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常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将对常微分方程的基本概念进行讨论，并介绍其解法和应用。
一、概述常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，通常用x表示自变量，y表示因变量，y'表示y关于x的导数。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程，一阶常微分方程中只涉及一阶导数，而二阶常微分方程则涉及二阶导数。
一阶常微分方程可以写成如下形式： F(x, y, y') = 0二、解法常微分方程的解法可以分为解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指能够用解析函数表示的常微分方程的解。
解析解的求解需要运用数学分析方法，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
一些简单的常微分方程，如y'=x，y''+y=0等，可以直接得到解析解。
2. 数值解数值解是指使用数值计算方法求解常微分方程的近似解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程，并通过迭代求解逼近真实解。
数值解适用于无法得到解析解或解析解过于复杂的情况。
三、应用常微分方程在各个学科中都有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用领域。
1. 物理学常微分方程在物理学中有重要应用，可以描述运动学、动力学、场论等。
例如，牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程。
常微分方程在天体力学、电动力学、流体力学等领域起着关键作用。
2. 工程学常微分方程在工程学中的应用十分广泛，例如弹簧振子的自由振动、电路中的RLC系统等都可以用常微分方程进行建模和求解。
工程学中的常微分方程解法通常需要结合实际问题进行求解和分析。
3. 生物学生物学中许多现象都可以用常微分方程进行建模和解释。
如生物种群的增长与衰减、化学反应动力学等都与常微分方程密切相关。
第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、冃的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学于段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8), 如何求岀基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组dx(3.20)下面分两种情况讨论.(-)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为人，入,…，人,这时入0T~[AT0 A, 方程组(3.20)变为(3.23)易见方程组(3.23)有〃个解Z](兀)=0 严，Z2(x) =■■0010•■乙(兀)= 0■■A..x eH ■■1把这〃个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的舁个解5hi(Z = h Z…加这里7；是矩阵丁第例向豊它恰好是矩阵A关于特征根人的特征向量，并且由线性方程组(A-4E)£=0所确定.容易看岀，y,(X),§(X),…比(x)构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = det T工0・于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的〃个特征根入，希，…，人,彼此互异，且7；込,…卫分别是它们所对应的特征向量，则Z (劝=尹7],场(劝=/込，…比(X)= e A"x T n是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是4 = 特征方程是det(A-2E)=3-1 1 _-15-13-13-2-11-15-2-1=0 3-13-2dxdt= 3x- y + zdzdt=x- y + 3z23-lU 2+362-36 = 0所以矩阵A 的特征根为人=2,人=3,入=6.先求A =2对应的特征向量，仅C 满足方程a■ 1-1 1 _Cl（A-人 E ） b —— -1 3 -1 b =0c1 -1 1 c即a-b + c = 0 < -a + 3b-c = 0 a-b + c = Q可得a = —c,b = °.取一组非零解，例如令° = 一1 ,就有 d = l,b =0,c = —1.同样，可求出另两个特征根所对应的 特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是_1 -■f■ 1 ■W)=C {e 2t 0 + C 2e 3f1 + Ge" -2 z(f)-111（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY 二AYdx(3.20)归结为求矩阵4的特征根和对应的特征向量问题.现在 考虑复根情形.因为4是实的矩阵，所以复特征根是共辘出 现的，设\2=a±i 0是一对共辘根，由定理3.11,对应 解是Y x (x) = e^x T x , Y 2 (%) = e^xT 2其中£兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们 希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3・12如果实系数线性齐次方程组罕=A(X)Y ax 有复值解Y(%)=U(X)+ iV(x)其中L/(x)与卩(兀)都是实向量函数，则其实部和虚部坷(兀)t/(x) =w2(x)■■■，VW =认)■叫(X) 也)证明因为Y(兀)=U(x) + iV(兀)是方程组(3.8)的解，所以dx v ] dx dx=A(x)[U (x) + iV (x)] = A(x)U (x) + iA(x)V (x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dx，dx即g),«)都是方程组(3.8)的解•证毕.定理3・13如果Z (x), Y2 (x),…,人(x)是区间(恥)上的« 个线性无关的向量函数，也厶是两个不等于零的常数，则向量函数组卅(劝+如],^KW-^(x)],5(劝,・・・,匕(劝(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在〃个不全为零的常数g…,c“,使得对区间(小上的所有兀皆有Cp][X(x) + §(x)] + C2b2[Y{(X)-Y2(X)]+C3Y3O) + …+ C n Y n(x)三0所以(C、b\ + C2b2)Y.(x) + (CQ\ — C2b2)Y2(x) + (x) + …+C n Y n O)三0因为乙(兀)卫(劝,…,乞(兀)线性无关,从而CQ] + C2b2 = 0, C\b[ — C2b2 =0, C3 = 0,…,C” = 0从上式可知，C {b { =C 2Z?2 =0,因为％/?2鼻0,故 6=0=°.即所有常数g …c 都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知，实矩阵4的复特征根一定共辘成对地岀 现•即，如果a = a +ib 是特征根，则其共^A = a-ib 也是 特征根.由定理3.11,方程组(3.20)对应于^ = a + ib 的复 值解形式是"1 +"12 Y](x)二严初7二严也■ ■ ■『21 +”22 ■t n□ +心2这里E 是对应于^ = a + ib 的特征向量.由于矩阵A 是实 的，所以上述向量的共辘向量是方程组(3.20)对应于特征根=e ax (cos bx + i sinbx)+ "12 ■ h\ +"22G cos bx-t n sinbxt n cosbx + t n sinbxcos bx -sinbx・ClX4 cosbx + q sinbx■ ■+ ie■■t nl cosbx-t n2 sinbxt n2 cosbx + f 川 sinbx+ lt n2A = a-ib 的解，记作丫2(兀)=严沥工，•现将上述 两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t n cosbx + 帚 sinbx 切 cosbx + Q sinbx■t n2 cosbx + g sinbx由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解，并 且由此得到的n 个解仍组成基本解组.|[Y 1(X ) + Y 2(X )] = ^cos bx-t n sinbxZ 21 cos bx-12? sinbx■ ■ ■t ni cosbx-t n2 sinbx1[Y 1(X )-Y 2W] = ^2z例2求解方程组dxdt -x-y-z dt 二兀+ydz = 3x + zdt解它的系数矩阵为-1 1-Z 0-1 0 1-A(2-1)(22-22+5) = 0特征方程是-1 -11-2det(A -AE)=特征根为人=1，育 3 = 1 ± 2Z先求人=i对应的特征向量为~0_T.= 1-1再求人=1 + 2,所对应的特征向量丁2.它应满足方程组~-2i-1-T a(A-(1+2Z)E)T2=1-2i0b=030-2i c-2ia-b-c二0< a — 2bi — 03a-2ci = 0用力乘上述第一个方程两端，得4a-2bi-2ci = 0< a - 2bi = 0 3a —2c 心 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程 组中仅有两个方程是独立的，即a — 2bi = 0 3a — 2ci = 0求它的一个非零解.不妨令" = 2.贝ljb = l,c = 3・于是人= 1 + 2/对 应的解是故原方程组的通解为_0_-2 sin It2 cos 2?=C0 1 +cos2r + C 3e ，sin 2t z(x) -13 cos It3 sin 2t(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这 些特征根所对应的特征向量.然而，当~2i~~2i ~-2 sin 2t2cos2r 1 =e r (cos 2t + i sin 2f)1 =e r cos 2tsin 2t333 cos 2t3sin2fe (l+2/)/矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若人是A 的出重特征根，则由齐次线性方程组(A - 4E)!；二0所决定的线性无关特征向量的个数人，一般将小于或等于特征根人的重数匕若幷半，那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同•若齐＜«,由线性代数的知识，此时也可以求岀匕个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型J.TAT=山■_ J加-其中未标岀符号的部分均为零无素，而是化阶约当块，/+©+…+灯=仏"…，九是(3.20)的特征根, 它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成JZ~cbc(3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为〃7个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子, 说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形，其推导是相似的.设方程组Dx(3.26)中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ 其中T =(G (L_/ = 1,2,...,5)且 delTHO,将方程组(3.26)化为(3.27)dx我们假定1 0 0 o -0 A 1 0 0J = 00 A 0 00 0 010 0 0 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组(3.28)(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(C AZ[ = — x2 + C^x + C, e A[X12! ~ JZ2 = (C3x + C2)e z,A同样对(3.29)可解得z4=(C5x + C4)^x这里GG ，…,G 是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现“5, 在(3.29)中不岀现辟2好 我们依次取C )= 1, C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0C] = o, = h = C4 = q = o Cj = C 2 = 0, C 3 = 1,C 4 = C 5 = 0 q = C] = C y = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 q = q = C3 = C4 = o. C5 = 1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而(3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵•又detZ(0) = 1^0zi =e 0 0 ,z° = - Xj.v ■ xe 1/X Z3 = 2!xe^x /X■ 0 ■ 0，厶= 0€ 9_ 00 00XZ(x) = 00 02!兀戶0 00 0 0严所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27) 的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y"Z 中可得原方程组(3.26)的五个解，（寸，+r 12x + r 13>z,A （才兀2 +3 +Q ）□ （毎兀2 +/32兀 +/33）0 （才F +3 +心）穴 （毎F+l + S*而且这五个解构成方程组的一个基本解组•这是因为，若把上 面五个解写成矩阵形式Y(x) = [X (x), Y 2 (x), Y 3 (x), Y 4 (x), Y 5 (x)]则显然有detY(0)= T HO.I”（⑺+心）/"(切兀+切対(『34兀+(35)/"(切兀+切)/'（『54*+ ‘55）八 _(加+氐沖 (护+山才 (“沁+切)/" (⑺+心才Y 4至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，仏是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,PiMY(x)= p3i(x) d,2,3(3.32)其中每个必CM = 1,2,3,£ = 1,2,3,4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R o + Rd+R2X2)/'都是五维常向量•而对于J中的二阶若当块，易是其中R(J.R P R2(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3+R4X)^X其中R“出也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20),若厶是A的一个出重特征根，则人所对应的若当块可能不是一块而是几块, 但是它们每一块的阶数都小于或等于化，而且这些阶数的和恰好等于化.这样，由以上分析我们得到定理3. 14设人虫,…，血是矩阵A的加个不同的特征根，它们的重数分别为也,…人・那么，对于每一个八方程组(3.20)有人个形如X (x) = I> (x)e^x, Y2(X) = E (x)e^x，…，兀(劝=P k (卅的线性无关解，这里向量EG)(i = l,2,・・・,心)的每一个分量为无的次数不高于心-1的多项式.取遍所有的人(,=1,2,・・・,加)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3・1设邪介矩阵互不相同的特征根为加=1,2,…,〃7), 其重数分别是，蛀2,…W+/+…+灯=砒，记〃维常数列向量所组成的线性空间为V,则(1) V的子集合V7. ={R|(A-学卢R = O,ReV}是矩阵A的nz维不变子空间，并且(2) v有直和分解V = V1®V2®---®V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3・15如果勺是(3.20)的勺重特征根，则方程组(3.20)有个匕形如Y(兀)=(R o +R］兀------ 巴_¥厂")/“(3.33)的线性无关解，其中向量R（）,R H由矩阵方程(A-/lyE)R0 = R](A-2y E)R1=2R2(A-学)％_2 = (k. - 1)R『(A — 2y.E)^ R()= 0(3.34)所确定.取遍所有的A.（J = 1,2,则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若厶是（3.20）的匕重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20）有[R1+2R2x + ... + (^-l)R^_I//_2]€V+/l.(R0 + R1x+...+R Jti_I/?_，)/ =A(R(> + R|X + • • • + R—]/" 消去/尸，比较等式两端兀的同次幕的系数（向量），有(A — 2;-E)R0 = Rj(A-A7E)R, =2R2(A -2;.E)R^_2 =代- 1)R®_] ・(A-A.E)R V1=O注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.(3.35)与(3.34) 同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下而的方程解出出，再依次利用矩阵乘法求岀R P R2•由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的40 = 1,2,...,肋，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的〃个解.记这Q个解构成的解矩阵为丫⑴，显然，Y(O)是由(3.34) 最下面的方程求岀的n个线性无关常向量构成，由引理3.1 的2)矩阵Y(O)中的各列构成了斤维线性空间v的一组基，因此det Y(0) 0 ,于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组卞=儿+儿＜于=X +儿诗二必+旳解系数矩阵为「o 1 rA二1 0 11 1 0特征方程为(2-2)(2 + 1)2=0特征根为人=2,人=〈=-1.其中人=2对应的解是TY,(x)= 1 訂1下面求—-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如Y(x) = (R o + Rd)*'并且RoR满足f(A + E)R0 = R][(A+E)2R O=O由于_i 1 r「3 3 3'(A + E)二 1 1 1,(A+E)2 = 3 3 31 1 1 3 3 3那么由(A+EFR J =0可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入(A + E)R0=R1中，均得到R] 为零向量•于是A=A=-1对应的两个线性无关解是最后得到通解-1丫2(兀)=1 厂,-1丫心)=0厂1例4求解方程组石T + 2宀解系数矩阵是「3 1 -1 A= -1 211 1 1特征方程为(2-2)3=0 ,有三重特征根人2.3 =2 由定理3.15,可设其解形如Y(x) = (R° ++R 2X 2)e 2xR o R, R 2满足方程组(A-2E)R 0=R, (A-2E)2R ( =R 2(A-2E)3R O =O■f■~r1 + C 2e'x1+ C 3e~x0 1iY(x) = C&s由于"1 1 -1__-I o r「0 0 o-(A — 2E) =-1 0 1,(A-2E)2 =0 0 0,(A-2E)3 =0 0 01 1 -1-1 0 10 0 0故R°可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得弘为R2为丄~2丄~2于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解口J写成l + x ——jr2X丄9-x + — X2cy2M=e2x—x1c2_y3W_ 1 2x- — x^L 2X 1 - X + — x22 _本讲要点:1 2 0]_ 21.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。
例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。
常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出$y=y(x)$的解。
这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。
通常我们使用分离变量法。
具体步骤如下：1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。
二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。
我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
2.变系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程，通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解，这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。
3.非齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解，从而得到方程的通解。
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如 ()()dy f x g y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰ （2.2） 把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数.或解出显式形式例2 解方程并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解 将变量分离，得到两边积分，即得因而，通解为这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到 1c =-因而，所求的特解为例3 求方程()dy P x y dx= （2.3） 的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到两边积分，即得这里的c 是任意常数.由对数的定义，即有即令c e c ±=，得到()P x dx y ce ⎰= （2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程 (,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有 事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. ⅱ)对方程(,)dy f x y dx =其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有则方程也可改写成形如(2.5)的方程对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令y u x =（2.6） 即y ux =，于是 dy du x u dx dx=+ （2.7） 将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为整理后，得到 ()du g u u dx x-= （2.8） 方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 即du tgu dx x= （2.9） 分离变量，即有两边积分，得到 这里的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为例5 求解方程(0).dy x y x dx +=<解 将方程改写为 这是齐次方程，以,y dy du u x u x dx dx ==+代入，则原方程变为du xdx =（2.11） 分离变量，得到两边积分，得到（2.11）的通解即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+> (2.12) 这里的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u =注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程. 2.齐次方程也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dx x f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如 111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有 此时，令y u x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成 令22a x b y u +=，则方程化为这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此11122200a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14） 代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ （2.15） 则（2.14）化为从而（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,x y αβ==；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换Y u X=将（2.16）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型此外，诸如以及（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- （2.17） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y == 令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩ 代入方程（2.17），则有 dY X Y dX X Y-=+ （2.18）再令 Y u X=即 Y uX = 则（2.18）化为两边积分，得因此记1,c e c ±=并代回原变量，就得此外，易验证即也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为其中c 为任意的常数. 3、 应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ d I Cu C dt dt dt=== （2.20） 将（2.20）代入（2.19），得到c u 满足的微分方程 c c du RC u E dt+= （2.21） 这里R 、C 、E 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到两边积分，得到即这里12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代入，得到2c E =-.所以 1(1)t RC C u E e -=- （2.22）这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增大，且当t →+∞时，C u E →，在电工学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()0y f x z =⎧⎨=⎩（2.23） 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy 平面上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任一点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知从而注意到及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满足的微分方程式dy dx =（2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量x u y=可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解. 对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换x v y =而化为变量分离方程也可由x yv =得dx dv v y dy dy=+代入（2.24）得到 于是sgn dy y y =（2.25） 积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+ （2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2)y z c c x +=+ （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程在()0a x ≠的区间上可以写成 ()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） 对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这里假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dy P x y dx= （2.3） 称为一阶齐线性方程.若()0Q x ≠，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ⎰= （2.4）这里c 是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令()()P x dxy c x e ⎰= （2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ （2.30） 将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（2.31） 这里c 是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰（2.32） 这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数. 解 将方程改写为(1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33） 先求对应的齐次方程 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34） 微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35） 以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解 这里c 是任意的常数. 例2 求方程22dy y dx x y=-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （2.36） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 代入（2.36），得到 从而，原方程的通解为这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 特别的，初值问题 的解为例3 试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证 （1）设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 （1）—（2）有说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解.（2）因为 故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成立.3、Bernoulli 方程形如()()n dyP x y Q x y dx=+ （ 0,1n ≠） （2.38） 的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程，这里(),()P x Q x 为x 连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y ≠，用n y -乘（2.38）两边，得到1()()n n dyy y P x Q x dx--=+ （2.39） 引入变量变换1n z y -= （2.40） 从而(1)ndz dyn y dx dx-=- （2.41） 将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- （2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n >时，方程还有解0y =. 例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解 解 这是2n =时的伯努利方程，令 1z y -=,得 代入原方程得到这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量y ，得到 或者这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =. 例5 求方程331dy dx xy x y =+的解 解 将方程改写为这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例6 求方程23y dy e x dx x+=的通解 这个方程只要做一个变换，令,y ydu dyu e e dx dx==，原方程改写为 便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数()c x ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 写成微分的形式把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43） 假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44) 即(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.46) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 00(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.47)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.48)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.45), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45). 例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.49)解 这里21, =()2x M xy N y =+,则y x M x N ==,所以(2.49)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.47)有 再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有 可见不论0y >和0y <,都有故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从(,)x u M x y =出发,有2(,)(,)()()2x u x y M x y dx y y y φφ≡+=+⎰ (2.50)其中()y φ为待定函数,再利用(,)y u N x y =,有221()22x x y y φ'+=+ 从而1()y yφ'=于是有 ()ln ||y y φ=只需要求出一个(,)u x y ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为 解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为于是 2()ln ||02x d y d y +=从而得到方程的通解为 2ln ||2x y y C += 4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得 (,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.51) 为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使则称(,)x y μ是方程（2.43）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, (,)x y μ为(2.43)积分因子的充要条件是 即 ()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.52) 5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43） 有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.53）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ= （2.54） 就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()μμϕ=，则由（2.52）进一步知 即由()μμϕ=可知左端是ϕ的函数，可见右端y x x yM N N M ϕϕ--也是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，于是，有()d f d μϕϕμ=， 从而 ()()f d G e e ϕϕϕμ⎰==反之，如果（2.53）仅是ϕ的函数，即()y x x yM N f N M ϕϕϕ-=-，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子.为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下： 例2.解22(31)()0y xy dx xy x dy -++-=解 这里2231,M y xy N xy x =-+=-,注意 所以方程不是恰当的,但是 它仅是依赖与x ，因此有积分因子 给方程两边乘以因子x μ=得到 从而可得到隐式通解例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是 它有仅依赖于y 的积分因子 11dyy eyμ-⎰≡=方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例4. 解方程 223(2)()0y x y dx xy x dy +++=解 这里2232,M y x y N xy x =+=+，不是恰当方程.设想方程有积分因子()x y αβμμ=，其中α，β是待定实数.于是只须取3,2αβ==.由上述简表知原方程有积分因子 从而容易求得其通解为： 六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式：前一组有积分因子11y μ=，并且 后一组有积分因子21xμ=，并且 设想原方程有积分因子其中α，β是待定实数.容易看出只须3,2αβ==，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个.例5. 解方程 1212()()()()0M x M y dx N x N y dy += 其中1M ，2M ，1N ，2N 均为连续函数.解 这里12()()M M x M y =，12()()N N x N y =.写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有0y 使得20()0M y =，则0y y =是此方程的解；若有0x 使得10()0N x =，则0x x =是此方程的解；若21()()0M y N x ≠，则有积分因子 并且通解为例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程[()()]0P x y Q x dx dy +-= （2.55）这里()(),1M P x y Q x N =+=-，而 则线性方程只有与x 有关的积分因子方程（2.55）两边乘以()P x dxe μ-⎰=，得()()()()()0P x dx P x dx P x dxxP x e ydx e dy Q x e dx ---⎰⎰⎰-+= （2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法 因此方程的通解为 即与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.§4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程2()()0y x y y xy ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.57）的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为 (,)y f x p = (2.58)将(2.58) 的两边对x 求导数,得到 f f dp p x y dx∂∂=+∂∂ (2.59) 方程(2.59)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.59)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.58),于是得到(2.57)通解为 若求得(2.59)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为 其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.59)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为 其中p 为参数, c 是任意常数.例1 求方程3()20dy dy x y dx dx +-= 的解 解 令dy p dx=,于是有32y p xp =+ (2.60) 两边对x 求导数,得到即 2320p dp xdp pdx ++=当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而由此可知得到将其代入(2.60),即得故参数形式的通解为当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.例2 求方程22()2dy dy x y x dx dx =-+的解. 解 令dy p dx=,得到222x y p xp =-+ (2.61) 两边对x 求导数,得到 2dp dp p p x p x dx dx =--+ 或 (2)(1)0dp p x dx--= 由10dp dx -=,解得p x c =+,于是得到方程的通解为222x y cx c =++ (2.62)由20p x -=,解得2x p =,于是得到方程的一个解为24x y = (2.63) 特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2) 讨论形如 (,)dy x f y dx= (2.64) 的方程的求解方法,方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似,假定函数(,)f y y ' 有连续偏导数.引进参数dy p dx=,则(2.64) 变为 (,)x f y p = (2.65)将(2.65) 的两边对y 求导数,得到1f f dp p y x dy∂∂=+∂∂ (2.66) 方程(2.66))是关于,y p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为 则(2.64)的通解为Ⅱ）不显含y （或）x 的方程3) 讨论形如(,)0F x y '= (2.67) 的方程的解法. 记dy p y dx'==,此时(,)0F x p =表示的是xp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为()x t ϕ=,()p t ψ= (2.68) 由于dy pdx =,进而两边积分,得到于是得到方程(2.67)参数形式的解为 c 是任意常数.例3 求解方程3330x y xy ''+-=解 令y p tx '==,则由方程得于是 23339(12)(1)t t dy dt t -=+ 积分得到故原方程参数形式的通解为：4) 讨论形如(,)0F y y '= (2.69) 的方程,其解法与方程(2.67)的求解方法类似.记dy p y dx'==,此时(,)0F y p =表示的是yp 平面上的一条曲线,设曲线用参数形式表示为 由关系式dy pdx =可知 ()()t dt t dx ϕψ'=,于是0p ≠时,有 故方程(2.69)的参数形式的通解c 是任意常数.此外,不难验证,若(,0)0F y =有实根y k =,则y k =也是方程的解. 例4 求解方程 22(1)(2)y y y ''-=-.解 令2y yt '-=,则有由此可以得 代入1dx dy p=，得到 积分,得到1x c t =+故原方程参数形式的通解为其中c 是任意常数.此外, 当0y '=时原方程变为24y =,于是2y =±也是方程的解.例5 求解方程y '=解 令y p '=,则有p =,取,(,)22p tgt t ππ=∈-,则sin sec tgt x t t === 由dy pdx =得到所以cos y t c =-+故原方程参数形式的通解为其中c 是任意常数.。
