当前位置：文档之家 › 第六章 测量误差

第六章 测量误差

  • 格式：ppt
  • 大小：309.50 KB
  • 文档页数：16

下载文档原格式

  / 16

合集下载

第6章 测量误差的基本知识

第6章 测量误差的基本知识


研究测量误差的目的： 研究测量误差的目的：
分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果，求 分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果， 出最可靠值；评定测量结果的精度； 出最可靠值；评定测量结果的精度；通过研究误差发生的 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。
′ + 3′′,−2′′,−4′′,+2′′,0′′,−4′′,+3′′,+2′′,−3′′,−1′ ′ ′ ′ ′ 0′′,−1′,−7′′,+2′′,+1′,+1′,−8′′,0′′,+3′′,−1′
试计算甲、乙两组各自的观测精度。 试计算甲、乙两组各自的观测精度。 解:
m =± 甲
(+3′′)2 +(−2′′)2 +(−4′′)2 +(+2′′)2 +(0′′)2 +(−4′′)2 +(+3′′)2 +(+2′′)2 +(−3′′)2 +(−1′′)2
10Biblioteka = ±2.7′′m =± 乙
(0′′)2 +(−1′′)2 +(−7′′)2 +(+2′′)2 +(+1′′)2 +(+1′′)2 +(−8′′)2 +(0′′)2 +(+3′′)2 +(−1′′)2
10
′ = ±3.6′
比较m 可知， 比较 甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组 高。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测 结果之比，并化为分子为1的分数式 的分数式， 结果之比，并化为分子为 的分数式，即
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本

测量学第六章 测量误差及数据处理的基本

第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
工程测量课件第6章测量误差基础知识

工程测量课件第6章测量误差基础知识


DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
第六章 测量误差的基本知识(习题课key)

第六章 测量误差的基本知识(习题课key)

第六章 测量误差的基本知识1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。

(1)尺长不准确 (2)尺不水平 (3)估读不准确 (4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。

(1)视准轴与水准轴不平行 (2)仪器下沉 (3)读数不正确 (4)水准尺下沉 (5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″ 44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″ 试求观测值的中误差。

解：Δ=+6、-5、-2、+4、+3、+4、0、-2、-1、-1、+6、+3[ΔΔ]=36+25+4+16+9+16+0+4+1+1+36+9=157 m=±3.62″4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？(不一定) 它们的最大限差是否相等？(相等) 它们的精度是否相等？(相等) 它们的相对精度是否相等？(不相等)5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。

6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。

高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差 (2)由B 点计算P 2点高程的中误差±6.38mm7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差 (2)分配闭合差后P 1点的高程中误差mm m H H h h h H h h h H h f h h mm m H H h h h H h h h H h f h h mmm mmm mmm H h h h H f h BA B A h h BA B A h h h h B A h 3/54361636123625)(61616165)(61122ˆ3441641241)(21212121)(21126ˆ46212321ˆ321321111ˆ321321222321±=⨯+⨯+⨯±=----=-+++-=-=±=⨯+⨯+⨯±=---+-=-+++-=-=±±=±=-+++=8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？(最多25站)9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。

在测量工作中，真误差、中误差和容许误差都称为绝对误差。

在测量工作中，真误差、中误差和容许误差都称为绝对误差。

第六章测量误差基本知识【教学目标】使学生掌握测量中测量误差的分类，偶然误差的特性，评定误差的标准及其应用。

【重点、难点】1、重点：测量误差的分类；偶然误差的特性；2、难点：观测值及算术平均值中误差。

【教学方法】本章内容理论性较强，讲授时条理清晰，每个基本概念定义均应举测量实例加以推导或说明。

6.1 概述一、测量误差的定义在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这些差异为观测值的测量误差。

二、测量误差的产生测量工作是在一定的条件下进行的，一般来说，外界环境、测量仪器和观测者构成观测条件。

而观测条件不理想或不断变化，是产生测量误差的根本原因。

1 、外界环境主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、大气折光、风力等因素的不断变化，会导致观测结果中带有误差。

2、仪器误差（1）仪器制造误差（2）检校残余误差3、观测误差观测者的感官的鉴别能力、技术熟练程度和劳动态度等也会产生误差。

可见，观测条件不可能完全理想，测量误差的产生不可避免。

但是，在测量工作实践中，可以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测条件，从而能够控制测量误差。

综上所述，观测结果的质量与观测条件的优劣有着密切的关系。

观测条件好，观测误差就可能会小一些，观测质量相应地会高一些；反之，观测结果的质量就会相应降低。

当观测条件相同时，可以认为观测结果的质量是相同的。

于是，我们称在相同条件下所进行的一组观测为等精度观测，而称在不同条件下所进行的一组观测为非等精度观测。

三、误差的种类（按性质划分）1、系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的数值和正负号按一定规律变化或保持不变（或者误差数值虽有变化而正负号不变），具有这种性质的误差称为系统误差。

例如，用一支名义长度为30m，而经检定后，其实际长度为29.99m的钢尺来量距，则每量30m的距离，就会产生1cm的误差，丈量60m的距离，就会产生2cm的误差。

第六章 测量误差

第六章 测量误差

倾斜角度α＝15°00„00“，其中误差m
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)

测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)


lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论

测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论

第六章测量误差的基本理论1、在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？答：在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除仪器误差以及外界环境的影响。

2、在水准测量中，有下列各种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质：①视准轴与水准管轴不平行；②仪器下沉；③读数不正确；④水准尺下沉。

答：①视准轴与水准管轴不平行；仪器误差。

②仪器下沉；外界条件的影响。

③读数不正确；人为误差。

④水准尺下沉。

外界条件的影响。

3、偶然误差和系统误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？答：系统误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差。

偶然误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性的误差。

偶然误差具有以下统计特性（1）有界性（2）单峰性（3）对称性（4）补偿性4、什么是中误差？为什么中误差能作为衡量精度的指标？答：中误差是指同一组中的每一个观测值都具有这个值的精度5、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x和y相互独立，其m x=m y=m，求m z。

m m m m yx y x y x z z z y x z 1093222221=+±=+=-++=+=6、进行三角高程测量，按h=Dtan α计算高差，已知α=20°，m α=±1′，D=250m ，m D =±0.13m ，求高差中误差m h 。

m m D m m D h 094.0)20626560()20sec 250(13.0)20(tan )sec ()(tan 2222222222±=⨯⨯+⨯±=+±=ααα 7、用经纬仪观测某角共8个测回，结果如下：56°32′13″，56°32′21″，56°32′17″，56°32′14″，56°32′19″，56°32′23″，56°32′21″，56°32′18″，试求该角最或是值及其中误差。

极限配合与测量技术第六章 6.3 测量误差及数据处理

极限配合与测量技术第六章 6.3 测量误差及数据处理


例如，机械比较仪为简化结构采用近似设计，测量杆的直线位移与 指针杠杆的角位移不成正比，这时，若标尺的等分刻度代替其理论上的 不等分刻度，就会产生原理性的示值误差。
又如，传动系统元件制造不准确所引起的放大比误差；传动系统元 件接触间隙引起读数不稳定误差以及磨损等因素都会产生测量误差。
（2）测量方法误差。
f1
0.01 100% 0.01% 100
f2
0.01 100% 0.001% 1000
显然，ƒ1>ƒ2表示后者的精确度比前者高。
3．测量误差产生的原因
综上所述，绝对误差和相对误差都用来判断测量的精确度。 由于存在测量误差，测得值不能真实地反映被测量的大小，这就 有可能歪曲了客观存在。
测量方法误差是测量方法不完善所产生的误差，它包括计算
公式不精确、测量方法不当和工件安装不合理等。
例如，对同一个被测几何量分别用直接测量法和间接测量法会产 生不同的方法误差。
再如，先测出圆的直径d，然后按公式：S=d计算出周长，由于 π取近似值，所以计算结果中带有方法误差。
（3）环境误差。
环境误差是指测量时，环境不符合标准状态所引起的测量误差。
2．测量误差的表示方法 （1）绝对误差δ。
绝对误差δ是测量结果x与其真值xo之差，即δ=x−xo由于测量
结果可大于或小于真值，因此绝对误差可能是正值或负值，即xo=x±δ。 这说明，测量误差的大小决定了测量的精确度。 δ越大精确度越低，反之则越高。 绝对误差可用来评定大小相同的被测几何量的测量精确度。 当被测尺寸不同时，要比较其精确度的高低，需采用相对误差。
6.3.2 测量误差的分类及其处理方法
根据测量误差出现的规律，可以将其分为系统误差、随机误差 和粗大误差3种基本类型。 1．系统误差及其处理方法 （1）系统误差。
第六章误差基本知识

第六章误差基本知识


最或然值（最可靠值）。
根据偶然误差的特性可取算术平均值作为
最或然值。
设对同一量等精度观测了n次，观测值为 l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值
也可表示成： x l1 l2 ln l
n
n
n
l

li
i 1
[l] x
n
n
证明（x是最或然值）
中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为1，分母取整数，称为相对中误差，
即：
Km 1 D Dm
相对中误差不能用于评定测角的 精度，因为角度误差与角度大小无关。
在一般距离丈量中，往返各丈量一次，
取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之
比，将分子化为1，分母取整数来评定距离
丈量的精度。称为相对误差。
经纬仪导线测量时，规范中所规定的相
对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限
误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则
是相对真误差。
与相对误差相对应，真误差、中误差、
极限误差等均称为极限误差又成为允许误差，或最大误差。
由偶然误差的第一个特性可知，在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值，测量上把这个限值叫做极 限误差。
在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的 中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差 作为偶然误差的极限误差，即
允 3m
在实际工作中，有的测量规 范规定以2倍中误差作为极限误 差，
即 允 2m
超过极限误差的误差被认为 是粗差，应舍去重测。
22
第三节 算术平均值及改正数
一、算术平均值
研究误差的目的除了评定精度外，还有求其
第一节 测量误差的概念
第6章 测量误差

第6章 测量误差

_
x
带有随机误差的一系列等精度测量,算术平均值 可作为测量的真值。
_
算数平均值： x
n
x1 x 2 n
n
xn
n


i 1
xi n
i xi A0
n

i 1 _
i

i 1
xi n A0 （ 0 抵偿性）

A0
i 1
xi
n
x
检测技术
第六章 测量误差分析
x
检测技术
第六章 测量误差分析
（3）测量的极限误差
随机误差落在规定误差范围内的概率趋近于1的极 端误差称为极限误差。
极限误差的确定
随 机 误 差 落 在 - 1 之 间 概 率 为 1

f(δ)
0.135% 0 99.73% 0.135%

2



2 2
e
2
d 1
的 概 率 为 P
5 10 i
M

i 1


i8
i
0 .2 3 0 .2 3 0 .4 6 C
画出残余误差与测量次数关系图。
检测技术
第六章 测量误差分析
周期性系统误差判定（阿卑-赫梅特准则）
n 1
设
A

i i 1
i 1
若A
n 1
2
测量列中含周期性系统误差。
B、测电动势EX k置于2端。 调 RP使检流计为0
E x IR Pab ES RK R Pab
图6.6电位差计原理图
检测技术
第六章 测量误差分析

第6章 测量误差基本知识


水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。

第六章 测量误差的基本知识


四、不同精度观测的最或然值
观测值 中误差 权 l1、 l2、 ……、 l n m1、m2、…… 、m n P1、 P2、……、 P n 。
(称为加权平均值）
µ
[ p]
[ Pvv] n −1
ˆ p l + p 2 l 2 + L + p n l n = [ pl ] L= 11 p1 + p 2 + L p n [ p]
二、单位权和单位权中误差
例：已知观测值 L 1 , L 2 , L 3 , 其中误差分别为 m 1 = ± 1 ′′, m 2 = ± 2 ′′, m 3 = ± 3 ′′, 则他们的权为 c0 c0 c0 1 1 当 c 0 = 1 ′′ 时， p 1 = 2 = 1 , p 1 = 2 = , p 1 = 2 = 4 9 m1 m2 m3
例2：用30米的钢尺丈量某两点间的水平距离L，恰好 为12个整尺段，每尺段 li 的中误差均相等，为 ml=±5mm,求该段水平距离及其中误差 ml、相对中误 差ml /L。
解法一：依题意，有
L = l 1 + l 2 + L + l 12 = 360 . 000 m mL = ml 12 = ± 17 . 3 mm mL 1 = L 21000 解法二： L = 12 × l = 360 . 000 m
对于直接平差，还有： ˆ [L ] − [L ] = 0 ˆ [v] = n L − [ L] = n n
四、观测值的中误差
问题的提出：
m=±
[∆∆]
n
式中△ i ＝L i —X ，( i = 1、2、…、n )。 由于真值一般难以知道那么真误差也就 难以求得，因此在实际工作中往往用观 测值的改正数v 来推求观测值的中误差。

第六章测量误差的基本知识

程测曰亠量理论教案授课教师：谢艳使用班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-教师授课教案课程名称：公路工程测量2013年至2014年第二学期第 _ 次课班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-5 编制日期：20丄年________ 月________ 日教学单元（章节）第六章测量误差的基本知识目的要求1、了解测量误差的概念。

2、掌握测量误差产生的原因3、了解测量误差的分类及其相应的处理方式。

4、掌握评定观测精度的标准及其相应的计算方式。

知识要点1、测量误差概念2、测量误差产生的原因3、测量误差的分类4、评定观测精度的标准技能要点分析问题能力教学步骤介绍测量误差的概念，了解测量误差的产生的原因、测量误差的分类。

介绍评定观测精度的标准。

练习中误差、容许误差、相对误差的计算方法。

教具及教学手段多媒体课件教学。

作业布置情况3题教学反思授课教师： ________ 谢艳_____________________ 授课日期：2014年____________________ 月_____ 日教学内容第六章测量误差的基本知识一、情境导入用PPT播放工程实例图片及其测量误差产生的原因，让学生对测量误差有一个微观上的了解。

讲解测量误差的来源：每一个物理量都是客观存在，在一定的条件下具有不以人的意志为转移的客观大小，人们将它称为该物理量的真值。

进行测量是想要获得待测量的真值。

然而测量要依据一定的理论或方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由具体的人进行。

由于实验理论上存在着近似性，方法上难以很完善，实验仪器灵敏度和分辨能力有局限性，周围环境不稳定等因素的影响，待测量的真值是不可能测得的，测量结果和被测量真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就叫做测量值的误差二、新课教学第一节概述1、测量误差概念：真值与观测值之差2、测量误差（△）=真值-观测值女口：测量工作中的大量实践表明，当对某一客官存在的量进行多次贯彻时，不论测量仪器多么的精密，贯彻进行的多么的细致，所得到的各观测值质检总是存在差异。

第六章 测量误差的基本知识


最或是值与观测值之差称为最或是误差，又名观测值改 正数，用V表示，即： Vi = x- Li 而
v 0
i 1
n
这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。
第四节
设有函数
观测值函数中误差
F = K1x1±K2x2±…±Knxn
式中：F ——线性函数；
Ki ——常数； xi —— 观测值。 设xi的中误差为mi ，函数F的中误差为mF，经 推导得： m2F = (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1m1)2+(K2m2)2+…(Knmn)2
负 误差区间 d△(″) 0～3 3～6 6～9 k 45 40 33 误 差 k/n 0.126 0.112 0.092 正 k 46 41 33 误 差 k/n 0.128 0.115 0.092 误 差 绝 对 值 k 91 81 66 k/n 0.254 0.226 0.184
9～12
12～15 15～18 18～21
第四节
∴ mfβ=±mβ
观测值函数中误差
由 此 得 测 角 中 误 上式称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度 差 的基本公式。 为
m
β
=
本
章
小
结
一、基本概念
1.测量误差=真值－观测值。 2.观测误差按性质分为系统误差和偶然误差。
3.算术平均值： x
L
n
（L1，L 2，…L n）为等精度观测值
第五章 测量误差的基本知识
第一节 第二节 第三节 第四节 本 章 测量误差的概念 评定观测值精度的标准 观测值的算术平均值及改正数 观测值的精度评定 小 结
第一节
测量误差的概念
在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距 离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次 观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每 次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种 差值称为测量误差（又叫真误差），即:

第六章 测量误差基本知识(2)


2.加权平均值的中误差（mx）
mx
m0 [ p]
3、单位权中误差m0
闫
超
[P] [PVV ]
德 制
m0
n
n 1
作
例题
例：如图，已知L1＝4Km，
L2＝2.5Km，L3＝8.5Km
HA＝78.324m，h1＝-7.980m；
HB＝64.347m， h2＝5.992m；
HC＝24.836m，h3＝45.516m
一、三角形观测闭合差的中误差
W 180 A B C mw mA2 mB2 mC 2
若mA mB mC m， 则mw 3m
A
αγ
β
C
B
mc=????
闫 超 德 制 作
A
α
β
C？
B
第五节 误差传播定律的应用
二、水准测量的误差分析
h h1 h2 hn
设每站高差中误差相等mhi mh ,则mh mh n
重”应该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的
“权”。
1、权的定义
➢ 权：观测值精度的可靠程度。
➢ “权”与中误差的平方成反比，观测值或观测值函数的 精度越高，其权越大 。
闫 超
➢ Pi=C/mi² （ C是常数）
德
制
作
一、不等精度观测和观测值的权
2、单位权
➢ 在Pi=C/mi²中，当Pi=1，称Pi为单位权 ➢ Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值; ➢ Pi=1时，C＝mi²，当权为1时， C常数等于观测值
h ltg 120 .25 tg1204700 27.28m
mh2
h l
ml
2
h
2

第六章 测量误差基本知识


0 . 05 m
，并测得倾斜角
m 3 0 ,
15 0 0 0 0

，
4其中误差 m 3 0s ，求相应水平距离D及其中误差。05 m .丈量倾斜距离 50 . 00 m , 其中误差 m s 0 .
15 0 0 0 0 ，其中误差
设某未知量的观测值为： l1 , l2 , , ln 该量的算术平均值为：
x l1 l2 ln n [l ] n
则该量的改正数： v i
[l ] n
li x li
[VV ] n 1
m
经推算：观测值的中误差
m

n
证明两式根号内相 等
1 l1 X
m1 L1 1 ,
2

1
,
m1

2
10000
L2
2000 L1
L2
即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在 本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全 长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能 超过1／2000或1／15000，它就是相对容许误差。
x
Z x1 x 2
m
2 x1
m
2 x2
Z k 1 x 1 k 2 x 2 ... k n x n k m
2 2 2 x2
2 2 k1 m x1
... k m
2 n
2 xn
例
丈量了斜距S=50.00m，其中误差 m s
并测得倾斜角 求相应水平距离 解： D s cos D s D cos cos 15
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

有极限（ 有极限（3m) 大小规律
偶然误差
符号规律 抵偿性
Lim n→∞
[∆] n
=0
5.3 误差传播定律
在未知量是通过其它观测值间接求得的情况下。 在未知量是通过其它观测值间接求得的情况下。 例如： 例如：视距测量
平距 D=kLcos2 α 高差 h= k L sin2 α + i – s 一般形式： 一般形式：Z=f ( x1, x2, x3 ············ xn ) 已知各观测值的中误差： 已知各观测值的中误差： m1, m2, m3 ············ mn 求 mz =? 取函数 Z 的全微分
2 2 2 2 2 2
2 2
2
∂F 2 ∂F 2 ∂F 2 mn m1 + m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ mZ = ∂x ∂x ∂x 1 2 n
2
举例
例1、 设测得圆形的半径 r =1.465m，已知其中误差 m = ± 0.002m, 求 、 ， 其周长 l 及其中误差 m l 。 解： l=2πr =2π× 1.465 =9.205 又： dl=2πdr 根据误差传播定律 m l 2 = (2π)2 m 2 m l = 2π( ±0.002)=±0.013m ± 最后得 l = 9.205 ±0.013m
第6 讲 测量误差
测量误差 系统误差 偶然误差 单一观测值与真值之差 [∆∆] n 衡量一组观测值的精度
真误差： 真误差： ∆i = Li – X 中误差： m = σ`= ± 中误差： 极限误差： 极限误差： ∆极 = 3 m 容许误差： 容许误差： ∆容 = 3 m 高精度测量时 容许误差： 容许误差： ∆容 = 2 m
最或是值的计算公式为： 最或是值的计算公式为：
L0 = p 1l1 + p 2 l 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n l n [ pl ] = [p ] p1 + p 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n
L0 =
p 1l1 + p 2 l 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n l n [ pl ] = [p ] p1 + p 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n
根据误差传播定律有： 根据误差传播定律有：
1 2 1 2 1 2 n 2 M = 2 m + 2 m + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 m = 2 m n n n n
2
m M= n
图示
M 1.8 0.8 0.6 0.4 0.2 5 10 15 20 n
m M= n
5.4 等精度直接观测平差
平差：
根据多余观测求未知量最 可靠值 最或是值）并平定精度（求中误差） （最或是值）并平定精度（求中误差）的过程。 直接平差 间接平差
k
k→∞

2
1
1
k
f2
2
[∆ x ] + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + f [∆ x ]
2
n
k
n
k

σ = f σ + f σ + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ f σ
2 2 2 2 2 2 Z 1 1 2 2 n
2 n
有限时： 当 k 有限时：
mZ = f1 m1 + f 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f n mn
l1 + l2 + l3+ l4 4 l`1 + l`2 + l`3 3 l1 + l2 + l3+ l4 + L`1 + l`2 + l`3 7
L2=
观测值的最终结果应该是： 观测值的最终结果应该是： L= 上式实际是： 上式实际是： L=
4L1 + 3L2 4+3
4L1 + 3L2 L= 4+3 4 3 L= L1 + 7 7
2 1
(p
m1 + p 2 m 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n m n
2 2 2 2
2
) = nm
2 0
m1
2
∆ 21 = 1
2 2
mi
2
∆ 2i = 1
2 2
单一观测值的中误差
(p
2
2 1
∆1 + p2 ∆ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ pn ∆ n
2
) = nm
)
=
[p] [p]
2
m 02 =
[p]
m 02
加权平均值的中误差
一般用观测值的改正 数计算中误差即： 数计算中误差即：
m =± =±
[v2 ] n-1
[∆2 ] =± =± n
M0
2
1 ( p1 2 m 1 2 + p 2 2 m 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n 2 m n 2 ) = [ p ]2
对上式两边平方求和并除以 k ：
[∆ z ] =
2
k
f
2
1
[∆ x ] + f [∆ x ] + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + f [∆ x ] +
2 2 2
1
k
2 2
2
k
2 n
n
k
i , j =1 i≠ j
∑
n
fi f j
[∆ x ∆ x ]
i j
k
[∆ z ] =
2
k
f
2
1
[∆ x ] + f [∆ x ] + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + f [∆ x ] +
m2 p1 = =4 2 m1 m2 p2 = =3 2 m2
2、权与中误差的关系 、 m 1 m = = m n 4
1
m 1 m2 = = m n 3
权与中误差成反比，中误差越大，权越小。因此，可用中误差来定义权。 权与中误差成反比，中误差越大，权越小。因此，可用中误差来定义权。
p1 =
λ
m1
2
1、等精度直接观测平差（求最或是值；评定精度） 、等精度直接观测平差（求最或是值；
真误差： 真误差： ∆1 = l1 – X ∆2 = l2 – X ············ ∆n =ln – X [∆ ] =[ l ] –[ X] n n n [∆ ] X=L- n (n→∞） ） [ X] [ l] [∆ ] n = n – n X=L 单一观测值与真值之差
1/300
例3、 对某段距离测量了 次，观测值为 1 , l2 , ··············· ln为相 、 对某段距离测量了n次 观测值为l 互独立的等精度观测值，观测中误差为m,试求其算术平均值的 互独立的等精度观测值，观测中误差为 试求其算术平均值的 中误差。 中误差。 解：
l1 + l2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ln L= n 1 1 1 dL = dl1 + dl2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dln n n n
2
[v ] m M =± =±精度直接观测平差
1、权的概念 、
设对某量进行了两组观测 设第一组观测了4次 设第一组观测了 次 l1 , l2 , l3 , l4 设第二组观测了3次 设第二组观测了 次 l`1 , l`2 , l`3 每组分别取平均值： L1= 每组分别取平均值：
∂F ∂F ∂F dz = dx1 + dx 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + dx n ∂x 1 ∂x 2 ∂x n
用增量形式表示如下： 用增量形式表示如下：
∆ z = f 1 ∆ x1 + f 2 ∆ x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + f n ∆ x n
设想对x 次观测： 设想对 i 进行了 k 次观测：
根据误差传播定律： 根据误差传播定律：
M0
2
1 ( p1 2 m 1 2 + p 2 2 m 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p n 2 m n 2 ) = [ p ]2
因为： 因为：
pi =
M 02 =
λ
mi
[p ]
1
2
且取λ=
m02
2 2
则：
2
(p m
1
2
0
+ p2m0 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ pnm0
∆i = vi + δ
对上式两边平方得： 对上式两边平方得：
i=1,2,3,---------- n
∆i ∆i = vi2 + δ2 + 2δ vi
求和
[∆2 ]= [v2 ] + nδ2 + 2δ[ v ] [∆2 ]= [v2 ] + nδ2 δ2 = (x – X) 2 =( [ l ] - X) 2 = 12 ([l ] – nX) 2 n n
用改正数计算观测值中误差 m =± ± [v2 ] n-1
求最或是值的中误差
l1 + l2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ln L= n 1 1 1 dL = dl1 + dl2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dln n n n
根据误差传播定律有： 根据误差传播定律有：
1 2 1 2 1 2 n 2 M = 2 m + 2 m + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 m = 2 m n n n n
2 2 2
1
2
2
2
n
k
2
k
n
k
i , j =1 i≠ j