《数图》第11章形态学处理

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数字图像,形态学处理

《医学图像处理》实验报告摘要本次实验的目的是对二值原始图像进行膨胀和腐蚀，并对经过膨胀和腐蚀后的两张图像进行集合的逻辑运算操作——交集、补集、相减；对二值图像进行边界提取操作；利用阈值处理的方法对二值图像进行连通分量的提取操作；运用上述结果和其他技术解决课本P442的习题9.36。

本次实验的内容是图像腐蚀图像膨胀边界提取连通分量的提取。

一、技术讨论1.1实验原理1.1.1图像的腐蚀腐蚀缩小或细化了二值图像中的物体。

用3X3的结构元，扫描二值图像的每一个元素，将结构元与其覆盖的二值图像做“与”操作，若结果均为1，输出图像的该像素为1，否则输出图像的该像素为0。

图示如下：1.1.2图像的膨胀膨胀会增长或粗化二值图像中的物体。

用3X3的结构元，扫描二值图像的每一个像素，将结构元关于原点的映射与其覆盖的二值图像做“与”操作，若结果均为0，输出图像的该像素为0，否则输出图像的该像素为1。

图示如下：1.1.3图像的边界提取对图像进行边界提取的方法是先对二值图像进行腐蚀，再将经过腐蚀后的输出图像和原始图像做集合差的逻辑运算。

图示如下：1.1.4图像的连通分量提取连通分量是指若像素子集S的全部像素之间存在一个通路，则可以说两个像素p和q之间是连通的，对于S中的任何像素p，S中连通到该像素的像素称为S的连通分量。

图像连通分量的提取方法是先对二值图像进行阈值处理，再对输出图像做腐蚀处理。

1.1.5测地膨胀测地膨胀不是包含一幅输入图像和特定的结构元素而是涉及两幅图像：标记图像和模版图像。

其基本思想是用特定结构元素对标记图像作膨胀运算，并将结果图像限制在模版图像之下。

图示如下：1.2实验函数示例：A．cvErode( const CvArr* src, CvArr* dst, IplConvKernel* element=NULL, intiterations=1 )；——对二值图像进行腐蚀处理。

1.void cvDilate( constCvArr* src, CvArr* dst, IplConvKernel* element=NULL, intiterations=1 )；--对二值图像进行膨胀处理；2.void cvThreshold( constCvArr* src, CvArr* dst, double threshold, double max_value, intthreshold_type)；--阈值处理函数；二、结果与讨论2.1实验结果（每个实验均要使用3个不同大小的结构元进行处理，并将实验结果列举出来，注明结构元大小）a. Originpicb. intersectionc. img_eroded.img_dilatee. differencingf. Complementation图1.1、图像腐蚀和膨胀（3X3结构元，中心点为1,1）a. Originpicb. intersectionc. img_eroded.img_dilatee. differencingf. Complementation图1.2、图像腐蚀和膨胀（7X7结构元，中心点为3,3）a. Originpicb. intersectionc. img_eroded.img_dilatee. differencingf. Complementation图1.3、图像腐蚀和膨胀（9X9结构元，中心点为4,4）a. Originpicb. img_outc. img_erode图2.1、边界提取（3X3结构元，中心点为1,1）a. Originpicb. img_outc. img_erode图2.2、边界提取（7X7结构元，中心点为1,1）a. Originpicb. img_outc. img_erode图2.3、边界提取（10X10结构元，中心点为1,1）a. Originpicb. img_outc. img_erode图2.4、边界提取（10X10结构元，中心点为5,5）a. Originpicb.img_out1c.img_out2图3.1、连通分量的提取（5X5结构元，中心点为3,3）a. Originpicb.img_singlec.img_intersectd. img_boundary图4.1 problem4-362.2实验讨论（详细说明解决课本习题9.36的具体思路和过程，若有更好地解决课本习题9.36的方法，请详细给出解答思路或过程）1.腐蚀的作用是消除物体边界点，使目标缩小，可以消除小于结构元素的噪声点；膨胀的作用是将与物体接触的所有背景点合并到物体中，使目标增大，可添补目标中的空洞。

数字图像处理08_形态学图像处理

数字图像处理Ch.08 形态学图像处理OUTLINE1.形态学简介2.理论基础——集合论3.形态学基本操作（二值图像）4.二值图像形态学应用5.灰度图像的形态学处理6.彩色图像形态学处理数学形态学简介Morphology：代表生物学的一个分支，研究动植物的形态和结构：如根据形态对动植物分类：动物：偶蹄类，植物：十字花科。

Mathematical Morphology：用集合论研究图像形状和形态变化：利用集合论的一些基本操作研究在一个图像上进行变化，满足应用要求二值图像基本操作，生长（膨胀），收缩（腐蚀）应用形态学去噪、滤波细化、骨架提取特征提取区域填充、图像分割等诞生：数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生J. Serra 和导师G Matheron，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法。

他们的工作奠定了这门学科的理论基础，如击中/击不中变换、开闭运算、布尔模型及纹理分析器的原型等。

发展1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立¾http://cmm.ensmp.fr/~serra/1960年代后期至1970年代中期，数学形态学主要处理二值图像，产生了多种操作和算法，如击中/击不中变换、膨胀、腐蚀、开、闭、粒度测定、细化、骨架等。

大部分工作在枫丹白露数学形态学研究中心完成；1970 年代后期，数学形态学推广到灰度图像的处理。

诞生了一些新的概念和运算，如形态学梯度、top-hat变换、形态学分水岭算法等。

1980年代至1990年代，数学形态学开始被广泛应用在图像处理领域，解决了许多实际的问题，如消噪、边缘检测、图像分割等1986年J Serra 进一步推广了数学形态学，建立了较完备的数学形态学理论框架，使得数学形态学能够应用在更广泛的领域，如彩色图像处理、视频处理等………元素与集合集合是由元素组成的在二值图像的形态学处理中，集合由一些像素(x,y) 组成。

图像分析与处理数学形态学

– 这就是为什么叫膨胀的原因。
• 如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被 Bv膨胀的结果不同。
膨胀
膨胀
• 左边是被处理的图象X(二值图象，针对的是黑点)，中间是结构元素B。
• 膨胀的方法是：
– 拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对； – 如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑； – 右边是膨胀后的结果。
– 根据某点(当然是要处理的黑色点了)的八个相邻点的情况查表，若表中的元素是1，则表示该点可删，否则保留。
细化
static int erasetable[256]= {
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,1,1,1, 1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,1,1,0, };
二值形态学滤除条码噪声
• 通过闭操作,将条上的划痕和瑕疵填充掉
闭
• 开和闭也是对偶运算。
– 用公式表示为
• (OPEN(X))c=CLOSE((Xc))
– X 开运算的补集等于X的补集的闭运算。
• (CLOSE(X))c =OPEN((Xc))
– X 闭运算的补集等于X的补集的开运算。
• 可以这样理解：
– 在两个小岛之间有一座小桥，把岛和桥看做是处理对象X，则X的补集为大海。

数字信号处理之形态学方法

形态学图像处理方法Morphological Image Processing形态学方法•膨胀 (dilation)•腐蚀 (erosion)•开(opening)•闭(closing)•击中-击不中(hit-miss)•细化(thinning)•粗化(thicking)•骨架化(Skeleton)扩张 (Dilation)})ˆ(|{φ≠∩=⊕A B z B A z},|{ˆB b for b w w B∈−==反折（reflection ）平移（translation ）},|{)(A a for z a c c A z ∈+==A: 原图像, B: 结构元（Structuring element ）定义:扩张(Dilation)BA ⊕111111111AB BA ⊕扩张(Dilation)A010111010B BA⊕效果: 当结构元的宽度大于缝隙的宽度时, 用膨胀方法可”填平”这些缝隙!膨胀结果图(square,5)腐蚀(Erosion)})(|{A B z B A z ⊆=Θ111111111BAA ΘB腐蚀(Erosion)腐蚀(Erosion)010111010AB A ΘB效果: 当结构元的宽度大于”桥梁”的宽度时, 用腐蚀方法可断开这些桥梁!扩张：扩大 1 区域，滤除小面积0区域腐蚀：扩大 0 区域，滤除小面积1区域扩张与腐蚀是互补的操作膨胀与腐蚀对比图开运算(Opening)A⊕BABB(o=)Θ•定义:•目的: 保留与结构元形状相似的前景部分。

可去除比结构元的小的前景!( “开”运算和“腐蚀”有点类似，但它不像“腐蚀”那样具有破坏性。

)111111111AB A ΘBBAo10111010A B A ΘBBA o开运算例子1•用圆形的结构元对图像进行“开”运算，可以分离出白色圆形对象并计数 (disk, m=15)开运算例子2•用不同大小的结构元(disk)提取不同的对象•disk ( m=11; m=7 )闭运算(Closing)•定义:BBABAΘ⊕=•)(•目的: 保留和结构元形状相似的部分。

形态学图像处置专业知识讲座

闭操作的几何解释
的边界通过B中的点完成 B在A的边界外部转动
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形态学图像处理
开操作的3条性质
闭操作的3条性质
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当开之操处，作请和联系闭本人操或作网站应删用除。举例
形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合论
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形态学图像处理
概述（续）
形态学图像处理的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构
形态学图像处理的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开操作和闭操作
集合S的凸壳H是包含S的最小凸集合 H-S称为S的凸缺求取集合A的凸壳C(A)的简单形态学算法：
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形态学的主要应用
凸壳
先对A用运用击中或击不中变换，反复使用，当不再发生变化时，执行与A的并集运算，用表示结果
形态学的主要应用
边界提取
边界提取定义为
上式表示：先用B对A腐蚀，然后用A减去腐蚀得到， B是结构元素
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边界提取举例
1表示为白色，0表示为黑色
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图像形态学处理

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5
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}
整理ppt
13
保留的点
c、基于位移运算的膨胀操作
增加的点
+
图像 A
结构元 B
A 相对位移B
原点位于结构元素中的膨胀操作
删除的点
保留的点
？
+
图像 A
结构元 B
A 相对位移B
原点不在结构元素中的膨胀操作
理论基础和所用语言为：集合论。
图像中的集合：代表二值图像或者灰度（彩色）图像的形
状。如：黑白图像中的黑像素集合是图像的完全描述，感
兴趣目标区域的像素集合。
整理ppt
2
数学形态学图像处理的基本思想：使用具有一定形态
的结构元素，去度量和提取图像中的对应形状，如边界、
骨架、凸壳等，以达到对图像进行分析和识别的目的。
•B
A

A

(A
)
*B
粗化过程的另一种定义为：
1 2 3
n
{
B
}

{
B
,B
,B
,
,B
}
1
2
n
• B
A
B
}

((

第11章-形态学图像处理

3、集合的反射和平移 (1) 集合的反射由集合A中所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集合A的反射，记为 A 。
ˆ = z|z=-a,a A A
其中，z表示集合A中的元素a对应的反射元素。
集合的反射图示
3、集合的反射和平移
(2) 集合的平移
由集合B中所有元素平移z=(z1，z2)后组成的元素集合称为集合B的平移，记为 B 。【勘误】 z
(a）目标图像A
1
2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
2 1 1 2 2 2
1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0
(c）S对A的膨胀结果
(d) S对(c) 腐蚀结果
11.2.4 闭运算
实例：
电路板二值图像
进行闭运算的结果图像
电路板二值图像闭运算实例
开运算与闭运算的对偶性
1
1
2
0
பைடு நூலகம்
(a)目标图像
1 1 1 1 1 1 1 1
A
(b)结构元素S
1
(c）膨胀 A S
1 1 1 1
(d)腐蚀 AS
1 1 1 1 1
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1 1 1 1
2
1 1 1
2
1
2 2
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
结构元素S对目标图像A的闭运算定义为：
A S = A S S
闭运算的作用：同样可以使轮廓变得平滑；与开运算相反的，通常能够弥合狭窄的间断，消除小

数字图像处理- 形态学处理

Pavlidis细化算法

Rosenfeld细化算法

三种细化算法，在程序中直接运算，并根据运算结果来判定是否可以删除具体的像素，它们之间的差别在于不同算法的判定条件是不同的。
数字图像处理
20

数字图像处理
21
1）内部点不能删除；
2）孤立点不能删除； பைடு நூலகம்）直线端点不能删除；

1）将条形区域变成一条薄线； 2）薄线应该位于原条形区域的中心； 3）薄线应该保持原图像的拓扑特性。

数字图像处理
18
根据是否使用迭代运算，可以将细化算法分成
两类，一是迭代算法，二是非迭代算法。

迭代算法，就是重复删除图像边缘中满足一定条件的像素，以最终得到单像素宽的骨架。

对于迭代算法，又可以根据其检查像素的方式分成串行算法和并行算法。所谓串行算法，即为是否删除像素在每次迭代的执行中是固定顺序的，它不仅取决于前次迭代的结果，而且也取决于本次迭代中已处理过像素点分布的情况。对于并行算法，像素点删除与否与像素值在图像中的顺序无关，仅取决于前次迭代的结果。
相关。

常用的距离尺度有棋盘距离、曼哈顿距离、欧拉距离。
数字图像处理
28
棋盘距离
曼哈顿距离
欧拉距离
数字图像处理
29
数字图像处理
30

对于距离变换可以进行如下的理解，
就是首先将二值图像的前景像素区域想象为是由某些均匀缓慢易燃物质组成，然后考虑对前景像素区域中的所有边界像素进行同时燃烧，并且将火一直燃烧至前景像素区域最内部。

如果对区域内部的所有像素进行标记，所标记的内容为从火开始燃烧直到当前像素被烧到的时间，那么就得到了二值图像距离变换的有效计算。一种直观但是效率极其低下的方式就是使用一个合适的结构元素对图像进行多次连续的腐蚀操作，直至图像中所有的前景像素被腐蚀掉。

数字图像处理-11第十一章形态学图像

2. 形态学的基本运算——开闭操作
原图像存在噪声：黑色背景上的亮元素和亮指纹部分暗元素开操作：消除了背景和指纹中所有的噪声，但指纹纹路间有新间断先开操作再闭操作：可以有效地去除噪声，但是指纹纹路并没有完全恢复
2. 形态学的基本运算——开闭操作
a bc def
(a)原始灰度图像；(b)二值化后的图像；(c)用开运算清除噪声；(d)用腐蚀和膨胀抽取各结点；(e)抽取骨架分离各线路；(f)线路、结点和端点的最终显示
2. 形态学的基本运算——腐蚀
例：腐蚀的简单应用
>> A=imread('Fig0908(a)(wirebond-mask).tif'); >> se=strel(‘disk’,10); %构造半径为10的圆盘结构元素 >> A2=imerode(A,se); %进行腐蚀操作 >> subplot(2,2,1),imshow(A) >> subplot(2,2,2),imshow(A2) >> se=strel('disk',5); >> A3=imerode(A,se); >> subplot(2,2,3),imshow(A3) >> A4=imerode(A,strel('disk',20)); >> subplot(2,2,4),imshow(A4)
1.2集合论基本概念
集合论基本概念
并集：C A B 其中A、B为两个集合
交集：C A B
差集：C A B w| w A, wB

映像：

B
w |
w

数字图像处理数学形态学及其应用PPT课件

➢对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。
第25页/共40页
图9.7 灰值膨胀运算
f f (s)
f (s) ＋ b(s－ x)
f (s) ＋ b(s－ x)
9.2.1 二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
(9.3)
AB {x | (B) A} x
d
d
d
A
d/4
d/4
B
AB
d/8
d/8
图9.2 腐蚀示意图
第9页/共40页
9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，可以直接定义，也可通过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A 的补集，表示B关于坐标原点的反射。
•
WHT(f) = f — (f○g)
(9.16)
• 其中，g为结构元素。
• 高帽变换是一种波峰检测器
• 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。
第35页/共40页
低帽变换
• 与高帽变换相对偶的算子，定义为：
•
BHT(f) = (f●g) —f
(9.17)
• 低帽变换是一种波谷检测器
• 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。
第12页/共40页
9.2.3 二值开运算
• 有两种二次运算起着非常重要的作用 • 开运算 • 闭运算（开运算的对偶运算）。
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。
第13页/共40页
开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义为：

什么叫做形态学图像处理

什么叫做形态学图像处理形态学一般是使用二值图像，进行边界提取，骨架提取，孔洞填充，角点提取，图像重建。

基本的算法:膨胀腐蚀，开操作，闭操作，击中击不中变换几种算法进行组合，就可以实现一些非常复杂的功能，而且逻辑严密。

这里给出形态学的一般原理，以及用形态学进行边界提取，角点提取好骨架提取的原代码一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。

数学形态学的历史可回溯到19世纪。

1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。

1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。

数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。

目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。

数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。

该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。

二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。

它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。

数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。

数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。

它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。

基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。

(1)二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。

其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。

形态学 PPT

30
开运算能够去除孤立的小点，毛刺和小桥(即连通两块区域的小点)，而总的位置和形状不变。
开（open）操作---基本属性
31
开的结果是A的子集；
如C是D的子集，则C与B开的结果是 D与B开运算结果的子集；
对同样的A，做多次开运算的结果与做一次是一样的
闭（close）操作
32
设有两幅图象B，X。若X是被处理的对象，而B是用来处理X的，则称 B为结构元素(structure element)，又被形象地称做刷子。
结构元素通常都是一些比较小的图象。 1 1 1
111
111
对称集
11
设有一幅图象B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x，y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集，记作 Bv
腐蚀
15
公式：
腐蚀---计算实例
16
腐蚀---计算实例
17
腐蚀---作用
18
消除细节类似于去噪
腐蚀---实现
19
水平腐蚀【1， 1， 1】垂直腐蚀
1
1
1
膨胀
20
计算过程程序实现
膨胀----dilation
21
腐蚀的对偶运算：把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们记下这个a 点。所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。
对同样的A，做多次闭运算的结果与做一次是一样的
综合运用
37
先开后闭
9.4 二值形态学图像处理基本操作
38
边界抽取 (boundary extraction) 区域填充 (region filling) 连接分量提取 (extraction of connected

图像的数学形态学运算

图像的数学形态学运算
概述
集合论基础知识
膨胀和腐蚀(Dilation & Erosion) 开操作和闭操作(Opening & Closing) 击中或击不中变换(Hit-or-Miss
Transform) 形态学的主要应用：
边界提取、区域填充、连通分量的提取、凸壳、细化、粗化等
概述
A被B击中的结果相当于A被B1腐蚀的结果与X 被B2的反射集膨胀的结果之差
击中运算也可以借助于腐蚀、膨胀两基本运算来实现.
击中或击不中变换举例
形态学的主要应用
边界提取定义 β (A)= A−(AΘB)
上式表示：先用B对A腐蚀，然后用A减去腐蚀得到，B是结构元素
边界提取举例
1表示为白色，0表示为黑色
(2)暗的细节部分全部减少了还是被消除了,取决于膨胀所用的结构元素的值和形状。
腐蚀
定义：灰度腐蚀，f b
其中，Df和Db分别是f和b的定义域一维说明：用一维函数说明上式的表示法和运
算原理
例子
从图中我们可以看出，腐蚀操作是以结构元素形状定义的区间中选取（f－b）最小值为基础的。结果：通常对灰度图像进行腐蚀处理的结果是双重的。
应用：形态学区域填充因为球内部的暗点不是真实的，而是反射所产生的效果，我们的目的就是通过区域填充消除反射。
区域填充举例
通过区域填充消除白色圆圈内的黑点
形态学的主要应用
连通分量的提取实现目的：在二值图像中提取连通分量令Y表示一个包含于集合A中的连通分量，
并假设Y中的一个点p是已知的。用下列迭代式生成Y的所有元素： Xk =(Xk−1 ⊕B)∩A k =1,2,3,... x0=p,如果Xk=Xk-1，算法收敛，令Y=Xk

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9
3.形态学运算过程
图像集合X 和结构元素B之间的逻辑运算，
结构元素 B
过程类似于卷积运算。
形
态
输入图像 X
学运
算
输出图像 Y
图11.3 形态学图像处理运算过程示意图
Digital Image Processing
10
第2节基本形态学处理
二值形态学运算：二值图像X 集合，二值结构元素B 集合，用B 对X 进行形态学操作（运算）。
A的补集，记为Ac，定义为 Ac {x | x A} 。
如一幅二值图像中目标的补集就是它的背景。
Digital Image Processing
4
7）差集：
两个集合A和B的差集，记为A-B，定义为：
A B {x | x A, x B} A I Bc （11.1）
8）对称集：
集合A的对称集（又称反射）记为 Aˆ ，定义为：
数字图像处理基础
Digital Image Processing
第十一章形态学处理
Digital Image Processing 1
形态学（morphology）生物学的一个分支，常用它来处理动物和植物的形状和结构，
数学形态学（mathematical morphology）建立在集合论基础上的数学理论。
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将类似卷积的形态学逻辑运算转化为与计算机相适应的位移运算。【例11.2】例11.1的图像采用向量运算进行腐蚀。
图像的左上角像素设为（0,0），结构元素的参考点（0,0）是B中的“+”点。为：X={(2,2),(2,3),(3,3),(4,3)X,(3,4),(4,4),(3,5)}，共7个像素；为：B={(0,0),(1,0),(0,1)}ocessing
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结构元素的选取原则：
1）结构元素的几何形状上比原图像简单，且有界。 2）结构元素的尺寸相对要小于所考察的物体。 3）结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、十字架形、方形等。
(a)
(b)
(c)
图11.2 结构元素示例
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形态学图像处理（以下简称“数学形态学”） 20世纪80年代初，学者将数学形态学应用于图像处理和模式识别领域。用集合来描述图像目标，目标结构特点，各部分之间的关系。
结构元素（structure element）一种简单的图形工具，用它去度量和提取图像中的对应形状，以达到对图像分析和识别的目的。
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第1节数学形态学基础
1.基本集合定义
1）集合：把一些可区别的客体，按照某些共同特征加以汇集，有共同特性的这些客体的全体称为集合。
如图像中某物体上像素的全体就可构成一个集合。
如果某种客体不存在，就称这种客体的全体是空集，记为。 2）元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素，又称为集合的成员。
例如：黑白图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述。灰度图像中所有的像素点可以用三维集合来表示：
每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第三个变量代表离散的灰度值。
对于任一幅n维图像都可用n维欧氏空间E (n)中的一个集合来表示。
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R中的一个集合X（图像）和另一个集合B（图像）之间的关系：
如图像中物体上的像素。用a∈A表示a是集合A的元素，任何客体都不是的元素。
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3）子集：集合A包含集合B的充要条件是集合B的每个元素都是集合A的元素，
也可以称为集合B包含于集合A，记为B A 或A B。
称B是A的子集。 4）并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B。 5）交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集，记为A I B。 6）补集：
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【例11.1】腐蚀运算一例。
（a）图为一幅二值图像，（b）图为结构元素B，标有“+”代表参考点，（c）图为腐蚀结果。
(a) 原二值图像
(b) 结构元素
图11.4 二值图像的腐蚀运算示例
(c) 腐蚀运算结果
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（2）结构元素
结构元素：一种收集图像信息的“探针” （小集合）。特点:
简单，小于目标图像，形状可以自己定义，如圆形、正方形、线段等。确定一个或参考点，作为形态学运算的参考点。处理二值图像的结构元素是二值图像，处理灰度图像的结构元素是灰度图像。
形态学处理：
在图像中不断移动结构元素，类似于“滤波窗口”或“卷积模板”。考察图像中各个部分之间的关系，提取有用的信息，进行结构分析和描述。结构元素与目标之间相互作用的模式可用形态学运算来表示。
多种形态学运算：腐蚀（Erosion）、膨胀（Dilation）、开启（opening）、闭合（closing）、击中/击不中（Hit or Miss Translation）运算等。
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1.腐蚀和膨胀运算
（1）腐蚀运算
X用B来腐蚀记为：
E X e B {x | (B)x X } （11.4）
9）位移：
Aˆ {x | x a, a A} （11.2）
集合A用x=(x1,x2)位移，记为(A)x，定义为
( A)x {y | y a x, a A} （11.3）
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2.图像空间的集合表示
（1）图像之间的关系
可以用集合来表示一幅图像。
1）集合B 包含于集合X中，表示为 B X，或集合X包含于集合B中，X B 。
2）集合B 击中（hit）集合X，表示为，即 B∩X≠Ø 。
3）集合B 与集合X 相分离，又称 B 未击中（miss）X，B Xc，即 B∩X=Ø。
R
X
B1
B2
B3
图11.1 集合B 和X 之间的关系
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X被B腐蚀后形成的集合E：
结构元素B平移后仍包含在集合X中的那些结构元素参考点的集合。
过程：
结构元素B在整个图像上类似卷积一样逐点移动，观察B是否完全包含在X中，如果B包含在X内，则保留X中B的参考点所在的那个的像素，属于集合E；否则B的参考点所对应的像素将不属于腐蚀后的集合E，被“腐蚀”掉了。