5、聚点内点边界点

高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用充分条件1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数 1、 定义：1无穷级数：+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛；条件收敛：∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理：若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5） 必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u1） 定义：S S n n =∞→lim 存在； 2）∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；3） 比较审敛法：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4） 比较法的推论：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;5） 比较法的极限形式：设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7） 根值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数：∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散，收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；2、 幂级数：∑∞=0n nnx a收敛半径的求法：ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

2.5 点集本节主要讨论直线上和n 维欧氏空间R n 中的点集。

对于R n 中任意的两点：x=(x 1 , x 2 , …, x n ), y = (y 1, y 2, …, y n )规定距离d(x, y) = 2222211)()()(n n x y x y x y -+⋯+-+-= (∑=-n i ii y x 12)()1/2 其中d 称为欧几里得距离。

♦ 距离的有关概念 定义1 两个非空点集A 、B 的距离定义为：d( A , B ) = inf d( a , b)这里a ∈A , b ∈B 。

注意：这里是取下确界。

定义2 点x 到集合A 的距离，定义为d( x , A) = d ( {x} , A)即 d( x , A) = inf d( x , a ) （ a ∈A ）定义3 把集合A 的直径记为diam(A)，定义为：diam(A) = sup d( p, q ) ( p ∈A , q ∈A )注意：集合A 的直径，是A 中两点之间距离的上确界sup 。

定义4 有界集。

对集合E ，若 diam(E) < ∞，则称E 为有界集。

定义5 点x 0的邻域。

设x 0是R n 中的一定点，ε为一给定的正数 ε＞0, 定义集合{ x | d(x , x 0) < ε，x ∈R n }它称为点x 0的一个邻域，或称为点x 0的 ε 邻域;记为U( x 0 , ε )，x 0为邻域中心，ε 为邻域的半径。

注意：（1）点x 0 的 ε 邻域 U( x 0 , ε )，是指R n 中所有和给定点 x 0 的距离小于定数 ε > 0的点的全体。

（2） 对于R n 的任意子集E ， x 0∈E ，求E 中 x 0的邻域，是由U( x 0 , ε )E 来获得。

定义6 设 { x n } 是R n 中一点列; 如果当n→ ∞时，有d( x 0, x n ) → 0 , 则称点列 { x n } 收敛于x 0，记为∞→n lim x n = x 0 或 x n → x 0 ( n → ∞) 注意： 点列 x n → x 0，可以用邻域表述为：对于x 0的任一邻域U(x 0), N ∃, 使得n>N 时，x n ∈ U(x 0) 。

§２.２ 几类特殊点和集---聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。

对∀ E ⊆R n ，我们可以通过看是否有x 的完整邻域含于E 中将R n中点x 分为三类：⊆∃Φ≠∩Φ≠∩∀⊆∃CE x U x U c CE x U E x U x U b E x U x U a ),(),( .),(,),(),( .),(),( .δδδδδδδ满足满足满足定义２.２.１ 我们称a 类点为E 的内点，记其全体为E 0；b 类点为E 的边界点，记其全体为∂E；c 类点为E 的外点。

显然外点全体为(CE)0，R n ＝E 0∪∂E∪(CE)0（图２.２.１）如图２.２.１所示：M 1是E 的内点，M 2、M 3、M 4、M 5是E 的边界点，M 6是E 的外点。

注２.２.１：E 的边界点既有可能属于E(如M 2、M 3、M 5)，又有可能不属于E(如M 4)。

注２.２.２：E 的边界与CE 的边界相同，即∂E＝∂(CE)注２.２.３：不受“[a,b]的边界只有a,b 两点 ”这个具体结论的直观约束而得出错误的一般结论：“E 的边界∂E 相对集合E 而言只是很少一部分”。

事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。

对∀ E ⊆R n ，我们也可以通过看x 的邻域含E 中点的多少将R n中点x 分为三类：Φ=∩∃=∩∃Φ≠−∩>∀)( ),(),( .} {),(),( .}{),(0, .显然此类点即外点满足满足对E x U x U g x E x U x U f x E x U e δδδδδδ定义２.２.２ 我们称e 类点为E 的聚点(或极限点)，记其全体为E'，并称为E 的导集；f 类点为E 的孤立点，显然其全体为E-E'。

即R n ＝E'∪(E- E')∪(CE)0在图２.２.１中，M 1、M 2、M 3、M 4是E 的极限点，M 5是E 的孤立点。

高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一) 向量线性运算定理 1：设向量 a ≠0，则向量 b 平行于 a 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设 a ( a x ,a y ,a z )，b (b x ,b y ,b z ) ； 则 a b(a x b x ,a y b y ,a z b z ),a ( a x , a y , a z ) ； 4、向量的模、方向角、投影： 1) 向量的模： rx 2 y 2 z 2；2) 两点间的距离公式： AB (x 2 x 1)2(y 2 y 1)2(z 2 z 1)23) 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 , ,222cos 2 cos 2cos 211、 数量积： a bab cos1) aaa2数量积，向量积 4) 方向余弦： cosx, cos ry , cosr5) 投影： Pr j u a acos ，其中 为向量 a 与 u 的夹角2) a2、 向量积： c a b大小： a b sin ，方向： a,b,c 符合右手规则 1) a a 0 2) a // ba b 0i j k ax ay az b x b y b z(三) 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： S : f (x, y,z) 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y,z) 0 ，22x2 z2) 022x 2 y 2, z) 03、 柱面：F (x, y) F (x, y) 0 表示母线平行于 z 轴，准线为z044 二次曲面a b a x b xa yb y a z b z ab 运算律：反交换律 b aab的柱2x29) 抛物柱面： x ay四) 空间曲线及其方程F (x, y, z) 01) 椭圆锥面：2 a2x2) 椭球面： 2ax 2旋转椭球面： a2b2b2 2y2az22z 2c 2z 2 c2x 2 y 22 z 3) 单叶双曲面：2 ab2 2 c222x yz 4) 双叶双曲面：2 ab22 c22x yz5) 椭圆抛物面：2 ab22x 6) 双曲抛物面(马鞍面) ： a2a2y 2 b2x 7) 椭圆柱面：2 a2x 8) 双曲柱面：2 a2 y 2b2 2 y 2b21、 般方程：G(x, y,z) 022x x(t)xa cos t 2、 参数方程：yy(t)，如螺旋线： ya sin tz z(t)zbt3、 空间曲线在坐标面上的投影 F(x,y,z) 0H (x, y) 0，消去 z ，得到曲线在面 xoy 上的投影 G(x, y,z) 0 z 0五) 平面及其方程A 1A2 B 1B 2 C 1C2Ax 0 By 0 Cz 0 D A 2 B 2 C1、 点法式方程：A(x x 0) B(y y 0) C(z z 0) 法向量： n ( A, B,C) ，过点 (x 0, y 0,z 0)2、 般式方程：Ax By Cz Dx截距式方程：az1c3、 两平面的夹角： n 1(A 1,B 1,C 1) ， n 2 (A 2 ,B 2,C 2) ， cosA 1A 2B 1B2 C 1C2B 22B 12C 12A 22C 221//A 1B 1C 1A2 B 2 C24、 点 P 0(x 0, y 0,z 0)到平面 Ax By Cz D 0 的距离：六)空间直线及其方程22A 1 xB 1 yC 1zD 1 0方向向量： s (m,n, p) ，过点 (x 0, y 0, z 0)x x 0 mt3、 参数式方程：y y0 ntz z 0 pts 1 (m 1,n 1, p 1) ， s 2 (m 2,n 2,p 2)，m 1m2 n 1n 2 p 1p25、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，L// Am Bn Cp 0 ABC Lmnp第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。