重庆八中2020-2021学年高一上学期国庆假期作业试卷数学试卷及答案解析

重庆八中数学参考答案高一重庆八中数学参考答案高一重庆八中是一所位于中国重庆市的知名高中，以其严谨的教学和优秀的师资队伍而闻名。

数学作为一门基础学科，在学生的学业中占据着重要的地位。

为了帮助高一学生更好地理解数学知识，我将提供一些重庆八中高一数学参考答案。

首先，让我们来看一下高一上学期的数学课程内容。

高一数学主要包括函数、数列、不等式、平面向量等内容。

这些知识点都是数学学习的基础，掌握它们对于学生的数学发展至关重要。

在函数部分，学生将学习函数的概念、性质和图像。

他们需要了解函数的定义域、值域以及函数的奇偶性等。

此外，学生还需要学会解析几何中的函数问题，如求函数的最值、极值点等。

在数列部分，学生将学习等差数列和等比数列的性质和应用。

他们需要掌握数列的通项公式、求和公式以及数列的递推关系。

通过解决实际问题，学生将学会运用数列知识解决实际问题。

不等式是高一数学中的重要内容之一。

学生将学习一元一次不等式和一元二次不等式的解法。

他们需要掌握不等式的性质、图像以及解不等式的方法。

通过解决不等式问题，学生将培养出逻辑思维和分析问题的能力。

平面向量是高一数学中的一项重要内容。

学生将学习向量的定义、性质以及向量的运算法则。

他们需要掌握向量的加法、减法、数量积和向量积等运算。

通过解决向量问题，学生将培养出几何思维和空间想象力。

接下来，我将提供一些重庆八中高一数学参考答案，帮助学生巩固所学知识：1. 函数部分：- 例题：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。

- 参考答案：将 x = 4 代入函数 f(x) 中，得到 f(4) = 2(4) + 3 = 11。

2. 数列部分：- 例题：已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = 3，求第 n 项 an 的值。

- 参考答案：根据等差数列的通项公式 an = a1 + (n-1)d，代入已知值得到 an =2 + (n-1)3。

3. 不等式部分：- 例题：解不等式 2x + 3 > 5。

重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3.已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4.设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5.在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 则116λμ= 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8.若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( )A. 6π-B. 3π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9.已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11.若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )B. C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等教育文档 可修改 欢迎下载式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置 13.设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4-教育文档 可修改 欢迎下载【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1()()13g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题共6小题,共70分､请在答题卡相应作答,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)12-(2)43-【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解.【详解】（1）由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由（1）可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18.已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. （2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】（1）由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =（2）证明:()()()22xxF x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3sin 10α+= 【解析】 【分析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】（1）由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+,又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭,即3sin 10α+=. 【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20.已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为12- 【解析】 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 22x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π （2）因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 223424x π⎡⎤⎛⎫----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21.已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x xmf x +=为偶函数 所以()()f x f x =-代入可得4444log log 22x x x x m m--++= 即4422x x x xm m --++=,化简可得()2222x x x xm --=-- ∴1m =（2）由题得()4441log log 22x xxa a +≥⋅-恒成立, 即4122x x xa a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)xt t =+<≤则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h == ∴1712a ≤又()210xa ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22.设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. （2）根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 0t x t ⎛=<≤ ⎝⎭则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛ ⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫==⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去;(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去.综上:01a <<【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。

1高2023级高一（上）数学半期模拟试卷参考答案一、选择题1.D 解：要使函数有意义，则210x-≠，解得：0x ≠，即00∞∞（－，）∪（，＋），故选D .2.解：A ．()1f x =的定义域为R ，()x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同；.()B f x =的定义域为{|1}x x，()g x =的定义域为{|1x x - 或1}x ，定义域不同；.()C f x x =的定义域为R，2()g x =的定义域为{|0}x x ，定义域不同；21.()11x D f x x x -==+-的定义域为{|1}x x ≠，()1(1)g x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D ．3.解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x Z ∈，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题:p x A ∀∈，1x B -∈，则:p x A ⌝∃∈，1x B -∉．故选：C ．4.解：函数定义域为0, 2.x ≥≤即是在定义域上单调递减，故当2x =时，1y =-可以取到最小值；[)11,1.y x +→-→∞时，，故取值范围为当故选：B ．5.解：令1,,x t a t a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦225y t t =+-1t a =当时，取得最大值10.21215103a a a +-=∴=故选：C ．6.解：由于函数||22()x y x x R =-∈是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由0x =时，函数值1y =，可得图象过点(0,1)，故排除C ；故选：A ．7.解：111(()1333b a <<< ，且10,13∈（）01a b ∴<<<，因此a b a a >，,A C 错误；又0,a y x =+∞ 函数是（）上的增函数∴a a b a >，可得b a a a a b <<.故选：B ．8.解：将不等式化为11,14m x x +≥-只需当1(0,)4x ∈时，min 11()14m x x +≥-即可,由1111()(414)1414x x x x x x+=++---14441554914x x x x -=+++≥++=-,当且仅当15x =时取等号，故9m ≤，故m 的最大值为9.故选B .。

2020-2021学年重庆市渝东八校高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.给出如下命题，其中所有正确命题的序号是()①将八进制数326(8)化为五进制数为1324(5)；②用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值．记v0=7，则v2=63；③简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；④某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=72；⑤某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2， (840)机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为12．A. ①③⑤B. ③④⑤C. ①②③④D. ①②③④⑤2.关于x的不等式x2−(4+2a)x+8a>0的解集为()A. (−∞,2a)∪(4,+∞)B. (−∞,4)∪(4,+∞)C. (−∞,4)∪(2a,+∞)D. 以上均可能3.化简√(e−1+e)2−4等于()A. e−e−1B. e−1−eC. e+e−1D. 04.已知数列{a n}的前n项和为S n，则“{a n}为常数列”是“∀n∈N∗，S n=na n”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是())A. y=|cotx|sinxB. y=cos(2x−π2C. y=sin2x+cos2xD. y=tanx−cotx6.若函数f(x)=log3(3x+1)+1(x∈[−2,−1]∪[1,2])的最大值为M，最小值为N，则M+N=(x)A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数，，则函数的最小值是()A. −1B. 0C.D.8.如图，是根据某市2010年至2014年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图获得以下信息，其中信息判断错误的是( )A. 2010年至2014年间工业生产总值逐年增加B. 2014年的工业生产总值比前一年增加了40亿元C. 2012年与2013年每一年与前一年比，其增长额相同D. 从2011年至2014年，每一年与前一年比，2014年的增长率最大二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.下列判断正确的是( )A. “am 2>bm 2”是“a >b ”的充分不必要条件B. 命题“∃x ∈R ，使x 2+x −1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0”C. 若随机变量ξ服从二项分布：B(4,14)，则E(ξ)=1D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.2110. 下列四组函数中表示同一个函数的是( )A. f(x)=x ，g(x)=(√x)2B. f(x)=x 2，g(x)=(x +1)2C. f(x)=√x 2，g(x)=|x|D. f(a)=3a 2−2a +3，g(t)=3t 2−2t +311. 已知a >0，b >0，a +b =1，对于代数式(1+1a )(1+1b )，下列说法正确的是( )A. 最小值为9B. 最大值是9C. 当a =b =12时取得最小值D. 当a =b =12时取得最大值12. 已知函数f(x)=cosx +1cosx ，现给出如下结论，其中正确的是( )A. f(x)的图象关于y 轴对称B. f(x)最小正周期为2πC. f(x)在(0,π2)上单调递减 D. f(x)的图象关于点(π2,0)对称三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.我们将b−a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+23}，N= {x|n−0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是______ ．14.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．15.定义在R上的奇函数f(x)单调递减，则不等式f(2x+1)+f(x2−4)>0的解集为______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①当x∈[1,3)时，f(x)=1−|x−2|；②f(3x)=3f(x).设关于x的函数F(x)=f(x)−a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n，….若a=1，则x1+x2+ x3=(1)；若a∈(1,3)，则x1+x2+⋯+x2n=(2)．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=√−x2−4x+5的定义域为A，函数g(x)=√4−x2x−1的定义域为B，求A∩B，A∪B，∁R B.18.已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}.命题p：x∈A，命题q：x∈B(Ⅰ)当a=12时，若p真q假，求x的取值范围；(Ⅱ)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．19.已知f(x)为二次函数，且有f(x+1)+f(x−1)=2x2−4x(1)求f(x)(2)x∈[12,2]当时，求f(x)的最大值与最小值．20.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80000本，如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200000元，这种图书的最高定价应当是多少？21.已知函数f(x)=x，证明函数在[0,1]上是单调函数，并求这个函数在[−1,1]上的最值．1+x222.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均(v>0)速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y=920vv2+3v+1600(1)若要求在该时间段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？(2)该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)【答案与解析】1.答案：D解析：解：(1)将八进制数326(8)化为十进制数为3×82+2×8+6=214，将五进制数为1324(5)化为十进制数为1×53+3×52+2×5+4=214，故①正确；(2)f(x)=((((((7x+0)x+0)x+4)x+3)x+2)x+1)x+0，当x=3时，V0=7，V1=7×3+0=21，V2=21×3+0=63，故②正确；(3)由简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点可知每个个体被抽到的机会均等，故③正确；(4)由分层抽样原理可知22+3+4=16n，解得n=72，故④正确；(5)由系统抽样原理可知共分成42组，每组有84042=20人，每组选取1个人，而编号落在区间[481,720]的共有24020=12组，故抽取12人，故⑤正确．故选D．逐个分析各命题正误，得出结论．本题考查了命题判断，算法与随机抽样，属于中档题．2.答案：D解析：解：原不等式可化为(x−4)(x−2a)>0，当4>2a，即a<2时，不等式的解集为(−∞,2a)∪(4,+∞)；当4=2a，即a=2时，不等式的解集为(−∞,4)∪(4,+∞)；当4<2a，即a>2时，不等式的解集为(−∞,4)∪(2a,+∞)．故选：D．先将不等式变形为(x−4)(x−2a)>0，通过4与2a的大小关系进行分类讨论，分别求解即可．本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题的关键是根据两个根的大小进行分类讨论，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.答案：A解析：本题考查了根式与分数指数幂互化，属于基础题．。

绝密★启用前重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．π-B ．πC ．2πD ．4π2．若命题p :2,210x R x x ∃∈++≤，则命题p 的否定为（ ） A ．2,210x R x x ∃∉++> B ．2,210x R x x ∃∈++< C ．2,210x R x x ∀∉++>D ．2,210x R x x ∀∈++>3．在0~360范围内，与70-终边相同的角是（ ） A ．70B ．110C ．150D ．2904．下列函数定义域与值域相同的是（ ） A ．3x y = B ．12log y x =C ．3y x =D ．tan y x =5．已知cos167m ︒=，则tan193︒=（ ）AB ．mC ．m- D ．6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，3()8f x x =-，则(){}20x f x ->=（ ）A ．{2x x <-或4}x >B ．{0x x <或4}x >C ．{0x x <或6}x >D ．{2x x <-或2}x >7．函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示.将()f x 图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 4y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．1cos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1sin 24y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭8．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融､政务服务､供应链､版权和专利､能源､物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）(参考数据lg 20.3010≈，lg30.4771≈)A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒二、多选题9．下列各式的值小于1的是（ ） A ．tan15 B ．4sin15cos15 C ．22cos 22.51-D ．2tan 22.51tan 22.5-10．下列关于函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭说法正确的是（ ） A ．周期为π B ．增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．图像关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D ．图象关于直线23x π=对称后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分別为a 和(0)b a b <<，其全程的平均速度为v ，则下列选项正确的是（ ）A ．a v <<B ．v =C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 12．对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意的k ，()f x 的最大值为1 B ．当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素 C ．当3k =时，()f x 在0,2内只有一个零点D ．当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2，则(16)f =____________． 14．已知3cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.15．在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为___________.16．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，223παβ+=，tan tan 32αβ+=，则αβ-=___________.四、解答题17．已知集合{}211A x m x m =-<<+，{}24B x x =<. （1）当2m =时，求AB ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为43(,)55P -．（1）求cos πα⎛⎫+⎪ 和sin 2α的值；（2）求3sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值．19．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.（1）下列几个模拟函数：①2y ax bx =+；②y kx b =+；③log a y x b =+；④x y a b =+（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）.用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由； （2）若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5L ，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A 饮料的销售量最多是多少. 20．已知函数()33x x f x a -=-⋅为奇函数. （1）求a 的值并判断()f x 的单调性； （2）若()813f x ->，求x 的取值范围. 21．设0a >，()0,1x ∈，函数2()log ()f x x a =+，21()log (3)2g x x a =+. （1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若()()f x g x <，求a 的取值范围.22．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

重庆市渝东八校2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“2230x x x ∃∈++≤R ,”的否定是（ ） A ．2,230x x x ∀∈++≤R B ．2,230x x x ∀∈++>R C ．2,230x x x ∃∈++>R D ．2,230x x x ∃∈++≥R【答案】B 【分析】命题的否定：利用“改量词，否结论”即可判断. 【详解】由命题“2230x x x ∃∈++≤R ,”， 可得它的否定是：2,230x x x ∀∈++>R . 故选：B.2．不等式220x x +->的解集为（ ） A ．{|21}x x -<< B ．{|12}x x -<< C ．{|2x x <-或1}x > D ．{|1x x <-或2}x >【答案】C 【分析】不等式左边分解因式，再根据结论直接写出不等式220x x +->的解集. 【详解】由220x x +->可得，(2)(1)0x x +->，所以2x <-或1x >，不等式的解集为{|2x x <-或1}x >， 故选：C30)x>的结果是（）A．x B．2x C．1 D【答案】A【分析】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解.【详解】2112132123616x xx x xx+-⋅====，故选：A4．“2x=”是“2440x x-+=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将2x=代入244x x-+可判断充分性，求解方程2440x x-+=可判断必要性，即可得到结果.【详解】将2x=代入244x x-+中可得4840-+=，即“2x=”是“2440x x-+=”的充分条件；由2440x x-+=可得()220x-=，即2x=，所以“2x=”是“2440x x-+=”的必要条件，综上：“2x=”是“2440x x-+=”的充要条件；故选：C.5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．3y x=B．1yx=C．3xy=D．||y x=【答案】A根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的性质判断四个函数的奇偶性和单调性即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：3y x =定义域为R ，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =为奇函数，且3y x =在R 上单调递增，故选项A 正确； 对于选项B ：1y x =定义域为{}|0x x ≠关于原点对称，是奇函数，但1y x=在(),0-∞和()0,∞+单调递减，故选项B 不正确；对于选项C ：3xy =定义域为R ，在定义域内单调递增，但3xy =既不是奇函数也不是偶函数，故选项C 不正确；对于选项D ：,0,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩，在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增，根据排除法选项D 不正确， 故选：A6．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为9，最小值为n ，且函数()(4g x n =-[1,)-+∞上是单调减函数，则a =（ ）A ．3B ．19C ．9D ．13【答案】B 【分析】由()(4g x n =-[1,)-+∞上是单调减函数，可得14n <，然后对指数函数()x f x a =分1a >和01a <<两种情况讨论其在区间[12]-，的最值即可得答案 【详解】∵()(4g x n =-[1,)-+∞上是单调减函数， ∴14n <， 当1a >时，()f x 的最大值为29a =，即3a =，111334n -==>，不符合题意； 当01a <<时，()f x 的最大值为19a -=，即19a =，211()49n =<，符合题意，综上19a =，【点睛】关键点点睛：根据()g x 的单调性可得到14n <，根据()(0,1)xf x a a a =>≠在定义域上的最值求参数，关键是分1a >和01a <<两种情况讨论.7．设x ∈R ，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-称为22x x -的下确界，若0,0a b >>，且1a b +=，则()()222211a b a b --的下确界为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6【答案】A 【分析】先利用基本不等式求出ab 的最大值，再对等式1a b +=两边同时平方，然后化简所求的关系式，进而可以求解. 【详解】 由题意知：因为0,0a b >>，且1a b +=，所以1a b +=≥ 即14ab ≤，当且仅当a b =时取等号， 又()222121a b a ab b +=⇒++=，所以()()()2222222222111a b a b a b a ba b---++=22222221118914ab a aba b b +==+≥+=+=， 当且仅当a b =时取等号，此时()()222211a b a b --的下确界为9. 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药､化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲､乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P ､种黄瓜的年收入Q 与各自的资金投入12,a a (单位：万元)满足80P =+211204Q a =+.设甲大棚的资金投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为()f x (单位：万元).则总收入()f x 的最大值为（ ） A ．229 B ．228C ．283D ．282【答案】D 【分析】表示出总收益的表达式，并求得自变量的取值范围，利用换元法转化为二次函数的形式，即可确定最大值. 【详解】由题意可知()11()8020012025044f x x x =++-+=-++ 由4020040x x ≥⎧⎨-≥⎩可得40160x ≤≤，令t =，则t ⎡∈⎣，21()2504f t t =-++开口向下的抛物线，对称轴为124t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，因为⎡⎣，所以当t =128x =时总收益最大，最大收益为((212502824f =-⨯++=，所以当甲大棚投入128万元，甲大棚投入72万元时总收益最大，最大收益为282万元.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是写出总收益的表达式()1()802001204f x x =+-+ 12504x =-+，由4020040x x ≥⎧⎨-≥⎩可得40160x ≤≤，令t =，则t ⎡∈⎣，21()2504f t t =-++，利用二次函数的性质求最值即可.二、多选题 9．已知110a b<<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b < B ．ab a b >+C ．||||a b <D ．2ab b >【答案】BC 【分析】 由110a b<<可得0b a <<，再利用不等式的性质判断四个选项的正误即可得答案. 【详解】 由110a b<<可得0b a <<，显然选项A 不正确； 因为0b a <<，所以0ab >，0a b +<，所以ab a b >+，故选项B 正确； 因为0b a <<，所以||||b a >，即||||a b <，故选项C 正确；因为0b a <<，所以0b <，0a b ->可得()20ab b b a b -=-<，即 2ab b <，故选项D 不正确， 故选：BC10．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．(5)(5)5x x y x +-=-与5y x =+B ．||y x =与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2yx 与4y =D ．2yx 与y =【答案】BD 【分析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数.A 中(5)(5)5x x y x +-=-的定义域为{|5}x x ≠，5y x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数；B 中,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域都是R ，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；C 中2yx 的定义域为R ，4y =的定义域为{|0}x x ≥，定义域不同，不是同一个函数；D 中2yx 定义域为R ，2y x ==的定义域为R ，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数. 故选：BD 【点睛】方法点睛：判断两函数是否表示同一个函数的方法:看定义域和对应关系是否都相同，当二者都相同时，函数为同一个函数，否则不是同一个函数. 11．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法错误的是（ ）A ．ab 有最小值14BC ．11a b+有最小值4 D ．22a b +有最小值2【答案】ABD 【分析】根据0,0,1a b a b >>+=，得到211(1)()24ab a a a =-=--+(01)a <<，求出1(0,]4ab ∈，11[4,)a b +∈+∞，221[,1)2a b +∈，从而可得答案. 【详解】因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以1b a =-，01a <<，所以211(1)()24ab a a a =-=--+1(0,]4∈，故ab 无最小值，A 错误；21(1,2]a b =++=+，，最小值，故B 错误；111[4,)a b a b ab ab ++==∈+∞，故11a b+有最小值4，C 说法正确； ()2221212[,1)2a b a b ab ab +=+-=-∈，所以22a b +有最小值12，故D 错误，故选：ABD . 【点睛】本题考查了判断命题的真假，考查了函数的最值，考查了二次函数求值域，属于基础题. 12．已知函数2()1,[2,2],()2,[1,2]f x x x g x x x x =--∈-=-∈-，下列结论正确的是（ ）A ．[2,2],()x f x a ∀∈->恒成立，则实数a 的取值范围是3a <-B ．[2,2],()x f x a ∃∈->，则实数a 的取值范围是1a <C ．[1,2],()x g x a ∃∈-=，则实数a 的取值范围是13a -≤≤D ．[2,2],[1,2]x t ∀∈-∃∈-，()()f x g t = 【答案】ABC 【分析】根据每个选项给出的条件建立相应的关系式，即可求出参数范围，从而进行判断. 【详解】 对于A ，()1,[2,2]f x x x =--∈-是单调递减函数，min()(2)3f x f ，2,2x，()f x a >恒成立，min()3af x ，故A 正确； 对于B ，()1,[2,2]f x x x =--∈-是单调递减函数，max()(2)1f x f ，2,2x，()f x a >，max()1af x ，故B 正确；对于C ，函数()22()211,[1,2]g x x x x x =-=--∈-，minmax()(1)1,()(1)3g x g g x g ，()g x ∴的值域为[]1,3-，0,3x，()g x a =，13a，故C 正确；对于D ，条件等价于()f x 的值域是()g t 的值域的子集，()f x 的值域是[]3,1-，()g t 的值域是[]1,3-，故D 错误. 故选：A B C. 【点睛】方法点睛：本题考查含有参数不等式的恒成立问题和存在性定理，一般有以下情况： （1）()a f x >恒成立等价于max ()a f x >； （2）()a f x <恒成立等价于min ()a f x <； （3）存在x ，使()a f x >成立等价于min ()a f x >； （4）存在x ，使()a f x <成立等价于max ()a f x .三、填空题13．已知集合{2,1,0}A =--，集合{|21}B x x =-<≤，则A B =_________.【答案】{}1,0- 【分析】直接利用集合的交集运算得到答案. 【详解】由{2,1,0}A =--，{|21}B x x =-<≤， 得{}1,0A B ⋂=-； 故答案为：{}1,0-. 14．已知1a >，则41a a +-的最小值为_____．【答案】5 【分析】 由441111a a a a +=-++--，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为1a >，则441111a a a a +=-++--15≥=， 当且仅当411a a -=-时，即3a =时取等号， 所以41a a +-的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理构造利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．已知函数9()93xx f x =+，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为：_________. 【答案】20192【分析】先求解()(1)1f x f x +-=，从而可得1201922018()()1,()()12020202020202020f f f f +=+=进而可得结果.【详解】因为9()93x x f x =+，所以1199()(1)9393x xx xf x f x --+-=+++ 99931939399339x x x x x x=+=+=++⋅++， 设122019()()()202020202020f f f t +++=， 则201920181()()()202020202020f f f t +++=，所以2019120182120192()()()()()()2019202020202020202020202020t f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以20192t =， 即1220192019()()()2020202020202f f f +++=. 故答案为：20192. 【点睛】关键点睛：本题主要考查求函数值的和，观察解析式的特点，利用解析式存在的内在关系得到()(1)1f x f x +-=是解决本题的关键.四、双空题16．已知函数()2(0)f x x x αα=+≠，且(4)10f =，则α=__________，若()(1)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是______________.【答案】12. 112m <≤. 【分析】根据题意将4x =代入解析式即可求出12α=，可得()f x 的解析式，分析()f x 的定义域和单调性即可得0101m m m m ≥⎧⎪-+≥⎨⎪>-+⎩，解不等式即可求m 的取值范围.【详解】(4)42410f α=+⨯=，即42α=，所以12α=， 所以12()22f x x x x =+=，定义域为[)0,+∞，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，由()(1)f m f m >-+可得：0101m m m m ≥⎧⎪-+≥⎨⎪>-+⎩，解得：112m <≤，故答案为：12；112m <≤ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据(4)10f =求出()f x 的解析式为12()22f x x x x =+=，需要注意()f x 的定义域，根据单调性和定义域转化为0101m m m m ≥⎧⎪-+≥⎨⎪>-+⎩即可.五、解答题17．已知全集U =R，集合{1|,|02x A x y B x x -⎧⎫===≥⎨⎬+⎩⎭求：（1）集合A ，B ； （2）()UAB【答案】（1）[]2,2A =-，()[),21,B =-∞-+∞；（2）[]22-,. 【分析】（1）根据题意，分析可得集合A为函数y =B 为不等式102x x -≥+的解集，据此分析可得答案；（2）根据题意，由（1）的结论求出U B ，进而由并集的定义计算可得答案. 【详解】（1）根据题意，{|A x y ==，为函数y =则[]2,2A =-；1|02x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭为不等式102x x -≥+的解集，而()()101202x x x x -≥⇒-+≥+且2x ≠-， 解可得：2x <-或1≥x ， 则()[),21,B =-∞-+∞，所以集合[]2,2A =-，集合()[),21,B =-∞-+∞；（2）由（1）知：集合()[),21,B =-∞-+∞，则[)U2,1B =-，所以()[]U2,2AB =-.18．已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|210A x m =-≤≤；（2）11a ≥. 【分析】（1）先令()24250m m ∆=-+>求出方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题时m 的范围，再求补集即可； （2）由题意可知A B ，可得122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解出11a ≥，再检验端点值即可.【详解】（1）若关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是真命题， 则()24250m m ∆=-+>，即28200m m -->，解得：2m <-或10m >，所以方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题则{}|210x m -≤≤， 所以{}|210A x m =-≤≤，（2）x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ，则122110a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得11a ≥，经检验11a =时，{|2110}B x x =-≤≤，满足A B ，所以11a =成立， 所以实数a 的取值范围是11a ≥. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知函数2()41,f x x mx m R =-+∈（1）若关于x 的不等式()0f x <解集为空集，求m 的取值范围. （2）若函数()f x 在区间[2,)-+∞上是单调增函数，求(1)f 的最小值. 【答案】(1)016m ≤≤（2）21. 【分析】(1）若关于x 的不等式f (x )<0解集为空集，转化为判别式240m m ∆=-≤求解即可； (2）由题意可得28m≤-，解得16m ≤-，从而可得4(1)f m =-的最小值． 【详解】（1）因为不等式()0f x <解集为空集， 所以判别式240m m ∆=-≤， 解得016m ≤≤所以m 的取值范围[0,16].（2）因为2()41,f x x mx m R =-+∈，图象开口向上，对称轴8m x =， 因为函数()f x 在区间[2,)-+∞上是单调增函数， 所以28m≤-，解得16m ≤-， 而()15f m =-是关于m 的减函数， 所以当16m =-时，(1)f 取最小值为21. 【点睛】关键点点睛：利用二次函数的图象、对称轴，判别式，是解决与二次不等式，二次方程有关问题的常用方法，注意数形结合思想的运用.20．如图，互相垂直的两条公路AP ､AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中20AB =米，30AD =米.记三角形花园AMN 的面积为S .（1）问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； （2）若S 不超过1350平方米，求DN 长的取值范围.【答案】（1）当30DN =时，S 的最小值为1200平方米；（2）[15,60] 【分析】（1）设DN x =米（0x >），根据三角形相似可得AM 的长，根据三角形面积公式用x 表示出S ，再用基本不等式求其最值即可．（2）解不等式1350S ≤即可． 【详解】解：（1）设DN x =米（0x >）， 则30AN x =+，//DC AB , NDCNAM ∴,得DN ANDC AM =， 所以3200x x AM+=， 即20(30)x AM x+=，所以2110(30)2x S AM AN x+=⨯⨯=90010(60)10601200x x ⎛⎫=⨯++≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当30x =时取等号．所以当30DN =时，S 的最小值为1200平方米．（2）由210(30)1350x S x+=≤，得2759000x x -+≤， 解得1560x ≤≤．所以，DN 长的取值范围是[15,60]． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在定义域内是单调递减函数，且5(2)12f a =- （1）求实数a 的值.（2）若关于x 的方程2(||)43f x m m =-+-有实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12（2）(1,3) 【分析】(1）由已知可得关于a 的方程，求解a 值，再由函数的单调性得答案； (2)求出||1()2x 的范围，转化为关于m 的不等式组求解. 【详解】（1）因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠在定义域内是单调递减函数，所以01a <<， 又5(2)12f a =-， 所以2512a a =-， 即22520a a -+=， 解得2a =（舍去）或12a =. （2）关于x 的方程2(||)43f x m m =-+-有实数解，即||21()432x m m =-+-有实数解，||1()(0,1]2x ∈， 22430,431m m m m ⎧-+->∴⎨-+-≤⎩即213(2)0m m <<⎧⎨-≥⎩ 解得13m <<，故实数m 的取值范围是(1,3). 【点睛】关键点点睛：方程||21()432x m m =-+-有实数解转化为243m m -+-属于函数||1()2x的值域，利用指数函数的单调性求出函数||1()2x y =的值域是解题的关键.22．已知定理：“若a ，b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图象关于点(,)a b 中心对称”，设函数212()x af x a x+-=-，定义域为A .（1）试证明()y f x =的图象关于点(,2)a -成中心对称； （2）当[2,1]x a a ∈--时，求证：()1f x ≤-.（3）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：()()()21321,,,n n x f x x f x x f x +===.如果(2,3,4)i x A i ∈=⋅⋅⋅，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止.若对任意1x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2a =-. 【分析】（1）根据定义证明()()4f a x f a x ++-=-即可； （2）先证明函数在给定区间上的单调性，再求其值域； （3）因为构造过程可以无限进行下去，所以212()x af x a a x+-=≠-对任意的x A ∈恒成立，将问题转化为方程无解再进行求解即可. 【详解】 （1）因为2121()2x a f x a x a x+-==-+--，所以()()()()11221144f a x f a x a a x a a x xx ++-=-+-+-+--=-++=--，即()()4f a x f a x ++-=-由已知得()y f x =的图象关于点(,2)a -成中心对称，（2）先证明()f x 在[2,1]a a --单调递增，只需要证明()f x 在(),a -∞上单调递增， 设任意的()12,,x x a ∈-∞且12x x <， 所以()()()()12121212110x x f x f x a x a x a x a x --=-=<----， 所以()f x 在(),a -∞上单调递增，因为()[2,1],a a a --⊆-∞， 所以()f x 在[2,1]a a --单调递增，所以()f x 的最大值为()()11211f a a a -=-+=---，所以()1f x ≤-，（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以212()x af x a a x+-=≠-对任意的x A ∈恒成立，所以212()x af x a a x+-==-无解，即()2221a x a a +=+-无解或有唯一解x a =，所以220210a a a +=⎧⎨+-≠⎩或220212a a a a a +≠⎧⎪⎨+-=⎪+⎩解得：2a =-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解函数有关对称中心的定义，利用函数单调性的定义证明函数()f x 在(),a -∞上单调递增，所以在[2,1]a a --单调递增，可证()1f x ≤-，第三问由已知可得212()x af x a a x+-=≠-对任意的x A ∈恒成立，所以212()x af x a a x+-==-无解等价于()2221a x a a +=+-无解或有唯一解x a =，即220210a a a +=⎧⎨+-≠⎩或220212a a a a a +≠⎧⎪⎨+-=⎪+⎩即可求a .。

重庆八中高2023级高一(上)国庆假期数学作业(一)满分：150分 测试时间：120分钟姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、 选择题（共12题，1~8题为单选题，每题5分，9~12题为多选题，全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分，共60分）1．已知集合{}2|1M x x ==，{}|2N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为( ) A ．{}2 B ．{}2,2- C ．{}2,0-D ．{}2,2,0-2．已知集合{}2,0A =，{}|,,B z z x y x A y A ==+∈∈ ，则集合B 的非空子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．83．一元二次方程()24005ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a < B ．0a > C ．2a <-D ．1a >4．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为12(,)x x ，则1212ax x x x ++的最大值是( ) AB． CD．5．设集合{}2|60A x x x =->-，{}0|()(2)B x x k x k =---<，若A B ≠∅，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}21|k k k <->或 B ．{}|21k k -<< C ．{}43|k k k <->或D ．{}|43k k -<<6．下列各式：①212a a +>；②12xx +≥2≤；④22111x x +≥+. 其中正确．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．已知函数()1(1)3(1)f x x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A ．12 B ．32 C ．52D ．728．设0c <，()f x 是区间[],a b 上的减函数，下列命题中正确．．的是( ) A ．()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + B ．()f x 在[],a b 上有最小值()f a C ．()f x c -在[],a b 上有最小值()f a c - D ．()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a9．【多选题】若01,1a b c <<>>，则下列结论中正确．．的有( ) A ．111a b c>++ B ．c a cb a b->-C >D ．21b a ->-10．【多选题】设[]x 表示不大于实数x 的最小整数（例如：[2.5]2=，[2.2]3-=-），则满足关于x 的不等式2[][]120x x +-≤的解可以为( )A B ．C ．π-D ．5-11．【多选题】下列说法中正确．．的有( ) A ．命题“32,1x x x ∀∈>+R ”的否定是“32,1x x x ∃∈<+R ”B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}|13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)-∞-+∞C ．22,421x ax x x ∀∈+≥-R 恒成立，则实数a 的取值范围是[6,)+∞ D ．已知211:3,:()10(0)2p x q x a x a a≤≤-++≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞12．【多选题】已知函数2()(,)f x x mx n m n =++∈R ，不等式()x f x <的解集为(,1)(1,)-∞+∞，则( )A ．1,1m n =-=B ．设()()f x g x x=，则()g x 的最小值为(1)1g = C ．不等式()(())f x f f x <的解集为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞。