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第六章 弯曲变形

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材料力学 第六章 弯曲变形

材料力学 第六章 弯曲变形

dw EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度：
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
积分常数：C和D
2、边界条件
用于确定积分常数C和D的梁支承处已知的变形条件，称为边界条件。
x 0, w 0
w x 0 0
dw x 0 dx
x 0
0
w x 0 0 w xl 0
3、连续条件
x a w1 w2 x a w1 w2
以A为原点，取直角坐标系 （1） 求支座反力
RA P, M A Pl
（2）列弯矩方程
M ( x) M A RA x Pl Px
（3）列挠曲线近似微分方程
Px 2 Pl 2 P 3 2 x 6 x 6 EI (3l x)
（教材173页表6-3序2）
（7）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
3
max
Pl 2 2 EI
3
Pl Pl wB ,即 w max 3EI 3EI
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。

64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 2000 202 (l a ) (40 20) 40.6 104 cm 3 EI 3 21 106 188
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形

材料力学B第6章弯曲变形

材料力学B第6章弯曲变形

F AA A A A
A A AA A
~ ~ ~ ~
~
第六章 弯曲变形
材料力学
梁的刚度条件
w max w
max
w
许用挠度

许用转角
可从相应的设计规范或手册中查得。
第六章 弯曲变形
材料力学
例 6-1 写出挠度和转角方程，并计算最大挠度wmax.
y O x
M(x)
FQ(x)
tan w wx
这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转 角表示.
第六章 弯曲变形
材料力学
对于纯弯曲状态，曲率方程为：
M EI z
对于横力弯曲状态 (忽略剪力 FQ ), 曲率方程为:
1
M x 1 x EI Z
经数学推导，可得如下公式：
最后
Fx3 Fax 2 2 Fa3 w2 6 EI 2 EI 3EI
(向下)
(逆时针方向)
7 Fa3 wA w1 x 0 6 EI Fa 2 A 1 x 0 EI
第六章 弯曲变形
材料力学
注意
(1) 如果梁被分成两段，将有4个积分常数，积分 常数的数量是分段数的两倍； (2) 各段之间的连续性条件对于确定积分常数是必须 的；
d w M ( x) 2 dx EI z
d 2w EI 2 M ( x ) dx
2
d 2w M ( x) 2 dx EI z
在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为
第六章 弯曲变形
材料力学
6.3 用积分法求弯曲变形
对于等截面梁, 微分方程可写为:
d 2w EI 2 M ( x ) dx

材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2

材料力学第六章 弯曲变形

材料力学第六章 弯曲变形

4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω

B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq


+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI

材料力学第6章弯曲变形

材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程




(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2

3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl

工程力学第六章 弯曲变形

工程力学第六章 弯曲变形

荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2

材料力学6-第六章 弯曲变形

材料力学6-第六章 弯曲变形

目录第六章弯曲变形 (2)§6－1 弯曲变形基本概念 (2)一、梁的挠曲轴 (2)二、挠度、转角 (2)三、挠度和转角的关系 (2)§6－2 挠曲线的微分方程 (3)§6－3 用积分法求梁弯曲变形 (4)§6－4 用叠加法求梁弯曲变形 (5)一、叠加法原理 (5)二、叠加法的应用 (5)§6－5 简单静不定问题 (7)§6－6 梁的刚度条件 (8)一、梁的刚度条件 (8)二、提高弯曲刚度的措施 (8)第六章 弯曲变形§6－1 弯曲变形基本概念一、梁的挠曲轴在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。

二、挠度、转角 1. 挠度、转角挠度：梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。

转角：梁横截面绕其中性轴所转的角位移。

2. 挠度、转角正负规定挠度正负规定： 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。

转角正负规定： 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。

三、挠度和转角的关系1. 挠曲线方程：)(x v v = 。

挠曲轴是挠曲线方程的函数曲线2. 转角方程：)(x θθ=3. 挠曲线上任一点斜率 dxdv =θtan 在小挠度情况下，θ很小（不超过 1或0.0175rad ）θθtan ≈所以，)()()(x v dxx dv x '==θ§6－2 挠曲线的微分方程1. 梁在纯弯曲情况下的曲率公式EIM 1=ρ a) 2. 对于跨度l 远大于高度h 的细长梁)10(≥lh,剪力对于弯曲变形的影响不计，M 和ρ1皆为x 的函数，所以EIM(x)x 1=）（ρ b) 从几何关系上看，平面曲线的曲率又有表达式：23222)dx dv (1d x 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±=dx v ）（ρ c) 当M(x)为正时，梁的绕曲线向下凹，022<dx vd ,当M(x)为负时，梁的绕曲线向上凸，022>dx vd ,由弯矩的正负号规定和本章所取坐标系，得：EI M(x))dx dv (1d 23222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-dx v ，在小变形条件下，梁的转角很小，所以得EI M(x)d 22-=dx v 近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。

工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形

工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2

材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件

材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件

F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：

第六章 弯曲变形(材料力学)

第六章 弯曲变形(材料力学)

d w 2 d x
3/2

M (x) EI
第六章 弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下，
dw 1 dx
方程中正负号的确定

d2 w d x2

M (x) EI
材料力学Ⅰ
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正.
第六章 弯曲变形
y
M
M
x
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大 的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
材料力学
第六章 弯曲变形
Wednesday, March 11, 2020
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 静不定梁的解法 §6-6 提高弯曲刚度的措施
F
F
2
2
F
材料力学Ⅰ
二、研究目的:
第六章 弯曲变形
1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础
材料力学Ⅰ
第六章 弯曲变形
三、梁的变形描述
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的

第六章弯曲变形

第六章弯曲变形

第六章 弯曲变形挠曲线的弯曲微分方程W=f(x)挠度 横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移， 转角 横截面对原来位置的角位移，称为该截面的转角可以是挠曲线上的点的切线方向与x 轴的夹角，也是改点的法线与横截面的夹角 【转角就是这一点的切线的斜正值为正的，负值为顺时针】规定转角顺时针为负值，逆时针为正值，而且剪力是顺时针为正值，逆时针为负值注意 用梁的轴线来代替梁弯矩规定下凸为正（叫做凹曲线）左顺右逆【使下侧受压为正】 梁的弯曲变形是很小的，在tan θ=θ值 在数学表达式中有|'1"w |p 1w +=中有二阶无穷小量 最后简化为 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, w 轴竖直向上为正。

此时，挠度的二阶导数在挠曲线凹（下凸）时为正，反之为负。

【挠度的二阶导数是弯矩，一阶导数是转角正好有弯矩的定义对应起来】梁的挠曲线近似微分方程 在这公式中，只是纯弯曲，忽略了剪力和二阶无穷小量6---3用积分法求弯曲变形在挠曲线的某些点上，挠度和转角有时候是已知的 1()()M x x EIρ=()"M x w EI =1()d EIw M x x C '=+⎰12()d d EIw M x x x C x C =++⎰⎰积分常数的确定1.边界条件简支梁左右胶支座挠度为0；悬臂梁固定端挠度是零，转角也是零2.连续条件（1）挠度连续条件（2）转角连续条件3.感悟弯矩为零处转角取极值；转角为零处，挠度取极值【更加简单的是从挠度曲线上来判读】4.事实上:在简支梁中, 不论集中载荷作用于什么位置, 其最大挠度值一般都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 精确度能够满足工程要求.技巧：（a ）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对于见对方对于简支梁的来说；中间作用一个集中力的话，要是判断那一段的挠度和转角的话，1 比较a 和b 的值，谁大挠度最大值就在那一侧；因为转角是在弯矩等于零的地方，所以可以知道转角一定会在 角支座处可能取得2比较集中力作用点的转角值得正负也可以判断6--4用叠加法求弯曲变形载荷叠加法和结构叠加法（逐段钢化法）在简支梁的一段作用的非集中载荷时候；要用积分的方法；取一小段dx 算出这一点的集度，再用第九栏的公式计算0)(a x M -+对于外伸梁一般用逐段钢化法；一般分为简支梁和固定端约束的梁；支点的简化时候有力和力偶两个（弯矩）[刚体作用时候是力可以平移的]剪力直接传递到支座上不引起变形6.5简单超静定梁独立平衡方程的数目的确定n次超静定梁寻求变形协调方程的关键是找到挠度的连接点6.6减小弯曲变形的一些措施改善机构的形式和载荷的作用方式，减小弯矩缩小跨度选择合适的截面形状工字形，等离对称轴较远的面例题中引入的是简支梁的三角形载荷；首先将载荷无限分解特别注意此时叠加的时候是积分2.简支梁部分载荷作用下的（载荷分布点的挠度和两端的转角）方法二的简化简支梁集中力在中间的作用下视为固定端约束3.对于外伸梁的端口的挠度和转角方法是固定的，一般有两种分段求变形（在脚支座的地方简化成力和弯矩，查表得出挠度和转角的表达式。

《材料力学》第六章-弯曲变形

《材料力学》第六章-弯曲变形

当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9

第六章 弯曲变形

第六章 弯曲变形

B2
B2

l 2
q( l )4 2
8EI
B2

l 2
w
C C1 C2
ql4 8EI
q( l )4 2
8EI


B
2

l 2
41ql4 384EI
C C1 C2 ql3
6EI

q( l )3 2
6EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
384EI 48EI 48EI 384EI
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q
A L/2 B
L/2
C
q
q
q
q
C1


ql 4 8EI
C1
C1
C1


ql 3 6EI
,
C2
q( l )3
q
B2
B2
C2
B2
2 6 EI
c2
C 2
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql 3
24EI
ql 3
16EI
ql 3
3EI
11ql3 48EI
C C1 C2 C3 5ql 4 (ql)l3 3ql 4 11ql 4
2
(x)
3 2
EI z
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利；
没有采用曲率的简化式， 非线性的， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。

材料力学 第6章 弯曲变形

材料力学 第6章 弯曲变形
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|

材料力学第六章

材料力学第六章

解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22

材料力学 第六章 弯曲变形

材料力学 第六章 弯曲变形
Q A
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。

第6章 弯曲变形

第6章 弯曲变形
F
A
C
B
v
|xC
v
|xC
，q
|
xC
q
|xC
3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：
①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。
工程实例
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
2.利用弯曲变形
在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
工程实例
车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
3.求解超静定问题。
二.基本概念
梁弯曲时的位移
1.梁的挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光
步 骤： (1)绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确 定挠曲线的大致形状及位置。 注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲 率也最大。
第三节 叠加法求梁的位移
梁弯曲时的位移
x
F
A
B
a Cb
FA
l
FB
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
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第六章 弯 曲 变 形
§6.1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的
强度外, 还要求变形不能过大, 即要求构件有足够的刚度, 以保证结构或机器正常工作。
第六章 弯 曲 变 形
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摇臂钻床的摇臂或车床 的主轴变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出 现废品。
第六章 弯 曲 变 形
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桥式起重机的横梁变形 过大, 则会使小车行走困难, 出现爬坡现象。
Fx 2EI
(x
2l)
w
F x2 6EI
(x
3l)
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Fl2 2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
第六章 弯 曲 变 形
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例：已知梁的抗弯刚度为E I。试求图示简支梁在集中力 F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax 。
第六章 弯 曲 变 形
2
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例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示悬臂梁在集中 力F 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。
第六章 弯 曲 变 形
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解：
B
qa 2 2
2a
3EI
qa (2a)2 16EI
qa3 12EI
D
B
qa3 6EI
qa3 4EI
wD
B
a
qa 4 8EI
5qa 4 24EI
第六章 弯 曲 变 形
+
||
||
+
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁的最大挠度和最大转角。
第六章 弯 曲 变 形
6
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例：求图示梁 D 端 的转角和挠度。
例：欲使 AD梁C点挠度 为零, 求 F与q的关系。 解：
+
wC
5q(2a)4 384EI
Fa(2a)2 16EI
0
F
5 6
qa
第六章 弯 曲 变 形
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例：若图示梁 B 端的转 角B 0 , 则力偶矩 M e等于 多少？
例：已知梁的抗弯刚度为 E I。试求图示简支梁的转角 方程、挠曲线方程，并确定max 和 wmax 。
解：由对称性，只考虑半跨梁 ACD
M1(x1) qax1
M
2
(x2
)
qax2
q 2
( x2
a)2
第六章 弯 曲 变 形
(0 x1 a) (a x2 2a)
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例：求图示梁 C点的挠度 wC 。
第六章 弯 曲 变 形
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例：求图示变截面梁 B、C 截面的挠度 wB、wC。
解：
wB
Fa3 3(2EI )
2
q 6EI
[3ax22
( x2
a)3
11a 3
w1
qa 6EI
(11a2 x1
x13
)
w2
q 24EI
[4ax23
( x2
a)4
44a3x2 ]
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI
wmax
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梁的挠曲线近似微分方程: 或
EIw M (x)
EI
d2w dx2
M
(x)
第六章 弯 曲 变 形
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二、用积分法求梁的变形 EIw M (x)
Fl3
Ⅰ
3EI
Ⅱ
第六章 弯 曲 变 形
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例：简支梁在整个梁上受均布载荷q 作用，若其跨度 增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？
wmax
5ql 4 384 E I
第六章 弯 曲 变 形
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例如, 车辆上的板弹簧, 要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
但在另外一些情况下, 有时却要求构件具有较大的弹性 变形，以满足特定的工作需要。
第六章 弯 曲 变 形
第六章 弯 曲 变 形
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解：AC段
M (x)
F 2
x
EIw
F 2
x
EIw
F 4
x2
C
EIw
F 12
x3
Cx
D
由边界条件 x 0 时 w 0
由对称条件
x
l 2
时
w 0
第六章 弯 曲 变 形
得 D0
得
C
Fl2 16
解：
wB
q(2a)4 8EI
qa(2a)3 3EI
14qa 4 3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
第六章 弯 曲 变 形
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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
解： M (x) F (l x)
EIw F x Fl
EIw
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
Fl 2
x2
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0 ，w 0
得 CD0
第六章 弯 曲 变 形
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
第六章 弯 曲 变 形
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解：
M ( x)
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 2
x
q 2
x2
EIw
ql 4
x2
q 6
x3
C
EIw
ql 12
x3
q 24
x4
Cx
D
由边界条件 x 0 时，w 0
x l 时， w 0
得
C
ql 3 24
二、弯曲变形的基本概念 1. 挠曲线 —— 梁的轴线变弯后的曲线
挠曲线
第六章 弯 曲 变 形
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2. 挠度和转角
规定：向上的挠度为正；逆时针的转角为正
挠曲线方程： w f (x)
转角方程：
tan
dw dx
第六章 弯 曲 变 形
，
D0
第六章 弯 曲 变 形
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q 24 EI
(6lx 2
4x3
l3)
w
qx 24EI
(2lx2
x3
l3)
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
wmax
w
x
l 2
5ql 4 384EI
Fa a2 2(2EI )
5Fa3 12EI
B
Fa 2 2(2EI )
Fa a 2EI
3Fa 2 4EI
wC
wB
B
a
Fa3 3EI
3Fa3 2EI
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例：求图示 梁 B、D 两点的 挠度wB 、wD 。
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AC 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
F 16EI
(4x2
l2)
w
Fx 48EI
(4x2
3l2)
最大转角和最大挠度分别为：