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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2 D.m ≥43且m ≠2（2001年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，用配方法可得222442a ac b a b x -=+）（ac b 42-=∆称为根的判别式0＞∆，则方程有两个不相等的实数根 0＜∆，则方程没有实数根0=∆，则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根， 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．−4B ．3C ．−43D ．433．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．83C ．−83D 【考点突破】类型一：根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．答案：见解析。
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．例2、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答案：见解析解析：对于等腰三角形，需要讨论a是腰还是底边。
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一：判别式ax 2+bx +c =0（a ， b ，c 为常数，a ≠0）当240b ac -≥时，x =（求根公式） 24b ac -称作根的判别式，记做△；当△>0时，方程有两不相等的实根；当△=0时，方程有两个相等的实根；当△<0时，方程没有实根．例题精讲例（1）【教材15题】方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关（2）【教材15题】求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k +6)x +4(k -3)=0一定有两个不相等的实数根．（3）【教材17题】已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由．例2 （1）【教材1题】若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .（2）【教材19题】如果关于x 的方程kx 2-(2k +1)x +(k +2)=0有实数根，求k 的取值范围.二：根与系数的关系ax 2+bx +c =0（a ， b ，c 为常数，a ≠0当240b ac -≥时，2x =2x = 12b x x a +=- 12c x x a⋅=例题精讲例1（1）【教材10题】已知方程3422=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）A ．方程两根和是-4B ．方程两根积是2C ．方程两根和是-2D ．方程两根积是两根和的2倍（2） 【教材2题】设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则=+2111x x ________； x 12+x 22= .（3） 【教材14题】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（ ）A ．3b 2＝8ac B ．2325922c a b = C ．6b 2＝25ac D ．不能确定 例2（1）【教材6题】若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+2211pq . 【作业6题】已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，则(a －1)(b －1)= ______．（2）【教材7题】如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是 .（3）【教材13题】若c为实数，方程x2－3x＋c＝0的一个根的相反数是方程x2＋3x－c＝0的一个根，那么方程x2 －3x＋c＝0的根是（）A．1，2 B．-1，-2 C．0，3 D．0，-3综合运用例1【作业13题】已知关于x的方程3 x2– 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根．例2【教材3题】关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.例3 【作业4题】已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1 - y1=2，x2 - y2=2，则m= ．例4【作业10题】已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足22 120x x-=，求m值．测试题1． 已知关于x 的方程)0(02>=++a c bx ax 有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式ac b 42- 0，常数项c 0．2． 分别以x 2+3x -2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是__________________．3． 设x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1 + 1）（x 2 + 1）； （2）x 12x 2 + x 1x 22；（3）2112x x x x +； （4）212()x x -．4． 已知关于x 的方程x 2＋2（m -2）x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程．。
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
第二节 一元二次方程的判别式和根与系数的关系例一：若x 0是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根，则判别式△=b 2-4ac 与平方式M =（2ax 0+b ）2的关系是什么？解：方法一:由x 0是方程的根，知ax 02+bx 0+c=0乘以4a 后配方，得4a 2x 02+4abx 0+b 2-b 2+4ac=0,（2ax 0+b ）2=b 2-4ac,即 △=M方法二：由求根公式，有x 0=aac b b 24²-±-， 即 2ax 0+b=∆±平方，得 M =△方法三：∵（2ax 0+b ）2=4a 2x 02+4abx 0+b 2=4a(ax 02+bx 0)+b 2又ax 02+bx 0+c=0，∴ax 02+bx 0=-c∴（2ax 0+b ）2=b 2-4ac,即 △= M例二（2003·全国初中联赛）：已知a,b,c 满足a+b+c=2,abc=4求：（1）a,b,c 中最大者的最小值；（2）c b a ++的最小值解：（1）不妨设a 是a,b,c 中的最大者，即a ≥b,a ≥c.由题设，知a ＞0，且b+c=2-a,bc=a4. 于是，b,c 是一元二次方程x 2-（2-a ）x+a4=0的两实数根，则 △ =（2-a ）2-4×a4≥0， a 3-4a 2+4a-16≥0,(a 2+4)(a-4) ≥0,∴ a ≥4.当a=4,b=c=-1时，满足题意，故a,b,c 中最大者的最小值为4.（2）因为abc ＞0,所以a,b,c 为全大于0或一正二负.①若a,b,c 均大于0，则由（1），知a,b,c 中最大者的最小值不小于4.这与a+b+c=2矛盾.②若a,b,c 为一正二负，设a ＞0,b ＜0,c ＜0,则c b a ++=a-b-c=a-(2-a)=2a-2.由（1），知a ≥4，故2a-2≥6.当a=4,b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立，故c b a ++的最小值为6.例三：若二次方程(b-c)x 2+(a-b)x+(c+a)=0有两相等实根，且b ≠c ，则a,b,c 间的关系是什么？解：方法一：由判别式△=0，知△ =(a-b)2-4(b-c)(c-a)=(a+b)2-4(a+b)c+4c 2=(a+b-2c)2=0∴ a+b-2c=0方法二：∵ （b-c ）x 2+(a-b)x+(c+a)=0,∴方程有一个根是x 1=1,另一个根是x 2=cb ac --. 又∵ x 1=x 2， ∴c b a c --=1. ∴c-a=b-c.∴a+b-2c=0.例四：a 为实数，M =（a -+32）2，N =4（a-1-32-）。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。
