第一讲 §1.1 微分方程与解（2课时）一、目的要求：了解微分方程与相关学科的密切关系；掌握微分方程的有关基本概念。
二、重点：1． 通过讲授微分方程的一些具体应用实例（如利用相关的物理、化学、生物、工程等有关规律建立反映实际问题的模型），使学生认识到学习本课程的生要性。
2． 基本概念：常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、特解、积分曲线、定解条件、Cauchy 问题等。
三、难点：分析模型；通解的定义。
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。
五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
六、教学过程：1.课题导入：什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分 学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关. 这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程. 然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程. 一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.在初等数学中，曾经学习过代数方程，例如：⑴3210x x -+=；1=； ⑶3121x x x--=+ 中，对未知数x 所施加的是代数运算，因此它们都是代数方程。
还学习过三角方程、指数方程、对数方程等，例如：⑴sin cos 1x x +=⑵221x e x x =+-⑶1ln x x +=中，出现了未知量x 的超越函数，因此它们都是超越方程。
并用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在高等代数中，又学习过高次代数方程，n 元线性代数方程组。
这些方程（组）有一个共同特点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。
但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。
在这类方程中，作为未知而要去求的已经不再是一个或几个特定的值，而是一个函数。
这类方程称为函数方程。
例如：⑴221x y +=(设x 是自变量，则()y y x =未知函数)；⑵2220,0x y z x y z ++=++=（设z 是自变量，则()x x z =和()y y x =是未知函数）； 以及在数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程：F(x,y)=0 ()*来确定隐函数，上述方程()*就是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。
而隐函数是所要求的未知函数。
2．教学内容：㈠． 模型建立与分析本课程所要讲述的方程与刚才所说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数（或微分），例如：⑴y xy '=(x 是自变量，y 是未知函数)；⑵()20t x dt xdx ++=(t ,x 哪一个为自变量是任意的)；⑶23x y y y e '''+-=(x 是自变量，y 是未知函数)； ⑷z x y x∂=+∂(x ,y 为自变量，z 为未知函数)； ⑸2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂(x ,y ,z 为自变量，u 为未知函数)。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，我们称其为微分方程。
其中未知函数的导数（或微分）是不可缺少的。
如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们把这种微分方程称为常微分方程（ordinary differential equation ）。
如：⑴、⑵、⑶。
如果在微分方程中，自变量的个数有两个（或两个以上），这种微分方程称为偏微分方程（partial differential equation ）。
如：⑷、⑸。
常微分方程是数学中的古老而又常胜不衰的分支之一。
它与动力系统紧密相关并有重要应用价值。
如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性以及常微分方程在物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中的广泛应用。
因此，它已成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
本讲我们通过几个具体的例子，简单的介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些基本概念。
例1．镭的裂变。
镭是一种放射性物质。
它的原子时刻都向外放射出氦原子以及其它射线，从而原子量减少，变成其它的物质（如铅）。
这样，一定质量的镭，随着时间的变化，它的质量就会减少。
已发现其裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的存余量成正比。
设已知某块镭的质量在时刻0t t =为0R ，试确定这块镭在时刻t 的质量R 。
解 时刻t 时镭的存余量R 是t 的函数。
由于R 将随时间而减少，故镭的裂变速度dR dt 应为负值。
于是，按照裂变规律，可列出方程 dR kR dt=- （1.1） 其中k 为一正的比例常数。
（1.1）是一个关于未知函数R 的常微分方程。
上述问题就是要由（1.1）求出未知函数()R R t =来。
为此，将（1.1）变形为 dR kdt R=- ，然后两端积分，得 0ln R kt c =-+ (0c 为一积分常数)，即 kt R ce -= （0c C e =）。
由于已知在时刻0t t =时0R R =，代入上式就有 00kt R Ce-= 或者00kt C R e =。
于是，在时刻t ，镭的质量为 0()0k t t R R e --=。
不仅镭的质量满足这个规律，其它的放射性物质也都满足这个规律。
不同的是，各种放射性物质具有各自的系数k 。
这个关系式是放射性物质的一个很基本的性质，它能说明很多问题，例如，从这个关系式出发，可以利用放射性物质来测定某种物体的绝对年龄。
例2．受到空气阻力的自由落体。
设质量为m 的物体，在时间0t =时自由下落，在空气中受到的阻力与物体的下落速度成正比，求物体下落距离与时间的关系。
如图1.1建立坐标系。
设x 为物体下落的距离。
于是物体下落的速度为 dx v dt=， 加速度为 22d x a dt=。
根据牛顿第二定律 F ma =，可以列出方程22,d x dx m k mg dt dt=-+ （1.2） 其中k 为一正比例常数,右端第一项的负号表示阻力与速度 dx dt的方向相反。
于是问题归结为求满足上述方程的未知函数()x t 的问题。
我们现在只考虑0k =的情形，也就是说物体是在真空中下落，没有阻力。
这时，（1.2）变成 22d x g dt =。
为了求出物体下落的距离，将上式积分两次，得到1,dx gt C dx=+ 2121,2x gt C t C =++ 其中1C 及2C 为两个常数。
考虑自由下落物体的初始状态。
由于选取物体的初始位置为坐标原点，故有 ()00x =；又由于物体为自由下落，即初始速度 ()000v x '==。
将这两个条件代入上述二式。
可确定 1C 、2C 分别为 120,0C C ==。
于是，自由下落物体的距离公式为 212x gt =。
例3．单摆。
图1.2为一单摆，上端固定在O 点，M 为一质量为m 的质点，摆杆OM 之长为l ，质量可以忽略，单摆的平衡位置为铅垂线OO '。
现将质点M 拉离OO '一个角度0θ，然后松开任其自由运动。
试求摆杆OM 和铅垂线OO '的夹角θ与时间t 的关系。
解 将重力mg 分解为径向力F 与切向力T 。
T 的大小为sin mg θ。
M 的切向加速度为22d a l dtθ=。
于是，由牛顿第二定理可列出方程 2222sin sin d d g ma ml mg dt dt lθθθθ==-=-或 （1.3） 如令初始时刻为0t =，摆杆的初始位置为0θ，初始角速度为0。
从而，上述问题就归结为求满足方程（1.3）以及条件 0(0),(0)0θθθ'==的函数()t θθ=的问题了。
㈡． 基本概念①方程的阶从以上三例我们看到，由实际问题中提出来的常微分方程是各式各样的。
以后我们不会看到，各种类型的微分方程都有有其自已的特点。
常微分方程分类的一个基本依据是在其中所出现的未知函数的导数的最高阶数，我们把它称为微分方程的阶(order)。
例如：⑴、⑵、⑷、（1.1）都是一阶方程；⑶、⑸、（1.2）、（1.3）都是二阶方程。
以后我们还会看到更高阶的微分方程。
一阶常微分方程的一般形式可以表为(),,0F x y y '= （隐式方程） （1.4）如果（1.4）式能对y '解出, 则得到方程(),y f x y '= (显式方程) (1.5)或 (,)(,)0M x y dx N x y dy += (微分形式) (1.6)n 阶隐式方程的一般形式记为()(,,,,,)0nF x y y y y '''= (1.7) n 阶显式方程的一般形式记为()()()1,,,,n n y f x y y y -'''= (1.8) ②方程的解和积分曲线定义1.1 设函数()y y x =在[a,b]上有定义, 且存在n 阶导数，如果把()y y x =代入方程()(,,,,,)0n F x y y y y '''= (1.7) 得到在区间[a,b]上的恒等式()(),(),(),,()0n F x y x y x y x '≡ 则称()y y x =为方程(1.7)在[a,b]上的一个显式解(explicit solution)，同样可以定义隐式解(implicit solution)，它们统称为解（solution ）。
对于其它形式的方程或区间，也可以相应的叙述。
例如：易验证函数2,y x C =+（C 为任意常数）为微分方程 2y x '=在(),-∞+∞上的解；函数12x y e C x C =++，（12,C C 为任意常数 ）为微分方程 x y e ''=在(),-∞+∞上的解。
例4．试验征：当0c >时，函数2122c y x c=-为方程dy y dx x =+在(),-∞+∞上的解；而当0c <时，该函数为上述方程在(,0)-∞上的解。
解 （略）例5．验证函数 12cos sin y C x C x =+ （12,C C 为任意常数）为方程 0y y ''+=在(),-∞+∞上的解。
