下载文档原格式
勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。
2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。
启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。
二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。
三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
【难点】：查找长方体中最短路线。
四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。
教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。
五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。
思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。
【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。
17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。
三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。
2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。
（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。
（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。
专题：巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解•【例1】直角三角形纸片的两直角边AC= 8, BC= 6,现将△ ABC如图折叠，折痕为DE 使点A与点B重合，则BE的长为.1. （2017 •黔西南）如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCDff叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH,则线段AF的长是第1题图第2题图2•如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF= 3,则A吐 -------- .类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解.【例2】（教材P39T12变式与应用）如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm,底面半径等于3 cm,在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n取3）【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的AA剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.针对训练3. 如图是一个高为10 cm,底面圆的半径为4 cm的圆柱体.在AA上有一个蜘蛛Q, QA=3 cm；在BB上有一只苍蝇P，PB= 2 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是(结果用带n4. 如图，在一个长为2 m宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是——(精确到o.oi m.5. 如图，长方体的高为5 cm底面长为4 cm,宽为1 cm(1)点A i到点G之间的距离是多少?(2)若一只蚂蚁从点A爬到C,则爬行的最短路程是多少?1. （2017 •广州）如图，E, F 分别是？ ABC ［的边AD , BC 上的点，EF = 6,/ DEF= 60 将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ', ED 交BC 于点6则厶GEF 的周长为（）A. 6B. 12C. 18 2. （2017 •舟山）一张矩形纸片ABCD 已知A 吐3, AD= 2,小明按下图步骤折叠纸片, 则线段DG 长为（）4. 如图，OAB（是一张放在平面24A.2 C. 1 D. 2 3. （2017 •南宁）如图，菱形ABC ［的对角线相交于点 O, AO2, BD= 23,将菱形按如图 方式折叠，使点 专题练习D CA B B. 22 E H H r EB 与点O 重合,直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA= 5, OC= 4.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折, 使点O落在BC边上的点E处.求D, E两点的坐标.5. （2017 •鄂州）如图，将矩形ABC即对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.⑴求证：△ AFE^A CDE⑵若AB= 4, BO 8,求图中阴影部分的面积.6. （2017 •济宁）（教材P34 “活动1”的变式）实验探究：⑴如图1,对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM同时得到线段BN MN请你观察图1,猜想/ MBN勺度数是多少，并证明你的结论；⑵将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论.专题：解决特殊平行四边形中折叠冋题的4种方法? 方法一用方程思想解决特殊平行四边形中的折叠问题1 •如图1-ZT—1,将矩形ABCDS EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上•若A吐6, BO9,贝U BF的长为（）D fA. 4B. 3 2C. 4.5D. 5 2•把一张矩形纸片（矩形ABCD按如图1 —ZT—2所示的方式折叠，使顶点B和点D重合,折痕为EF.若A吐3 cm BO 5 cm,则重叠部分△ DEF的面积是 ____________ m.图1—ZT—23. 如图1—ZT—3,将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE 且点D落在对角线D'处.若AB= 3, AD= 4,则ED的长为（）A32 B. 3 C. 1 D.434. 如图1—ZT—4,折叠矩形ABCD勺一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE= 5 5 cm 且EC： FO BF： A吐3 : 4.那么矩形ABCD勺周长为________ m5. 如图1—ZT—5,在矩形ABC冲，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG// CD交AE于点G,连接DG.（1）求证：四边形DEFG为菱形；⑵若CD= 8, CF= 4,求CEDE勺值.图1—ZT? 方法二用数形结合思想解决特殊平行四边形中的折叠问题6. 如图1— ZT — 6,在矩形ABCD 中，A 吐4, BO6, E 为BC 的中点，将△ ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF,贝U CF 的长为（ ）A95 B.125 C.165 D.1857•如图1 — ZT — 7,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD&直线AE 折叠（点E 在边DC上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为（10, 8），则点E 的坐标为8. 如图1— ZT — 8,在矩形ABCD 中 AB= 6 cm, E, F 分别是边BC, AD 上一点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C, D 分别落在点C', D'处.若C E 丄AD 贝U EF 的长为______ m9. _________________________________________________________________ 如图1— ZT — 9,在矩形ABCOK OA 在 x 轴上，OC 在y 轴上，且OA= 2, A 吐5,把 △ ABC 沿着AC 对折得到厶AB C, AB 交y 轴于点D,则点D 的坐标为 ________________________ .10. 如图1 — ZT — 10,在矩形ABCD 中, E 是边CD 的中点，将△ ADE 沿AE 折叠后得到△AFE 且点F 在矩形ABCD 内部.将 AF 延长交边BC 于点G,若CGG 号1k ，贝U ADAB图 1— ZT — 6A图1—ZT—1011 •如图1 —ZT—11，将矩形ABCD& DE折叠，使顶点A落在DC上的点A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处•再将矩形ABCDS CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1) 求证：EG= CH(2) 已知AF= 2，求AD和AB的长.图 1 —ZT—11? 方法三用转化思想解决特殊平行四边形中的折叠问题12. 如图1 —ZT—12,将矩形ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH EH= 12 cm, EF= 16 cm,则边AD的长是()A. 12 cmB 16 cmC 20 cmD 28 cm13. 如图1—ZT—13，已知正方形ABCD勺对角线长为2 2,将正方形ABCDS直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A. 8 2B. 4 2C. 8D. 614•如图1 —ZT—14，正方形纸片ABCD勺边长为8,将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为_________ .C f?方法四用分类讨论思想解决特殊平行四边形中的折叠问题15.如图1 —ZT—15,在矩形ABCD中, A吐3, BO4, E是BC边上一点，连接AE把 /B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△ CEB为直角三角形时，求BE的长.图1—ZT。
第3节勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线长图形中，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路径不一定是两点间的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．【例1】如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面的直径，高BC=6 ，点P是母线BC上一点，且PC=32BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，求蚂蚁爬行的最短距离．特别提醒：在棱柱上确定不同面上的两点间的最短距离时，要把棱柱展开成平面图形，展成不同的面，可能得到不同的路线，要比较后再确定最短距离．拓展：在曲面上确定最短路线，一般沿着出发点或终止点所在的母线展开．解题模板：知识点二利用勾股定理的逆定理解决实际问题在实际生产、生活中常碰到两直线是否垂直的问题，即判断这两条直线构成的角是不是直角．若身边没有测量直角的工具，则可构造三角形，通过测量三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形，从而判断该角是不是直角．【例2】某校两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一小组的行走速度为30 m/min ，第二小组的行走速度为40 m/min ，两组行走的路线为直线且为不同的路线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1 500 m.请你判断一下两组同学行走的路线是否垂直，并说明理由．总结：勾股定理及其逆定理解决实际问题的两种思路思路1：若能抽象出直角三角形，可以直接利用勾股定理解决实际问题；思路2：若不能抽象出直角三角形，需要先运用勾股定理的逆定理来验证三角形是否为直角三角形，再利用勾股定理解决实际问题．题型一立体图形上的最短距离问题角度1、确定长方体（或正方体）上的最短路线长度如图，已知长方体的长AC =2 cm，宽BC =1cm，高AA'=4 cm一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B＇点，那么沿哪条路线爬行最近？最短路程是多少？c1.如图，一块长方体砖宽AN=5 cm 长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD = 8 cm，地面上A 处有一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路程是多少？解后反思：对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的两定点的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．本题易出现只考虑其中的一种情形，而忽视了另外两种情形的错误角度2、立体图形中最短缠绕长度问题【例 2】我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如示意图所示，把枯木看做一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，问葛藤的最短长度为多少．2.如图所示，有一根高为2 m 的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕七圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？方法技巧：应用勾股定理建模，求解最短缠绕问题立体图形中不论是路线长还是绳长问题，都需要将立体图形展开转化为平面图形，在平面图形上将“路线长”或“绳长”转化为两点间的距离，再借助直角三角形，利用勾股定理建模求解．题型二利用勾股定理解决实际问题【例3】如图1.3-9，某地方政府决定在相距50 km的A ,B 两站之间的公路旁E点修建一个土特产加工基地，且使C,D 两村到E点的距离相等．己知DA⊥AB 于点A ,CB⊥AB 于点B ,DA=30 km,CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？变式训练：3、一游泳池长为48 m，小方和小朱进行游泳比赛，从同一起点同时出发．小方的平均速度为3 m/s,小朱的平均速度为 3.1 m/s.小朱沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14 m按各人的平均速度计算，谁先到达终点？规律总结：勾股定理及其逆定理的应用知多少（1）解决两点问距离问题：正确画出图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边； （2）解决航海问题：理解方位角的概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或逆定理解题； （3）解决实际问题中两线段是否垂直问题：以已知的三条边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题；（4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题（5）解决梯子问题：梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用 勾股定理的知识解题； （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．典型高频题1.如图1，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. 5 m B.12 m C.13 m D.18 m图1 图22.如图 2，一轮船以 16 n mile/h 的速度从港 口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mile/h 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开 港口2 h 后，则两船相距（ ） A.25 n mile B.30 n mile C.40 n mile D.50 n mile3.图3是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度 都是 30 cm ，每个台阶的高度都是15cm ，连接 AB ，则 AB 等于（ ）A. 195 cmB.200 cmC.205 cmD.210 cm图3 图4 4.如图4，一圆柱高为8 cm ，底面圆半径为6cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm5.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100 cm,15 cm 和10 cm,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为_________ cm.图5 图66.如图6所示，一个梯子AB长为2.5 m，顶端A 靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为0.5 m，则梯子顶端A下落了_____m.7.如图7 是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．8.将一根长为22 cm的筷子置于底面直径为5 cm ,高为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h 的取值范围是__________（提示：圆柱的母线与底面直径都垂直）．9..如图9、在一根长为90 cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4 cm，影色丝带均匀地缠绕了30 圈，则彩色丝带的总长度为_______cm.图910.如图10，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100 km 的B 处有一台风中心，沿BC方向以20 km/ h 的速度向D 移动．巳知城市A到BC的距离AD=60 km，那么台风中心经过多长时间将从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？图10。
