辽宁省葫芦岛一中2017-2018学年高二下学期3月期初考试数学(文)试卷(word版含答案)

2017-2018学年度第二学期期中考试高二年级数学(文科)试题满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，则=（）A. +B. ﹣+C. ﹣D. ﹣﹣2.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A. B. C. D.3.若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B.a2b2 C. D. a|c|＞b|c|4.设(x1,y1)，(x2,y2)，(x n,y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A. x和y的相关系数在﹣1和0之间B. x和y的相关系数为直线l的斜率C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D. 所有样本点（x i,y i）（i=1，2，…，n）都在直线l上5.曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线斜率为（）A. eB. 2eC. 1D. 26为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为6，驸临界值表如下：K2K0.05 0.01 0.00P（）0.0015K 3.84 6.63 7.87 10.82- 1 -1 5 9 8则下列说法正确的是（）A. 有95%的把握认为“X和Y有关系”B. 有95%的把握认为“X和Y 无关”C. 有99%的把握认为“X和Y有关系”D. 有99.9%的把握认为“X和Y 有关系”7.若且满足，则的最大值是( )A. 2B.C. 3D.8.设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于29.参数方程( 为参数)所表示的曲线是( )A. B. C. D.10.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过龙潭大峡谷、九门口长城、乌金塘水库三个景区时，甲说：我去过的景区比乙多，但没去过九门口长城；乙说：我没去过乌金塘水库；丙说：我们三人去过同一景区；由此可判断乙去过的城市为（）A. 龙潭大峡谷B. 乌金塘水库C.龙潭大峡谷和九门口长城D.龙潭大峡谷和乌金塘水库11.若关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＞5的解集为R，则实数m的取值范围是（）A. （﹣3，7）B. （﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）C. （﹣∞，﹣3）∪（7，+∞）D. （﹣7，3）12.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＞e x的解集为（）A. （﹣∞，0）B. （0，+∞）C. （1，+∞）D. （4，+∞）- 2 -第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4个小题,每小题 5分，共 20分.13.在极坐标系中，以 A （0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________． 14.不等式的解集________．15.观察下列式子：1312 ，根据以上13 2332 ,13233362 ,13233343102,式子可猜想： 13 23 33n 3 =________.16.已知函数 f （x ）= ，函数 g （x ）= -f （1﹣x ），则函数 y=f （x ）﹣g （x ）的零点的为____ 个三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 100名六年级学生进行了问卷调查得到 如图联表．且平均每天喝 500ml 以上为常喝，体重超过 50kg 为肥胖．已知在全部 100人中随 机抽取 1人，抽到肥胖的学生的概率为 0.7．常喝不常喝合计肥胖 50不肥胖 20合计100K 2 K 0.05 0.02 P （）0.01 0.00 0.00150 5K3.84 05.026.637.87 10.82 14598（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有 95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由． 附：参考公式： K 2 =- 3 -18. （本小题满分12分）某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据。

2017-2018学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z 满足iz=1+2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．在用反证法证明“在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”的过程中，应该假设（ ）A ．∠A 和∠B 都不是锐角 B ．∠A 和∠B 不都是锐角C ．∠A 和∠B 都是钝角D ．∠A 和∠B 都是直角3．A ﹣C等于（ ）A ．0B ．﹣10C ．10D ．﹣404．已知a ，b ，c ∈R ，c ≠0，n ∈N *，下列使用类比推理恰当的是（ ） A ．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b” B ．“（ab ）n=a n b n”类比推出“（a+b ）n=a n+b n” C ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“=+”5．已知函数f （x ）=6﹣x 3，g （x ）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（ ） A ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e xB ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x﹣1 C ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x D ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e x ﹣16．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ） A ．24 B ．72 C ．144 D ．2887．函数f （x ）=lnx ﹣4x+1的递增区间为（ ）A ．（0，）B ．（0，4）C ．（﹣∞，）D ．（，+∞）8．已知函数f （x ）=cos （3x+），则f′（）等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．100011．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣312．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= ．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= ．15．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出的坐标得答案．【解答】解：由iz=1+2i，得z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．A﹣C等于（）A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40【考点】D4：排列及排列数公式；D5：组合及组合数公式．【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．【解答】解：原式=A﹣==10．故选：C．4．已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”【考点】F3：类比推理．【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a•5=b•5，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于C：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，故选：D．5．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24 B．72 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体，并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．7．函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A8．已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），当且仅当x=1时上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．则tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故选：A．10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．1000【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．11．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，求出a的值即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′（x）=x+2﹣，令f′（x）＞0，解得：1＜x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）==，解得：a=﹣1，故选：B．12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标（），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= 5 ．【考点】A8：复数求模．【分析】先求出z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，∴|z|==5．故答案为：5．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的导数公式直接求导即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，则f′（1）=e+2﹣e=2，故答案为：215．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．【考点】67：定积分．【分析】将被积函数变形，两条定积分的可加性以及微积分基本定理求值．【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案为：．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣5三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理，分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限求值．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据求导公式求出f（x）的导数即可；（2）求出切线的斜率f′（2），从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）在[0，1]上的值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0得x=﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min=f（0）=5，f（x）max=f（0）=e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a+6a3x+12，令x=0，可得a2．2（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，代入（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）即可得出．【解答】解：（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③、将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；③、将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3=105种分配方案；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C74×C32×C11=105种分组方法，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况，则一共有105×6=630种分配方案．22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）e x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e x，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．。

辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，]D．[﹣，]2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．35．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=27．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．88．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．119．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．211．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．312．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为__________．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=__________．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为__________．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是__________．（把你认为正确的结论都填上）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生__________ __________ __________住校生__________ 10 __________合计__________ __________ __________据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4—4】坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【选修4—5】不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．[﹣，]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由P与Q，求出两集合的交集即可．解答：解：∵P=[0，+∞），Q=[﹣，]，∴P∩Q=[0，]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的运算法则求解即可．解答：解：复数z满足（1+2i）z=4+3i，两边求模可得：|1+2i||z|=|4+3i|，可得|z|=5，∴|z|=．故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．2考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答：解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第9次执行循环体后，i=9，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第10次执行循环体后，i=10，S=lg，满足S＜﹣1，故输出的i值为10，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：OA的中点是M，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解答：解：OA的中点是M，则∠CMO=90°，半径为OA=rS扇形OAB=πr2，S半圆OAC=π（）2=πr2，S△OmC=××=r2，S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2，图中无信号部分的面积为πr2﹣r2﹣（πr2﹣r2）=πr2﹣r2，∴无信号部分的概率是：．故选：A．点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，∴PB===，AC===，BC==，PC===，∴PB最长，长度为．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．12．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．解答：解：因为f′（x）===，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故选A．点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为（﹣∞，﹣2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=、g（x）=x2﹣4，因为y=单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的减区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案．解答：解：∵，∴要使得函数有意义，则x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，∴的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的单调递减区间，g（x）=x2﹣4，开口向上，对称轴为x=0，∴g（x）=x2﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0），又∵的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为、﹣．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答：解：∵f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是③④．（把你认为正确的结论都填上）考点：的真假判断与应用．专题：阅读型；概率与统计；集合；简易逻辑．分析：对三个关系一一判断，结合集合中元素的性质，计算即可判断①；考虑抛物线和指数函数的图象的交点最多有2个交点，即可判断②；运用类似一次函数的单调性，即可判断③；取x=0，即可判断p假，进而判断④．解答：解：对于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，则①错误；对于②，∃a∈R+，f（x）=﹣a，令f（x）=0则有﹣x2﹣x+1=ae x，由于y=﹣x2﹣x+1为开口向下的抛物线，y=ae x为下凹的指数函数图象，它们最多有2个交点，则②错误；对于③，设直线回归方程为=3﹣2x，由一次函数的单调性，可得变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位，则③正确；对于④，若x=0，则e x=x+1=1，即有p为假，则￢p为真，则④正确．故答案为：③④．点评：本题考查集合中元素的性质和函数的零点的个数，同时考查复合的真假和线性回归方程的特点，运用函数方程的转化思想和函数的性质是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；（2）把等差数列的前n项和代入b n=，列项和求出b1+b2+…b n，放缩后得答案．解答：（1）解：由a4+a8=22得：a6=11，又a3=5，∴d=2，则a1=a3﹣2d=1．∴a n=2n﹣1；S n=═n2 ；（2）证明：b n===，当n=1时，b1=，原不等式成立；当n≥2时，b1+b2+…+b n==＜=．∴b1+b2+…+b n＜．点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，分析：BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC⊂平面AEC，∴BF⊥AC…（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF•AE=AB•BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE=••••1=…点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生30 15 45住校生45 10 55合计75 25 100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．解答：解：（1）设第i组的频率为P i（i=1，2，…，8），由图可知：P1=，P2=，∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n×=5∴n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，∴第④组的高度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生30 15 45住宿生45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2==≈3.030，因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，∴P（A）=，即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．解答：解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，代入椭圆方程中，得，解得y=±由题意，得，得．…②联立①、②，得，b2=2，故椭圆C的方程为．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．|MN|===．设原点O到直线MN的距离为d，则，∴S△MON=•|MN|•d=•．==，当t=2时，S△MON有最大值，此时，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx ﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．解答：解：（1）f（x）=ax+，导数f′（x）=a﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0，解得：a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），则h′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，h′（x）=＞0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0 则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和二次方程的韦达定理及求根公式是解题的关键．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4—4】坐标系与参数方程。

辽宁省葫芦岛一中2017-2018学年高一下学期3月期初考数学试卷第I 卷一、选择题1．满足条件{}M ⊆3,2,1{}6,5,4,3,2,1的集合M 的个数是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 52．设l n m ,,为空间不重合的直线， ,,αβγ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（ ）①l n l m //,//，则n m //； ②l n l m ⊥⊥,，则n m //；③若//,//,//m l m l αα则； ④若l ∥m ， l α⊂， m β⊂，则α∥β； ⑤若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则 ⑥//,//αγβγ，则//αβA. 0B. 1C. 2D. 33．已知集合{})4lg(2x y R x A -=∈=，{}0,3>==x y y B x 时，则=B A （ ）A.{}12<<-x xB.{}21<<x xC. {}2>x xD.{}212><<-x x x 或 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A. 12B. 9C. 6D. 365．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=，则m =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时， ()22f x x x =-，则当0x <时，函数()f x 的解析式为（ ）A. ()()2f x x x =-+B. ()()2f x x x =-C. ()()2f x x x =--D. ()()2f x x x =+7．若存在]3,2[-∈x ，使不等式a x x ≥-22成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.]1,(-∞B.]8,(--∞C.),1[+∞D.),8[+∞-8．已知7.0log ,7.0,3337.0===c b a ，则c b a ,,的大小顺序为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. a b c <<9．函数)10)(1(log <<-=a x y a 的图像大致是（ ）A. B. C. D.10．x y 2=与x y 2log =的图象关于( )A. x 轴对称B. 直线x y =对称C. 原点对称D. y 轴对称11．对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为 （ ）A.2B.1C.0D.1-12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，且在[]1,2上是减函数，则（ ） A. )3()23()21(f f f <-< B. )21()23()3(f f f <-< C. )23()3()21(-<<f f f D. )23()21()3(-<<f f f 第II 卷二、填空题13．过圆222=+y x 上一点)1,1(作圆的切线，则切线方程为__________．14．已知直线01:;02:21=++=-+y mx l my x l ，若21l l ⊥，则=m __________．15．若直线2y x =+与曲线2(0)y m x m =->恰有一个公共点，则实数m 的取值范围为________． 16．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是棱1CC AB 、的中点，P MB 1∆的顶点P 在棱1CC 与棱11D C 上运动，有以下四个命题：A ．平面P MB 11ND ⊥； B ．平面P MB 1⊥平面11A ND ；C ．∆P MB 1在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆P MB 1在侧面CD C D 11上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.三、解答题17．设全集为U =R ，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．已知点),1(a A ，圆422=+y x .(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值．19．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知AD AB ⊥，DC AD ⊥，⊥PA 底面ABCD ，且1,2====DC AD PA AB ，M 为PC 的中点，N 在AB 上，且AN BN 3=.（1）求证：平面⊥PAD 平面PDC ；（2）求证：//MN 平面PAD ；（3）求三棱锥PBD C -的体积.20．已知a ∈R ,函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0,110,11x x a x x x f . （Ｉ）证明：函数()x f 在()∞+，0上单调递增；（Ⅱ）求函数()x f 的零点．21．如图，在矩形ABCD 中， 2,1BC AB ==， PA ⊥平面ABCD ，1//,2BE PA BE PA =， F 为PA 的中点.（1）求证： //DF 平面PEC ；（2）记四棱锥C PABE -的体积为1V ，三棱锥P ACD -的体积为2V ，求12V V .22．设函数c bx ax x f ++=2)(满足2)1(a f -=,且b c a 223>>． （1）求证0>a ，并求ab 的取值范围； （2）证明函数()f x 在()0,2内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围．【参考答案】1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A8．D 9．A 10．B 11．D 12．B13． 14．0 15．m ＞4或m =2 16．BC17．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， 又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ；（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立；② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， 综上：1-≥a .18．解：(1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3. 当a ＝3时，A (1， 3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0， ∴a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0，a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为 x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ，a ＝b －1.又圆心到直线的距离d ＝2b，∴(2b)2＋(232)2＝4. ∴b ＝±2 .∴a ＝±2－1.19．（1）证明：∵底面，底面，故； 又，，因此平面，又平面，因此平面平面.（2）证明：取的中点，连接，则，且，又，故. 又，，，又. ∴，，且，故四边形为平行四边形， ∴MN AE //，又平面，平面，故平面.（3）解：由底面，∴的长就是三棱锥的高，. 又， 故.20．（Ｉ）证明：在()0,+∞上任取两个实数12,x x ,且12x x <,则()()12121111f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111x x =-1212x x x x -=． ∵120x x <<, ∴12120,0x x x x -<>． ∴12120x x x x -<, 即()()120f x f x -<. ∴()()12f x f x <． ∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增．（Ⅱ）解：(ⅰ)当0x >时, 令()0f x =, 即110x-=, 解得10x =>. ∴1x =是函数()f x 的一个零点．（ⅱ）当0x ≤时, 令()0f x =, 即()110a x -+=．(※)①当1a >时, 由(※)得101x a =<-,∴11x a=-是函数()f x 的一个零点； ②当1a =时, 方程(※)无解；③当1a <时, 由(※)得101x a=>-,(不合题意,舍去) 综上, 当1a >时, 函数()f x 的零点是1和11a -； 当1a ≤时, 函数()f x 的零点是1．21. 解：（1）连接EF ，∵BE AF ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴EF AB ， 在矩形ABCD 中， EF AB ，∴EF CD ，∴四边形CDFE 为平行四边形， ∴//DF EC .又⊄DE 面PEC ,⊂CE 面PEC∴//DF 平面PEC .（2）连接PB ，由题意知， P ACD P ABC C PAB V V V ---==， ∴()12132122PABE PAB EB PA AB V S V S AB PA ∆⋅+⋅===⋅⋅. 22.解：（1）由题意得2a a b c ++=-，3220a b c ∴++=，又322a c b >>，0a ∴> ，由232c a b =--，得3322a a b b >-->，0a >，223b b a a ∴-->３＞，得334b a -<<- ； （2）(1)02a f =-<，(0),(2)42f c f abc ==++， 又3220a b c ++=，(2)f a c ∴=-，若0,c >则(0)(1)0f f <，()f x 在()0,1上有零点；若0,c ≤则(2)0,(1)(2)0f f f ><，()f x 在(),１２上有零点，∴ 函数()f x 在()0,2内至少有一个零点；（3）1212,b c x x x x a a+=-=，12x x ∴-=，334b a -<<-，∴12x x -。