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常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程的形成与发展常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是数学中的一个重要分支，它以其广泛的应用领域和深刻的理论基础而备受关注。
本文将介绍常微分方程的形成与发展，并探讨其在科学和工程领域的应用。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时数学家牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学。
微积分学为解决实际问题提供了强有力的工具，但对于涉及变化率的问题，如天体运动、物体受力等，微积分的基本概念似乎无法直接应用。
为了解决这些问题，数学家们开始研究变化率的微分方程，并逐渐发展出了常微分方程的理论。
常微分方程描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
最简单的一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。
这个方程的解即是函数y = f(x)在给定条件下满足导数关系的解。
通过求解常微分方程，可以获得函数的具体形式，从而预测和分析系统的行为。
在常微分方程的研究中，数学家们提出了许多重要的理论和方法。
例如，欧拉和拉格朗日在18世纪提出了变分法和最优控制理论，用于求解常微分方程的极值问题。
拉普拉斯和傅里叶则发展了傅里叶级数和傅里叶变换，用于求解常微分方程的周期性和频域特性。
这些理论和方法不仅为常微分方程的研究提供了强大的工具，也推动了数学、物理、工程等学科的发展。
常微分方程在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿运动定律可以用常微分方程来描述。
工程学中的控制系统、电路和机械振动等问题也可以通过常微分方程进行建模和分析。
生物学中的生态系统、遗传学和神经科学等问题也涉及到常微分方程的应用。
此外，在金融学、经济学、流体力学等领域，常微分方程也扮演着重要的角色。
随着计算机技术的发展，数值方法成为求解常微分方程的重要手段。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，并利用计算机进行近似计算，可以得到方程的数值解。
这种方法在实际问题中具有很大的应用价值，例如天气预报、飞行器设计和药物动力学等领域。
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
微分⽅程——基本概念和常微分⽅程的发展史1.2 基本概念和常微分⽅程的发展史⾃变量、未知函数均为实值的微分⽅程称为实值微分⽅程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分⽅程。
若⽆特别声明，以下均指实变量的实值微分⽅程。
1.2.1 常微分⽅程基本概念(1) 常微分⽅程和偏微分⽅程微分⽅程就是联系⾃变量、未知函数及其的关系式。
如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程；⾃变量的个数为两个或两个以上的微分⽅程为偏微分⽅程。
⼀般的n阶常微分⽅程具有形式：F x,y,dydx,⋯,d n ydx n=0(1.38)微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶的阶数称为微分⽅程的阶数。
此后，我们把常微分⽅程称为“微分⽅程”，有时更简称为“⽅程”。
(2) 线性和⾮线性如果⽅程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的⼀次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分⽅程。
⼀般n阶线性微分⽅程具有形式不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程。
例如⽅程(3) 解和隐式解如果函数y=φ(x)代⼊⽅程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ(x)为⽅程(1.38)的解。
如果关系式Φ(x,y)=0决定的函数y=φ(x)是⽅程(1.38)的解，称为称Φ(x,y)=0为⽅程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。
为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为⽅程的解。
(4) 通解和特解我们把含有n个独⽴的任意常数c1,c2,⋯,c n的解称为n阶⽅程(1.38)的通解。
为了确定微分⽅程⼀个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初值条件和边值条件。
求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题。
当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。
我们主要讨论初值问题。
我们把满⾜初值条件的解称为微分⽅程的特解。
初值条件不同，对应的特解也不同。
⼀般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数⽽得到。
常微分方程发展简史—经典阶段微分方程是数学的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
常微分方程是其中的一类，它描述了一个未知函数与其导数之间的关系。
常微分方程的研究历史可以追溯到古代，但其经典阶段始于17世纪，并且在18世纪达到了高峰。
下面将简要介绍常微分方程发展的经典阶段。
17世纪是微积分学的发展时期，许多数学家开始研究微分方程。
其中最重要的是牛顿和莱布尼茨的工作，他们独立地发现了微积分的基本原理，并将其应用于物理问题的求解。
牛顿发展了牛顿运动定律，并通过微分方程的形式来描述物体的运动。
他的工作使常微分方程成为了解决物理问题的重要工具。
18世纪是常微分方程研究的黄金时期。
数学家们开始系统地研究微分方程的性质和解法。
最著名的数学家之一是欧拉，他在微分方程领域做出了巨大贡献。
他研究了线性和非线性常微分方程，并提出了解这些方程的方法。
他的工作奠定了常微分方程的基础理论，并推动了后续的研究。
欧拉之后，许多数学家对常微分方程进行了进一步的研究。
拉普拉斯、拉格朗日和傅里叶等数学家都为微分方程的理论和解法作出了贡献。
拉普拉斯提出了一种新的解微分方程的方法，即变量分离法。
这种方法被广泛应用于解常微分方程的各种形式。
拉格朗日则研究了经典力学中的变分原理，并将其应用于解微分方程。
傅里叶的贡献是将常微分方程的解表示为正弦和余弦函数的形式，这被称为傅里叶级数展开。
此外，拉普拉斯和拉格朗日还提出了一种新的方法，即变换法。
这种方法将一个复杂的微分方程转化为一个更简单的形式，从而易于求解。
这为后来的研究提供了重要的思路。
到了19世纪，常微分方程的研究越来越深入。
高斯、庞加莱和魏尔斯特拉斯等数学家在微分方程的解法和理论方面取得了重要进展。
高斯研究了二阶常微分方程的解法，提出了高斯超几何函数的概念。
这个函数在物理学和工程学中有广泛的应用。
庞加莱提出了一种新的方法，即微分方程的数值解法。
他的工作为计算机模拟和数值计算奠定了基础。
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）作为数学中重要的研究领域之一，早在古代数学家就开始研究。
然而，对于常微分方程的深入研究直到16世纪才真正开始。
定性理论阶段在常微分方程的发展历史中，定性理论阶段是一个重要的里程碑。
在17世纪，欧洲的许多数学家开始对常微分方程进行研究，并取得了一些重要的成果。
其中最著名的数学家是伯努利家族，他们的研究成果对定性理论的发展产生了巨大的影响。
定性理论的主要目标是研究常微分方程的解的性质，而不是具体的解的形式。
欧拉则提出了一种提供常微分方程解单值化的方法，通过引入无穷远点的概念，将复杂的解变为简单的解。
之后，拉普拉斯又发展了一种完全不同的方法，基于群论的观点，用幂级数来表示解，并通过对幂级数的收敛性进行分析。
解析理论阶段19世纪初，解析理论阶段开始。
拉格朗日和伽罗瓦两位法国数学家在解析理论的发展中发挥了关键的作用。
伽罗瓦则通过研究方程的对称性和置换群的理论，将求解常微分方程的问题转化为求解多项式方程的问题。
他的工作对解析理论的发展产生了深远的影响。
除了法国数学家的贡献外，俄罗斯数学家切布雪夫和德国数学家雅可比也做出了重要的贡献。
切布雪夫发展了关于常微分方程解的唯一性和存在性的理论，而雅可比则通过引入雅可比行列式，研究了常微分方程解的特征。
总结总的来说，常微分方程的发展经历了三个阶段：古代数学家的初步研究、定性理论阶段和解析理论阶段。
定性理论阶段主要是研究解的特性，而解析理论阶段则关注具体的解的形式。
这些理论的发展为后来的数学家提供了基础，也为应用数学领域的发展打下了坚实的基础。
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足:t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t +∆-=-∆ 令0t ∆→，可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。
按照历史年代划分, 常微分方程研究的历史发展大体可分为四个阶段：● 18世纪及其以前；● 19世纪初期和中期；● 19世纪末期及20世纪初期；● 20世纪中期以后。
按照研究内容分可以分为：● 常微分方程经典阶段；● 常微分方程适定性理论阶段；● 常微分方程解析理论阶段；● 常微分方程定性理论阶段。
1、常微分方程经典阶段：18世纪及其以前尽管在Napier John 所创立的对数理论（讨论过微分方程的近似解）以及da Vinci Leonardo 的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程的思想萌芽, 但人们通常认为常微分方程的开端工作是由意大利科学家Galileo完成的. 现在通常称为弹性理论这一领域中的问题促进了微分方程的研究. 17世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时, 需要考虑垂直梁和水平梁在外力作用下的变形, 以及当外力撤销时梁的恢复程度, 也就是梁的弹性问题. 当时的建筑师们处理此类问题大多依赖于经验. Galileo从数学角度对梁的性态进行了研究, 将研究成果记录在《关于两门新科学的对话》一书中, 这些研究成果成为常微分方程开端.饿狼扑兔问题：一只兔子正在洞穴正南面60码的地方觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方游荡。
兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。
说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度紧盯着兔子追去。
于是，狼与兔之间，展开了一场生与死的惊心动魄的追逐。
问：兔子能否逃脱厄运？⏹一阶常微分方程从17世纪末开始, 摆的运动, 弹性理论及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程, 这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论. 常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中, 或者出现在那些常常重新登载书信中建立的或说明的结果的刊物中. 某人宣布一个结果往往引起另一个人的申辩, 说他更早作了完全相同的工作. 由于存在着激烈的竞争,这种申辩不一定是真实的. 有些证明只是概述, 而且弄不清作者掌握的详情. 同样, 在信上写着的一般解法也仅仅是特例的说明. 由于这些原因, 我们即使不考虑这个问题的严密性, 也很难指出谁是首先得到这些结果的人. 质点动力学是这个阶段研究的问题的主要来源之一。
1693年, Huygens在《教师学报》中明确说到了微分方程, 而Leibniz在同年的《教师学报》的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数. 我们现在所学到的关于常微分方程的观点大约直到1740年才出现.Bernoulli James用微积分求解常微分方程解析解的先驱者之一.●1690年, Bernoulli James研究了与钟摆运动有关的``等时曲线问题: 求一条曲线, 使得摆沿着它作一次完全的振动时间相等, 无论摆所经历的弧长的大小". Bernoulli James通过分析建立了常微分方程模型, 并用分离变量法解出了曲线方程，即摆线.●1690年, Bernoulli James提出了“悬链线问题：求一根柔软的但不能伸长的绳子悬挂于两固定点而形成的曲线”. Leibniz称此曲线为悬链线. 在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线.●这个问题早在15世纪, Leonardo da Vinci已经考虑过此问题. Galileo比Bernoulli James更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
Huygens 在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。
在1691年6月的《教师学报》上, Leibniz G, Huggens C (62岁), Bernoulli John 都发表了各自的解答, Huggens的解答是几何的且是不清楚的. John所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程，解此方程并适当选取参数，即得悬链线.也就是常微分方程教材中采用的解法. Leibniz用微积分的方法也得到了这个结果. John能够解决了悬链线问题, 而他的哥哥James提出这个难题却不能解决, 所以他感到莫大的骄傲.这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，James做了一年也没有结果，实在是很没面子。
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（丹尼尔·伯努利）（他是John Bernoulli 的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoulli 。
"那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton （牛顿）呢。
”Daniel 从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把它当作自己曾经听过的最衷心的赞扬。
●● 1694年, Leibniz G 和Bernoulli John 提出了等角轨线问题: 求这样的曲线和曲线族, 使得它与某已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度. 当所给定的角为直角时, 等角轨线就称为正交轨线. 等角轨线在许多学科如光学、天文、气象中都有应用.这个问题一直到1697年都没有公开,那时John 把它作为向James 提出的一个挑战. James 只解决了一些特殊的实例. John 导出了一特殊曲线族的正交轨线的微分方程,并且在1698年解出了它. 后来Leibniz 找到了曲线族22y bx = (b 是参数)的正交轨线即一族椭圆22/2y x c +=.虽然他只解出了特例, 没有给出一般方法, 但在他的解法中隐含了一般解法.●● 正交轨线问题一直处于沉寂状态, 直到1715年, Leibniz 向英国数学家, 主要对准Newton 提出挑战: 找出求一已知曲线或曲线族的正交轨线的一般方法. Newton 在造币厂, 白天劳累之后, 用睡觉前时间接触了这个问题, 1716年发表了他的解答. Newton 还指明了如何求与一已知曲线族相交成定角的曲线, 或相交的角是按照给定的规律随族中曲线变化的曲线. 虽然Newton 用了二阶常微分方程, 但他的方法与现代所用的方法没有太大的不同. 关于这个问题的更进一步的工作是由Bernoulli Nicholas 在1716年完成的. 1717年, Hermann J (Bernoulli John 的学生)给出了一般规则, 此方法实际上是Leibniz 的, 只不过Hermann 阐述得更为明确而已. John Bernoulli 向英国人提出了另外一些轨线的难题, 他特别讨厌的是Newton. 由于英国人和欧洲大陆伙伴已经不和, 所以挑战是冷酷的且充满敌意.● 1754年, Lagrange J 在``等时曲线问题"上取得重要进展, 并开创了变分学.起初, 数学家们只是用特殊的方法和技巧解决特殊的方程, 然后才逐渐开始寻找带有普遍性的方法.● 1691年, Leibniz G 提出了求解了变量可分离方程()()y f x g y '=的“变量分离法”; 首次应用后来被称为Briot-Bouquet 变换的$y=ux$解决了齐次方程(/)y f y x '=的求解问题. 1694年, Bernoulli John 在《教师学报》中对变量可分离方程和齐次方程求解作了更加完整的说明.●● 1695年, Bernoulli James 提出了Bernoulli 方程()()n dy p x y q x y dx=+, 并于1696年用分离变量法把它解出. 1696年, Leibniz G 利用“变量代换法”求解Bernoulli 方程,即作变量替换1n z y-=, 将其划为线性方程求解. 还曾试图利用变量代换法统一解决一阶常微分方程的求解问题. Bernoulli 兄弟(James, John)也推进了分离变量法和变量代换法.● 1734-1735年Euler L 提出了全微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=, 并给出了此方程是全微分方程的条件: M N y x∂∂=∂∂. 当一个一阶方程不是全微分方程时, 往往可以将方程乘上一个叫作积分因子的量, 使它变为全微分方程. 积分因子法虽说在一阶方程的特殊问题中已经采用(如John Bernoulli 曾用此方法求解一些变量可分离方程), 但是领会到积分因子这个概念, 并把它作为一种方法提炼出来的却是Euler, Euler L 确立了可采用积分因子法求解的方程的类属; 证明了凡能用分离变量法求解的方程都可用积分因子法求解, 但反之不然; 证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子, 那么令它们的比等于常数, 就是微分方程的一个积分; 还证明了对于高阶方程, 用分离变量法求解是行不通的; 还曾试图利用积分因子的方法统一解决一阶常微分方程的求解问题. ●1739-1740年Clairaut A 独立地引入了积分因子的概念, 也提出了“积分因子法”. ●●1694年, Leibniz 发现了方程的一个解族的包络也是解. ●●1715-1718年，Taylor B 讨论微分方程的奇解、包络和变量代换公式. ●●1734年, Clairaut 研究了以他名字命名的Clairaut 方程, 发现这个方程的通解是直线族, 而直线的包络线就是奇解; 他知道奇解不包含于通解之中, 但不知道奇解是一包络. Clairaut 和Euler 对奇解进行了全面的研究, 给出从微分方程本身求的奇解的方法. ●●1772年, Laplace P 将奇解概念推广到高阶方程和三个变量的方程. ●1774年, Lagrange J 对奇解和通解的联系作了系统的研究, 他给出了一般的方法和奇解是积分曲线族的包络的几何解释. ●● 奇解的完整理论是在19世纪发展起来的, 而且由Cayley 和Darboux 在1872年给出现代的形式.到1740年左右, 几乎所有求解一阶方程的初等方法都已经清楚了.。
