方程与不等式课件

变式运用►3.[2017·常州中考]某校计划购买一批篮球和足球(zúqiú) ，已知购买2个篮球和1个足球(zúqiú)共需320元，购买3个篮球和2个 足球(zúqiú)共需540元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么 最多可购买多少个足球？
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多 少万件？
【思路分析】(1)可设甲种商品的销售单价(dānjià)为x元，乙种商品 的销售单价(dānjià)为y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种 商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多 1500元，列出方程组求解即可；(2)可设销售甲种商品a万件，根据甲 、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
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4．[2012·泰安，6，3分]将不等式组
的解集在数轴上表示(biǎoshì)出来，正确的是( C )
得分(dé fēn)要领►求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取大， 同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
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命题点2 确定不等式组中字母(zìmǔ)的取值范围
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类型(lèixíng)3 不等式的应用
【例3】[2017·宁波中考]2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作 (hézuò)高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作 (hézuò)协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国 家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比 2件乙种商品的销售收入多1500元．

05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。

[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.

对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次 不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不 为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程

6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－

利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．

)
1
1
A.如果 a=3,那么 = 3
B.如果a=3,那么a2=9
C.如果a=3,那么a2=3a
D.如果a2=3a,那么a=3
解析:如果a=3,那么 1 = 1 ,正确,故选项A不符合题意;
3
2
如果a=3,那么a =9,正确,故选项B不符合题意;
如果a=3,那么a2=3a,正确,故选项C不符合题意;
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
3.做一做
求方程x2+3x+2=0的解集.
解:∵x2+3x+2=0,∴(x+1)(x+2)=0,
∴x=-1或x=-2,∴方程的解集为{-1,-2}.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
B.原式=(m-1)2,错误;
C.原式=a2-16,正确;
D.原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),错误.
故选C.
答案:C
课堂篇
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思维辨析
当堂检测
3.若x=3是方程3x-a=0的解,则a的值是(
A.9
B.6
C.-9
D.-6
解析:把x=3代入方程3x-a=0得9-a=0,
分析:将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.
解:把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
从而,得x-2=0或x+1=0,
所以x1=2,x2=-1.
所以方程的解集为{-1,2}.
反思感悟 因式分解法解一元二次方程

（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.

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解： sik n x k ( ) siknx
k2m k(2m 1)mZ
由①②可知，实数k的取值范围是
{kkm,mZ}
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例题5、函数 f ( x ) 在 (1,1) 上有定义，
f ( 1 ) 1 且满足 x,y(1,1)时，有
1
nl im lna(n)nl im 2nlna 0
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例题4、已知集合M是满足下列性质的 f ( x ) 的全体：存在非零常数T，对任意 xR，有 f(xT)T(fx)成立。
（1）函数 f(x) x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 f (x) a x (a0,a1)的图像与
y
o c
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x
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解：
(c 1)2 4(c2 c) 0

1 c

2

c
f (c) 3c2 2c 0
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解：
1 c0 3
11c 4 , 8 1c2 1 39
ab(1, 4), a2 b2 (8,1)
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解（1）：
当 0m1时，f(x1)f(x2)0，
函数在 [, ] 上是减函数
当 m1时， f(x1)f(x2)0， 函数在 [, ]上是增函数
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解（2）：
由(1)可知，当 0m1时，
f (x) 为减函数， 则由其值域为 [lm o m ( g 1 )l,o m m ( g 1 )]
f(x)logm

；
(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件 服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两 次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程 是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x； 解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.

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4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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合作探究 提素养
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用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，

(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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方程的解与函数的零点
对于形如y=kx+b的一次函数，其与x轴的交点即为方程 y=0的解，也就是函数的零点。通过对方程进行求解，可 以得到函数的零点，从而确定函数的图像与x轴的交点。
03
不等式的解集与函数的图像
一次函数图像在平面坐标系中的位置和形态可以通过不等 式来描述。对于形如y<kx+b或y>kx+b的不等式，其解集 对应于函数图像在坐标系中的位置和取值范围。通过解不 等式，可以得到函数图像在坐标系中的位置和形态。
一次函数与不等式的关系
01
不等式可以转化为函数形式
不等式可以看作是函数的特殊情况，如 (ax + b > c) 可以视为 (y = ax
+ b) 在 (y) 轴上的截距大于 (c) 的情况。
02
解不等式即找函数值的范围
解不等式的过程是找到满足条件的 (x) 值范围，即函数值的范围。
03
函数图像与不等式的解集关系
函数图像上方的区域对应不等式的解集，下方的区域对应不等式的非解
集。
一次函数在方程与不等式中的应用
利用一次函数解一元一次方程
通过将方程转化为函数形式，可以更直观地找到方程的解。
利用一次函数解一元一次不等式
将不等式转化为函数形式，可以更方便地找到满足条件的 (x) 值范围。
一次函数在解决实际问题中的应用
02
方程与不等式的基本概念
方程的概念
1 2
3
方程
表示数学关系的一种数学模型，由等号和等号右边的未知数 组成。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
二元一次方程
含有两个未知数，且未知数的次数为1的方程。