三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
正切、余切函数的图象和性质正切、余切函数的图象和性质张思明教学目的：〔略〕教学过程择录：一、引题：师：比照上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159〔11〕正弦，余弦函数的定义域：P158〔3〕正弦，余弦函数的最值〔值域〕：P158〔6〕正弦，余弦函数的奇偶性P159〔8〕正弦，余弦函数的单调性P159〔7〕正弦，余弦函数的应用一-----比大小P158〔4〕正弦，余弦函数的周期〔最小正周期〕P159〔12〕正弦，余弦函数的图象P160〔16、17〕正弦，余弦函数性质的应用教师在黑板上书写：〔1〕定义域〔2〕值域〔3〕奇偶性〔4〕单调性〔5〕比大小〔6〕求最小正周期〔7〕作图〔8〕应用教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？生众：不就是上面这几点问题吗？教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数〞换成“正切、余切函数〞后〔1〕~〔7〕后面加一个“是什么？〞这样一些问题。
请同学们带的这些问题看书5分钟〔P153~P157〕。
[评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。
学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。
教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。
二、学生自己回忆性设问，〔自问自答〕5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生〔7人〕为相邻的同桌的同学〔第二组学生〕就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学〔起立〕对着大家答复。
做完后，问、答的两组学生角色交换。
其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。
生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数生3：………生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数〕生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？〔好问题！〕邻生答：是，其它学生更正：不是。
三角函数的正切与余切关系解析三角函数是数学中重要的概念之一，其中正切和余切是相互关联的两个函数。
在本文中，我们将详细解析正切和余切的关系及其相关性质。
一、正切与余切的定义正切函数（tangent function）和余切函数（cotangent function）是三角函数中的两个重要函数。
在单位圆上，这两个函数与正弦和余弦函数之间存在一定的关系。
正切函数定义如下：tan(x) = sin(x) / cos(x)余切函数定义如下：cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)其中，x为角度值或弧度值，sin(x)代表正弦函数值，cos(x)代表余弦函数值。
二、正切与余切的性质1. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为x ≠ (2k + 1)π/2 (k为整数)，即除去所有以π/2为倍数的点。
正切函数的值域为R，即所有实数。
余切函数的值域也为R，即所有实数。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
余切函数是奇函数，即cot(-x) = -cot(x)。
3. 周期性：正切函数和余切函数的周期都是π，即tan(x + π) = tan(x)，cot(x + π) = cot(x)。
4. 正切和余切的关系：由正弦和余弦函数定义可得，tan(x) = sin(x) / cos(x)，cot(x) = cos(x) / sin(x)。
这意味着正切和余切是正弦和余弦的倒数关系。
5. 正切和余切的图像：正切函数和余切函数的图像都是无界的，并且在定义域内具有周期性。
三、正切与余切的应用正切与余切在数学和科学中有广泛的应用，以下是其中一些重要应用：1. 三角方程的求解：在解三角方程时，正切和余切的性质可以用来简化等式，从而求解方程。
2. 函数图像的分析：正切和余切函数的图像特点可以用于分析函数的性质，如最值、增减性、极值点等。
3. 三角恒等式的证明：在证明三角恒等式时，正切和余切的关系可以用来推导等式的两边，从而证明恒等式的成立。
