下载文档原格式
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量( 如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等 ) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差 =真值 - 观测值一、误差产生的原因 :1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二观测误差分类：1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。
若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋167.213×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 30系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
测量误差及不确定度分析的基础知识物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
根据测量条件的不同，测量分为等精度测量和非等精度测量。
测量四要素是测量对象，测量方法，测量单位，测量不确定度。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法一.误差的定义：测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：① 仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）例：电表的刻度不均匀---示值误差等臂天平的两臂实际不等---机构误差指针式电表使用前没调零---零位误差大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：① 已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
目录一、测量误差及分类 (2)1.1测量误差概述 (2)1.2 测量误差分类 (2)二、测量误差的合成 (5)2.1 随机误差的合成 (5)2.2 系统误差的合成 (7)2.3 系统误差与随机误差的合成 (11)测量误差及误差合成一、测量误差及分类1.1测量误差概述测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
观测误差产生的原因主要有以下三个方面:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
1.2 测量误差分类观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和随机误差两种。
（1）系统误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。
（2）随机误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。
例如用经纬仪测角时，测角误差实际上是许多微小误差项的总和，而每项微小误差随着偶然因素影响不断变化，因而测角误差也表现出随机性。
对同一角度的若干次观测，其值不尽相同，观测结果中不可避免地存在着随机误差的影响。
随机误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地存在偶然误差，因而随机误差是误差理论主要研究的对象。
就单个随机误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性，图1 频率直方图并且是服从正态分布的随机变量。
即在相同观测条件下，大量随机误差分布表现出一定的统计规律性。
图2正态分布曲线1．在一定的观测条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的限值；2．绝对值较小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；3．绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；4．同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋近于零，即[]lim 0x n →∞∆=除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记错等。
这主要是由于粗心大意而引起。
一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。
因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。
二、测量误差的合成检测系统往往由若干个环节组成，测量过程往往包含有若干个环节，各个环节都存在着误差因素。
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是检测系统或测量过程各个环节一系列误差因素共同影响的综合结果。
各个环节的误差因素称为单项误差。
根据各单项误差来确定测量结果的总误差，这就是误差的合成。
2.1 随机误差的合成随机误差用测量的标准差或极限误差来表征，随机误差的合成分为标准差的合成与极限误差的合成两种情况来讨论。
1．标准差的合成根据对随机变量求标准差的方法，标准差的合成一般采用方和根法，同时要考虑误差传递系数以及各单项误差之间的相关性影响。
设共有q 个单项随机误差，它们的标准差分别为σ1、σ2、…、σq ，其对应的传递系数分别为a 1、a 2、…、a q 。
这些传递系数由测量的具体情况来确定，对间接测量可按公式求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。
按方和根法合成的总标准差为σ= （2-1） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。
一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有σ= （2-2）当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有σ= （2-3）用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可按式（2-1）或式（2-2）、式（2-3）计算总标准差。
2．极限误差的合成在实际测量中，各个单项随机误差和测量结果的总随机误差也常以极限误差的形式来表示。
用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。
一般情况下，各个单项随机误差服从的分布不同，各个单项极限误差的置信概率也不同，因而有不同的置信系数。
设各单项极限误差为1,2,,i i i t i q δσ=±= （2-4） 式中，σi 为各单项随机误差的标准差，t i 为各单项极限误差的置信系数。
总极限误差为t δσ=± （2-5） 式中，σ为合成的总标准差，t 为总极限误差的置信系数。
综合式（2-4）、式（2-5）和式（2-1），可得合成的总极限误差为ij j δ=±∑ （2-6） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。
根据已知的各单项极限误差和相应的置信系数，即可按式（2-6）进行极限误差的合成。
但必须注意到，式（2-6）中的各个置信系数，不仅与置信概率有关，而且与随机误差服从的分布有关。
对于服从相同分布的随机误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同；对于服从不同分布的随机误差，即使选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同。
由此可知，式（2-6）中的各个单项极限误差的置信系数，一般来说并不相同。
合成的总极限误差的置信系数t ，一般来说与各个单项极限误差的置信系数也不相同。
当单项随机误差的数目q 较多时，合成的总极限误差接近于正态分布，因此合成的总极限误差的置信系数t 可按正态分布来确定。
当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个单项极限误差与总极限误差选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同，即t 1＝t 2＝…＝t q ＝t ，式（2-6）可简化为δ= （2-7） 一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，式（2-7）可简化为δ= （2-8）当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有δ= （2-9）式（2-8）和式（2-9）均具有十分简单的形式，由于在实际测量中各个单项随机误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且它们之间常是互不相关或近似不相关，因此式（2-8）和式（2-9）均是较为广泛应用的极限误差合成公式。
在实际应用时，应注意式（2-8）和式（2-9）的使用条件。
2.2 系统误差的合成系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。
由于这两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。
1．已定系统误差的合成已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
对于已定系统误差，在处理测量结果时可根据各单项系统误差和其传递系数，按代数和法合成。
在测量过程中，若有r 个单项已定系统误差，其误差值分别为△1，△2，…，△r ，相应的误差传递系数为a 1，a 2，…，a r ，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为1ri i i a =∆=∆∑ （2-10）在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的已定误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，因此，最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
2．未定系统误差的合成（1）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只需估计出其不致超过某一极限范围±e i 的系统误差。
也就是说，在一定条件下客观存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间（－e i ，e i ）内的一个取值。
当测量条件改变时，该系统误差又是误差区间（－e i ，e i ）内的另一个取值。
而当测量条件在某一范围内多次改变时，未定系统误差也随之改变，其相应的取值在误差区间（－e i ，e i ）内服从某一概率分布。
对于某一单项未定系统误差,其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差的变化规律。
理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。
目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。
但这两种假设,在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。
未定系统误差的极限范围±e i 称为未定系统误差的误差限。
对于某一单项未定系统误差的误差限，是根据该误差源具体情况的分析与判断而做出估计的，其估计结果是否符合实际，往往取决于对误差源具体情况的掌握程度以及测量人员的经验和判断能力。
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，这是它与随机误差的重要差别。
但当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相同，因而评定它对测量结果的影响也应与随机误差相同，即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。
现以质量的标准器具──砝码为例来说明未定系统误差的特征及其评定。
在质量计量中，砝码的质量误差将直接带入测量结果。
为了减小这项误差的影响，应对砝码质量进行检定，以便给出其修正值。
由于不可避免地存在砝码质量的检定误差，经修正后的砝码质量误差虽已大为减小，但仍有一定误差，因而影响质量的计量结果。
