勾股定理的应用 ppt课件

实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

数学 八年级上册 BS版
03
典例讲练
如图，有一个水池，水面 BE 的宽为16 dm，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水
面2 dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的
高度是 17 dm.
【解析】设水池的深度为 x dm，则 AB ＝ AD ＝（ x ＋2）dm.
由题意，得
【解析】如图，因为侧面对角线 CB2＝32＋42＝25＝52， 所以 CB ＝5 m. 因为 AC ＝12 m， 所以 AB2＝ AC2＋ CB2＝122＋52＝169＝132. 因为 AB ＞0，所以 AB ＝13 m. 所以能放进空木箱中的直木棒最长为13 m. 故答案为13.
如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角 顶点 G 处.若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm， BF ＝6 cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬 行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？
（2）如图，长方体的高是9 cm，底面是边长为4 cm的正方形.一只蚂蚁从点 A 出发， 沿着长方体表面经过3个侧面爬到点 B 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
解：如图，将长方体的三个侧面展开. 在Rt△ ACB 中， AC ＝4×3＝12（cm）， BC ＝9 cm，∠ ACB ＝90°. 由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋92＝152， 所以 AB ＝15 cm（负值舍去）. 故这只蚂蚁爬行的最短路程是15 cm.
BC
＝
1 2
BE
＝8
dm.
在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，由勾股定理，得 AC2＋ BC2＝ AB2，
即 x2＋82＝ （ x ＋2）2，解得 x ＝15.所以 x ＋2＝17.

02
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。

在天文学中，勾股定理可以用于计算 天体之间的距离和角度等。
物理学
勾股定理可以用于解决一些物理问题， 例如在力学和电磁学中，通过直角三 角形的角度和边长关系来计算力和位 移等。
02
勾股定理在几何图形中的 应用
直角三角形中的勾股定理应用
勾股定理在直角三角形中是最 常见的应用场景，它用于确定 直角三角形的三边关系。
VS
详细描述
在数论问题中，勾股定理常常用于证明与 平方数和完全平方数相关的性质和定理。 例如，证明一个数是否为完全平方数、证 明两个数的平方和等于另一个数的平方等。 通过利用勾股定理，可以推导出与平方数 和完全平方数相关的性质和定理，从而解 决数论问题。
勾股定理在几何问题中的应用
总结词
勾股定理在几何问题中的应用主要涉及与直角三角形和三角形面积相关的性质和定理。
详细描述
在几何问题中，勾股定理常常用于证明与直角三角形和三角形面积相关的性质和定理。 例如，证明直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半、证明三角形的面积等于底边和 高的乘积的一半等。通过利用勾股定理，可以推导出与直角三角形和三角形面积相关的
性质和定理，从而解决几何问题。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在解析几何中的应用
在直角三角形中，直角边的平
方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和 $b$是直角边，$c$是斜边。
勾股定理在解决实际问题中非 常有用，例如建筑、航海和航 空等领域。
勾股定理在三角形面积计算中的应用
勾股定理也可以用于计算三角形的面积。
已知三角形的三边长度，可以利用勾股 定理求出三角形的面积。
勾股定理在三角函数中还常用于解决 与三角函数图像、性质、变换等相关 的几何问题。

落在斜边AB上（折痕为AD,点C落在点E处），
已知AC=6c解m,：BC由=8已cm知,求得CD的长
AE=AC,DE=CD,∠AED=∠C=∠DEB=90º
A
∵AC=6cm,BC=8cm,∠C=90º
∴AB=10cm
E
设CD=xcm,则
DE=xcm,BE=4cm,DB=(8-x)cm
C
D
B 在RtΔDEB中，由勾股定理得
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
的长。
3.如图，折叠长方形纸片ABCD,使点 D落在边BC上的点F处（折痕为AE）. 已知AB=DC=6cm,AD=BC=10cm,求EC
的长。
3.3 勾股定理的简单应用
• 例2 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20， BC边上的中线AD＝24，求AC.
A
BD
C
解:∵AD是BC边上的中线， ∴B∵DA＝D2C＋DB＝D122＝B5C7＝6＋121×002=06＝761，0． AB 2＝262＝676，
意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺）， 中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试 问折断处离地面多高？
3.3 勾股定理的简单应用
解：如图，我们用线段OA和线段 A
AB来表示竹子，其中线段AB表示
竹子折断部分，用线段OB来表示 X 竹梢触地处离竹根的距离．设OA

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
怎样计算AB的长？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AA’2 +A’B2 =AB2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
把空间几何图形转化为平面几何问题的步骤： 1.展开图形 2.找出对应点 3.应用勾股定理
二、利用勾股定理的逆定理判断线段垂直： 用刻度尺量出所构造的三角形的三边的长，看是
否满足两边的平方和等于第三边的平方，满足就有直 角（即线段垂直）。
当堂训练（10分钟）
1.课本第14页随堂练习1； 2 .课本第14页习题1.4的第1、2、4题。 3.课本第15页问题解决的第5题。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5

蚂蚁想吃到B点处的糖。
A
（1）蚂蚁从A点爬到B点可能有哪些路线？
同桌讨论后，在自己的圆柱上画出来。
2020-11-9
感谢你的观看
4
一个圆柱， （1）蚂蚁从A点爬到B点可能有哪些路线？
B
①A′
②
B’
A
B A′
③
A
（2）路线① 、 ② 、 ③中最短路线是什么？
2020-11-9
感谢你的观看
5
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展
勾股定理应用
西安科技大学附中
刘霞
2020-11-9
感谢你的观看
1
怎样走最近？
2020-11-9
感谢你的观看
2
1、你知道勾股定理的内容吗？
2、一个三角形的三条边分别为 a、b、c（c>a，b），如何判断 是否直角三角形？
2020-11-9
感谢你的观看
3
一个圆柱，
B
下底面的A点有一只蚂蚁，上底
面上与A点相对的B点处有粒糖，
若探究2中的长方体长、宽、
高分别为a，b，c，且a＞b＞c，
找出沿正方体表面从点A到点B的 最短路径，并说明理由．
d 2 a2 bc 2
最短 路径
最大 棱长
2020-11-9
感谢你的观看
8
若在一个长3cm、宽1cm、 高2cm的长方体相对的两个顶
点分别有一只昆虫和糖，请找 出它应走的最短路线？
的最短距离为
cm．
2020-11-9
感谢你的观看
12
小结
本节课你学到了什么？
2020-11-9
感谢你的观看
13
2020-11-9
感谢你的观看

24m，高为
6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为
.
选做题
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 为12cm ,8cm,30cm，在AB中点C处有一滴蜜 糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，则最短路程 是多少？
A
D
.C
30
B
8 12
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
数学思想：
本节课充分利用了数学中的转化思想，即将 立体图形转化为平面图形。
七、当堂检测，达标反馈 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
分层检测 ☞
必做题
1、有一圆柱体如图，高8cm，底面半径5cm，A处 有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最 短距离（π取值为3）
五、知识总结
这节课你学习了什么内容？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谈谈这节课你的收获
这节课主要是应用勾股定理来解决路程最短问题。 数学方法：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之 间线段最短”的性质找出最短距离，构造直角三 角形，运用勾股定理解决问题。
最短距离问题小结
（1）将立体图形转化为平面图形，画出适当的示意图 。 （2）找准点的位置，根据“两点之间，线段最短” 确定行
走路线，找到最短路径。
（3）以最短路径为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
B

OB ________2_.7__5___1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD2 _C__D_2___O_C__2___3_2 __2_2___5___,
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
(2)、(3)两题结果精确到0.1
ac
b
C
a2 b2 c2
A
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理的应用
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角
边a、b的平方和等于斜
B
边c的平方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
知识回忆 ：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
C
:BC
:AB=
1:1:√2 . 若AB=8则AC= 4 2 .
又若CD⊥AB于D,则CD= 4√2 .
B
D

B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022