09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰D-x-y坐标轴所围成三角形区域.⎛0解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1⎝(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭⎰⎰D-x-yxdy=⎰⎰10-uudv==⎰(⎰10ulnu-uulnu-uu22⎰udv-u-u-u⎰ulnvdv)du-u(ulnu-u)du=⎰-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2⎰(1-2t+t)dt=2⎰102315⎤16⎡24(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=3515⎣⎦02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解令A=A=⎰20f(x)dx-2, 则f(x)=____________.⎰20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，2⎰20(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。

因此f(x)=3x-103。

3．曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.x22解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。

第十三届全国大学生数学竞赛初赛 《非数学类》试题及参考解答一、填空题（每小题6分，共30分） 1、极限lim x.【答案】：0【参考解答】：原式lim10xx xe2、设(,)z z x y 是由方程2sin(23)23x y z x y z 所确定的二元隐函 数，则z zx y.【参考解答】：将方程两边分别关于x 和y 求偏导，得2cos(23)13132cos(23)2323z z x y z x x z z x y z y y按1cos(23)2x y z和12两种情形，都可解得: 12,.33z z x y 因此1.z zx y3、设函数()f x 连续，且(0)0f ，则02()()d lim()d xxx x t f t tx f x t t.【参考解答】：令x t u ，则0()d ()d xxf x t t f u u. 于是由洛必达法则和积分中值定理，得00002()d 2()d 2()d 2()2()limlim()d ()d ()2()d 2()limlim1()()()d ()xxxxxx x x xx x x f t t tf t tf t t xf x xf x x f u u f u u xf x f t txf xf xf x f u u xf x 原式其中 介于0,x 之间.4、过三条直线120,0,:,:2,20,x x L L y z x y z与3:0x L y z的圆柱面方程为 .【答案】： 222224x y z yz 【参考解答】：三条直线的对称式方程分别为1221102:,:01101111:11x y z x y z L L y z L 所以三条直线平行. 在1L 上取点1(0,1,1)P ，过该点作与三直线都垂直的平面0y z ，分别交23,L L于点23(0,1,1),0,0)P P . 易知经过这三点的圆的圆心为(0,0,0)O . 这样，所求圆柱面的中心轴线方程为011x y z. 设圆柱面上任意点的坐标为(,,)Q x y z ，因为点Q，所以有化简即得所求圆柱面的方程为222224x y z yz . 5、记 22(,)D x y x y∣，则22sin cos d d D x y x y.【答案】：【参考解答】：根据重积分的对称性, 得222222222222200sin cos d d sin cos d d 11sin cos sin cos d d sin d d 221sin d cos 22D D D D x y x y y x x yx y y x x y x y x yd r r r原式二、(14分) 设12021x ， 212120210(1)nn n x x x n . 证明数列 n x 收敛, 并求极限limn n x. 【参考解答】：记1011,1n n a y x ，函数()(0)2x af x x x，则12y a 且 1(1).n n y f y n 易知，当x()x f x所以 n y 是单调减少且有下界的数列，因而收敛. 由此可知 n x 收敛.令lim n n y A，则0A 且()A f A，解得A因此lim 1n n x.三、(14分) 设()f x 在[0,) 上是有界连续函数，证明：方程1413()y y y f x 的每一个解在[0,) 上都是有界函数.【参考解答】：易得对应的齐次方程14130y y y 的通解为1312x xy C e C e 又 由1413()y y y f x 得13()y y y y f x .令1y y y ，则1113()y y f x，解得1313130()d x x t y e f t e t C. 同理，由1413()y y y f x ，得1313()y y y y f x .令213y y y ，则22()y y f x ，解得240()d x xt y ef t e t C. 取340C C ，得131300()d ,13()d .x x t x x t y y e f t e t y y e f t e t 由此解得原方程的一个特解为 *13130011()d ()d 1212x x x t x t y e f t e t e f t e t因此，原方程的通解为131313120011()d ()d .1212x x xxx tx t y C e C e e f t e t e f t e t 因为()f x 在[0,) 上有界，所以，存在0M ，使得|()|,0f x M x注意到当[0,)x 时，1301,01x x e e ，所以131313120131312001312121211||()d ()d 1212|||d d 1212111212137||||||12121378xxx x x t x t x x x t x tx x y C e C e e f t e t e f t e tM M C C e e t e e t M MC C e e M MM C C C C∣∣对于方程的每一个确定的解，常数12,C C 是固定的，所以，原方程的每一个解都是有界的.四、(14分) 对于4次齐次函数444222222123456(,,)333f x y z a x a y a z a x y a y z a x z 计算曲面积分(,,)d f x y z S，其中222:1x y z .【参考解答】：因为(,,)f x y z 为4次齐次函数，所以对t R ，恒有4(,,)(,,)f tx ty tz t f x y z对上式两边关于t 求导，得3123(,,)(,,)(,,)4(,,)xf tx ty tz yf tx ty tz zf tx ty tz t f x y z 取1t ，得(,,)(,,)(,,)4(,,).x y z xf x y z yf x y z zf x y z f x y z 设曲面 上点(,,)x y z 处的外法线方向的方向余弦为(cos ,cos ,cos ) ，则cos ,cos ,cos x y z因此由高斯公式和轮换对称性，记222:1x y z ，得2214621(,,)d (,,)(,,)(,,)d 411cos cos cos dS d d d d d d 441(,,)(,,)(,,)d 43222x y z x y z x y z xx yy zz f x y z S xf x y z yf x y z zf x y z S f f f f y z f z x f x y f x y z f x y z f x y z Vx a a a y a a24535666212222201161=2d d d d sin d 45i i i i ii a z a a a Va x y z V a a五、(14分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续的二阶导数，证明:21221lim ()d ()2()()().24n b a n k b a k n f x x f a b a n n b a f b f a 【参考解答】：记()(21)(),,1,2,,2k k k b a k b a x a a k n n n. 将()f x 在1,k k x x 上展开成泰勒公式，得2()2k k k k k f f x f f x x其中1,,k k k x x x 介于0和x 之间. 于是11111212121()d ()2()d d 21d 2kk kk k k nbn ak nx k x k nx k k k k x k nx k k x k b a k B f x x f a b a n n f x f xf f x x x f x x设()f x 在1,k k x x 上的最大值和最小值分别为,k k M m ，因为1323()d 12k k x k x b a x x n 因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据定积分10()d f x x 的定义及牛顿-莱布尼兹公式，得11lim lim ()d ()()n nk k n n k k bab a b am M n n f x x f b f a再根据夹逼准则, 得22()lim ()().24n n b a n B f b f a六、(14分) 设 n a 与 n b 均为正实数列，满足：111a b 且12,2,3,n n n b a b n .又设 n b 为有界数列，证明级数1211nn a a a收敛，并求该级数的和. 【参考解答】：首先，注意到111a b ，且121nn n n b a b b所以当2n 时，有1223222111.n n n a a a b b b b由于 n b 有界，故存在0M ，使得当1n 时，恒有0n b M . 因此111122312220111210,n n n n b a a a b b b n M根据夹逼准则，12lim0nn nb a a a .考虑级数1211nn a a a的部分和n S ，当2n 时，有 112112121121121221112131222nnk k k n kk k k n k k n k k nk a b b S a a a a a a a b b b a a a a a a a a a所以3lim 2n n S ，这就证明了级数1211nn a a a收敛，且其和为32.。

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案一、填空（每小题5分，共20分）.(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续，且2()3lim2xf xx→--存在，则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→，则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x，则()xf x dx'⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、（5分）计算dxdyxyD⎰⎰-2，其中110≤≤≤≤yxD，：.解：dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、（10分）设)](sin[2xfy=，其中f具有二阶导数，求22dxyd.解：)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校：年级：专业：线封密再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且12()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2009年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满意⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并探讨)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满意),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案（非数学类）-无答案2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++??y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，?d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞+。

2009年第一届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)：(1)计算()ln 1d Dy x y x x y æöç++ççòò=____________，其中区域D 由直线1x y +=与两坐标轴所围三角形区域.(2) 设 ()f x 是连续函数，满足22()3()2f x x f x dx =--ò，则()f x =_______.(3) 曲面2222x z y =+- 平行平面 2x +20y z -=的切平面方程是___________.(4) 设 ()y y x =由方程 ()ln 29f y y xee =确定，其中f 具有二阶导数，且 1f ¢¹，则22d d y x=___________.第二题：(5分)求极限 20lim e x x nx xx e e e n æö+++ç÷ç÷ç÷ç÷èø，其中 n 是给定的正整数.第三题：(15分)设函数 ()f x 连续,1()()d g x f xt t =ò，且 0()limx f x A x= ,A 为常数，求()g x ¢并讨论()g x ¢在0x =处的连续性.第四题：(15分)已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y =££££ππ，L 为D 的正向边界，试证：(1)sin sin sin sin d d d d ;yx y xL Lxey ye x xe y ye x ---=-òò(2) sin sin 25d d 2yx Lxe y ye x --³òπ.第五题：(10分)已知21xxy xe e =+ ，2x xy xe e-=+ ，23x xx y xe ee -=+-是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.第六题：(10分)设抛物线 22ln y ax bx c =++过原点，当 01x ££时，0y ³，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为 13. 试确定,,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.第七题：(15分)已知 ()n u x 满足 1()()n xn n u x u x x e -¢=+（n 为正整数），且(1)n eu n=，求函数项级数 1()n n u x ¥=å之和.第八题：(10分)求1x - 时，与2n n x ¥=å等价的无穷大量.2009年第一届初赛（非数学类）试卷及参考答案一、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)：(1)计算()ln 1d Dy x y x x y ⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪⎰⎰=____________，其中区域D 由直线1x y +=与两坐标轴所围三角形区域.【参考答案】,1yu v x=+=,解得()()22111,u v u x y v v---==221221220()ln 1ln d 2(1)d d ln 8162(1)d d 21=.1515uvDD y x y x v x y u u vvu u v vv +∞ ⎪++ ⎪⎪ =-⋅=-=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 设 ()f x 是连续函数，满足220()3()2f x x f x dx =--⎰，则()f x =_______.【参考答案】令2()d A f x x =⎰，2()32f x x A =--()22230032d 284242x A x x x Ax A A ⎡⎤--=--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰所以4423A A A =-⇒=，代入所设函数表达式，得222410()32323.33f x x A x x =--=--=-(3) 曲面2222x z y =+- 平行平面 2x +20y z -=的切平面方程是___________. 【参考答案】曲面在任意点(),,x y z 处的法向量可以取为()(),,1,2,1S x y n f f x y ''=-=-。

第十三届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答(非数学类, 2023年3月25日)一、 填空题(本题满分30分，每小题6分)（1）已知a 和b 均为非零向量，且1=|b |，a 和b 的夹角,4π=a b ，则极限0||||limx x x→+−=a b a .【解】 利用条件：1=|b |，,4π=a b，得|||cos ,|⋅==a b a b |a b a ，所以222222||2||x x x x ++⋅+++a b a a b b a a .因此00||||lim lim x x x x →→+−=a b ax →. （2）极限20ln(1)lim 2xx x x →+−=. 【解】 利用L ’Hospital 法则，得2ln(1)1lim2x x x x →−+=，所以 222[ln(1)]ln(1)00ln(1)ln(1)lim 2lim 1x x x xx x x x x x x x e x x −+−+→→+−+−=+=.（3）积分=.【解】 作变换sec x θ=，则3344sec tan d d sec tan 3412ππππθθθπππθθθ===−=∫∫.（4）设函数()=y y x 由参数方程222,11=++t t x yt t 确定，则曲线()=y y x 在点23，处的曲率κ=.【解】 易知，对应点23，的参数=t . 利用参数方程求导法则，得2d 2d 1=−y t x t ，223223d 2(1)d (1)+=−y t x t . 所以，当=t时，d d =−y x ，223223d 2(1)227d (1)+==−×−y t x t ，因此曲线()=y y x 在23，处的曲率2κ.（5）设D是由曲线1=及两坐标轴围成的平面薄片型物件，其密度函数为(,)ρ=x y ，则薄片物件D 的质量=M .【解】d =+∫∫DMx y . 利用二重积分的对称性，得2(1203d 3d 3d =∫∫∫DM x y x yx .作变量代换：=t ，得1222013d 6(1)d 5==−=∫∫M x t t x . 二、(本题满分12分) 求区间[0,1]上的连续函数()f x ，使之满足1()1(1)()d (1)()d x xf x x yf y y x y f y y =+−+−∫∫.【解】 根据题设条件及等式可推知，函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)1f f ==. ------------ 4分对等式两边求导，得1()()d (1)()(1)()d (1)()xxf x yf y y x xf x y f y y x x f x ′=−+−+−−−∫∫1()d (1)()d x xyf y y y f y y =−+−∫∫，再对上式两边求导得 ()()(1)()()f x xf x x f x f x ′′=−−−=−，即 ()()0f x f x ′′+=. ------------ 4分这是二阶常系数齐次线性微分方程，易知其通解为 12()cos sin f x C x C x =+.分别取0x =和1x =代入上式，得11C =，21cos11tan sin12C −==，因此所求函数为 1()cos tan sin 2f x x x =+⋅ (01)x ≤≤. ------------ 4分三、 (本题满分12分) 设曲面∑是由锥面x =，平面1x =，以及球面2224x y z ++=围成的空间区域的外侧表面，计算曲面积分： 222()()d d ()d d d d f x I x y z y z x z y f xz y x z y f Σ=++ +++ ∫∫ ， 其中()f u 是具有连续导数的奇函数.【解】 设2()f y P x x +=，2()f z Q y x +=，2()f z R z y +=，则[](()()2)P Q Rx y z y x y xy f yz zf ′′+∂∂∂++=+++∂∂∂. 因为奇函数()f u 的导数是偶函数，所以()()f xy f yz ′′+关于y 是偶函数.------------ 4分记Ω是以Σ为边界曲面的有界区域，根据Gauss 公式，并结合三重积分的对称性，得d d d 2d d d P Q R Ix y z x x y z x y z ΩΩ∂∂∂=++= ∂∂∂ ∫∫∫∫∫∫ ------------ 4分222410cos 2d d cos sin d ππϕθϕρϕρϕρ⋅∫∫∫44017cos sin 16d 4cos 22ππππϕϕϕπϕ=−=−=∫. ------------ 4分四、 (本题满分12分) 设()f x 是以2π为周期的周期函数，且,00,0()f x x x x ππ<< = −≤≤，试将函数()f x 展开成Fourier 级数，并求级数121(1)n n n −∞=−∑之和.【解】 函数()f x 在点(21)(012)x k k π=+=±±，，， 处不连续，在其他点处连续，根据收敛定理可知，()f x 的Fourier 级数收敛，并且当(21)x k π≠+时级数收敛于()f x ，当(21)x k π=+时级数收敛于(0)(0)22f f πππ−−++=.------------ 4分下面先计算()f x 的Fourier 系数. 0011()d d 2a f x x x x ππππππ−===∫∫，且 2011(1)1()cos d cos d n n a f x nx x x nx x n ππππππ−−−===∫∫，1,2,n = ， 1011(1)()sin d sin d n n b f x nx x x nx x n πππππ+−−===∫∫，1,2,n = ，因此当(,)x ∈−∞+∞，且,3,x ππ≠±± 时，有121(1)1(1)()cos sin 4n n k f x nx nx n n ππ+∞= −−−=++∑. ------------ 4分 注意到0x =是()f x 的连续点，代入上式得21(1)104n n n ππ∞=−−+=∑， 即 2211(21)8n n π∞==−∑. 又22222111111111(21)(2)84n n n n n n n n π∞∞∞∞====+=+−∑∑∑∑，由此解得22116n n π∞==∑. 最后可得 1222222111(1)111(21)(2)84612n n n n n n n πππ−∞∞∞==−=−=−⋅=−∑∑∑. ------------ 4分【注】 对于最后一步，若只给出结果1221(1)12n n n π−∞=−=∑，则可得2分.五、(本题满分12分) 设数列{}n a 满足：12a π=，11sin 1n n n a a a n +=−+，1n ≥. 求证：数列{}n na 收敛.【解】 利用不等式：3sin 6x x x x −<<02x π <<.首先，易知1160n n a a a π+<<<< (2)n ≥. ------------ 4分故由题设等式得1(1)sin n n n n n n a na a a na +++−>，所以{}n na 是严格递增数列. ------------ 4分其次，由于31122221(1)sin 111(1)()()6()6n n n n n n n n n n n a na a a a a na n a na na na n +++−−−<=<⋅≤+， 所以 12111111(1)6nn k k kk a ka k a k ==+ −< + ∑∑，即 2112111111(1)666n k n a a a n a k π=+−<<⋅+∑，解得 1121(1)16n a n a a π++<−.这就证明了数列{}n na 严格递增且有上界，因而收敛. ------------ 4分六、(本题满分10分)证明：b a a b a b a b +≤+≤+，其中0>a ，0b >，1a b +=.【证】 不妨设1012a b <≤≤<，考虑函数1()x x f x a b −=+，如能证明()f x 在区间(0,]b 上单调减少，则有1()()()2f b f f a ≤≤，不等式得证. ------------ 3分对于(0,]∈x b ，因为1()ln ln x x f x a a b b −′⋅−⋅，221()ln ln 0x x f x a a b b −′′=⋅+⋅>，所以()()f x f b ′′<，故只需证()0f b ′≤，即ln ln baa ab b ⋅≤⋅或ln ln a ba b a b a b≤.------------ 4分容易证明ln xx是(0,]e 上的单调增函数，问题归结为证0a b a b e <<≤，这等价于证ln ln 11a b a b <−−，而这由函数ln 1xx−在(0,1)上单调增加即得. ------------ 3分 【注】 补证函数ln ()1xg x x=−在(0,1)上单调增加. 利用ln(1)x x +<(0)x >，有2111()1ln 1(1)0(1)′=−−+−> −g x x x x ， 所以()g x 在(0,1)上单调增加.七、 (本题满分12分) 设)(=ij A a 为n 阶实矩阵，12,,,ααα n 为A 的n 个列向量，且均不为零. 证明：矩阵A 的秩满足2T1()αα=≥∑niii i ia r A .【证】 注意到用非零常数乘矩阵的列向量不改变矩阵的秩()r A ，故可设T 1αα=i i ，1,2,,= i n ，所以只需证明21()=≥∑n iii r A a ，也即T 21()()α=≥∑ni i i r A e .其中T (0,,0,1,0,,0)= i e 是第i 个分量为1其余分量均为0的n 维列向量.------------ 4分令()=r A k ，则由12,,,ααα n 的任一极大无关组并利用Schmidt 正交化方法，可得标准正交向量组12,,,βββ k . 易知，向量组12,,,ααα n 与12,,,βββ k 等价.对任意1,2,,= i n ，令1αβ==∑ki j j j x ，则由12,,,βββ k 的标准正交性可知，Tβα=j ji x ，1,2,,= j k ，所以T 1()αβαβ==∑ki j i j j ，于是T 1T T()()βααβ==∑ii i kj i j j e e .------------ 4分根据 Cauchy-Schwarz 不等式，并注意到T 2T 1()1βααα===∑kj i i ij ，可得 2T 2T T 222T T 1111T ()())(()()()βαβαβαββ==== =≤=∑∑∑∑k k k k j i j j i j j j i i i j j j i i e e e e ，22T2TT1111()()()()αβββ=======≤∑∑∑∑n k nkj j j i ii i j i j k r eA e .------------ 4分。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。