第1讲-常微分方程的物理背景

常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。

本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。

引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。

而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。

这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。

对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。

因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。

一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。

例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。

1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。

常微分方程课程介绍课程名称：常微分方程课程学分：3学分开设时间：第三或四学期先修课程：本课程是基于微积分的基本思想提出的。

注册本课的同学应当有数学分析的背景，此外还有具备高等代数、解析几何及普通物理学等方面的知识背景。

背景及意义：三百年多年前，当牛顿和莱布尼奠定微积分的基本思想的同时，他们也就正式提出了微分方程的概念。

随后，许多著名数学家对微分方程开始了研究。

从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术, 从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系, 使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一, 而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。

常微分方程定性理论的发展更加拓广了它的应用范围，并深入到机械、电讯、核能、火箭、人造卫星、生物、医学及若干社会学科（如人口理论、经济预测等）的各个领域。

尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测等等。

现在微分方程已成为当今数学中最具有活力的分支之一。

课程内容：作为一门与微积分一起成长起来的学科，本课程是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。

微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。

常微分方程的基本理论和方法通常包括以下五方面的内容：1．初等积分解法主要包括变量可分离方程、齐次方程、掌握齐次方程、一阶线性方程、全微分方程及积分因子、一阶隐式微分方程、几种可降阶的高阶方程等的解法。

2．基本定理主要介绍解的存在与唯一性定理3．线性微分方程组包括线性齐次方程组的一般理论、线性非齐次方程组的一般理论、常系数线性微分方程组的解法等。

4．n阶线性微分方程包括n阶线性微分方程的一般理论，n阶常系数线性齐方程解法，n阶常系数线性非齐方程解法。

常微分方程的概念与性质常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）是研究函数与它的导数之间的关系的数学分支。

它在众多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。

我们将在本文中探讨常微分方程的概念以及其一些重要的性质。

概念常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的方程。

一般形式可以表示为：\[ F(x, y, y', y'',...,y^{(n)}) = 0 \]其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等是y的各阶导数。

性质1. 阶数与解的个数：对于n阶常微分方程，其解可能有0个、1个或者多个。

这取决于初始条件的给定以及方程的性质。

2. 相互独立的解：如果一个常微分方程有n个解，且它们在某个开区间内相互独立，那么这n个解就构成了这个方程的通解。

通解的一般形式为y = C1y1 + C2y2 + ... + Cny_n，其中C1、C2等为常数。

3. 唯一解的条件：如果一个常微分方程在某个区间上满足Lipschitz条件，并且初始条件给定（即确定了初始点和初值），那么在这个区间上定解问题将有唯一解存在。

4. 叠加原理：对于齐次线性常微分方程（即方程中只有y及其各阶导数的线性组合项），如果y1(x)和y2(x)分别是其解，那么它们的线性组合C1y1(x) + C2y2(x)也是该方程的解。

5. 稳定性：常微分方程的解有时会表现出稳定性，即当初始条件稍微改变时，解的行为也只有微小的变化。

稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，具体取决于解的行为。

总结通过对常微分方程的概念和一些重要性质的介绍，我们可以看到常微分方程在实际问题中的重要性和广泛应用。

熟练掌握常微分方程的理论和方法，对于解决一些实际问题具有重要的意义。

在进一步研究常微分方程时，我们可以探索更多的应用领域，深入理解方程的性质和解的行为。

这将帮助我们更好地理解自然现象和工程问题，并为解决实际问题提供有效的数学工具。

常微分方程讲解常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。

在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。

例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。

这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。

利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。

本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。

例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。

）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。

这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。

其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。

下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。

第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。

例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。

掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。

例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。

我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气的温度保持为。

解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。

例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。

第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t+∆-=-∆ 令0t ∆→，可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。

常微分方程(1前言微积分是现代数学不可或缺的一个分支。

其中，常微分方程是数学研究中的一个重要领域，它涉及到数学、物理、力学、经济和生物等多个学科，因此具有重要的理论和应用价值。

本文将介绍常微分方程的基本概念、求解方法以及在各个学科中的应用，以期能够为读者提供帮助。

2常微分方程的基本概念常微分方程，简称ODE，是指只涉及一个自变量的一阶或高阶微分方程。

其中，一阶ODE的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$f(x,y)$是已知函数，称为方程的“右端”。

求解这个方程就是要找到一个具有所给右端的解函数。

对于高阶ODE，它的一般形式为：$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中，$y=y(x)$是未知函数，$F$是已知函数，$y'=\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数，$y''$表示$y'$对$x$的导数，$y^{(n)}$表示$y^{(n-1)}$对$x$的导数。

求解这个方程就是要找到一个具有所给$F$的解函数$y=y(x)$。

3常微分方程的求解方法对于一阶ODE，我们可以使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性ODE法等方式求解。

其中，最常见的是分离变量法，它的步骤如下：（1）将方程变形为$g(y)dy=f(x)dx$的形式，其中$g(y)$和$f(x)$是已知函数；（2）对两边同时积分，得到$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是积分常数；（3）解出$y$的表达式$y=h(x,C)$。

对于高阶ODE，我们可以使用常数变易法、齐次方程法、非齐次线性ODE法等方式求解。

其中，最常见的是常数变易法，它的步骤如下：（1）将$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$变形为$y^{(n)} =p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$的形式，其中$p_i(x)$和$q(x)$是已知函数；（2）猜测一个通解$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)$，其中$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$是$n$个线性无关的特解；（3）将上式代入$y^{(n)}=p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+...+p_n(x)y+q(x)$以求出$y_i(x)$。

常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。

在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。

本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。

常微分方程可以分为一阶和高阶两类。

一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。

二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。

这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。

三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。

2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。

通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。

3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。

4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。

四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。

以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。

在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。

常微分方程的起源与发展概述说明1. 引言：1.1 概述常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是未知函数及其导数之间的关系。

解决常微分方程可以帮助我们理解和描述自然现象、社会现象以及工程问题等各个领域中的变化规律。

本文旨在阐述常微分方程的起源与发展历程，并探讨它在科学和工程领域中的应用。

1.2 文章结构本文将围绕以下几个方面展开对常微分方程的探讨：引言部分首先进行概述，介绍了文章涉及内容以及文章结构；接下来，将在第二部分从定义与概念、历史背景和发展过程三个方面介绍常微分方程的起源；第三部分将对常微分方程的基本理论进行详细讨论，包括解的存在唯一性定理、解的稳定性与收敛性以及非线性常微分方程；第四部分将聚焦于常微分方程在物理学、工程学和生物学等科学与工程领域中的应用；最后，在结论部分总结常微分方程的起源和发展，并展望未来发展趋势和研究方向。

1.3 目的本文的目的是系统地介绍常微分方程的起源与发展，阐述其基本理论，并探讨其在科学和工程中的应用。

通过对常微分方程研究历史和应用领域进行概述，旨在增加读者对该学科重要性的认识，并为进一步学习和研究提供基础知识。

同时，还将探讨未来常微分方程发展的趋势和研究方向，促进相关领域的进一步发展与应用。

2. 常微分方程的起源2.1 定义与概念常微分方程是数学中研究函数和其导数之间关系的一个分支。

它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系，通常以一阶或高阶导数的形式出现。

在常微分方程中，未知函数可以表示为关于时间、空间或其他独立变量的依赖关系。

这种类型的方程一般用于描述物理、生物和工程等领域中发生的连续变化过程。

2.2 历史背景常微分方程的起源可以追溯到17世纪。

当时，科学家试图解决与运动有关的问题，如天体力学和机械系统的运动规律。

为了建立模型并预测系统的行为，他们需要利用数学方法来描述运动过程。

最早涉及常微分方程思想的著作可以追溯到牛顿和莱布尼茨时代。

牛顿通过描述质点运动过程中加速度与位置之间的关系提出了质点运动方程。