第1章 函数、极限与连续§1.1 函数习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)1y x =(2)y =； (3)1arcsin 2x y -=；(4)1arctan y x =；(5)y =； (6)21log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+；(8)arcsin lg 10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？(1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x =与2()g x =；(3)21y x =+与21x y =+；(4)y =y x =；(5)y =y = (6)1y =与22sec tan y x x =-．3．设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧ <⎪⎪=⎨⎪ ≥ ⎪⎩，求6πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)ϕ-，并作出函数()y x ϕ=的图形．4．试证下列函数在指定区间内的单调性： (1), (,1)1x y x=-∞-； (2)3ln ,(0,) y x x =++∞． 5．设()f x 定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明：()f x 在(,0)l -内也单调增加．6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(1)22(1)y x x =-； (2)233y x x =-； (3)2x xe e y -+=； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+．8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =；(4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+．9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界．10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数．11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数．12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数．§1.2 初等函数习题1-21．求下列函数的反函数：（1）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d +=-≠+； （3）11x y x-=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭； （6）221x x y =+． 2．设1,0()0,00x f x x x <⎧⎪= =⎨⎪1, >⎩，求2(1),(1)f x f x --．3．设函数3()f x x x =-，()sin 2x x ϕ=，求,{[(1)]}12f f f f πϕ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 4．设()1x f x x=-，求[()]f f x ，{[()]}f f f x ． 5．在下列各题中，求由给定函数复合而成的复合函数：（1）2,ln ,3x y u u v v ===； （2）1x y u e ==-； （3）2ln ,1,tan y u u v v x ==+=；（4）sin ,21y u u v x ===-； （5）22arctan ,y u u v a x ===+．6．下列函数是由哪些函数复合而成的？（1）sin 2y x =； （2）y = （3）2sin x y a =；（4）ln[ln(ln )]y x =； （5）23(1ln )y x =+； （6）2cos y x =7．设()f x 的定义域是[0,1]，求（1）2()f x ； （2）(sin )f x ； （3）(ln )f x ； （4）f 的定义域．8．已知2152f t t t⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f t ，2(1)f t +． 9．已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x ． 10．已知[()]1cos f x x ϕ=+，()sin2x x ϕ=，求()f x ． 11．()sin f x x =，2[()]1f x x ϕ=-，求()x ϕ及其定义域．12．设()ln G x x =，证明：当0x >，0y >时，下列等式成立（１）()()()G x G y G xy +=； （2）()()x G x G y G y ⎛⎫-=⎪⎝⎭． 13．分别举出两个初等函数和两个非初等函数的例子． §1.3 常用经济函数习题1-31．火车站行李收缴规定如下：当行李不超过50kg 时，按每千克0.15元收费，当超出50kg 时，超重部分按每千克0.25元收费，试建立行李收费()f x （元）与行李重量x （kg ）之间的函数关系．2．某人手中持有一年到期的面额为300元和5年到期的面额为700元两种票据，银行贴现率为7％，若去银行进行一次性票据转让，银行所付的贴息金额是多少？3．市场中某种商品的需求函数为25d Q P =-，而该种商品的供给函数为204033s Q P =-，试求市场均衡价格和市场均衡数量． 4．某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：(1)成本函数和固定成本；(2)产量为200时的总成本和平均成本．5．设某商品的需求函数为10005Q P =-，试求该商品的收入函数()R Q ，并求销售量为200件时的总收入．6．某工厂生产电冰箱，每台售价1200元，生产1000台以内可全部售出，超过1000台时经广告宣传后，又可多售出520台．假定支付广告费2500元，试将电冰箱的销售收入表示为销售量的函数．7．设某商品的需求量Q 是价格P 的线性Q a bP =+，已知该商品的最大需求量为40000件（价格为零时的需求量），最高价格为40元/件（需求量为零时的价格）．求该商品的需求函数与收益函数．8．某商品的成本函数（单位：元）为813C Q =+，其中Q 为该商品的数量．试问：(1)如果商品的售价为12元/件，该商品的保本点是多少？(2)售价为12元/件时，售出10件商品时的利润为多少?(3)该商品的售价为什么不应定为2元/件？9．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元．(1)将每台的实际售价P 表示为订购量x 的函数；(2)将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数；(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？10．设某商品的成本函数和收入函数分别为2()72C Q Q Q =++，()10R Q Q =， (1)求该商品的利润函数；(2)求销售量为4时的总利润及平均利润；(3)销量为10时是盈利还是亏损？11．求上题中商品的盈亏平衡点，并说明该商品随销售变动的盈亏状况．12．某商品的需求函数为114 1.5Q P =-．供给函数为245Q P =-，其中价格P 的单位为元，求：(1)市场均衡价格；(2)若每销售一单位商品，政府收税1元，此时的均衡价格．§1.4 数列的极限习题1-41．观察一般项n x 如下的数列{}n x 的变化趋势，写出它们的极限： (1)15n n x =；(2)21(1)n n x n =-；(3)616n x n =+；(4)2232n n x n -=+；(5)3(1)n n x n =-． 2．利用数列极限的定义证明： (1)1lim0k n n →∞= (k 为正常数)； (2)414lim 515n n n →∞+=-； (3)22lim sin 02n n n n →∞+=-． 3．设数列{}n x 的一般项1cos 2n n x n π=．问lim ?n n x →∞=求出N ，使当n N >时，n x 与其极限之差的绝对值小于正数ε．当0.001ε=时，求出数N ．4．设11sin 2n n a n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，证明数列{}n a 没有极限． 5．证明：若lim n n x a →∞=，则lim n n x a →∞=．反之是否成立？ 6．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0n n n x y →∞=．7．对数列{}n x ，若21lim k k x a -→∞=，2lim k k x a →∞=，证明：lim n n x a →∞=． §1.5 函数的极限习题1-51．在某极限过程中，若()f x 有极限，若()g x 无极限，试判断：()()f x g x ⋅是否必无极限．若是，请说明理由；若不是，请举反例说明之．2．当2x →时，24y x =-．问δ等于多少，使当 |2|x δ-<时，|4|0.001y -<？3．设函数211x y x -=-，问|1|x δ-<中的δ等于多少时，有|2|0.5y -<？ 4．利用函数极限的定义证明： (1)232lim33x x x →∞+=； (2)lim 0x =； (3)21lim 11x x →=-； (4)2211lim 2x x x x →-=-． 5．讨论函数||()x f x x=当0x →时的极限． 6．求2()lim 2n nx f x nx →∞=+． 7．证明：如果函数()f x 当0x x →时的极限存在，则函数()f x 在0x 的某个去心邻域内有界．8．证明：当x →+∞，x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且等于A ，则lim ()x f x A →∞=． 9．证明：当0x x →时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等．§1.6 无穷小与无穷大习题1-61．判断题：(1)非常小的数是无穷小； ( )(2)零是无穷小； ( )(3)无穷小是一个数；( )(4)两个无穷小的商是无穷小；( ) (5)两个无穷大的和一定是无穷大．( ) 2．指出下列哪些是无穷小，那些是无穷大． (1)1(1) ()n n n +-→∞； (2)sin (0)1cos x x x →+； (3)21 (2)4x x x +→-． 3．根据定义证明：1sin y x x=为0x →时的无穷小． 4．求下列极限并说明理由： (1)32lim x x x →∞+； (2)204lim 2x x x →--； (3)01lim 1cos x x→-． 5．判断1lim xx e →∞是否存在，若将极限过程改为0x →呢？ 6．函数cos y x x =在(,)-∞+∞内是否有界？当x →+∞时，函数是否为无穷大？为什么？7．设0x x →时，()g x 是有界量，()f x 是无穷大，证明：()()f x g x ±是无穷大．8．设0x x →时，()g x M ≥（M 是一个常数），()f x 是无穷大．证明：()()f x g x 是无穷大．§1.7 极限运算法则习题1-71．计算下列极限：(1)21lim(32)x x →+； (2)225lim 3x x x →+-； (3)2231x x x -+； (4)22121lim 1x x x x →-+-； (5)211lim 2x x x →∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (6)242lim 31x x x x x →∞+-+； (7)22468lim 54x x x x x →-+-+； (8)322042lim 32x x x x x x →-++； (9)220()lim h x h x h→+-； (10)211lim 12x x x →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ； (11)cos lim x x x x e e -→+∞+； (12)243lim sin 325x x x x x →∞--+；(13)lim x →-； (14)32222lim (2)x x x x →+-；(15)lim )x x x →+∞； (16)arctan lim x x x →∞； (17)3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； (18)302050(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+；(19)lim x →+∞． 2．计算下列极限： (1)3(1)(2)(3)lim 5n n n n n→∞+++； (2)2(1)lim 1n n n →∞-+； (3)2111lim 1222n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L ； (4)2123(1)lim n n n →∞++++-L ． 3．设232, 0()1,012,1x x f x x x x x⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪<⎩，分别讨论0x →及1x →时()f x 的极限是否存在． 4．已知lim ()4x c f x →=及lim ()1x c g x →=，lim ()0x ch x →=，求： (1)()lim ()x c g x f x →； (2)()lim ()()x c h x f x g x →-； (3)lim[()()]x c f x g x →⋅； (4)lim[()()]x c f x h x →⋅； (5)()lim ()x cg x h x →． 5．若232lim 43x x x k x →-+=-，求k 的值． 6．若21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，求a ，b 的值． §1.8 极限存在准则 两个重要极限习题1-81．计算下列极限： (1)0tan 3lim x x x →； (2)01lim sin x x x→； (3)0lim cot x x x →；(4)30tan sin limx x x x →-； (5)01cos 2lim sin x x x x →-；(6)x (7)sin lim x x x ππ→-； (8)02arcsin lim 3x x x→； (9)0sin lim sin x x x x x →-+． 2．计算下列极限： (1)10lim(1)x x x →-； (2)10lim(12)x x x →+； (3)21lim x x x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭； (4)1lim 1 ()kx x k N x →∞⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； (5)3lim 1x x x x +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭； (6)lim x x x a x a →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (7)10lim(1)x x x xe →+；(8)1lim x x →∞； (9)2511lim sin 31x x x x→∞+-． 3．设sin , 0(1) 2, 0 1, 0x x x f x x x x ⎧->⎪⎪-==⎨⎪-<⎪⎩， 求1lim ()x f x →-． 4．已知 2lim 3x x x c x c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求c ． 5．利用极限存在准则证明： (1)222111lim 12n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ；(2)1x →=． 6．的极限存在，并求该极限．7．设{}n x 满足：20110,2 (0,1,2,)n n n x x x x n +-<<=+=L ，证明{}n x 收敛，求lim n n x →∞． 8．有2000元存入银行，按年利率6%进行连续复利计算，问20年后的本利和．9．小孩出生之后，父母拿出P 元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到50000元，如果投资按6%连续复利计算，则初始投资应该是多少？§1.9 无穷小的比较习题1-91．当0x →时，2x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？2．当1x →时，无穷小1x -和21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 3．当0x →0)a >与x 相比是几阶无穷小？4．当0x →时，21sin cos x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与(1cos )ln(1)x x ++是否为同阶无穷小？ 5．利用等价无穷小的性质求下列极限： (1)0arctan 2lim 7x x x →； (2)20ln(15sin )lim tan x x x x →+； (3)320(sin )tan lim 1cos x x x x →-； (4)301lim 2x x e x →-；(5)01lim arcsin x x x →； (6)23204sin 2lim tan 3x x x x x x→+-+． 6．当0x →时，1cos x -与n mx 等价，求m 和n 的值.§1.10 函数的连续性与间断点习题1-101．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形．(1)2, 01()2, 12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩； (2), 11()1, 1 1x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或． 2．下列函数()f x 在0x =处是否连续？为什么？ (1)31sin , 0()0, 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩； (2) , 0()sin ,0x e x f x x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩． 3．判断下列函数在指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连续．1（）21(2)y x =+，2x =-； (2)22132x y x x -=-+；1x =，2x = (3)1ln(1) , 0y x x x =-=； (4)21cos y x=，0x =； 5（）1 , 1,13, 1x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩； 6（）21 , 10,1,13, 1x x y x x x x ->⎧⎪= ==⎨⎪-<⎩．4．设 , 0(), 0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，应当如何选择数a ，使得()f x 成为(,)-∞+∞内的连续函数．5．设22, 0() 1, 0ln(), 0a x x f x x b x x x ⎧+<⎪==⎨⎪++>⎩，已知()f x 在0x =处连续，试确定a 和b 的值．6．研究11, 0()1 0, 0xx f x e x ⎧<⎪=⎨+⎪=⎩在0x =处的左、右连续． 7．设函数()g x 在0x =处连续，且(0)0g =，已知|()||()|f x g x ≤，试证函数()f x 在0x =处也连续．8．设2122()1n n x ax bxf x x +++=+，当a ，b 取何值时，()f x 在(,)-∞+∞上连续． §1.11 连续函数的运算与初等函数的连续性习题1-111．求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限0lim ()x f x →，3lim ()x f x →-，2lim ()x f x →．2．求下列极限：(1)0x →； (2)34lim(sin 2)παα→； (3)6lim ln(2cos 2)x x π→；(4)0x →； (5)0sin limln x xx→； (6)220ln(1)lim sin(1)x x x →++． 3．证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．4．证明方程sin 10x x ++=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个实根．5．证明曲线423710y x x x =-+-在1x =与2x =之间至少与x 轴有一个交点．6．设()2x f x e =-，求证在区间(0,2)内至少有一点0x ，使002x e x -=．7．证明：若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<L ，则在1[,]n x x 上有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L ．8．设()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，证明：在[0,]a 上至少存在一点ξ，使()()f f a ξξ=+．9．证明：若()f x 在),(∞+-∞内连续，且lim ()x f x A →∞=，则()f x 在),(∞+-∞内有界．总 习 题 一１．求函数32arcsin5xy -=的定义域． ２．设函数()f x 的定义域是[0,1)，求1x f x ⎛⎫⎪+⎝⎭的定义域． ３．设2y x =，要使当(0,)x U δ∈时，(0,2)y U ∈，应如何选择邻域(0,)U δ的半 径δ．４．证明()f x =()x R ∈．５．设函数(), (,)y f x x =∈-∞+∞的图形关于,x a x b ==均对称()a b ≠，试证：()y f x =是周期函数，并求其周期．６．设()f x 在(0,)+∞上有意义，120, 0x x >>．求证：（１）若()f x x 单调减少，则1212()()()f x x f x f x +<+； （２）若()f x x单调增加，则1212()()()f x x f x f x +>+．７．求下列函数的反函数：（１）y =； （２）2,1(),2x x x f x x x x -∞<<⎧⎪= 1≤≤⎨⎪3, 2<<+∞⎩．８．求函数()f x 的表达式：22(sin )cos 2tan ,01f x x x x =+<<．９．设()f x 满足方程：1()sin (||||)af x bf x a b x ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，求()f x ． 10．设10)f x x x ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，求()f x ． 11．设2, 01(1)2, 12x x x x x ϕ⎧≤≤+=⎨<≤⎩，求()x ϕ．12．设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ及其定义域．13．设1, ||1()0, ||11, ||1x f x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，()xg x e =，求[()]f g x ，[()]g f x ，并作出它们的图形．14．设0, 0(), 0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，20, 0(), 0x g x x x ≤⎧=⎨->⎩，求[()]f f x ，[()]g g x ，[()]f g x ，[()]g f x ．15．某水泥厂生产水泥1000t ，定价为80元/t ．总销售在800t 以内时按定价出售，超过800t 时，超过部分打9折出售，试将销售收入作为销售量的函数列出函数关系式．1６．设某产品每次售出10000件时，每件售价为50元，若每次多售2000件，则每件相应地降价2元．如果生产这种产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，最低产量为10000件，求：（1）成本函数；（2）收益函数；（3）利润函数．17．某企业的一种商品，若以1．75元的单价出售，此时生产的产品可全部卖掉．某企业的生产能力为每天5000单位，每天的总固定费用是2000元，每单位的可变成本是0．50元，试建立利润函数，并求达到盈亏平衡时，该企业每天的生产量．18．某厂按年度计划需消耗某种零件48000件，若每个零件每月库存费0．02元，采购费每次160元，为节省库存费，分批采购．试将全年总的采购费和库存费这两部分的和()f x 表示为批量x 的函数．19．已知211131541n x n =+++-L ，求lim n n x →∞．20．求极限 1202lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭． 21．证明:函数()||f x x =当0x →时极限为0．22．证明:x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x →∞A =．23．利用极限定义证明：函数()f x 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等．24．根据定义证明：293x y x -=+为当3x →时的无穷小．25．已知222()351px f x qx x -=+++，当x →∞时，p ，q 取何值时()f x 为无穷小？p ，q 取何值时()f x 为无穷大？26．计算下列极限：(1)11lim (1n x x n x →--为正整数）；(2)x →(3))lim x x →+∞；(4)231lim (3cos )x x x x x →∞+++；(5)1lim x x ；(6)21lim (1)x x →∞-． 27．设22 1, 0 0, 0()2, 0236, 2x x x f x x x x x x⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪-<⎪⎩，讨论0x →及2x →时，()f x 的极限是否存在，并且求 lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞．28．计算下列极限：(1)lim 2sin (0)2nn n x x →∞≠； (2)2352limsin 53x x x x →∞++；(3)0x →． 29．计算下列极限：(1)1lim(1) x xx xe →+； (2)2sec 2lim(1cos )xx x π→+； (3)3101tan lim 1sin x x x x →+⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 30．设11x =，111nn nx x x +=++ (1,2,)n =L ，求lim n n x →∞．31．证明：当0x →时，有： (1)arctan x x :； (2)2sec 12x x -:．32．利用等价无穷小性质求下列极限：(1)0(sin )lim(,)(sin )n m x x m n N x →∈； (2)220sin 3lim ln (12)x xx →+； (3)10(1)1lim nx x x α→+- ()n N ∈；(4)0x →；(5)02cos lim sin 2x xx→．33．试判断：当0x →6是x 的多少阶无穷小？34．设()p x 是多项式，且32()lim 2x p x x x →∞-=，0()lim 1x p x x →=，求()p x ．35．已知21lim31x x ax bx →++=-，试求a 和b 的值． 36．设lim 1992(1)n n n n αββ→∞=--，试求α和β的值． 37．下列函数()f x 在0x =处是否连续？为什么？(1)21 , 0() 0, 0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩； (2)sin , 0||() 1, 0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩． 38．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续．(1)tan x y x =，x k π=， ()2x k k Z ππ=+∈； (2)111xx y e-=-，0x =，1x =．39．试确定a 的值，使函数2, 0()1sin , 0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续． 40．讨论函数221()lim1nnn x f x x x →∞-=+的连续性，若有间断点，判断其类型． 41．求函数211ln y x=-的连续区间．42．设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续，证明函数()max{(),()}x f x g x ϕ=，()min{(),()}x f x g x ψ=在点0x 处也连续．43．设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，证明：对任意的正数,m n ，在[,]a b 上必存在点ξ使()()()()mf c nf d m n f ξ+=+．44．证明：若()f x 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()x f x A →∞=，则()f x 在(,)-∞+∞内有界．。
