线段的垂直平分线性质是今后证明线段相等、角相等和直线互相垂直的依据，所以是本节教学的重点。

难点：线段的垂直平分线的性质逆用，对学生来说易出错，所以我把它定为难点。

四、说教法与学法教法：我采用探究发现法完成本节课的教学，教学中先复习线段垂直平分线的画法，然后，让学生在自己所画线段垂直平分线上找一些点，把这些点分别与线段的两个端点连起来，进行、猜测、测量、验证、合作交流，得出结论，让学生有足够的时间和空间，经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，使学生成为真正的课堂参与者。

这样更有利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性。

让学生尝试对性质进行论证，性质的获得过程，我只作引导和点拨。

但性质的逆命题的推理对学生来讲有点难度，一定引导学生弄清题设和结论，用集合的思想理解线段的垂直平分线，在这些无数点中找两个点，根据“两点确定一条直线”进行说明就行了。

学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“线段的垂直平分线的两个性质”，通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，不需要老师灌输，这样做有利于活跃学生的思维，帮助他们探本求源，体现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的数学课程观。

2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：轴对称的及垂直平分线的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质能运用轴对称的知识解决简单问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧y)x (P y)P(x y)x (P y y)P(x y)(x P x y)P(x (3))()()((2)(1)，－″′的对称点的坐标为原点关于，，－″轴的对称点的坐标为关于，，－′轴的对称点的坐标为关于，用坐标表示轴对称图形，叫做轴对称变换面图形得到它的轴对称轴对称变换：由一个平作轴对称图形的垂直平分线上条线段端点距离相等的点在这判定：与一条线段两个距离相等端点的上的点与这条线段两个性质：线段垂直平分线线做这条线段的垂直平分线，叫且垂直于这条线段的直定义：经过线段中点并垂直平分线对应点的线段②对称轴垂直平分连接相等对折后重合的角相等；对应角对折后重合的线段，则对应线段形或一个图形是轴对称图①两个图形成轴对称性质的对称轴图形．这条直线就是它这个图形就叫做轴对称，旁的部分能够互相重合一条直线折叠，直线两定义：如果一个图形沿轴对称图形轴对称 知识点讲解知识点1 轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如下图，△ABC 是轴对称图形.中考考纲知识体系知识点2 两个图形轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的知识点3 对称轴的性质对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识点4 线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.知识点5 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图14－5，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB.知识点6 线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点7 成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 知识点7 成轴对称的两个图形的主要性质 1、 成轴对称的两个图形全等2、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线版块一 轴对称与轴对称图形☞轴对称图形的识别【例1】 如图12－112所是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为( )【例2】 判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.【例3】 将一张矩形纸对折，然后用笔尖在上面扎出一个“B ”，再把它辅平，你可以看到（ ）例题精讲【例4】（2003海淀区）羊年话“羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）A．1； B．2； B．3； D．4【例5】（2004泸州）下列各种图形不是轴对称图形的是（）☞轴对称的性质【例6】下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【例7】已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形；B．顶角是30的等腰三角形；C．等边三角形 D．等腰直角三角形.【例8】已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，则（）A．点O是BC的中点 B．点O是B1C1的中点C．线段OA与OA1关于直线MN对称 D．以上都不对【例9】如图直线MN表示一河流，在河流的一侧有A、B两村庄，现要在MN上修建一个排水站，问排水站修在何处最省钱。

星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级初二学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：3课时教学课题垂直平分线的性质判定及画法教学目标1.掌握垂直平分线的性质2.会画线段的垂直平分线教学重点与难点线段垂直平分线定理及逆定理的证明线段的垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等精讲精练★例1、直线MN⊥AB，垂足为D，且AD=BD,P是MN上任意一点，求证：PA=PB★例2、△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：直线AO垂直平分线段BC★★变式1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。

★★★变式2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。

求证：CM=2BM.★★★变式3、以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征★★变式4、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

★★例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.★★★例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.★★★变式5、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .★★★变式6、已知：如下图在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若BC =32，AC=24，求BD 的长。

当堂检测 一：填空选择1.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB =10cm ，则BD =__________cm ；若PA =10cm ，则PB =__________cm ；此时，PD =__________cm.2.已知线段AB 及一点P ，PA =PB =3cm ，则点P 在__________上.3..如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，则点D 在______上.第1题第3题4.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）以上都有可能 5.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二：解答题1.已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.2：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50， （1）求BC 的长.(2)若∠BEC=70°，则∠A=？BCAEDABDEMEFBACD3：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

l公路村庄村庄线段垂直平分线知识要点： 一、线段垂直平分线1定义 2画法3性质 线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

4证明说明性质定理实质上“三线合一”定理的逆定理。

利用这一定理, 可以直接让线段等, 是让两条线段相等的重要依据。

5表示性质定理:∵P 为线段AB 的垂直平分线上一点, ∴PA = PB 规侓； 中垂线 想等线 6例题例1、如右图，两个盛产水果的村庄A 、B 位于公路的同侧，交通条件极为方便，他们想因地地制宜，在公路旁建一个现代化的食品加工厂，使它到两个村庄的距离相等，请画出符合条件的食品加工厂的位置。

练习；有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

例。

(1)在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝40°，求∠NMB 的大小； (2)如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．(3)你发现了什么样的规律?试证明之；(4)将(1)中的∠A 改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改． 等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．练习；已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。

例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.BAED11AB CDE图变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

线段的垂直平分线常考察知识点为：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，主要用于求线段长度或者某个三角形周长，上面的word中有最常见的题型，期中考试必考选择题和填空题，大题常考察作图题（特别是尺规作图的方法及依据）和证明题。

先将垂直平分线的典型知识点总结如下：
【知识梳理】
1、线段的垂直平分线（中垂线）
（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（4）画法：线段AB的垂直平分线，分别以线段AB 两个端点为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点CD，则直线CD是线段AB的垂直平分线。

2、轴对称
（1）轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形完全重合，就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
（3）性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形
②如果两个图形关于某条子线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；
③两个图形关于某一条直线对称，如果它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上。

注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称。